复变1.4

复变函数——定义邻域－定义1.1点的邻域指：聚点、内点、孤立点－定义1.2给定点集，及点。

称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。

若，但非的聚点，则称为的孤立点; 若，又非的聚点，则称为的外点。

若有一邻域全含于内，则称为的内点。

若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。

边界点的全体称为的边界。

记作。

开集、闭集－定义1.3若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。

有界性－定义1.4点集称为有界集，若使有。

区域－定义1.5非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。

闭域－定义1.6区域加上它的边界称为闭域，记为：。

约当曲线－定义1.7设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。

上式称为的参数方程分别称为的起点和终点。

单连通区域－定义1.8设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。

复变函数－定义1.9设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。

若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。

复变函数的极限－定义1.10设，为的聚点。

若存在一复数，使，，只要，就有则称沿于有极限，并记为。

连续函数－定义1.11设子点集上有定义，为的聚点，且。

若即对任给的，，只要，，就有则称沿于连续。

复球面复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。

无穷远点考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。

当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。

北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。

主要定理约当定理－定理 1.1任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足（1）彼此不交（2）是一个有界区域（称为的内部）（3）是一个无界区域（称为的外部）（4）若简单折线的两个端点分属，则必与有交点。

数理方法讲稿
151§1.5 平面标量场
一. 基本概念
1．场： ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧高阶张量矢量标量 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧三维二维 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧时变稳定 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧有源无源 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧有旋无旋 2．复势：若某一解析函数f (z )的实部或虚部表示一个二维无源无旋标量势场，则称此f (z )为该场的复势.它的实部和虚部都有重要的物理意义.
设u (x,y ) 为一标量势场，u (x,y )＝常数C 1 表示等势线，C 1取不同值，给出等势线族.若u (x,y )可作为某一解析函数f (z )的实部，也就确定了含有一个任意常数的标量场v (x,y ) .等值线族v (x,y ) ＝C 2中的任意两条等值线都不相交；虽然族中任一条等值线的值不确定，但任意两条等值线之值的差却是严格确定的；该差值常常定义为这两条线（或两条线上各取一个点所得到的两个点）之间的通量或流量.因u (x,y )的梯度矢量场),(y x u ∇各点的矢量方向，就是等值线族v (x,y ) ＝C 2在此点等值线的切线方向.因此所定义的通量或流量与u (x,y )及v (x,y )尤其是),(y x u ∇有密切的关系.
二．平面静电场 u (x,y )和v (x,y )的物理含义
1．等电势线族.（电势的梯度为电场强度矢量）
2．电场线族 — 通量函数.
三．平面无旋流动场
1．等速度势线族.（速度势的梯度为速度矢量）
2．流线族 — 流量函数.
四．平面温度场
1．等温线族.（温速梯度正比热流矢量）
2．热流线族 — 热流量函数.。

第一章 复数与复变函数1.1计算下列各式:(1) (1)(32);i i +--解: (1)(32)(1)322 3.i i i i i +--=+-+=-+(2) ;(1)(2)i i i -- 解:2(13)3.(1)(2)2213101010i i i i i i i i i i i i +-====+----+- (3) 1(1);1z z x iy z -=+≠-+ 解: 2222222211(1)(1)12.11(1)(1)(1)z x iy x iy x iy x y y i z x iy x y x y x y-+--++-+-===++++++++++ 1.2 将直线方程220(0)ax by c a b ++=+≠写成复数形式.[提示: 记.x iy z +=] 解: 由,22z z z z x y i+-== 代入直线方程,得 ()()0,22()20,()()20,0,,2.a b z z z z c iaz az bi z z c a bi z a bi z c Az Az B A a ib B c ++-+=+--+=-+++=++==+=故其中1.3 将圆周方程22()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中z x iy =+).解: 把22,,22z z z z x y x y z z i+-==+=⋅代入圆周方程得: ()()0,222()()20,0.b c az z z z z z d iaz z b ic z b ic z d Az z Bz Bz C ⋅+++-+=⋅+-+++=⋅+++=故其中2,,2.A a B b ic C d ==+=1.4 求下列复数的模与辐角主值.(1) 2;i -解: 2i -== 11arg(2)arctan arctan .22i --==- (2) 13;i -+解: 13i -+== 3arg(13)arctanarctan 3.1i ππ-+=+=-- 1.5 将下列各复数写成三角形式.(1) sin cos ;i αα+解: sin cos 1,i αα+=故sin cos cos()sin().22i i ππαααα+=-+- (2) sin cos .66i ππ-- 解: 2arg(sincos )arctan(cot ),666263i ππππππππ--=-=--=- sin cos 66i ππ--=2222cos()sin()cos()sin .3333i i ππππ-+-=- 1.6 利用复数的三角表示计算下列各式:(1) 31();2解: 由乘幂公式知3cos3()sin 3() 1.33i ππ⎡⎤=⋅-+-=-⎢⎥⎣⎦(2)解: 因32222),4i i π-+=-+=所以由开方公式知3838sin ),0,1,2,3.1616k k i k ππ++=+= 1.7 指出满足下列各式的点z 的轨迹是什么曲线? (1) 1;z i +=解: 以(0,1)-为圆心,1为半径的圆周. (2) 0,zz az az b +++=其中a 为复数,为b 实常数;解: 由题设可知 2()()||0,z a z a b a +++-=即22||||,z a a b +=-若2||,a b =则z 的轨迹为一点;a -若2||,a b >则z 的轨迹为圆,圆心在a -,若2||,a b <无意义.1.8 用参数方程表示下列各曲线.(1) 连接1i +与14i --的直线段;解: 法一：由直线段的复参数方程直接得 211()()[14(1)](1)1(25),01z t z z t z i i t i i i t t =-+=---+++=++--≤≤法二：由直线段的实参数方程间接得平面上连接点(1,1)与(1,4)--的直线段,其参数方程可写为: 1(11),011(41),x t t y t =+--⎧≤≤⎨=+--⎩故其复数形式的参数方程为: 12(15)1(25),01z t i t i i t t =-+-=++--≤≤ (2) 试证0Re limz z z →不存在. 证: 000Re limlim ,z x y z x z x iy →→→=+令,y kx =则上述极限为1,1ki +随k 变化而变化,因而极限不存在.全国2009年4月高等教育自学考试英语语法试题课程代码：00831一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）Choose the best answer from the choices given and put the letters A, B, C or D in the brackets.1.——Did you hear what she said? （ ）——Well, I heard her say something, but I ______．So I don ’t know exactly what she said.A ．would not listenB ．were not listeningC ．had not listenedD ．shouldn ’t listen2．When I got to the top of the mountain, the sun ______．（）A．shoneB．shinesC．has shoneD．was shining3．The building suddenly collapsed while it ______ down．（）A．pulledB．had been pulledC．was being pulledD．was pulled4．Most of my saving ______ in stocks．（）A．has been investedB．is being investedC．have investedD．have been invested5．The manager insisted that the chief engineer ______ testing the new model immediately．（）A．startB．startsC．startedD．will start6．Great as Newton was, many of his principles ______ and modified by contemporary scientists。

§1.4 复球面与无穷远点1. 复球面复数还有一种几何表示法，它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面与球面上的点的对应，着重说明引入无穷远点的合理性.取一个在原点O 与z 平面相切的球面，通过点O 作一垂直于z 平面的直线与球面交于点N ，N 称为北极，O 称为南极（图1.20）.现在用直线段将N 与z 平面上一点z 相连，此线段交球面于一点)(z P ，这样就建立起球面上的点（不包括北极点N ）与复平面上的点间的一一对应.考虑z 平面上一个以原点为中心的圆周C ，在球面上对应的也是一个圆周Γ（即是纬线）.当圆周C 的半径越大时，圆周Γ就越趋于北极N . 因此，北极N 可以看成是与z 平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为∞. 复平面加上点∞后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面.简单说来，扩充复平面的一个几何模型就是复球面.关于新“数” ∞（读着无穷）还需作如下几点规定：（1） 运算00,,0,∞∞∞⋅∞±∞无意义； （2） ∞≠a 时，,0,a a a a ∞=∞=∞±=±∞=∞∞； （3） 0≠b （但可为∞时），∞=∞=∞⋅=⋅∞0,b b b ； （4） ∞的实部、虚部及辅角都无意义，+∞=∞.（5） 复平面上每一条直线都通过点∞，同时，没有一个半平面包含点∞.2. 扩充复平面上的几个概念(1) 扩充复平面上，无穷远点的邻域（对比定义1.1）应理解为以原点为心y图1.20的某圆周的外部，即∞ 的-ε领域)(∞εN 是指合于条件ε1>z 的点集.对比定义1.2及定义1.3，在扩充复平面上，聚点、内点和边界点等概念均可以推广到点∞.于是，复平面以∞为其唯一的边界点；扩充复平面以∞为内点，且它是唯一的无边界的区域.任一简单曲线C ，将扩充z 平面分为两个不相连接的区域，一个是有界区域)(C I 另一个是无界区域)(C E ，它们都以C 为边界（约当定理）.(2) 单连通区域的概念也可以推广到扩充复平面上的区域.对比定义1.11，我们有定义：设D 为扩充复平面上的区域，若在D 内无论怎样画简单闭曲线，其内部或外部（包含无穷远点）仍全含于D ，则称D 为单连通区域.注意 在扩充复平面上，一个圆周的外部（这里把∞算作这个区域的内点）就是一个单连通区域.所以，一个无界区域，考虑它是否单连通，首先要考虑是在通常的复平面上还是在扩充复平面上讲的（在扩充复平面上时，还要问∞是否算在这个区域内）.注 如∞在无界区域的边界上，也就是区域的边界曲线延伸到∞，则不论在通常复平面上还是在扩充复平面上，区域是否为单连通必定是一致的.例 1.18的半平面及例1.20的带形区域就总是单连通的.（3）在扩充复平面上，点∞可以包含在函数的定义域中，函数值也可以取到∞.因此，函数的极限与连续性的概念可以有所推广.在关系式)()(lim 00z f z f z z =→中，如果0z 及)(0z f 之一或者它们同时取∞，就称)(z f 在点0z 为广义连续的，极限称为广义极限.在这种广义的意义下，极限和连续性的δε-说法要相应修改.例如，在∞≠∞∞=)(,0f z 时，)(z f 在∞=0z 连续的δε-说法应该修改为： 任给,0>ε存在,0>δ，只要δ1>z 时就有ε<∞-)()(f z f 例1.29 函数)0)(,)0((1)(=∞∞==f f z z f 在扩充z 平面上广义连续。