2018年高中数学必修一课件 人教版A版 第二单元 §2.3 幂函数

规律方法
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为： ①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图 低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离 x 轴(简 记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系，即根据幂函数在 第一象限内的图象(类似于 y＝x 或
n
1 当 n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线 C3 的 n＝－2，曲 线 C4 的 n＝－2，故选 B．
答案 B
(2)解
1 设 f(x)＝x ，g(x)＝x .∵( 2) ＝2，(－2) ＝－2，∴α＝2，
α β α β
－
β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x 1.分别作出它 们的图象，如图所示．由图象知： ①当 x∈(－∞， 0)∪(1， ＋∞)时， f(x)>g(x)； ②当 x＝1 时，f(x)＝g(x)； ③当 x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
1 (2)易知 f(x)＝x ＝x3在(0，＋∞)上是减函数，又 3.17<3.71，所
－3
以 f(3.17)>f(3.71)，即 3.17－3>3.71－3.
答案 (1)A (2)3.17－3>3.71－3
题型一 幂函数的概念
【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂 )
函数的个数为(
A．0
C．2
B．1
D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
有y＝x－2是幂函数，所以选
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0， 解得m＝5或m＝－1. 答案 (1)B (2)5或－1
{y|y∈R， __________ 且y≠0} __________ 奇 ____
幂函数
y＝x
y＝x
2
y＝x
3
1 y ＝x 2
y＝x－1 x∈(0，＋
x∈[0，＋ 单调性
增 ∞)，_____ 增 ____
x∈(－∞，
减 ∞)， ____ 增 ____ 增 __________ x∈(－
∞，0)， 减 ______
2
y＝x
3
1 y＝x2
y＝x
－1
R ____
R ____ [0，＋∞) _________ 偶 ____
__________ (－∞，0) ，＋∞) R [0 ____ ________ ∪ (0，＋∞) _________
R ____
奇 ____
R ____
奇 ____
[0 ，＋∞) ________ 非奇非偶 ________
§2.3
学习目标
幂函数
1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式 ( 易错
2 3
1 1 点).2.结合幂函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝x2 的图象，掌
握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大 小(重点)．
预习教材 P77－P78，完成下面问题： 知识点 1 幂函数的概念
4 5
符合幂函数的定义，所以是幂函数；
－
幂函数中自变量 x 是底数，而不是指数，所以 y＝2 x 不
是幂函数； (3)× 幂函数中 x 的系数必须为 1，所以
α
1 y＝－x2
不是幂函数．
知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：
(2)幂函数的性质：
幂函数 定义域 值域 奇偶性 y＝x y＝x
－1
1 y＝x2
或 y＝x3)来判断．
【训练 2】 象，则(
如图是函数 y＝x )
m n
(m，n∈N*，m，n 互质)的图
m A．m，n 是奇数，且 n <1 m B．m 是偶数，n 是奇数，且 n >1 m C．m 是偶数，n 是奇数，且 n <1 m D．m 是奇数，n 是偶数，且 n >1
(2)点(
1 2，2)与点－2，－2分别在幂函数
f(x)，g(x)的图象上，
问当 x 为何值时， 分别有： ①f(x)>g(x)； ②f(x)＝g(x)； ③f(x)<g(x)．
(1)解析 根据幂函数 y＝xn 的性质， 在第一象限内的图象当 n>0 1 时，n 越大，y＝x 递增速度越快，故 C1 的 n＝2，C2 的 n＝2；
规律方法 判断函数为幂函数的方法 (1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才 是幂函数，否则就不是幂函数．
(2) 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y ＝
xα(α为常数) 的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且： ①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝ (3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5„形式的函数都不是幂函数．反过 来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．
减 0]，______
公共点
(1,1) 都经过点 __________
【预习评价】 (1)设函数
5 f(x)＝x3
，则 f(x)是(
)
A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 (2)3.17－3 与 3.71－3 的大小关系为________．
解析 函数．
(1)易知 f(x)的定义域为 R，又 f(－x)＝－f(x)，故 f(x)是奇
1 答案 3
题型二 幂函数的图象及应用
【例 2】 (1)如图所示， 图中的曲线是幂函数 y＝xn 在第一象限 1 的图象，已知 n 取± 2，± 2四个值，则相应于 C1，C2，C3， C4 的 n 依次为( )
1 1 A．－2，－2，2，2 1 1 B．2，2，－2，－2 1 1 C．－2，－2,2，2 1 1 D．2，2，－2，－2
y＝xα 一般地，函数 __________ 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α
是常数．
【预习评价】 (1)函数 y＝x
(正确的打“√”，错误的打“×”)
－
4 5
是幂函数．(
) ) )
(2)函数 y＝2－x 是幂函数．( (3)函数
1 y＝－x2
是幂函数．(
提示 (2)×
(1)√
函数 y＝x
－
【训练 1】 若函数 f(x)是幂函数，且满足 f(4)＝3f(2)，则 值等于________．
解析 设 f(x)＝xα，因为 f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，
1 f2的
解得：α＝log23，
1 1 1 log23 ∴f 2 ＝ 2 ＝3.