结构力学课件4

ED
'
DC DD d
M = Fd
=
DC D d
D
W = M
EC '
广义力为力偶M，广义 位移为CD杆的转角φ
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（三）、实功与虚功 力在本身引起的位移上作的功。 实功： 例如：一个体系 W=
力在其它 虚功： 因素引起的位移上作的 的两种彼此无关的状态。
位移状态 力状态
功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
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三、单位荷载法
P1
t1
P2 t2
K
ΔKH
需首先虚拟力状态
在欲求位移处沿所求位移方向 加上相应的广义单位力P=1. 一个体系，两种状态
W = 1 D R 1 c1 R 2 c 2
K‘ Ε2γ2κ2 位移状态 2 c2 c1
实际位移状态 虚拟力状态
虚功

du
Rc
一般可写为： W
V =
例如：
W12=P1· 2 △
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§4—２变形体系的虚功原理和单位荷载法
一、虚应变能
当结构的力状态的外力因结构的位移状态的 位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相 对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以v 表示。
力状态
位移状态
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力状态
位移状态
微段上的虚应变能表示为
d V = F N 1 d u 2 FQ 1 d v 2 M 1 d 2
FN FNP EA dx =
真实位 移状态
D =


FN FNP l EA
在计算由于内力所引起的变形时，没有考虑杆件的曲 率对变形的影响，因此只有对直杆才正确，应用于曲杆计 算则是近似的。
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例4—1 ：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP须分段写 MP（x1）=Px/2 0≤x1≤l/2 MP（x2）=P（l－x）/2 l/2 ≤x2≤l
dx =
1 EI
( M M P dx
'

MM
2 3 1 3
" P
dx)
1 3 d
ya =
P
c c
dx =
1 EI
(
al 2
ya
bl 2
yb )
yb =
2 3
d
均布荷载作用区段的弯矩图与直线 段图乘。
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几种常见图形的面积和形心的位置： a b h h
l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
则各杆弯矩方程为:
AB段：
x,
BC段：
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
， BC段：
M P=
3. 代入公式得
△Ay=
2 qx2 dx qL dx = (-x)(- 2 ) + (-L)(- 2 ) EI EI
()
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例 4—3 求图示桁架下弦 5的挠度。设各杆的截面面 积 A = 0.12 m 0.12 m = 0.014 m ， E = 850 10 P 。 解：虚拟状态如图b所示。 实际状态和虚拟状态所产 生的杆件内力均列在表中， 根据公式：
t t B β ΔB Δ B m P
Δ
B
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5）两种情况的功 广义力是等值、反 向的一对力F
W = F D A F D B = F (D A D B )
桁架结构，在C、D上 作用与杆垂直的等值反 向的两个力F
W = F D C F D D = F (D C D D ) = F
M
dx
EI FNP EA k FQ P GA dx dx
注：EI、EA、GA 是杆件截面抗弯、拉、 剪刚度； k是截面形状系 数k矩=1.2， k圆 =10/9。
FN FNP dx k FQ FQ P dx
EI FNP EA k FQ P GA
真实位 移状态
注意到 EI EA GA 无支座移动 （1） FNP、FQP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的 原因；虚设单位荷载引起的内力是 M \ F N \ FQ
1 Pa a 2 a D= 2 2 EI 32 = 23 Pa 24 EI
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A
相对位移
△CD= △C+ △D
线位移
角位移
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3.
计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打
△ 起拱高度
a）荷载作用； 4、产生位移的原因主要有三种： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
2
下基础。
W=Ｖ
称为虚功方程，式中：
W ——外力虚功 Ｖ ——内力虚功（虚应变能）
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对于杆件结构虚功原理
对于直杆构成的结构
杆件的虚功方程
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虚功原理的两种用法
1．虚设位移状态——可求实际力状态的未知力。 这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用 虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。 2．虚设力状态——可求实际位移状态的位移。这 是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚 功原理，这种形式的应用即为虚力原理。
1 EI
( M M PΒιβλιοθήκη dx 'MM
2 3 1 3
" P
dx)
1 3 d
MM EI
P
dx =
1 EI
(
al 2
ya
bl 2
ya =
c c
yb )
yb =
2 3
d
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两个图形都呈直线变化，但均含有 不同符号的两部分，图乘时也将其中 一图形分解为三角形。


MM EI
MM EI
P
§4—5 互等定理
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§4—1 结构位移和虚功的概念
一、结构位移 1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形和位移。 变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。
P A
△Ay
△Ax
□
△A
A′
2. 位移的分类
线位移： 角位移： 绝对位移
A
(△A)
△Ay △Ax C A △C C′ P △D D′ D B
P=1
l 1/l
1/l
求AB两截面 的相对转角
求AB两点 连线的转角
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§4—3荷载作用下的位移计算
D =
M d

F
P
N
du
F
Q
dv

Rc
FN FQ M
k = = =
M
P
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
d = k dx = du = dx = dv = dx =
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休息一下
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§4—4 图乘法
1 dx EI M i M k dx EI EI M i是直线 B 1 1 B A M k xtgadx = EI tga A xM k dx x EI y x0 1 1 = tga ×AP x0 = APyC EI EI α AP yC MM P M D = dx = Mi=xtgα EI EI 注： ds MiMk
P=1
M \ FQ \ F N
虚拟力状态 1
R2
返回 R
1
2. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移 不同，设 置相应的虚拟力状态。
例如:
广义力与 广义位移
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A B 位移方向未知 时无法直接虚 拟单位荷载！
P=1
求A点的 水平位移
m=1
求A截面 的转角
m=1
m=1 P=1 求AB两点 的相对位移
D = MM
P
dx
（2）公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位 移的影响。 返回
荷载作用下的位移计算
（3）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的
Δ= MM P dx EI
FN FQ M
k = = =
M
P
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
EI FNP EA k FQ P GA
（4）桁架
每一杆的内力及 截面都沿杆长不变
直杆
MiMk
EI =C
Mk
dx
AP
Mi
yC
x
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 ②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 ③竖标yC取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积AP与竖标yC在杆的同侧， AP yC 取正号，否则取负号。回 返
y0=x0tgα
K‘
杆件结构位移计算的一般公式 通过虚设单位广义力作用的力 状态，利用虚功方程求位移的方 法—单位荷载法。 注:1) 适用于静定结构和超静定结构; 2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响； 5) 一般公式右边四项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原 理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然 后讨论静定结构的位移计算。
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二、功和虚功 （一）、功的概念 定义：一个不变的集中力所做的功等于该力的大小与其作 用点沿力作用线方向的分位移的乘积。
Ｗ=F△
△是力作用线方向的分位移
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（二）、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力相应的因子，称为广义力F； 与位移相应的因子，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关系是： 它们的乘积是虚功。即：W=FΔ 1）广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的全位移在 力的方向上的分量。 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。