2007年高考文科数学试题及参考答案(天津卷)

2007年高考数学知识与能力测试题（一）（文 科）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1、设集合{}{}4|N 0)1(|2<<-=x x x x x M ＝，，则（ ）. A 、φ=⋂N M B 、M N M =⋂ C 、M N M =⋃ D 、R N M =⋃ 2、化简ii +-13＝（ ）.A 、i 21+-B 、i 21-C 、i 21+D 、i 21--3、等差数列{}为则中，593,19,7a a a a n ==（ ）. A 、13 B 、12 C 、11 D 、104、原命题：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞bc 2”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个.A 、0B 、1C 、2D 、45、设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角α为（ ）A 、6π B 、4π C 、3πD 、π1256、如图1，该程序运行后输出的结果为（ ）A 、1B 、2C 、4D 、16(图1)7、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A 、π8B 、π6C 、π4D 、π8、若焦点在x 轴上的椭圆 1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ）. A 、23 B 、3 C 、38 D 、329、不等式组⎩⎨⎧≤≤-≥+--+210)1)(1(x y x y x 所表示的平面区域是（ ）A 、一个三角形B 、一个梯形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形10、已知 则实数　时均有 当 且a x f x a x x f a a x ,21)()1,1(,)(,102<-∈-=≠>的取值范围是（ ）A 、[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，221 0B 、(]4,11,41 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ C 、(]2 11,21， ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D 、[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛， 441,0第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11、函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为 12、定义运算=⊕--=⊕6cos6sin,22ππ则b ab a b a13、设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，下面给出四个命题；①若n m n m //,////,//　则　且 βαβα； ②若n m n m ⊥⊥⊥⊥　则　且 ,,βαβα ③若n m n m ⊥⊥　则　且 ,////,βαβα ④若ββαβα⊥⊥=⊥n m n m 则　且 ,, 其中真命题的序号是14、▲选做题：在下面两道题中选做一题，两道题都选的只计算前一题的得分。

1斯（St）=10-4米2/秒（m2/s）=1厘米2/秒（cm2/s）1英尺2/秒（ft2/s）=9.29030×10-2米2/秒（m2/s）1厘斯（cSt）=10-6米2/秒（m2/s）=1毫米2/秒（mm2/s）体积换算1美吉耳（gi）=0.118升（1）1美品脱（pt）=0.473升（1）1美夸脱（qt）=0.946升（1）1美加仑（gal）=3.785升（1）1桶（bbl）=0.159立方米（m3）=42美加仑（gal）1英亩·英尺＝1234立方米（m3）1立方英寸（in3）=16.3871立方厘米（cm3）1英加仑（gal）=4.546升（1）10亿立方英尺（bcf）=2831.7万立方米（m3）1万亿立方英尺（tcf）=283.17亿立方米（m3）1百万立方英尺（MMcf）＝2.8317万立方米（m3）1千立方英尺（mcf）=28.317立方米（m3）1立方英尺（ft3）=0.0283立方米（m3）=28.317升（liter）1立方米（m3）=1000升（liter）=35.315立方英尺（ft3）=6.29桶（bbl）压力换算压力1巴（bar）=105帕（Pa）1达因/厘米2（dyn/cm2）=0.1帕（Pa）1托（Torr）=133.322帕（Pa）1毫米汞柱（mmHg）=133.322帕（Pa）1毫米水柱（mmH2O）=9.80665帕（Pa）1工程大气压=98.0665千帕（kPa）1千帕（kPa）=0.145磅力/英寸2（psi）=0.0102千克力/厘米2（kgf/cm2）=0.0098大气压（atm）1磅力/英寸2（psi）=6.895千帕（kPa）=0.0703千克力/厘米2（kg/cm2）=0.0689巴（bar）=0.068大气压（atm）1物理大气压（atm）=101.325千帕（kPa）=14.696磅/英寸2（psi）=1.0333巴（bar）动力粘度换算动力粘度1泊（P）＝0.1帕·秒（Pa·s）1厘泊（cP）=10-3帕·秒（Pa·s）1磅力秒/英尺2（lbf·s/ft2）=47.8803帕·秒（Pa·s）1千克力秒/米2（kgf·s、m2）=9.80665帕·秒（Pa·s）重量百分比这是专业写法1WT%=10000PPMPPM=mg/kg=1/1000000你上面提到的界限0.4%就是4000PPM面积换算1平方公里（km2）=100公顷（ha）=247.1英亩（acre）=0.386平方英里（mile2）1平方米（m2）=10.764平方英尺（ft2）1平方英寸（in2）=6.452平方厘米（cm2）1公顷（ha）=10000平方米（m2）=2.471英亩（acre）1英亩（acre）=0.4047公顷（ha）=4.047×10-3平方公里（km2）=4047平方米（m2）1英亩（acre）=0.4047公顷（ha）=4.047×10-3平方公里（km2）=4047平方米（m2）1平方英尺（ft2）=0.093平方米(m2)1平方米（m2）=10.764平方英尺（ft2）1平方码（yd2）=0.8361平方米（m2）1平方英里（mile2）=2.590平方公里（km2）长度换算1千米（km）=0.621英里（mile）1米（m）=3.281英尺（ft）=1.094码（yd）1厘米（cm）=0.394英寸（in）1英寸（in）=2.54厘米（cm）1海里（n mile）=1.852千米（km）1英寻（fm）=1.829（m）1码（yd）=3英尺（ft）1杆（rad）=16.5英尺（ft）1英里（mile）=1.609千米（km）1英尺（ft）=12英寸（in）1英里（mile）=5280英尺（ft）1海里（n mile）=1.1516英里（mile）质量换算1长吨（long ton）=1.016吨（t）1千克（kg）=2.205磅（lb）1磅（lb）=0.454千克（kg）[常衡] 1盎司（oz）=28.350克(g)1短吨（sh.ton）=0.907吨（t）=2000磅（lb）1吨（t）=1000千克（kg）=2205磅（lb）=1.102短吨（sh.ton）=0.984长吨（long ton）密度换算1磅/英尺3（lb/ft3）=16.02千克/米3（kg/m3）API度＝141.5/15.5℃时的比重－131.51磅/英加仑（lb/gal）=99.776千克/米3（kg/m3）1波美密度（B）＝140/15.5℃时的比重－1301磅/英寸3（lb/in3）=27679.9千克/米3（kg/m3）1磅/美加仑（lb/gal）=119.826千克/米3（kg/m3）1磅/（石油）桶（lb/bbl）=2.853千克/米3（kg/m3）1千克/米3（kg/m3）=0.001克/厘米3（g/cm3）=0.0624磅/英尺3（lb/ft3）力换算1牛顿（N）＝0.225磅力（lbf）=0.102千克力（kgf）1千克力（kgf）=9.81牛（N）1磅力（lbf）=4.45牛顿（N）1达因（dyn）=10-5牛顿（N）温度换算K＝5/9（°F+459.67）K=℃+273.15n℃=(5/9·n+32) °F n°F=[(n-32)×5/9]℃1°F=5/9℃（温度差）传热系数换算1千卡/米2·时（kcal/m2·h）=1.16279瓦/米2（w/m2）1千卡/（米2·时·℃）〔1kcal/(m2·h·℃)〕＝1.16279瓦/（米2·开尔文）〔w/(m2·K)〕1英热单位/（英尺2·时·°F）〔Btu/(ft2·h·°F)〕=5.67826瓦/（米2·开尔文）〔（w/m2·K）〕1米2·时·℃/千卡（m2·h·℃/kcal）=0.86000米2·开尔文/瓦（m2·K/W）热导率换算1千卡（米·时·℃）〔kcal/(m·h·℃)〕＝1.16279瓦/（米·开尔文）〔W/(m·K)〕1英热单位/（英尺·时·°F）〔But/(ft·h·°F) ＝1.7303瓦/（米·开尔文）〔W/(m·K)〕比容热换算1千卡/（千克·℃）〔kcal/(kg·℃)〕＝1英热单位/（磅·°F）〔Btu/(lb·°F)〕＝4186.8焦耳/（千克·开尔文）〔J/（kg·K）〕热功换算1卡（cal）=4.1868焦耳（J）1大卡=4186.75焦耳（J）1千克力米（kgf·m）=9.80665焦耳（J）1英热单位（Btu）＝1055.06焦耳（J）1千瓦小时（kW·h）=3.6×106焦耳（J）1英尺磅力（ft·lbf）=1.35582焦耳（J）1米制马力小时（hp·h）=2.64779×106焦耳（J）1英马力小时（UKHp·h）=2.68452×106焦耳1焦耳＝0.10204千克·米＝2.778×10－7千瓦·小时＝3.777×10－7公制马力小时＝3.723×10－7英制马力小时＝2.389×10－4千卡=9.48×10－4英热单位功率换算1英热单位/时（Btu/h）=0.293071瓦（W）1千克力·米/秒（kgf·m/s）=9.80665瓦（w）1卡/秒（cal/s）＝4.1868瓦（W）1米制马力（hp）=735.499瓦（W）速度换算1英里/时（mile/h）=0.44704米/秒（m/s）1英尺/秒（ft/s）=0.3048米/秒（m/s）渗透率换算1达西＝1000毫达西1平方厘米（cm2）＝9.81×107达西地温梯度换算1°F/100英尺＝1.8℃/100米（℃/m）1℃/公里＝2.9°F/英里（°F/mile）=0.055°F/100英尺（°F/ft）油气产量换算1桶（bbl）=0.14吨（t）（原油，全球平均）1万亿立方英尺/日（tcfd）=283.2亿立方米/日（m3/d）=10.336万亿立方米/年（m3/a）10亿立方英尺/日（bcfd）=0.2832亿立方米/日（m3/d）=103.36亿立方米/年（m3/a）1百万立方英尺/日（MMcfd）=2.832万立方米/日（m3/d）=1033.55万立方米/年（m3/a）1千立方英尺/日（Mcfd）=28.32立方米/日（m3/d）=1.0336万立米/年（m3/a）1桶/日（bpd）=50吨/年（t/a）（原油，全球平均）1吨（t）=7.3桶（bbl）(原油，全球平均)气油比换算1立方英尺/桶（cuft/bbl）=0.2067立方米/吨（m3/t）热值换算1桶原油＝5.8×106英热单位（Btu）1吨煤=2.406×107英热单位（Btu）1立方米湿气＝3.909×104英热单位（Btu）1千瓦小时水电＝1.0235×104英热（Btu）1立方米干气＝3.577×104英热单位（Btu）（以上为1990年美国平均热值）（资料来源：美国国家标准局）热当量换算1桶原油＝5800立方英尺天然气（按平均热值计算）1立方米天然气＝1.3300千克标准煤1千克原油＝1.4286千克标准煤压力单位换算表单位Pa KPa MPa bar mbar kgf/cm2 cmH2O mmH2O mmHg p.s.iPa 1 10-3 10-6 10-5 10-2 10.2×10-6 1.02×10-3 101.97×10-3 7.5×10-3 0.15×10-3KPa103110-310-21010.2×10-3 10.2 101.97 7.5 0.15MPa0610311010410.21.02×103 101.97×103 7.5×1030.15×103bar 10510210-111031.021.02×103 10.2×103 750.0614.5mbar 10210-110-41011.02×10-31.0210.20.7514.5×10-3kgf/cm2 98066.5 98.0798.07×10-30.98980.671100010.000735.5614.22cmH2O98.0698.07×10-398.07×10-60.98×10-3 0.9810-3 1 10 0.74 14.22×103mmH2O9.8069.807×10-39.807×10-698.07×10-698.07×10-3 10-4 0.1 173.56×10-31.42×10-3mmHg133.32133.32×10-3133.32×10-61.33×10-31.331.36×10-31.36 13.6 119.34×10-3p.s.i6894.766.896.89×10-368.95×10-368.9570.31×10-370.31703.0751.71114.5psi=0.1Mpa 1bar=0.1Mpa30psi=0.21mpa,7bar=0.7mpa现将单位的换算转摘如下:Bar---国际标准组织定义的压力单位。

绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分，考试用时150分钟。

第Ⅰ卷1至8页，第Ⅱ卷9至16页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3.本卷共35题，每题4分，共140分。

在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

读图1回答1~2题。

图11.甲、乙两图所示大洲的人口特点是A.城市人口若悬河B.生育率较低C.人口平均密度大D.老龄化程度高2.李明同学发现乙、丙、丁三图所示现象有因果联系，地理老师认为有道理。

此因果顺序应该是A.乙→丙→丁B.丙→丁→乙C.丙→乙→丁D.丁→丙→乙读图2和图3，回答3~5题。

3.图2所示季节，一位俄罗斯专家在e地看到日落正西方，之后1小时下列各地发生的现象是A.a——日光直射B.b——夕阳西下C.c——旭日东升D.d——午阳低垂4.在之后的两个月中，下列变化规律符合实际的是A.a地白昼逐渐变长B.a、c两地气温都在下降C.b地牧草日益茂盛D.c、d两地河流水位升高5.俄罗斯专家发现图3中标示的某种地理事物与实际分布不符．．。

它是图4显示了2001年至2005年格陵兰岛某冰川末端不断消融后退的“足迹”。

读图4回答6~7题。

6.据图中M、N两点量算，此期间该冰川末端年平均后退的距离约为A.0.4 kmB.0.5kmC.1.2kmD.1.5km7.若全球冰川大规模融化，可能产生的影响有A.极地高压增强B.沿海平原扩大C.陆地淡水减少D.植被类型增多图5是喜马拉雅山区某交通不便谷地中的景观图。

读图回答8~9题。

8.图中地质构造形成并出露地表的主要原因是岩层A.受挤压，经侵蚀B.受挤压，经风化C.受张力，经搬运D.受张力，经沉积9.形成图中乡村聚落最基本的环境条件应该是A.地质灾害少B.土地可以耕牧C.河湖密度大D.旅游资源丰富景假，某地理小组在图6（冀东某地等高线地形图）所示地区野外考察。

自然之声
初三八班韦郑云婷指导老师陈淑仙
人，一种受到大自然眷顾的生物体，在长久的进化中脱颖而出，成为地球上最为高等的物种，然而，自然之花被人类无节制地索取，伤害，也逐渐地凋零、萎靡、死亡。

喜悦的蝉鸣总能打破这样宁静的夏夜。

雨后，夹杂着泥土气味的空气弥漫在四周，风掠过，她在每一个枝头的每一片树叶上都留下了那个带有茉莉花想的吻痕。

不知为何？夏夜的凉爽不知道在什么时候逐渐淡却。

粗重的尘土扑风卷气，似乎里面寄托着旧时的哀愁、伤心与无奈，让人难过，落泪。

白昼的炎热一直留到了晚上，他们使夜里仅存的美好变得杂乱无章，细细一想，追溯根源，原来是少了房后的那片葛葛清荫。

风儿像往常一样走过了这里，可它却不像曾经那个温柔的姑娘，带着她那满腔的怨恨撕破喉咙的嚎叫着，呐喊着，像鬼使一般的吼叫着，反抗着世界的不公，那个声音让人发颤，恐惧。

曾经温柔的她，会穿过我的发丝，俯下身来，在我的耳际细细的低语，聊着她走过河边柳树旁柳叶戚戚促促的话语。

而此时，暴躁的她少了那绿荫不再说话，只有无奈和哭泣。

在我家房后有个小山坡，坡上绿树浓荫，阳光会穿过稀稀疏疏的空隙，把树的影子映在窗上，那样的感觉无比惬意。

直到有一天，坡上留下了土红色的割痕，绿荫不在，使得这些土黄色的皮肤龟裂，破损。

没想到，自己一直深爱的人类却是用这样残酷的方式让他痛不欲生。

山与水，树与花许下诺言，将永远守护这片清荫，然而他们用生命所保护的东西，只是因为人类的需求而烟消云散。

人类一直受到大自然的恩惠，他们残忍的将这些抛弃，无情地转过身，不向后看一眼被他们所伤害的支离破碎的世界。

自然之花总会再次开放，但最后的代价是以人类的血液去浇灌，以人类的死亡去祭奠。

1综合练习一一、选择题：1.设2)1(x x f =-，则=+)(0x x f ∆（A）.(A)20)1(+∆+x x ；(B)20)1(-∆+x x ；(C)1)(20+∆+x x ；(D)1)(20-∆-x x .2.x x x 1sin lim 0→＝（B）.（提示：运用夹逼定理）(A)∞；(B)0；(C)21；(D)1.3.已知x x f 1)(=，则x x -f x x f x ∆∆∆)()( lim 0+→＝（C）.(A)21x ；(B)x ；(C)21x -；(D)x -.4.函数)(x f 在点0x 处的左右极限都存在，是)(x f 在点0x 有极限的（A）条件；(A)必要；(B)充分；(C)充要；(D)无关.5.]ln )1[ln(lim ∞→n -n n n +=（D）(A)∞；(B)0；(C)e ；(D)1.二、求下列极限：1.)11-(2 lim 2x +∞→;解：原式＝)11-(2 lim 22∞→x x x +=2-2∞→∞→1 lim 1lim x x x x +=22.x x x e e x -+∞→+cos lim ;解：01>+-x x e e ,1cos 1≤≤-x xx x x x x e e e e x e e ---+≤+≤+-∴1cos 1 01 lim 1lim ∞→∞→=+=+-+-+x x x x x x （－又，因此原式＝0cos 1 lim ∞→=•++x e e x x x 3.x x x x sin 2cos 1 lim 0-→;2解：原式＝2sin 2 lim sin sin 2 lim 020==→→xx x x x x x 4.x x x 10)21( lim -→;解：原式＝2210])21( [ lim ---→=-e x x 5. x x ax a x (lim -+∞→;解：原式＝a a x x ax x a x a x x x x x e xa x a x a x a x a x a 2])1[(lim ])1[(lim ])1[(]1[(lim )1()1(lim =-++=-++=-+--∞→∞→--∞→∞→6.)11( lim 22+--++∞→x x x x x .解：原式＝1)11( 2lim 22=+-+++∞→x x x x x x 三、设⎩⎨⎧≥+<=0,0, )(x x a x e x f x ，应当如何选择数a ，使得)(x f 成为区间),(+∞-∞内的连续函数.解：由初等函数的连续性，知。

天津2007高考数学真题2007年天津高考数学真题2007年的天津高考数学真题分为选择题和非选择题两部分，本文将为您详细解析这份考题。

第一部分：选择题1.设函数f(x)=x²-3x+2，则f(f(x))=（）A. x²-3x+2B. x²-3x+2C. x²-3xD. x²-3x+1解析：首先计算f(x)，得到f(x)=x²-3x+2。

然后将f(x)带入f(f(x))中，得到f(f(x))=(x²-3x+2)²-3(x²-3x+2)+2。

化简得f(f(x))=x⁴-6x³+11x²-10x+2。

所以答案为A.2.在直角坐标系中，点A(1,2)、B(-3,2)、C(-3,-2)、D(1, -2)依次连接，得一个四边形，如果四条边相等，那么四边形的形状是（）A. 长方形B. 正方形C. 菱形D. 正菱形解析：计算AB, BC, CD, DA的长度，发现它们都等于4。

而对角线AC的长度为4√2，对角线BD的长度为4√2，故四边形是正方形。

所以答案为B.3.若a+b+c=3，a²+b²+c²=7，a⁵+b⁵+c⁵=15，那么5(a+b+c)-7(a²+b²+c²)+15(a⁵+b⁵+c⁵)的值为（）A. -69B. 69C. 75D. -75解析：利用韦达定理，设t是a,b,c的一个常数，所以a+b+c=3，a²+b²+c²=7，a³+b³+c³-3abc=3t，a⁴+b⁴+c⁴-3(ab+bc+ac)=7t。

因为a⁵+b⁵+c⁵-5(a⁴+b⁴+c⁴)+5(a³+b³+c³)-15abc=15t，代入t=0得到a⁵+b⁵+c⁵=15。

所以代入式子得5(a+b+c)-7(a²+b²+c²)+15(a⁵+b⁵+c⁵)=15（5×3-7×7+15×15）=69。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}12S x x =∈+R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T = （ ） A ．{}2 B ．{}12，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， （2）设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≤，≥则目标函数24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14（3） “2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（4）设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<（5）函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是（ ） A ．24(2)xy x =+> B ．24(0)xy x =+> C ．24(2)x y x =->D ．24(0)xy x =->（6）设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥ D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥（7）设双曲线22221(00)x y a b ab-=>>，的离心率为3，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224xy-= Ｂ．2214896xy-=Ｃ．222133xy -= Ｄ．22136xy-=（8）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ）Ａ．2 Ｂ．4Ｃ．6 Ｄ．8（9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数（10）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)2⎡+⎣，∞B ．[)2+，∞C ．(]02，D ．2120⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦，，第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下： 分组 [)90100，[)100110，[)110120， [)120130， [)130140， [)140150， 频数1 2 3 10 1则这堆苹果中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的 ％．（12）921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．（14）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线A B 的方程是 ．（15）在A B C △中，2A B =，3A C =，D 是边B C 的中点，则AD BC =．（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 在A B C △中，已知2A C =，3B C =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． （18）（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C D -中，P A ⊥底面A B C D ，AB AD AC CD ⊥⊥，，60A B C ∠=°，P A A B B C ==，E 是P C 的中点．（Ⅰ）求P B 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明A E ⊥平面PC D ； （Ⅲ）求二面角A P D C --的大小．（20）（本小题满分12分）ABCDPE在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立． （21）（本小题满分14分）设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立． （22）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212A F F F ⊥，原点O 到直线1A F 的距离为113O F ．（Ⅰ）证明2a b =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B （9）A （10）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． （11）70（12）84 （13）14π （14）30x y +=（15）52（16）630三、解答题（17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：在A B C △中，2243sin 1cos 155A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，由正弦定理，sin sin BC AC AB=．所以232sin sin 355A CB A B C==⨯=．（Ⅱ）解：因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是22221cos 1sin 155B B ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，22117cos 22cos 121525B B =-=⨯-=，221421sin 22sin cos 25515B B B ==⨯⨯=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭4213171252252=⨯+⨯1271750+=．（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且2327C 1()C7P A ==，2329C 5()C18P B ==，故取出的4个球均为红球的概率是155()()()718126P A B P A P B ==⨯=．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且1123442279C C C 2()C C 21P C == ，1125242275C C C 10()C C 63P D == ． 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363P C D P C P D +=+=+=．（19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）解：在四棱锥P A B C D -中，因P A ⊥底面A B C D ，A B ⊂平面A B C D ，故P A A B⊥． 又AB AD ⊥，PA AD A = ，从而AB ⊥平面PAD ．故P B 在平面PAD 内的射影为P A ，从而APB ∠为P B 和平面PAD 所成的角． 在R t PAB △中，AB PA =，故45APB = ∠． 所以P B 和平面PAD 所成的角的大小为45 ． （Ⅱ）证明：在四棱锥P A B C D -中，因P A ⊥底面A B C D ，C D ⊂平面A B C D ，故C D P A ⊥． 由条件C D PC ⊥，PA AC A = ，C D ∴⊥面PAC ． 又A E ⊂面PAC ，A E C D ∴⊥．由PA AB BC = ，60ABC =∠，可得A C P A =．E 是P C 的中点，A E P C ∴⊥，PC CD C ∴= ．综上得A E ⊥平面PC D ．（Ⅲ）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结A M ．由（Ⅱ）知，A E ⊥平面PC D ，A M 在平面PC D 内的射影是EM ，则AM PD ⊥． 因此AM E ∠是二面角A P D C --的平面角．由已知，可得30CAD =∠．设A C a =，可得P A a =，233AD a =，213PD a =，22AE a =．在R t AD P △中，AM PD ⊥ ，AM PD PA AD ∴= ，则ABCDPEM232737213a aPA AD AM a PD a == ． 在R t A E M △中，14sin 4AE AM E AM==．所以二面角A P D C --的大小14arcsin 4．（20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32nn n n S -+=+．（Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ， 1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．（Ⅰ）解：当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．（Ⅱ）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3a x =或x a =．由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：x 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，3a3a a ⎛⎫⎪⎝⎭， a ()a +，∞()f x '-0 + 0-因此，函数()f x 在3a x =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且 34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．（2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：x()a -∞，a 3aa ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3a3a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞ ()f x '-0 + 0-因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3a x =处取得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且 34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：由3a >，得13a >，当[]10k ∈-，时，cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤．由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤ 即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y ab+=，222221a b y ab-+=，解得2by a =，从而得到2b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2by x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1A F 的距离为113O F ，即242234c b c b a c=+，将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即2a b =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，过点O 作1O B AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△，故211B O F A O F F A=由椭圆定义得122AF AF a +=，又113B O O F =，所以2212132F A F A F Aa F A==-，解得22a F A =，而22bF A a=，得22ba a=，即2a b =．（Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=． 当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ①②的解．当00y ≠时，由①式得 200t x x y y -=代入②式，得22220022t x x x b y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，即 22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=，于是201222042t x x x x y+=+，422012220222t b y x x x y-=+2201121201t x x t x x y y y y --=422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭AO1F 2FHxy4220220022t b x x y -=+．若12OQ OQ ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++．所以，42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=，得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为63t b =．当00y =时，必有00x ≠，同理求得在区间(0)b ，内的解为63t b =． 另一方面，当63t b =时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥． 综上所述，6(0)3t b b =∈，使得所述命题成立．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p n n -=-= ，，，， 一、选择题（1）设{}210S x x =+>，{}350T x x =-<，则S T = （ ）Ａ．∅Ｂ．12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭Ｃ．53x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭Ｄ．1523x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（ ） Ａ．513Ｂ．513-Ｃ．512 Ｄ．512-（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） Ａ．垂直Ｂ．不垂直也不平行Ｃ．平行且同向Ｄ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）Ａ．221412x y -= Ｂ．221124x y -= Ｃ．221106x y -= Ｄ．221610x y -= （5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） Ａ．36种 Ｂ．48种 Ｃ．96种 Ｄ．192种 （6）下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）Ａ．(02)，Ｂ．(20)-，Ｃ．(02)-，Ｄ．(20)，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）Ａ．15Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） Ｂ．2Ｃ．Ｄ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件（10）函数22cos y x =的一个单调增区间是（ ） Ａ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｃ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，（11）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19Ｂ．29Ｃ．13Ｄ．23（12）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ）1A1D1C 1BDC A。

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p n n -=-= ，，，， 一、选择题（1）设{}210S x x =+>，{}350T x x =-<，则S T = （ ）Ａ．∅Ｂ．12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭Ｃ．53x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭Ｄ．1523x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（ ） Ａ．513Ｂ．513-Ｃ．512 Ｄ．512-（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） Ａ．垂直Ｂ．不垂直也不平行Ｃ．平行且同向Ｄ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） Ａ．221412x y -= Ｂ．221124x y -= Ｃ．221106x y -= Ｄ．221610x y -=（5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） Ａ．36种 Ｂ．48种 Ｃ．96种 Ｄ．192种（6）下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）Ａ．(02)，Ｂ．(20)-，Ｃ．(02)-，Ｄ．(20)，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）Ａ．15Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）Ｂ．2Ｃ．Ｄ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件（10）函数22cos y x =的一个单调增区间是（ ） Ａ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｃ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，（11）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19Ｂ．29Ｃ．13Ｄ．23（12）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） Ａ．4Ｂ．Ｃ．Ｄ．81A1D1C 1BD BCA第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g ～501.5g 之间的概率约为_____．（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y xx =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =____________．（15）正四棱锥S ABCD -S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________．（16）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =5c =，求b ．（18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率． （19）（本小题满分12分）四棱锥S ABC D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，BC =SA SB == （Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．SCDAB（20）（本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． （21）（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． （22）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修＋选修1）参考答案一、选择题1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题13．0.25 14．3()x x ∈R 15．4π3 16．13三、解答题 17．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以，b =18．解：（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=．01()()P B P B B =+ 01()()P B P B =+0.2160.432=+ 0.648=．19．解法一：（1）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥， 依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =SD又sin 45AO AB ==DE BC ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE ．ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成的角．sin 11ED AO ESD SD SD ====∠ 所以，直线SD 与平面SBC所成的角为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，因为AO BO AB ===1SO =，又BC =0)A ，，(0B，(0C ． (001)S ，，，1)SA =- ，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．DCASO E（Ⅱ）1)SD SA AD SA CB =+=-=--，0)OA = ，.OA 与SD 的夹角记为α，SD 与平面ABC 所成的角记为β，因为OA为平面SBC 的法向量，所以α与β互余．cos OA SD OA SDα==sin β= 所以，直线SD 与平面SBC所成的角为arcsin 11． 20．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ，，． 21．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=． 122135232112222n n n n n S ----=+++++ ，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++ ，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++- ，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯-- 12362n n -+=-．22．证明（Ⅰ）椭圆的半焦距1c =，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+，12BD x x =-== ；因为AC 与BC 相交于点p ，且AC 的斜率为1k-．所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．。