第三讲 鸡兔同笼问题 (1)

鸡兔同笼问题讲义例、笼中有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有多少只？解法1 假设法假设一个未知数是已知的，比如假定50个头全是兔，则共有脚（4×50=）200（只），这与题中已知140只不符，多出（200-140=）60（只），多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚，所以鸡的只数是（60÷2=）30（只），则兔的只数为（50-30＝）20（只）。

解法2 公式法让每只鸡呈金鸡独立之状，每只兔呈玉兔拜月状，着地的脚数之和有（140÷2＝）70（只），其中鸡的头数与脚数相等，由于每只兔的脚比头数多1，因此兔的头数为（70－50＝）20（个），即兔有20只，则鸡有（50－20＝）30（只）。

实际上我们用了如下的公式。

脚数和÷2-头数和=兔子数。

典型例题例【1】鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。

笼中鸡兔各有多少只？分析题目中给出了鸡、兔共45只。

如果假设这45只全都是兔子，那么就应该有180只脚。

而题目只告诉我们有146只脚，我们算的180只脚和实际相比多算了34只脚。

为什么呢？因为一只鸡是两只脚，而我们把它当成4只脚算了。

如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少2之脚，那么，34只脚里包含多少个2只脚，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然34÷2＝17（只）。

所以鸡有17只，兔子有28只。

当然，我们也可以把45只都假设成是鸡，把以上问题反过来考虑。

解法一假设全是兔子。

（4×45－146）÷（4－2）＝17（只）——鸡45－17＝28（只）——兔解法二假设全是鸡。

（146－2×45）÷（4－2）＝28（只）——兔45－28＝17（只）——鸡答：鸡有17只，兔子有28只。

小试身手：1、鸡兔同笼，头共20个，足共62只，求鸡与兔各有多少只？2、鸡兔同笼，头共35个，脚共94只，求鸡与兔各有多少个头？例【2】盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个7克。

第三讲鸡兔同笼问题知识导航你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代著名趣题之一。

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。

这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。

因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12 （只）。

显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。

古人常用的这种思维方法叫化归法。

化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。

今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”！例题精讲【例1】（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？分析：假设46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4-2=2（只）脚，那么56只脚是我们把56÷2=28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

我们称这种解题的方法为“假设法”。

它是一种重要的解题思路。

当然，这里我们也可以假设46只全是鸡，小朋友们，请你按此思路做做这道题目！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法。

【例2】某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？分析：如果30间都是小宿舍，那么只能住4×30=120人，而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每间多住6-4=2人，所以大宿舍有(168-120)÷2=24间。

鸡兔同笼题目解析及练习在数学的世界里，有一类有趣又富有挑战性的问题，那就是鸡兔同笼。

相信很多同学在学习数学的过程中都遇到过这类题目，今天咱们就一起来好好探究一下鸡兔同笼问题，并做一些相关的练习。

一、鸡兔同笼问题的概念鸡兔同笼，顾名思义，就是在一个笼子里关着鸡和兔子。

题目通常会告诉我们笼子里鸡和兔子的总数，以及它们脚的总数，然后让我们求出鸡和兔子各自的数量。

二、鸡兔同笼问题的解法1、假设法假设全是鸡或者全是兔，然后根据实际脚的数量与假设情况下脚的数量差异，求出鸡和兔的数量。

假设全是鸡，那么脚的总数就应该是鸡的数量乘以 2。

但实际脚的数量比假设的多，这是因为把兔子当成鸡来算，每只兔子少算了 2 只脚。

用实际脚的总数减去假设情况下脚的总数，再除以每只兔子少算的 2 只脚，就可以得到兔子的数量。

鸡的数量就是总数减去兔子的数量。

假设全是兔，道理类似，只是每只鸡多算了 2 只脚。

2、方程法设鸡的数量为 x，兔的数量为 y。

根据鸡和兔的总数可以列出一个方程，再根据鸡脚和兔脚的总数列出另一个方程，然后联立求解。

三、经典例题解析例 1：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有 35 个头，从下面数有94 只脚。

鸡和兔各有多少只？解法一（假设法）：假设全是鸡，那么脚的总数为 35×2 ＝ 70 只。

实际脚的总数是 94 只，多了 94 70 ＝ 24 只脚。

每只兔子比鸡多 4 2 ＝ 2 只脚，所以兔子的数量为 24÷2 ＝ 12 只。

鸡的数量为 35 12 ＝ 23 只。

解法二（方程法）：设鸡有 x 只，兔有 y 只。

x ＋ y ＝ 35 （鸡兔总数为 35）2x ＋ 4y ＝ 94 （鸡脚总数加兔脚总数为 94）由第一个方程得 x ＝ 35 y，代入第二个方程：2×（35 y) ＋ 4y ＝ 9470 2y ＋ 4y ＝ 942y ＝ 24y ＝ 12则 x ＝ 35 12 ＝ 23例 2：一个笼子里鸡和兔共有 20 只，它们的脚共有 56 只。

鸡兔同笼问题分解及练习在数学的世界里，鸡兔同笼问题是一个经典且有趣的存在。

它看似简单，却能锻炼我们的思维能力和解题技巧。

今天，咱们就来好好剖析一下鸡兔同笼问题，并通过一些练习来巩固所学。

首先，咱们来明确一下什么是鸡兔同笼问题。

通常来说，就是已知笼子里鸡和兔的总数，以及它们脚的总数，让我们求出鸡和兔分别有多少只。

为了更好地解决这类问题，咱们得先弄清楚鸡和兔脚的数量特点。

一只鸡有 2 只脚，一只兔有 4 只脚。

那解决鸡兔同笼问题都有哪些方法呢？常见的有假设法和方程法。

假设法是这样的：咱们可以先假设笼子里全是鸡或者全是兔。

比如说假设全是鸡，那么脚的总数就应该是鸡的数量乘以 2。

但实际上脚的总数比这个假设的要多，多出来的部分就是因为把兔当成鸡来算了。

每把一只兔当成一只鸡，脚的数量就少算了2 只（因为一只兔4 只脚，一只鸡 2 只脚，相差 2 只），用多出来的脚的数量除以 2，就能得到兔的数量，然后用总数减去兔的数量，就是鸡的数量。

咱们通过一个具体的例子来感受一下。

假设笼子里有鸡和兔共 35 只，脚有 94 只。

咱们先假设全是鸡，那么脚的总数应该是 35×2 ＝ 70 只。

但实际上有 94 只脚，多出来的就是 94 70 ＝ 24 只。

因为每把一只兔当成鸡，就少算 2 只脚，所以兔的数量就是 24÷2 ＝ 12 只。

鸡的数量就是 35 12 ＝ 23 只。

再来说说方程法。

咱们可以设鸡的数量为 x 只，兔的数量为 y 只。

根据题目给出的条件，可以列出两个方程。

比如还是上面那个例子，鸡和兔共 35 只，就可以列出 x ＋ y ＝ 35；脚一共有 94 只，因为鸡有2 只脚，兔有 4 只脚，所以可以列出 2x ＋ 4y ＝ 94。

然后通过解方程组，就能求出 x 和 y 的值，也就是鸡和兔的数量。

接下来，咱们做几道练习题巩固一下。

练习一：笼子里有鸡和兔共 20 只，脚有 56 只，鸡和兔各有多少只？咱们先用假设法试试。