第四章圆与方程课后提升练习及答案

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圆与的位置〔关系课后提升作业二十七（45分钟70分）一、选择题（每小题5分，共40分）1 •两圆x2+y2-l=0 和x"+y2-4x+2y-4二0 的位置关系是（）A.内切B•相交C•外切 D.外离【解析】选B.将两圆化成标准方程分别为x2+y~l,（x-2）?+（y+1） J9, 可知圆心距d二\，召，由于2<d<4, 所以两圆相交.2.两圆Ci： x'+y2-4x+2y+l二0 与C2： x'+y'+4x-4yT二0 的公切线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.fi二2, 口二3,圆心距d二5,由于d二所以两圆外切，故公切线有3条，选C.【延伸探究】若本题中圆G的方程换为“F+y?-2x+4y-20二0”，圆C?不变，其结论又如何呢？【解析】选B.因为门二5, r2=3,圆心距d二5•所以| r2~ri |<d<r2+ri,所以两圆相交，故公切线有2条.3. OA, OB, OC两两外切，半径分别为2, 3, 10,则AABC的形状是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【解析】选B. AABC的三边长分别为5, 12, 13, 52+122=132,所以AABC为直角三角形.4.(2016 •九江高一检测)圆x2+y2=50与圆x2+y2-12x-6y+40=0的公共弦长为() A.v，c5 B.品 C. 2 vT D. 27百【解析】选 C. x2+y2=50 与x2+y2-12x~6y+40=0 作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x+yT5二0,圆x2+y2=50的圆心(0, 0)到2x+y-15=0的距离d二3*百，因此，公共弦长为2 ](5#2)2 一(3、吟尸二2它弓.5.(2016 •黄冈高一检测)若两圆x'+yf 和x2+y2+6x-8y-ll=0有公共点,则实数m的取值范围是()A. m<lB. m>121C・ lWmW121 D. l<m<121【解题指南】两圆有公共点，说明两圆有可能内切或外切或相交，即ri~r21 WdWri+m・【解析】选C・xT+6x-8y-ll二0化成标准方程为(x+3)2+(y-4)2-36.圆心距为d二J (0 + 3)2+ (0-4)2=5,若两圆有公共点，则|6-、而| W5W6+\/IH,所以 16.已知圆Ci：x'+yJ4与圆C2：x"+y‘-2ax+『T二0相内切，则a等于 ( )A. 1B.-1C. ±1D. 0【解析】选C.圆C2: (x-a)2+y2=l,因为两圆内切，所以| CiC2| =r-r2=2-1=1,即|a|=1,故a=±1.【补偿训练】若圆Ci： (x-a)2+y2=r2与圆C2： x2+y2=4r2(r>0)相切，则a 的值为()A. +3rB. +rC・±3r 或±r D. 3r 或r【解析】选C.圆G的圆心为(a, 0),半径为r,圆C2的圆心为(0, 0),半径为2r.①当两圆外切时，有|a|=3r,此时a=±3r (r>0)・②当两圆内切时,|a| = |r|,此时a=±r (r>0).即当a=±3r (r>0)时两圆外切，当a=±r (r>0)时两圆内切.综合①②可知选C.7•半径长为6的圆与x轴相切，且与圆A(y-3)2= 1内切，则此圆的方程为()A.(x-4)2+ (y-6) 2=6B.(x±4)2+(y-6)2=6C.(X-4)牛(y-6) 2二36D.(x ±4尸+(y—6) $二36【解析】选D.因为半径长为6的圆与x轴相切，且与已知圆内切，设圆心坐标为(a, b),则 b 二6.再由Va2 + 32=5,可以解得a二±4,故所求圆的方程为(x±4)2+ (y-6) 2=36.8.(2016 •山东高考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y二0所得线段的长度是2竝,则圆M与圆N: (x-l)2+(y-l)2=l的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】选B.圆M:x2+y-2ay=0 (a>0)可化为：x'+(y-拼二a；由题意，d二岂所以有，a2二皆+2,解得a二2•所以圆|«|&+(歹一2)2二2；圆心距二、眨,半径和2二3,半径差二所以二者相交.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016 -大连高一检测)若点A(a, b)在圆x2+y2=4 ±,则圆(x-a)2+y2=l与圆x2+(y-b)2=l的位置关系是 __________ .【解析】因为点A (a, b)在圆x'+yM：上，所以a2+b2=4.又圆x2+ (y-b)2=1 的圆心G (0, b),半径ri=1,圆(x-a)2+y2=1 的圆心C2(a, 0),半径门二1,则d=|CiC2|=Va2 + b2=v4-2,所以d=ri+r2,所以两圆外切.答案：外切10.(2016 •北京高一检测)已知圆Cl ：x'+y2-6x—7 二0 与圆C2：x2+y-6y-27-0 相交于A, B两点，则线段AB的中垂线方程为_______________ ・【解题指南】利用圆的几何性质求解本题.【解析】AB的中垂线即为圆G,圆C2的连心线CG所在的直线，又(3, 0), C2(0, 3), CG 的方程为x+y-3=0,即线段AB的中垂线方程为x+y-3=0.答案：x+y-3二0三、解答题(每小题10分，共20分)11・求过点A(4, -1)且与圆C： (x+l)2+(y-3)2=5相切于点B(l, 2)的圆的方程. 【解析】设所求圆的圆心M@, b),半径为r,已知圆的圆心为C(-1, 3),因为切点B在连心线上，即C, B, M三点共线，所以吐丄竺，k-3 2-3即a+2b-5=0.①由于AB的垂直平分线为x-y-2=0,圆心M在AB的垂直平分线上，所以a-b-2二0.②故圆心坐标为M(3, 1), r二|MB|=\逼，所以所求圆的方程为(x-3)2+ (y-1) 2=5.12. (2016 •舟山高一检测)已知两圆x2+y2-10x~ 10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0.求：(1)它们的公共弦所在直线的方程.(2)公共弦长.【解析】(Dx'+y'-lOx-10y二0①； x2+y2+6x-2y-40=0 ②；②-①得：2x+y-5二0为公共弦所在直线的方程.(2)将圆x2+y-10x-10y=0,化为标准方程为(x-5)2+ (y-5)2二50,该圆圆心为(5, 5),|2x54*5—51则此圆心到直线2x+y-5=0的距离故弦长为2\/50 — 20二2v30.【能力挑战题】已知半径为5的动圆C的圆心在直线/： x-y+10=0上.(1)若动圆C过点(-5, 0),求圆C的方程.⑵是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆0：/+y*r2相外切的圆有且仅有一个，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.【解析】⑴依题意，可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,其中圆心(a, b)满足a-b+10=0・又因为动圆过点(-5, 0),所以(-5-a)2+ (0-b) 2=25.、(SL— b + 10 = 0j 解万程组|(-5 - a)2 + (0 - b)2 = 25,可得｛故所求圆 C 的方程为(x+10) 2+y2=25 或(x+5) 2+(y-5)2二25.⑵圆0的圆心(0, 0)到直线/的距离d二丄2二5*吃・当r满足r+5<d时，动圆C中不存在与圆0:x2+y2=r2相外切的圆；当r满足r+5>d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆0: x2+y2=r2相外切；当r满足r+5二d时，即r•二5、眨-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆0: x2+y2=r2相外切.故当动圆C中与圆0相外切的圆仅有一个时，r二5\逻-5.关闭Word文档返回原板块。

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课后提升作业二十四的标准方程（45分钟70分）一、选择题（每小题5分，共40分）1.圆（x-3）^（y+2）2=13 的周长是（）A.vT5 兀B. 2 vT3 肌C. 2 nD. 2\/3兀【解析】选B.根据圆的方程知半径为V左，所以该圆的周长为2n r=2v J13 n.2.圆x2+y2=l的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是（）A. 5B. 3C. 4D. 2【解析】选A.圆x2+y2=l的圆心为（0, 0）,所以d=3.（2016 •武汉高一检测）已知点P（3, 2）和圆的方程（x-2）2+（y-3）M, 则它们的位置关系为（）A.在圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外【解析】选C.因为（3-2）2+（2-3）~2〈4,所以点P在圆内.4•圆（x+2尸+犷二5关于原点（0, 0）对称的圆的标准方程为（）A. （x~2）2+y2=5B. x2+（y-2）2=5C. (x+2)2+ (y+2) 2二5D. x2+ (y+2) =5【解析】选A.圆(x+2) 2+y2=5的圆心为(-2, 0),则关于(0, 0)对称的圆的圆心为(2, 0),半径不变.【延伸探究】圆(x+2)?+yJ5关于直线y=x对称的圆的方程为__________ ・【解析】设圆心为(a, b),则出二口，2 2—=-1,所以餐半径不变.SI-K2 <0 = 一乙答案：x2+(y+2)2二55.已知一圆的圆心为点A(2,-3), 一条直径的端点分别在x轴和y轴上, 则圆的方程是()A.(x+2)2+(y-3)^13B.(x—2F+(y+3)2二13C.(x—2) ?+(y+3) $二52D.(x+2)2+(y-3)=52【解析】选B.如图，结合圆的性质可知，圆的半径r=V(2 - 0)2 + (-3 - 0)2二¥ 13・故所求圆的方程为(x-2)2+ (y+3) 2=13.6.(2016 •黑龙江高一检测)当a为任意实数时，直线(a-l)x-y+a+l=0恒过定点C,则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )A. (x-1尸+ (y+2)$二5B. (x+l)2+(y+2)?二5C. (x+1)2+ (y-2) =5D. (x-1)2+ (y-2) 2=5【解析】选C.直线方程变为(x+l)a-x-y+l=O・x + 1 = 0 (x = — 1由+1 = 0得'所以点C(T, 2),所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5・7.(2016 •北京高一检测)设实数x, y满足(x-2)2+y2=3,那么的最大值是()A. B.y C.y D.【解题指南】利用的几何意义求解，即二山表示P(x, y)与原点0(0,0)连线的斜率，结合图形即可求出的最大值.【解析】选D.如图所示，设过原点的直线方程为y=kx,则与圆有交点的直线中，kmax^V^,所以的最大值为\3・8.(2015 •湖南高考)已知点A, B, C在圆x'+yJl上运动，且AB丄BC. 若点P 的坐标为⑵0》，则阪+亦+氏|的最大值为()A. 6B. 7C. 8D. 9【解析】选B由题意得，AC为圆的直径，故可设A(m, n) , C (-m, -n), B (x, y), 所以PA+PB+PC二(x~6, y),而(x—6)2+y-37-12x^49,二、填空题（每小题5分，共10分）9. （2016 •天津高考）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M （0,、⑤在 圆C 上,且圆心到直线2x-v=0的距离为丝，则圆C 的方程为 ・【解析】设C （a,0） （a>0）,由题意知笔二呼，解得a 二2,所以r 二空孕"厂上3, v5 3故圆C 的方程为（x-2）2+y 2=9.答案：（x-2）2+y 2二9【补偿训练】若圆心在x 轴上，半径为屮密的圆C 位于y 轴左侧，且与 直线x+2y 二0相切，则圆C 的方程是 ________ ・【解析】如图所示，设圆心C （a, 0）,则圆心C 到直线x+2y=0的距离为 ^^=^=V ，C5, 解得 a 二-5, a 二5 （舍去）, 卞壬十牡所以圆心是（-5, 0）.故圆的方程是（x+5）2+y~5・答案：（x+5）2+y 2=5 10. （2016 -大庆高一检测）点（5、阳+1,価）在圆（x-1尸+『二26的内部, 则a 的取值范围是 ____________ ・【解析】由于点在圆的内部，所以（5Va+l-l ）2+（Va ）2<26,即 26a<26,又 a^O,解得 0WaC.答案：OWaG 三、解答题（每小题10分，共20分） 所以|PA + PB + ?c| 的最大值为7.11.（2016 •郑州高一检测）求经过A（-l, 4）, B（3, 2）两点且圆心在y 轴上的圆的方程.【解析】设圆心坐标为(a, b). 因为圆心在y轴上，所以a二0. 设圆的标准方程为x2+(y-b)2=r2.因为该圆过A, B两点,所以(-l)2 + (4-b)2 =32 + (2 -b)2 = r2.所以所求圆的方程为X2+ (y-1)2=10.12.(2016 •台州高一检测)已知圆N的标准方程为(x~5)2+ (y~6) 2=a2 (a>0)・ (1)若点M(6, 9)在圆上，求a的值.(2)已知点P(3, 3)和点Q(5, 3),线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范圉.【解析】(1)因为点M在圆上，所以(6-5)2+ (9一6) 2-a2,又由a>0,可得a=vlO.(2)由两点间距离公式可得IPNI =7(^ - S)2 + (3 - 02=vl3,IQN |二- 5)2 十© 一砒2=3,因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P, Q两点一个在圆内，另一个在圆外，由于3<vl3,所以3<a<\T3,即a的取值范围是(3, 龙).【能力挑战题】已知以点C为圆心的圆经过点A(-l, 0)和B(3, 4),且圆心在直线x+3y-15=0 上.（1）求圆C的方程.（2）设点P在圆C上，求APAB的面积的最大值.【解析】（1）依题意知所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3yT5二0的交点,因为AB中点为（1, 2）,斜率为1,所以AB垂直平分线方程为y-2二-（xT）,即y二一x+3.联立（xZ^=15解得£=秽即圆心为H，6）,半径r=V22 + 62=2 vTO,所以所求圆的方程为（x+3）2+ （y-6）2二40.⑵|AB| = V42 + 42=4V7,圆心到AB的距离为d=4*2 P到AB距离的最大值为d+r=4v<2+2v10,所以Z\PAB面积的最大值为X4\/Ix （4V，7+2\T0）=16+8V<5・关闭Word文档返回原板块。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交或相切 B ．相交或相离 C ．相切D ．相交解析： 方法一：圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12k k 2＋1，∵d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12过定点⎝⎛⎭⎫－12，0，而点⎝⎛⎭⎫－12，0在圆C ：x 2＋y 2＝1内部，故直线l 与圆C 相交．答案： D2．圆x 2＋y 2＋ax ＝0的圆心到y 轴的距离为1，则a ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．－2D ．±2解析： ∵圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，0，∴⎪⎪⎪⎪－a2＝1， ∴a ＝±2. 答案： D3．直线x －2y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34 C ．25 D.655解析： 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心为(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为29－5＝4，原点到直线的距离为|0＋0＋3|1＋4＝355，所以S ＝12×4×355＝655.答案： D4．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0解析：∵点(1，3)在圆x2＋y2－4x＝0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．设切线的斜率为k，又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k＝－1，解得k＝33，∴切线方程为x－3y＋2＝0.答案： D5．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为() A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4解析：由半径、半弦长、圆心到直线的距离d所形成的直角三角形，可得d＝2，故|a－2|2＝2，解得a＝4，或a＝0.答案： D6．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋2＝0的距离为2的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝(22)2，圆心(－1，－2)到直线x＋y＋2＝0的距离为|－1－2＋2|2＝22，故满足条件的点有4个．答案： D7．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1有两个公共点，则点P(a，b)与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上皆有可能解析：由题意，得1a2＋b2＜1，即a2＋b2＞1，所以点P在圆x2＋y2＝1外．答案： B8．设点P(a，b，c)关于原点对称的点为P′，则|PP′|＝()A.a2＋b2＋c2B．2a2＋b2＋c2C ．|a ＋b ＋c |D ．2|a ＋b ＋c |解析： P (a ，b ，c )关于原点对称的点为P ′(－a ，－b ，－c )，则|PP ′|＝[a －(－a )]2＋[b －(－b )]2＋[c －(－c )]2＝2a 2＋b 2＋c 2.答案： B9．已知两圆相交于A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋2c 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．0 解析： 由题意知直线x －y ＋c ＝0为线段AB 的垂直平分线，故AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12，1在直线x －y ＋c ＝0上，所以m ＋12－1＋c ＝0，即m ＋2c ＝1. 答案： B10．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，43 B.⎣⎡⎦⎤13，43 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,1]解析： 曲线y ＝－1－(x －2)2表示的图形是一个半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k 的取值范围是[0,1]，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析： 由题意可知，直线x －y ＋2＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2， 所以－1－⎝⎛⎭⎫－a2＋2＝0，a ＝－2. 答案： －212．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．解析： 令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)． 设圆C 的半径为r ，则有r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案： (x ＋1)2＋y 2＝213．(2015·陕西府谷三中月考)过点P (2,1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析： 当且仅当CP ⊥l 时，∠ACB 最小， 又CP 的斜率为1，所以直线l 的斜率为－1， 故l 的方程为x ＋y －3＝0. 答案： x ＋y －3＝014．(2015·江西广昌一中月考)已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于________．解析： 由题可得|a －2＋3|12＋(－1)2＝4－(3)2，得a ＝2－1或a ＝－2－1(舍)． 答案：2－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过直线x ＋y ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0的交点，且经过点P (－1，－2)的圆的方程．解析： 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0，得x ＝1，y ＝－1或x ＝－4，y ＝4，即直线与圆交于点A (1，－1)和点B (－4,4)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别将A ，B ，P 的坐标代入， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，16＋16－4D ＋4E ＋F ＝0，1＋4－D －2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝3，E ＝－3，F ＝－8，所以，所求圆的方程为x 2＋y 2＋3x －3y －8＝0.16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在直线y ＝x ＋4上，半径为22的圆C 经过原点O .(1)求圆C 的方程；(2)求经过点(0,2)，且被圆C 所截得弦长为4的直线方程． 解析： (1)设圆心C (a ，a ＋4)，则圆的方程为： (x －a )2＋(y －a －4)2＝8，代入原点得a ＝－2， 故圆的方程为：(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0，经检验符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋2， 圆心(－2,2)到直线y ＝kx ＋2的距离为 d ＝|－2k －2＋2|1＋k 2＝|2k |1＋k 2圆的半径r ＝2 2.∴22＋d 2＝r 2，即4＋4k 21＋k 2＝8，∴1＋k 2＝k 2，可知k 无解， 综上可知直线方程为x ＝0.17．(本小题满分12分)已知正方体的棱长为a ，过B 1作B 1E ⊥BD 1于点E ，求A ，E 两点之间的距离．解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得A (a ，0,0)，B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )．过点E 作EF ⊥BD 于F ，如图所示，则在Rt △BB 1D 1中， |BB 1|＝a ，|B 1D 1|＝2a ，|BD 1|＝3a ， 所以|B 1E |＝a ·2a 3a＝6a3.所以在Rt △BEB 1中，|BE |＝33a . 由Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，得|BF |＝23a ，|EF |＝a 3， 所以点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，0， 则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，a 3. 由两点间的距离公式，得 |AE |＝⎝⎛⎭⎫a －2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－a 32＝63a ，所以A，E两点之间的距离是6 3a.18．(本小题满分14分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解析：如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程为x2＋y2＝252，直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0，设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24＜25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)．答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.。

第四章测评(时间：120分钟 满分:150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆C 关于y 轴对称,经过点A (1,0)且被x 轴分成两段弧,且两段弧长比为1∶2,则圆C 的方程为（ ）A 。

(x ±√33)2+y 2=43B 。

(x ±√33)2+y 2=13C.x 2+(y ±√33)2=43D.x 2+(y ±√33)2=13解析：设圆心C （0,a ），则半径为CA ，根据圆被x 轴分成的两段弧的长之比为1∶2，可得圆被x 轴截得的弦对的圆心角为2π3,故有tan π=|1|，解得a=±√3，半径r=√43，故圆的方程为x 2+(y ±√33)2=43.答案:C2.直线l :x-y=1与圆C ：x 2+y 2—4x=0的位置关系是 ( ）A.相离 B 。

相切C 。

相交 D.无法确定解析:圆C 的圆心为C （2，0),半径为2,圆心C 到直线l 的距离d=|2-1|√2=√22<2,所以圆C 与直线l 相交。

答案：C3。

圆x 2+y 2—4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为（ ) A 。

x+√3y-2=0 B .x+√3y —4=0 C 。

x-√3y+4=0 D .x —√3y+2=0解析：∵点P （1，√3）在圆x 2+y 2-4x=0上，∴点P 为切点。

从而圆心与点P 的连线应与切线垂直.又圆心为（2,0),设切线斜率为k ， ∴0-√32-1·k=—1,解得k=√33。

∴切线方程为x-√3y+2=0。

答案:D4.两圆相交于点A （1，3),B （m ,—1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c 的值为( ） A 。

-1 B .2 C .3 D 。

0解析:由条件可知，AB 的中点在直线x —y+c=0上,且AB 与该直线垂直,∴{m+12-1+c =0,3+11-m=-1,解得{m =5,c =-2,∴m+c=5-2=3.答案：C5.圆C 1：x 2+y 2+2x+2y-2=0与C 2：x 2+y 2—4x-2y+1=0的公切线有且仅有( ） A.1条 B .2条 C .3条 D .4条解析:两圆的标准方程分别为(x+1）2+(y+1）2=4，（x-2)2+(y-1)2=4.∴|C 1C 2｜=√(2+1)2+(1+1)2=√13.∴|r 1—r 2|<｜C 1C 2｜〈r 1+r 2,即两圆相交, ∴两圆共有两条公切线.答案:B6.(2016河南洛阳八中段考试题）已知圆C 经过A (5，1)，B (1,3)两点,圆心C 在x 轴上，则圆C 的方程为( ) A .（x —2）2+y 2=50 B 。

第四章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用A级基础巩固一、选择题1．已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程是()A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0解析：所求直线实质是两圆心连线所在直线，即3x－y－9＝0.答案：C2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为()A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0解析：已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3，4)．答案：B3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为()A．4条B．3条C．2条D．1条解析：⊙O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，所以|O1O2|＝（3＋2）2＋（－8－4）2＝13，所以r－R<|O1O2|<R＋r，所以两圆相交，所以公切线有2条．答案：C4．已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是() A．9 B．14C．14－6 5 D．14＋6 5解析：方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，所以圆心为(－2，1)，r＝3，而x2＋y2＝(（x－0）2＋（y－0）2)2.所以x2＋y2的最大值为(（－2－0）2＋（1－0）2＋3)2＝14＋6 5.答案：D5．(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为：x2＋(y－a)2＝a2，由题意，d ＝a 2，所以有a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距＝2，半径和＝3，半径差＝1，所以二者相交．答案：B二、填空题6．已知圆C 1：(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．解析：C 1(1，2)，r 1＝2，C 2(－2，－2)，r 2＝3，|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝5，因此两圆外切．答案：外切7．两圆相交于两点A (1，3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．解析：由题意得⎩⎨⎧k AB ＝3－（－1）1－m ＝－1，m ＋12－3－12＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，c ＝－2. 所以m ＋c ＝5－2＝3.答案：38．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是____________________________________．解析：设所求圆方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，将(3，1)代入得λ＝－25.故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.答案：x2＋y2－133x＋y＋2＝0三、解答题9．半径为3的圆C1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1内切，切点为(0，2)，求圆C1的方程．解：因半径为3，设圆C1的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝9，则圆心C1(a，b)，由已知得圆C2圆心为C2(0，3)，半径r＝1.圆心距d＝（a－0）2＋（b－3）2＝a2＋（b－3）2.因C1与C2内切，故d＝|R－r|＝|3－1|＝2，即：a2＋（b－3）2＝2.①因切点为(0，2)，故(0－a)2＋(2－b)2＝9，即：a2＋(2－b)2＝9，②联合解方程①②得：a＝0，b＝5.所以圆C1的方程为：(x－0)2＋(y－5)2＝9，即：x2＋(y－5)2＝9.10．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)若相交，请求公共弦所在直线的方程；(3)若相交，请求公共弦的长度．解：(1)配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又|C1C2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10.所以r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，所以两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)法一 两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， ②①－②得x ＝2y －4，③把③代入②得y 2－2y ＝0，所以y 1＝0，y 2＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2.所以交点坐标为(－4，0)和(0，2)． 所以两圆的公共弦长为（－4－0）2＋（0－2）2＝2 5.法二 由(2)知公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0，由(1)知圆C 1：圆心为C (1，－5)，半径r ＝5 2.圆心C 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝35，设公共弦长为2l ，由勾股定理r 2＝d 2＋l 2，得50＝45＋l 2，解得l ＝5，所以公共弦长2l ＝2 5.B 级 能力提升1．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋3b ＋1＝0解析：由题意知，相交弦过已知圆圆心，相交弦所在直线方程为2(1＋a )x ＋2(1＋b )y －a 2－1＝0，而点(－1，－1)在此直线上，故有a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.答案：B2．已知圆x 2＋y 2＝1和(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则a ＝________．解析：因为C 1(0，0)，r 1＝1；C 2(－4，a )，r 2＝5，所以若|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝6，则a ＝±25；若|C 1C 2|＝r 2－r 1＝4，则a ＝0.答案：±25或03．有一种大型商品，A 、B 两地均有出售且价格相同，其地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A ，B 两地相距10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设A (－5，0)，则B (5，0)．在坐标平面内任取一点P (x ，y )，设从A 运货到P 地的运费为2a 元/km ，则从B 运货到P 地运费为a 元/km.若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2a （x ＋5）2＋y 2<a （x －5）2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫2032. 即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2032的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．。

第四章圆与方程1圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。

2、圆的方程2 2 2点M （x 0,y 0）与圆（X-a ） +（y-b ） =r 的位置关系:当(x-a)+（y 0 _b ）2>r 2，点在圆外当(X o -a)2+ （y 0 -b ）2=r 2，点在圆上 当(X o -a)22 2+ (y o —b) <r ，点在圆内(2) 一般方程 X 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0当 D 2+ E 2-4F>时,方程表示圆，此时圆心为 C D _E ）,半径为L 2’ 2 丿D 2 D 2+ E 2+ E 2-4F -4F =0时,< 0时, 表示一个点；方程不表示任何图（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件， 需求出a ，b ，r ;若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

若利用圆的标准方程, 3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有 相离，相切，相交 三种情况:（1+By +C = 0 ,圆 C :（X - a 了 +（y -b 『=r 2，圆心 C （a,b ）到 | d>ru 1与C 相离d=r= 1与C 相切^dvru 1与C 相交（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立② k 存在, 直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】设点斜式方程，用圆心到该 2⑶过圆上一点的切线 方程：圆（x-a ） +（y-2=r 2，圆上一点为（X 0, y o ）,则过此点的切线方程为|(x o -a)(x-a)+(y o -b)(y-b)= r4、圆与圆的位置关系： 通过两圆半径的和 设圆 G :（x-a 1 2 + （y-b 1 2 =r 2，C 2 ：（x两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（ 当d > R + r 时两圆外离，此时有公切线四条；（差），与圆心距（ - a 2 ）2 + （y - b2 fd ）之间的大小比较来确定。

第三节圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)；9．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：34(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋5 5－5典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y 0≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)， 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.[题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有： ①弄清集合代表的几何意义；②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围． 针对训练若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14×⎝⎛⎭⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为 (x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2， 且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ， 则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2 即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根．故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫2552， 解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋(±2)2＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32， 则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2012·银川质检)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.7B ．2 2C ．3D. 2解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为42＝22，切线长的最小值为(22)2－1＝7.3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( )A.322B.62C ．1D ．2解析：选B 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝12.则r 2＝⎝⎛⎭⎫12|AB |2＋d 2＝32，r ＝62. 4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k ＜ 3.答案：(－3， 3)5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．典题导入[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能[自主解答] 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， 所以点P (3,0)在圆内．故过点P 的直线l 定与圆C 相交． [答案] A本例中若直线l 为“x －y ＋4＝0”问题不变． 解：∵圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4， ∴圆心(2,0)，r ＝2. 又圆心到直线的距离为d ＝62＝32＞2. ∴l 与C 相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k |k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．33B ．2 3 C. 3D ．1(2)(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1.故|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，整理得[(m ＋n )－2]2－8≥0，解得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1．圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．以题试法2．(2012·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3， 3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0解析：选B 如图，设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k2≤1，解得－33≤k ≤ 33.典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．(2)由题意可设两圆的方程为(x －r i )2＋(y －r i )2＝r 2i ，r i ＞0，i ＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i )2＋(1－r i )2＝r 2i ，整理得r 2i －10r i ＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r 1，r 2，所以r 1r 2＝17，r 1＋r 2＝10，则|C 1C 2|＝(r 1－r 2)2＋(r 1－r 2)2＝2×(r 1＋r 2)2－4r 1r 2＝2×100－68＝8. [答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．以题试法3．(2012·青岛二中月考)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：4[典例](2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0[尝试解题]过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.[答案] D——————[易错提醒]—————————————————————————1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.2.对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解.——————————————————————————————————————针对训练1．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为__________________．解析：显然x＝2为所求切线之一．当切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝02．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________． 解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； 当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0， 即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题1．(2012·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．2．(2012·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3.3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．5．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1， 所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．(2012·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(2012·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝ 12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx－2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32. 11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0， 当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k.1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x ＋y －5＝0 2302．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值； (3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2. (3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线．2．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知，问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43. 答案：43 3．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案：1或1774．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 2的半径为r 2，∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 因为圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为 |r 22－12|42＝ 4－⎝⎛⎭⎫2222＝2， 解得r 22＝4或r 22＝20.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。

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课后提升作业二十五圆的一般方程(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.以圆x2+2x+y2=0的圆心为圆心，半径为2的圆的方程为( )A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=4C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=4【解析】选B.圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1，0)，所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=4.2.方程x2+y2-2ax+2=0表示圆心为C(2，0)的圆，则圆的半径r= ( )A. B.2 C. D.4【解析】选A.方程配方得(x-a)2+y2=a2-2，由于圆心C(2，0)，所以a=2，因此r==.3.(2016·聊城高一检测)两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的圆心连线方程为( )A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0【解析】选 C.两圆的圆心分别为(2，-3)，(3，0)，直线方程为y=(x-3)，即3x-y-9=0.【延伸探究】本题条件不变，则两圆的圆心连线的垂直平分线方程是________.【解析】两圆的圆心为A(2， -3)与B(3，0)，AB的中点为，故AB的垂直平分线方程为y+=-，即2x+6y+4=0.所以x+3y+2=0. 答案：x+3y+2=04.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是( )A.一个圆B.只有当a=0时，才能表示一个圆C.一个点D.a，b不全为0时，才能表示一个圆【解析】选D.(2a)2+4b2=4(a2+b2)，当a=b=0时，方程表示一个点；当a，b不全为0时，方程表示一个圆.5.(2016·兰州高一检测)如果圆x2+y2+ax+by+c=0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么( )A.a=0，b≠0，c≠0B.b=c=0，a≠0C.a=c=0，b≠0D.a=b=0，c≠0【解析】选B.符合条件的圆的方程为+y2=，即x2+y2+ax=0. 所以b=0，a≠0，c=0.6.若直线3x+y+a=0始终平分圆x2+y2+2x-4y=0的周长，则a的值为( )A.-1B.1C.3D.-3【解题指南】直线平分圆的周长，说明直线一定过该圆的圆心，把圆心坐标代入直线方程即可求出a的值.【解析】选B.因为圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1，2)，所以3x+y+a=0过点(-1，2)，即-3+2+a=0，所以a=1.7.当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点Q(3，0)连接的线段PQ中点的轨迹方程是( )A.x2+y2+6x+5=0B.x2+y2-6x+8=0C.x2+y2-3x+2=0D.x2+y2+3x+2=0【解题指南】设出PQ中点的坐标(x，y)，然后用x，y表示出点P的坐标，将P点坐标代入圆的方程即可.【解析】选C.设PQ中点坐标为(x，y)，则P (2x-3，2y)，代入x2+y2=1，得4x2+4y2-12x+8=0，即x2+y2-3x+2=0.8.(2016·北京高一检测)若方程x2+y2+(λ-1)x+2λy+λ2=0表示圆，则λ的取值范围是( )A.(0，+∞)B.C. D.R【解析】选C.D2+E2-4F=(λ-1)2+4λ2-5λ2>0，解不等式得λ<.二、填空题(每小题5分，共10分)9.圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3，则m的值为________.【解析】因为(x+1)2+(y-2)2=5-m，所以r==，所以m=.答案：10.(2016·北京高一检测)已知圆C：x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则圆心为________，半径为________.【解析】由题意可得圆C的圆心在直线x-y+2=0上，将代入直线方程得-1-+2=0，解得a=-2.故圆C的方程为x2+y2+2x-2y-3=0.即(x+1)2+(y-1)2=5，因此圆心为(-1，1)，半径为.答案：(-1，1)三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016·长沙高一检测)已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.【解析】圆心C，因为圆心在直线x+y-1=0上，所以---1=0，即D+E=-2.①又因为半径长r==，所以D2+E2=20.②由①②可得或又因为圆心在第二象限，所以-<0，即D>0.则故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.12.点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点的轨迹方程.(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点的轨迹方程.【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为(2x-2，2y).因为点P在圆x2+y2=4上，所以(2x-2)2+(2y)2=4，故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.【能力挑战题】已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0，及点Q(-2，3).(1)P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率.(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值.【解析】(1)因为点P(a，a+1)在圆上，所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0，所以a=4，P(4，5)，所以|PQ|==2，k PQ==.(2)因为圆心C坐标为(2，7)，所以|QC|==4，圆的半径是2，点Q在圆外，所以|MQ|max=4+2=6，|MQ|min=4-2=2.【拓展延伸】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系，解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面：(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.关闭Word文档返回原板块附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

第四章4．2直线、圆的位置关系4．2．2圆与圆的位置关系4．2．3直线与圆的方程的应用课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．已知0＜r＜2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内含解析：选B设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，圆心距|OO′|＝12＋(－1)2＝2.显然有|r－2|＜2＜2＋r.所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2条．3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m等于()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.0米C ．3.6米D ．4.5米解析：选C 可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD ＝OC 2－CD 2＝3.6(米)，故选C.5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：选B 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x＋3y －1＝0，故选B.6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则实数a ＝ .解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a ，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－(3)2＝1，解得a ＝1.答案：17．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 ．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．点P 在圆O ：x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则|PQ |的最小值为 ．解析：如图所示．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，圆O 的半径为r 1，圆C 的半径为r 2，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时|PQ |最小，最小值为|P ′Q ′|＝|OC |－r 1－r 2＝1.答案：19．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，求以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程．解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)， ∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.10．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．此时DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆相交的公共弦所在直线的方程．设点P (3,1)，圆心C (1,0)，又切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52，∴此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54 ①.又圆C ：(x －1)2＋y 2＝1 ②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．2．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( )A ．r ＜5＋1B ．r ＞5＋1C ．|r －5|＜1D ．|r －5|≤1解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，圆心距(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r －5≤1，∴|r －5|≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1，x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)，半径长r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，半径长r 2＝2，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.5．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为 ．解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5， ∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4. 答案：46．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是 ．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝07．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为 ．解析：如图所示，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0)．台风中心在直线y ＝x 上移动．则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离．则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，直线y ＝x 被圆B 截得弦长为CD ＝2·302－⎝ ⎛⎭⎪⎫4022＝20(km)．故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h)． 答案：1 h8．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝(0－2)2＋(－1－1)2－2 ＝2(2－1)，∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。

高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学（必修2）第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。

(x-2)²+y²=5B。

x²+(y-2)²=5C。

(x+2)²+(y+2)²=5D。

x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A。

x-y-3=0B。

2x+y-3=0C。

x+y-1=0D。

2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。

2B。

1+√2C。

1-√2D。

1+2√24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。

-3或7B。

-2或8C。

2或10D。

1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。

1条B。

2条C。

3条D。

4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。

x+3y-2=0B。

x+3y-4=0C。

x-3y+4=0D。

x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a²+b²-2a-2b+2的最小值。