2301题解题报告

中考数学第21题试题分析21题原题已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC。

（1）求证：BE=DG（2）若∠B= 60○，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论。

D一、试题分析•2008年中考21题考查内容是“旋转+合情推理+证明”，本轮次考查内容是“平移+合情推理+证明”。

试题分两问。

第一问以学生熟悉的平行四边形为背景，通过△ABE 的平移变化，考查学生对平移的有关性质、平行四边形的判定及性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用。

此问解决的方法比较多，反映出学生的思维多样性。

•第二问是一道探索条件、补充条件的开放型试题。

通过设置∠B为特殊角60度，考查学生对含30○的Rt△的性质，菱形的判定等知识点的掌握。

此问要求学生先以分析法为主寻求解题思路，逐步探索使结论成立的条件。

再利用找到的条件有条理地表述解题过程。

第二问因为对学生的观察能力、分析问题和表述问题的能力有一定的要求，所以部分学生解决起来有难度，具有一定的区分度，给中等以上学生以较大的发挥空间。

二、学生解法汇总其它证法（1）∵△ABE平移到△GFC ∴AG=EC∵□ABCD ∴AD=BC即GD=BE此种证法利用图形平移时，对应点所连的线段相等，并结合平行四边形的性质，利用等量减等量，得到GD=BE。

方法非常简单。

其它证法（2）∵△ABE平移到△GFC∴AE∥GC，AE=GC ∴AEGC是□∴AG=EC∵□ABCD ∴AD=BC∴GD=BE其它证法（3）∵△ABE平移到△GFC∴AB∥GF，AB=GF ，BE=FC∵□ABCD ∴AB=CD，AB∥CD∴CD∥GF，CD=GF∴CDGF是□∴GD=FC∴GD=BE其它证法（4）∵△ABE平移到△GFC∴AB∥GF，AB=GF∴ABFG是□∴AG=BF∵□ABCD ∴AD=BC∴GD=FC∵BE=FC∴GD=BE后三种证法都利用图形平移时，对应线段平行且相等的性质，得到图形中ABFG，AGCE，GFCD分别是平行四边形并结合平行四边形的性质的综合应用，得到GD=BE。

2012年长春市中考数学第23题分析报告第7阅卷组全体成员一、试题分析及建议试题合理。

第（1）问和第（2）问都是非常基础的知识，只有第（3）问稍有难度。

与2011年长春市中考23题比较，更基础一些。

建议继续保持这种题型和难度。

二、学生答题情况分析学生答题情况不是很理想。

主要问题如下：1、审题不认真。

第（1）问要求求出单价，许多同学求的是解析式；第（2）问要求求出BC段的解析式，许多同学求的是AB段的解析式。

2、计算不准确。

部分同学出现了“60÷20=30”、求错方程组的解等情况。

3、看图不仔细。

本题的图象是折线，部分同学把折线看成了直线，导致求错解析式。

4、基础不牢固。

本题应用待定系数法求一次函数的关系式，部分同学设的是反比例函数或二次函数的关系式；5、步骤不完整。

部分同学第（2）问中求一次函数的关系式没有点的代入过程（即没有列方程组）。

6、书写不工整。

部分同学的书写太乱，在卷面上乱勾乱抹，没有层次，答案的位置也是五花八门，有的同学的答案甚至以极小的字号写在了一大片勾掉的答案之间，如果不仔细寻找很难发现。

还有的个别同学在卷面上出现了“求给分”等字样。

三、答卷问题中折射教学中存在的问题1、对计算以及书写没有引起足够重视2、在教学中对学生的解题步骤没有进行严格的规范3、对“用函数的观点解决问题”没有引起足够的重视（许多同学在第（3）问中采用了方程思想来解决问题）4、答题卡的使用没有进行过系统的指导，许多同学的版面布局不合理。

四、改进教学策略1、重视书写、重视基础、重视计算的准确性2、从初一开始规范学生的解题步骤3、在答题卡的使用上进行详细、系统的指导。

2021上海中考数学23题解题技巧(一)2021上海中考数学23题解题背景介绍今年的上海中考数学考试中，第23题是一道较为难的题目。

这道题目考察了学生在几何方面的理解和解题能力。

本文将详细介绍解题过程和一些有用的技巧。

题目描述题目描述如下：已知三角形ABC，AB = AC = 6cm，∠BAC = 90°。

M为线段BC的中点，过点M分别作MB、MC两条边，分别交边AB、AC于点D、E。

求证：∠BDM = ∠EDC。

解题思路解题思路主要分为以下几步： 1. 分析题目，理解要求。

2. 构造辅助线段，寻找等价角和同旁内角。

3. 利用几何定理和等式关系进行推理。

4. 确认结论并进行证明。

步骤详解1. 分析题目题目要求证明∠BDM = ∠EDC，即需要找到∠BDM和∠EDC之间的关联。

2. 构造辅助线段考虑到M为线段BC的中点，我们可以构造MB和MC两条辅助线段，并分别找到它们与其他线段的交点，即点D和点E。

3. 利用几何定理推理根据题目中的条件，我们可以得到以下几个几何定理： - 在等腰三角形中，底边上的中线与高重合。

- 同旁内角相等。

由于AB = AC，并且M为BC的中点，所以AM是三角形ABC的高。

根据第一个几何定理，我们可以得到AM与BD和CE重合。

再根据第二个几何定理，∠BAM和∠EAC是同旁内角，它们相等。

4. 确认结论并进行证明由于∠BAM = ∠EAC，又因为∠ACB = 90°，所以三角形ABC是直角三角形。

根据直角三角形的性质，∠BAC = 90°。

由于∠BAM = ∠EAC，且∠BAC = ∠BDM，根据同旁内角相等的性质，我们可以得到∠BDM = ∠EDC。

因此，根据以上推理，我们可以得到结论：∠BDM = ∠EDC。

结论通过以上的解题过程和推理，我们可以得出结论：在给定的条件下，∠BDM = ∠EDC。

这道题目考察了几何的知识和推理能力，通过巧妙地构造辅助线段和利用几何定理，我们能够更好地理解题目并找到解题的思路。

黑龙江省绥化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类一．一次函数的应用（共2小题）1．（2023•绥化）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．如图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．2．（2021•绥化）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息．已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．（1）m＝ ，n＝ ；（2）求CD和EF所在直线的解析式；（3）直接写出t为何值时，两人相距30米．二．反比例函数综合题（共1小题）3．（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．三．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+PD 有最大值，最大值是多少？5．（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B （1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．6．（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD 运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．四．四边形综合题（共2小题）7．（2023•绥化）已知：四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，点F是BC延长线上的一个动点（点F不与点C重合）．连接AF交CD于点G．（1）如图一，当点G为CD的中点时，求证：△ADG≌△FCG；（2）如图二，过点C作CE⊥AF，垂足为E．连接BE，设BF＝x，CE＝y．求y关于x 的函数关系式；（3）如图三，在（2）的条件下，过点B作BM⊥BE，交FA的延长线于点M．当CF＝1时，求线段BM的长．8．（2021•绥化）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．（1）求证：△CDE≌△CBH；（2）当时，求的值；（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．五．圆的综合题（共3小题）9．（2023•绥化）如图，MN为⊙O的直径，且MN＝15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC于点H．点A在上，点B在上，∠OND+∠AHM＝90°．（1）求证：MH•CH＝AH•BH；（2）求证：＝；（3）在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN＝，求NG的长．10．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE ⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．11．（2022•绥化）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．（1）求证：△CMA∽△CBD．（2）若MN＝10，＝，求BC的长．（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝时，求的值．六．作图—复杂作图（共3小题）12．（2023•绥化）已知：点P是⊙O外一点．（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝30°，求∠EDF的度数．13．（2022•绥化）已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．14．（2021•绥化）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC 上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 cm．七．作图-位似变换（共1小题）15．（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．八．相似形综合题（共1小题）16．（2022•绥化）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G．利用面积证明：DE+DF＝CG．（2）如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G 为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N．若BC＝8，BE＝3，求GM+GN 的长．（3）如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且＝，BC＝，CD＝3，BD＝6，求ED+EA的长．九．解直角三角形的应用（共3小题）17．（2023•绥化）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D点继续沿DE的方向走（12+12）米到达P点．求tan∠CPE的值．18．（2022•绥化）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）19．（2021•绥化）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）黑龙江省绥化市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类参考答案与试题解析一．一次函数的应用（共2小题）1．（2023•绥化）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．如图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．【答案】（1）每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人；（2）共有4种方案，租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱；（3）在甲乙两车第一次相遇后，当t＝3小时或小时时，两车相距25千米．【解答】解：（1）设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，根据题意得：，解得：，∴每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人；（2）设租用A型车m辆，则租用B型车（10﹣m）辆，由题意得：，解得：5≤m≤8，∵m是正整数，∴m可取5，6，7，8∴共有4种方案，设总租金为w元，根据题意得w＝500m+600（10﹣m）＝﹣100m+6000，∵﹣100＜0，∴w随m的增大而减小，∴m＝8时，w最小为﹣100×8+6000＝5200（元）；∴租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱；（3）设s甲＝kt，把（4，300）代入得：300＝4k，解得k＝75，∴s甲＝75t，设s乙＝kt+b，把（0.5，0），（3.5，300）代入得：，解得，∴s乙＝100t﹣50，∵两车第一次相遇后，相距25千米，∴100t﹣50﹣75t＝25或300﹣75t＝25，解得t＝3或t＝，∴在甲乙两车第一次相遇后，当t＝3小时或小时时，两车相距25千米．2．（2021•绥化）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息．已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．（1）m＝　16　，n＝ ；（2）求CD和EF所在直线的解析式；（3）直接写出t为何值时，两人相距30米．【答案】（1）16；；（2）S CD＝﹣t+80（48≤t≤80），S EF＝﹣5t+720（）；（3）t为46，50，110，138时，两人相距30米【解答】解：（1）∵小刚原来的速度＝16÷4＝4米/秒，小亮的速度＝720÷144＝5米/秒，B点小亮追上小刚，相遇，∴4m+16＝5m，解得：m＝16，∵E点是小刚到达乙地，∴n＝[]×（6﹣5）＝，故答案为：16；，（2）设C点横坐标为t，由题意可得：（t﹣16）×（5﹣4）＝（80﹣t）×（6﹣5），解得：t＝48，∵小刚原来的速度＝16÷4＝4米/秒，小亮的速度＝720÷144＝5米/秒，∴纵坐标为（5﹣4）×（48﹣16）＝32，∴C（48，32），设S CD＝k1t+b1，将C（48，32），D（80，0）代入，，解得：，∴S CD＝﹣t+80（48≤t≤80），∴E点横坐标为，E点纵坐标为，∴E（，），设S EF＝k2t+b2，将E，F两点坐标代入可得，，解得：，∴S EF＝﹣5t+720（），（3）∵B（16，0），C（48，32），D（80，0），E（，），F（144，0），设S BC＝k3t+b3，将B，C两点坐标代入可得，，解得：，∴S BC＝t﹣16（16＜t≤48），设S DE＝k4t+b4，将D，E两点坐标代入可得，，解得：，∴S DE＝t﹣80（80＜t≤），当S＝30时，S BC＝t﹣16＝30，解得t＝46；S CD＝﹣t+80＝30，解得t＝50；S DE＝t﹣80＝30，解得t＝110；S EF＝﹣5t+720＝30，解得t＝138；综上，t为46，50，110，138时，两人相距30米．二．反比例函数综合题（共1小题）3．（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．【答案】（1）一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．反比例函数的解析式为：y2＝；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）当PC+KC最小时，△PKC的面积为．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，∴，解得．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．∵△OAP的面积为，∴•OA•y P＝，∴y P＝，∵点P在一次函数图象上，∴令﹣x+＝．解得x＝4，∴P（4，）．∵点P在反比例函数y2＝的图象上，∴k2＝4×＝2．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．反比例函数的解析式为：y2＝．（2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4，∴K（1，2），由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4．（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，∵P（4，）．∴P′（4，﹣）．∴PP′＝1，∴直线KP′的解析式为：y＝﹣x+．令y＝0，解得x＝．∴C（，0）．∴S△PKC＝•（x C﹣x K）•PP′＝×（﹣1）×1＝．∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为．三．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+PD 有最大值，最大值是多少？【答案】（1）抛物线的解析式为，一次函数的解析式为y＝3x+6．（2）E1（﹣8，2），E2（4，﹣2），E3（﹣4，4）．（3）当时，CD+的最大值为．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，∴，解得，∴，把B（﹣2，0）代入一次函数y＝kx+6中，得k＝3，∴y＝3x+6．答：抛物线的解析式为，一次函数的解析式为y＝3x+6．（2）①当BC为正方形的边长时，分别过B点，C点作E1E2⊥BC，F1F2⊥BC，使E1B＝E2B＝BC，CF1＝CF2＝BC，连接E1F1，E2F2，过点E1作E1H1⊥x轴于H1，∴△BE1H1≌△CBO（AAS），∴E1H1＝OB＝2，H1B＝OC＝6，∴E1（﹣8，2），同理可得，E2（4，﹣2）．②以BC为正方形的对角线时，过BC的中点G作E3F3⊥BC，使E3F3与BC互相平分且相等，则四边形E3BF3C为正方形，过点E3作E3N⊥y轴于点N，过点B作BM⊥E3N于点M，∴△CE3N≌△E3BM（AAS），∴CN＝E3M，BM＝E3N，∵，∴，∴，在Rt△E3NC中，，∴，解得CN＝2或4，当CN＝4时，E3（2，2），此时点E在点F右侧，舍去；当CN＝2时，E3（﹣4，4）．综上，E1（﹣8，2），E2（4，﹣2），E3（﹣4，4）．（3）∵抛物线向右平移8个单位长度得到抛物线y2，∴M（2，0），N（6，0），∵y2过M，N，C三点，∴，在直线CN下方的抛物线y2上任取一点P，作PH⊥x轴交NC于点H，过H作HG⊥y轴于G，∵N（6，0），C（0，6），∴ON＝OC，∴△CON时等腰直角三角形，∵∠CHG＝45°，∠GHP＝90°，∴∠PHD＝45°，∵PD⊥CN，∴△HPD是等腰直角三角形，∴，∵点P在抛物线y2上，且横坐标为m，∴CG＝GH＝m，∴，∵y CN＝﹣x+6，∴H（m，﹣m+6），∴，∴，∴＝＝，答：当时，CD+的最大值为．5．（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B （1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x+5；（2）N1（﹣5，0），N2（，），N3（，）；（3）F（﹣，﹣）．【解答】解：（1）将A（﹣5，0），B（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+5；（2）∵D（﹣2，9），B（1，0），点N是抛物线上的一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形，∴此题有两种情形：①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性得：A与N重合，∴N1（﹣5，0），②方法一：当DN＝BN时（如图1），N在BD的垂直平分线上，BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，BD与y轴交点为K，∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，∴∠OKB＝∠IQB，在Rt△OKB中，sin∠OKB＝，∴sin∠IQB＝＝，∵I是BD的中点，BD＝3，∴BI＝，∴BQ＝15，∴Q（﹣14，0），I（，）设y QI＝kx+b，代入得：，解得：，∴y QI＝，联立得：，解得：x＝，∴y QI＝，N2（，），N3（，），方法二：如图2，过点N作DS⊥NT交NT于点S，设N（a，﹣a2﹣4a+5），D（﹣2，9），∵DN＝BN，∴DS2+SN2＝NT2+TB2，∴（﹣2﹣a）2+（9+a2+4a﹣5）2＝（﹣a2﹣4a+5）2+（1﹣a）2，（2+a）2﹣（1﹣a）2＝（a2+4a﹣5）2﹣（9+a2+4a﹣5）2，（2+a+1﹣a）（2+a﹣1+a）＝（a2+4a﹣5+a2+4a+4）（a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4），解得：a＝，把a＝代入﹣a2﹣4a+5＝﹣（）2﹣4（）+5＝，∴N2（，），N3（，），综上所述，N1（﹣5，0），N2（，），N3（，）；（3）如图1，在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AM＝MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，∴∠FGM＝∠FMG，∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝3∠BAE，移动F点，当HG＝2FG时，点F为所求．过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，∴△FPG∽△HRG，∴＝＝＝，GR＝2PG，HR＝2PF，设F（m，﹣﹣），则OP＝﹣m，PF＝m+，HR＝2PF＝m+5，∵AP＝m+5，∴AP＝2PF，∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，∴在Rt△PMF中，PM2+PF2＝MF2，PM2+PF2＝（2PF﹣MP）2，∴PM＝PF＝×＝m+，∴GP＝m+，∴GR＝2PG＝m+，∴PR＝3PG＝3PM，∴AR＝AP+PR＝AP+3PM＝2PF+3×PF＝＝，∴OR＝，∴H（，m+5），∵B（1，0），D（﹣2，9），∴BD解析式为：y BD＝﹣3x+3，把H代入上式并解得：m＝﹣，再把m＝﹣代入y＝﹣x﹣得：y＝﹣，∴F（﹣，﹣）．6．（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD 运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）G（，﹣）；（3）点G的坐标为（，﹣）或（，﹣）或（3，﹣3）或（，﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，C（6，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣6），将点A（0，﹣4）代入解析式可得，﹣12a＝﹣4，∴a＝．∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣x﹣4．（2）∵AB⊥y轴，A（0，﹣4），∴点B的坐标为（4，﹣4）．∵D（4，0），∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形．∵AE＝m，∴AF＝EF＝m，∴E（m，﹣4+m），F（m，﹣4）．∵四边形EGFH是正方形，∴△EHF是等腰直角三角形，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点．∴H（m，﹣4+m），G（m，﹣4+m）．∵B（4，﹣4），C（6，0），∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12．当点G随着E点运动到达BC上时，有2×m﹣12＝﹣4+m．解得m＝．∴G（，﹣）．（3）存在，理由如下：∵B（4，﹣4），C（6，0），G（m，﹣4+m）．∴BG2＝（4﹣m）2+（m）2，BC2＝（4﹣6）2+（﹣4）2＝20，CG2＝（6﹣m）2+（4﹣m）2．若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形，∴分以下三种情况：①当点B为直角顶点时，BG2+BC2＝CG2，∴（4﹣m）2+（m）2+20＝（6﹣m）2+（4﹣m）2，解得m＝，∴G（，﹣）；②当点C为直角顶点时，BC2+CG2＝BG2，∴20+（6﹣m）2+（4﹣m）2＝（4﹣m）2+（m）2，解得m＝，∴G（，﹣）；③当点G为直角顶点时，BG2+CG2＝BC2，∴（4﹣m）2+（m）2+（6﹣m）2+（4﹣m）2＝20，解得m＝或2，∴G（3，﹣3）或（，﹣）；综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为（，﹣）或（，﹣）或（3，﹣3）或（，﹣）．四．四边形综合题（共2小题）7．（2023•绥化）已知：四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，点F是BC延长线上的一个动点（点F不与点C重合）．连接AF交CD于点G．（1）如图一，当点G为CD的中点时，求证：△ADG≌△FCG；（2）如图二，过点C作CE⊥AF，垂足为E．连接BE，设BF＝x，CE＝y．求y关于x 的函数关系式；（3）如图三，在（2）的条件下，过点B作BM⊥BE，交FA的延长线于点M．当CF＝1时，求线段BM的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）y＝（或者y＝）；（3）BM＝．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，.∴AD∥BF，∴∠D＝∠DCF，∵G为CD中点，∴DG＝CG，∵∠AGD＝∠FGC，∴△ADG≌△FCG（ASA）；（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵CE⊥AF，∴∠CEF＝90°＝∠ABC，∵∠F＝∠F，∴△CEF∽△ABF，∴＝，∵AB＝4，BF＝x，在Rt△ABF中，AF＝＝，∵CE＝y，∴＝，∴y＝（或者y＝）；（3）解：过点E作EN⊥BF于点N，∵四边形ABCD为矩形，AD＝3，∴AD＝BC＝3，∵AB＝4，CF＝1，∴AB＝BF，∴△ABF为等腰直角三角形，∴∠CFE＝∠BAF＝45°，∵CE⊥AF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∵EN⊥CF，∴EN平分CF，∴CN＝NF＝NE＝，在Rt△BNE中，根据勾股定理得：BE2＝BN2+EN2，∴BE＝＝，∵∠ECF＝∠BAF＝45°，∴∠BAM＝∠BCE＝135°，∵BM⊥BE，∴∠MBA+∠ABE＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°，∴∠MBA＝∠EBC，∴△BAM∽△BCE，∴＝＝，∴＝，∴BM＝．8．（2021•绥化）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．（1）求证：△CDE≌△CBH；（2）当时，求的值；（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠DCB＝90°，∵∠ECH＝90°，∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECH﹣∠BCE，即∠DCE＝∠BCH，在△CDE和△CBH中，，∴△CDE≌△CBH（SAS）；（2）解：由（1）得：△CDE≌△CBH，∴∠CDE＝∠CBH，DE＝BH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDB＝∠DBC＝45°，∴∠CDE＝∠CBH＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDH＝135°﹣45°＝90°，∵BH：DH＝1：5，∴设BH＝a，则DH＝5a，∴DE＝BH＝a，在Rt△HDE中，EH＝＝＝a，过C作CM⊥EH于M，过D作DN⊥FH于N，如图1所示：则DN∥CM，∵△DEH的面积＝DN×EH＝DE×DH，∴DN×a＝×a×5a，解得：DN＝a，∵CE＝CH，∠ECH＝90°，∴CM＝EH＝a，∵DN∥CM，∴△FDN∽△FCM，∴＝＝＝；（3）解：过点E作PE∥DH交CF于P，过点E作EQ⊥CF于Q，如图2所示：∵PE∥DH，∴∠BHG＝∠PEF，∠FPE＝∠FDH＝135°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠HBG＝∠FDH＝135°，∴∠HBG＝∠EPF＝135°，∵∠CDE＝135°，∴∠EDQ＝45°，∠EPQ＝45°，∴△PED为等腰直角三角形，∴DE＝PE，由（1）得：△CDE≌△CBH，∴DE＝BH，∴DE＝BH＝PE＝3，在△BHG和△PEF中，，∴△BHG≌△PEF（ASA），∴HG＝EF＝4，∵△PED是等腰直角三角形，∴PD＝DE＝3，∵EQ⊥PD，∴QE＝PD＝，在Rt△FEQ中，sin∠CFE＝＝＝．五．圆的综合题（共3小题）9．（2023•绥化）如图，MN为⊙O的直径，且MN＝15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC于点H．点A在上，点B在上，∠OND+∠AHM＝90°．（1）求证：MH•CH＝AH•BH；（2）求证：＝；（3）在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN＝，求NG的长．【答案】（1）见解答；（2）见解答；（3）．【解答】（1）证明：∵∠ABC和∠AMC是所对的圆周角，∴∠ABC＝∠AMC，∵∠AHM＝∠CHB，∴△AMH∽△CBH，∴，∴MH•CH＝AH•BH．（2）证明：连接OC，交AB于点F，∵MC与ND为一组平行弦，即：MC∥ND，∴∠OND＝∠OMC，∵OM＝OC，∴∠OMC＝∠OCM，∵∠OND+∠AHM＝90°，∴∠OCM+∠AHM＝∠OCM+∠CHB＝90°，∴∠HFC＝90°，∴OC⊥AB，∴OC是AB的垂直平分线，；（3）解：连接DM、DG，过点D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G'，连接G ′D、G′N，∵DG＝DG'，∠G′ND＝∠GND，，DG'＝DM，∴DG＝DM，∴△DGM是等腰三角形，∵DE⊥MN，∴GE＝ME，∵DN∥CM，∴∠CMN＝∠DNM，∵MN为直径，∴∠MDN＝90°，∴∠MDE+∠EDN＝90°，∵DE⊥MN，∴∠DEN＝90°，∴∠DNM+∠EDN＝90°，∴，在Rt△MND中，MN＝15，∴，∴MD＝9，在Rt△MED中，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．10．（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE ⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，，MN＝，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．【答案】（1）证明见解答；（2）1；（3）CE＝．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OM，∵AB⊥MN，且AB为⊙O的直径，MN＝，∴MG＝MN＝，设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，∵，∴AG＝AB＝r，∴OG＝OA﹣AG＝r，在Rt△OGM中，根据勾股定理得，OG2+MG2＝OM2，∴（r）2+（）2＝r2，∴r＝1，即⊙O的半径为1；（3）如图3，作∠ABC的平分线交AC于F，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC＝36°＝∠BAC，∴AF＝BF，设AF＝BF＝x，在△BCF中，∠CBF＝36°，∠C＝72°，∴∠BFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，∴BC＝BF＝x，由（2）知，⊙O的半径为1，∴AB＝AC＝2，∴CF＝AC﹣AF＝2﹣x，∵∠CBF＝∠CAB，∴∠C＝∠C，∴△BCF∽△ACB，∴，∴，∴x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍），∴BC＝﹣1，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴CD＝BC＝，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠ADC，∵∠C＝∠C，∴△DEC∽△ADC，∴，∴，∴CE＝．11．（2022•绥化）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．（1）求证：△CMA∽△CBD．（2）若MN＝10，＝，求BC的长．（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝时，求的值．【答案】（1）证明见解答过程；（2）BC＝3；（3）＝．【解答】（1）证明：连接BM，如图：∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，∴∠DCA＝∠ABM，∵∠MAN＝90°，∴MN为⊙O的直径，∵AB⊥MN，∴＝，∴∠ABM＝∠BAM，∴∠DCA＝∠BAM，∵＝，∴∠BAM＝∠BCM，∴∠DCA＝∠BCM，∴∠DCB＝∠ACM，∵＝，∴∠DBC＝∠AMC，∴△CMA∽△CBD；（2）解：连接OC，如图：由AM＝2AN，设AN＝x，则AM＝2x，∵MN为直径，∴∠NAM＝90°，∴x2+（2x）2＝102，解得x＝2，∴AN＝2，AM＝4，∵AB⊥MN，∴2S△AMN＝AN•AM＝MN•AP，∴AP＝BP＝＝＝4，∴PM＝＝8，∵＝，∴OC⊥MN，∵OC＝OM，∴∠CMO＝45°，∴△PDM是等腰直角三角形，CM＝OM＝5，∴PD＝PM＝8，∴BD＝PD+BP＝12，由（1）知△CMA∽△CBD，∴＝，即＝，∴BC＝3；（3）解：连接CN交AM于K，连接KE，如图：∵MN是⊙O直径，∴∠MCN＝90°＝∠DPM，∴∠CNM＝90°﹣∠CMP＝∠D，∵tan∠MDB＝，∴tan∠CNM＝，∵AB⊥MN，∴＝，∴∠KCE＝∠KME，∴C、K、E、M四点共圆，∵∠NCM＝90°，∴∠KEM＝90°＝∠KEN，而tan∠CNM＝，∴＝，设KE＝3m，则NE＝4m，∵tan∠KME＝＝＝，∴EM＝6m，∴＝＝．方法2：过C作CH⊥MN于H，连接CN，如图：由（1）知△CMA∽△CBD，∴∠BDC＝∠MAC，即∠MDB＝∠MAC＝∠MNC，∴tan∠MNC＝，即＝，设CM＝3k，则CN＝4k，MN＝5k，由CM•CN＝MN•CH可得CH＝＝k，由勾股定理可得MH＝k，NH＝k，∵AM＝2AN，MN＝5k，∴AN＝k，AM＝2k，∴AP＝＝2k＝BP，∴NP＝＝k，∴PH＝MN﹣NP﹣MH＝k，∵PB∥CH，∴＝，即＝，解得PE＝k，∴EH＝k﹣k＝k，∴NE＝PE+NP＝2k，ME＝MH+EH＝k+k＝3k，∴＝．六．作图—复杂作图（共3小题）12．（2023•绥化）已知：点P是⊙O外一点．（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝30°，求∠EDF的度数．【答案】（1）见解答；（2）75°或105°．【解答】解：（1）如图，PE、PF为所作；（2）连接OE、OF，如图，∵PE，PF为⊙O的两条切线，∴OE⊥PE，OF⊥PF，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EOF＝180°﹣∠EPF＝180°﹣30°＝150°，当点D在优弧EF上时，∠EDF＝∠EOF＝75°，当点D′在弧EF上时，∠ED′F＝180°﹣∠EDF＝180°﹣75°＝105°，综上所述，∠EDF的度数为75°或105°．13．（2022•绥化）已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【答案】（1）作图见解析部分；（2）9.1cm2．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．14．（2021•绥化）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC 上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是　9　cm．【答案】（1）作图见解析部分．（2）9．【解答】解：（1）如图，点E即为所求．（2）∵MN垂直平分线段PC，∴EP＝EC，∴△APE的周长＝AP+AE+EP＝AP+AE+EC＝AP+AC＝3+6＝9（cm），故答案为：9．七．作图-位似变换（共1小题）15．（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．【答案】（1）作图见解析部分．（2）4+π．【解答】解：（1）如图，△OA′B′或△OA″B″即为所求．（2）如图，△OA1B1即为所求．OB＝＝2，线段OB旋转过程中所形成扇形的周长＝2×2+＝4+π．八．相似形综合题（共1小题）16．（2022•绥化）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G．利用面积证明：DE+DF＝CG．（2）如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B'处，点G 为折痕EF上一点，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N．若BC＝8，BE＝3，求GM+GN 的长．（3）如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，连接BD，且＝，BC＝，CD＝3，BD＝6，求ED+EA的长．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）．【解答】（1）证明：连接AD，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴＝，∵AB＝AC，∴DE+DF＝CG；（2）解：∵将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，∴∠AFE＝∠EFC，AE＝CE，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∵BC＝8，BE＝3，∴CE＝AE＝5，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB＝4，∴等腰△CEF中，CE边上的高为4，由（1）知，GM+GN＝4；（3）解：延长BA、CD交于G，作BH⊥CD于H，∵＝，∠BAE＝∠EDC＝90°，∴△BAE∽△CDE，∴∠ABE＝∠C，∴BG＝CG，∴ED+EA＝BH，设DH＝x，由勾股定理得，62﹣x2＝（）2﹣（x+3）2，解得x＝1，∴DH＝1，∴BH＝＝，∴ED+EA＝．九．解直角三角形的应用（共3小题）17．（2023•绥化）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D点继续沿DE的方向走（12+12）米到达P点．求tan∠CPE的值．【答案】（1）（20+20）米；（2）．【解答】解：如图，过点C作CH⊥EF于点H，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝，∴HB＝CH，在Rt△CHD中，∠CDH＝45°，∴CH＝DH，又∵BH﹣DH＝BD＝40，∴CH﹣CH＝40，解得CH＝20+20，即河两岸之间的距离是（20+20）米；（2）在Rt△CHP中，HP＝HD＝PD＝20+20﹣（12+12）＝8+8，∴tan∠CPE＝＝＝＝．。

黑龙江省哈尔滨市哈三中2025届高考数学二模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1632．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．353．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．564．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．52B ．23C ．8D ．835．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，1|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞6．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321D ．1962-9．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．110．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．33y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±12．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

武汉中考数学23题专题-二次函数应用1．（2014•武汉四月调考）某工厂生产一种矩形材料板，其长宽之比为3：2．每张材料板的成本c（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张材料板的销售价格y（单位：元）与其宽x之间满足我们学习过的三种函（2）若一张材料板的利润w为销售价格y与成本c的差．①请直接写出一张材料板的利润w与其宽x之间的函数关系，不要求写出自变量的取值范围；②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大？最大利润是多少．2．（2001•安徽）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？3．（2014•合肥模拟）某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．每台机器产生的次品数p（千件）与每台机器的日产量x（千件）（生产条件要求4≤x≤12）之间变千元．（利润=盈利﹣亏损）（1）观察并分析表中p与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识求出p（千件）与x（千件）的函数解析式；（2）设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为y（千元），试将y表示x的函数；并求当每台机器的日产量x（千件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？4．（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y （万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？5．（2013•沙市区三模）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，得到了系，你觉得哪个合适？并写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）按照（1）中的销售规律，请你推断，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为多少？此时，获得日销售利润是多少？（3）为了防范风险，该公司将日进货成本控制在900元（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要想获得的日销售利润最大，那么销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．6．（2012•新区二模）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下2+bx，B与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）求出y B与x的函数关系式；（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？7．“哪里的民营经济发展得好，哪里的经济就越发达．”恒强科技公司在重庆市委市政府这一执政理念的鼓舞下，在已有高科技产品A产生利润的情况下，决定制定一个开发利用高科技产品B的10年发展规划，该规翘晦年的专项投资资金是50万元，在前五年，每年从专项资金中最多拿出25万元投入到产品A使它产生利润，剩下的资金全部A中x万元时产生的利润y1（万元）满足下表的关系A继续产生利润的同时产品B也产生利润，每年投入到产品B中x万元时产生的利润y2（万元）满足．（1）请观察题目中的表格，用所学过的一次函数、二次函数或反比例函数的相关知识，求出y1与x的函数关系式？（2）按照此发展规划，求前5年产品A产生的最大利润之和是多少万元？（3）后5年，专项资金全部投入到产品A、产品B使它们产生利润，求后5年产品A、产品B产生的最大利润之和是多少万元？8．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．而且物价部门规定这种产品的销售价不得/千克）的变化如下表：设这种产品每天的销售利润为y（元）．（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出w与x所满足的函数关系式，并求出y与x所满足的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？9．某商品每件成本60元，试销阶段每件商品的销售价x（元）与商品的日销售量y（件）之间的关系如下表，其（2）要使每日的销售利润最大，每件商品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少？（3）要使这种商品每日的销售利润不低于600元，且每件商品的利润率不得高于40%，那么该商品的销售价x应定为多少？请直接写出结果．y与x 的函数关系，并求出函数关系式．（2）当销售单价定为多少时，该厂试销该公益品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）（3）当地民政部门规定，若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过46元/件时，该厂每销售一件此公益品，国家就补贴该厂a元利润（a＞4），公司通过销售记录发现，日销售利润随销售单价的增大而增大，求a的取值范围．11．（2011•南昌模拟）阅读下列文字2010年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为20元，经市场发现该商品在未来40天内的日销售量为未来40天内，前20天每天的价格b（元/件）与时间t的关系为b=t+25（1≤t≤20），后20天每天价格为c（元/件）与时间t的关系式为c=﹣t+40（21≤t≤40）解得下列问题（1）分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数，反比例函数知识确定一个满足这些数据的a与t的函数关系式；（2）请预测未来40天中哪一天日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件就捐赠n元（n＜4）利润给亚运会组委会，通过销售记录发现前20天中，每天扣除捐赠后利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．12．2009年11月4日，上海市人民政府新闻办宣布上海迪斯尼项目报告已获国家有关部门核准．相应的周边城市效应也随即带动，某周边城市计划开通至上海的磁悬浮列车，列车走完全程包含启动加速、均匀运行、制动减速三200秒，在这段时间内的相关数据如表所示：（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段（0≤t≤200）速度v与时间t的函数关系，路程s与时间t的函数关系．（2）最新研究表明，此种列车的稳定运行速度可达180米/秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中，路程、速度随时间的变化关系任然满足（1）中的函数关系式，并且制动减速所需路程与启动加速的路程相同，根据以上要求，至少要建多长的轨道才能满足实验检测要求？13．（2013•蕲春县模拟）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，4月份y与x 的函数关系式；（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=﹣x2+bx+c，请求出5月份y与x的函数关系式；（3）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？14．（2014•宜兴市模拟）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活逐渐成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，今年前5个月二氧化碳排放量y（吨）与月份x（月）之间的关系如下（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数关系能表示y和x的变化规律，请写出y 与x的函数关系式；（2）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p （万元）与月份x（月）的函数关系如图所示，那么今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？（3）受国家政策的鼓励，该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）（参考数据：，，，）15．（2010•安庆一模）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如图．未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（1≤t≤20，且t为整数），后20天每天的价格30元/件（21≤t≤40，且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．16．中央综治委在对全国各省市自治区2010年社会治安综合治理考评中，重庆市以93.48分居全国第一，成为全国最安全、最稳定的城市之一．市政府非常重视交巡警平台的建设，据统计，某行政区在去年前7个月内，交巡警2x（月）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；（2）2012年一月份，政府计划该区的交巡警平台数量比去年12份减少a%，在去年12月份的基础上每一个交巡警平台所需的资金量将增加0.1a%，某民营企业为表示对“平安重庆”的鼎力支持，决定在1月份对每个交巡警平台分别赞助30000元．若政府计划一月份用于交巡警平台的资金总额为126万元，请参考以下数据，估计a的整数值．（参考数据：872=7569，882=7744，892=7921）17．（2012•重庆模拟）樱桃含铁量位于各种水果之首，常食樱桃可促进血红蛋白再生，既可防治缺铁性贫血，又可增强体质，健脑益智．樱桃营养丰富，具有调中益气，健脾和胃，祛风湿，“令人好颜色，美志性”之功效，对食欲不振，消化不良，风湿身痛等症状均有益处，今年4月份，某樱桃种植基地种植的樱桃喜获丰收，4月1日至10（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出z与x之间满足的一次函数关系式；（2）若采摘樱桃的人员费用m（元）与销售量z（千克）之间的函数关系式为：m=0.1z+100．则4月份前10天，哪天销售樱桃的利润最大，求出这个最大利润；（3）在（1）问的基础上，4月11日至4月12日，该樱桃种植基地调整了销售价格，每天都比前一天增加a%（0＜a＜20），在此影响下，销售量每天都比前一天减少100千克，若这两天销售樱桃的利润为80330元，请你参考以下数据，通过计算估算出整数值．（参考数据：742=5476，74.52=5550.25，752=5625）（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的y（个）与x（元∕个）之间的关系式；（2）当销售单价定为多少时，该厂试销这种镜子每天获得的总利润最大？最大利润是多少？（总利润=每个镜子的利润×销售量）参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．（2014•武汉四月调考）某工厂生产一种矩形材料板，其长宽之比为3：2．每张材料板的成本c（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张材料板的销售价格y（单位：元）与其宽x之间满足我们学习过的三种函（2）若一张材料板的利润w为销售价格y与成本c的差．①请直接写出一张材料板的利润w与其宽x之间的函数关系，不要求写出自变量的取值范围；②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大？最大利润是多少．x﹣（x=2．（2001•安徽）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？由题意得：，3．（2014•合肥模拟）某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．每台机器产生的次品数p（千件）与每台机器的日产量x（千件）（生产条件要求4≤x≤12）之间变千元．（利润=盈利﹣亏损）（1）观察并分析表中p与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识求出p（千件）与x（千件）的函数解析式；（2）设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为y（千元），试将y表示x的函数；并求当每台机器的日产量x（千件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？4．（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y （万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？x+8x+8x（[（万元时，即﹣（x+85．（2013•沙市区三模）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，得到了系，你觉得哪个合适？并写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）按照（1）中的销售规律，请你推断，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为多少？此时，获得日销售利润是多少？（3）为了防范风险，该公司将日进货成本控制在900元（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要想获得的日销售利润最大，那么销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．，=136．（2012•新区二模）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下2+bx，B与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）求出y B与x的函数关系式；（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？求解得：，，7．“哪里的民营经济发展得好，哪里的经济就越发达．”恒强科技公司在重庆市委市政府这一执政理念的鼓舞下，在已有高科技产品A产生利润的情况下，决定制定一个开发利用高科技产品B的10年发展规划，该规翘晦年的专项投资资金是50万元，在前五年，每年从专项资金中最多拿出25万元投入到产品A使它产生利润，剩下的资金全部A中x万元时产生的利润y1（万元）满足下表的关系A继续产生利润的同时产品B也产生利润，每年投入到产品B中x万元时产生的利润y2（万元）满足．（1）请观察题目中的表格，用所学过的一次函数、二次函数或反比例函数的相关知识，求出y1与x的函数关系式？（2）按照此发展规划，求前5年产品A产生的最大利润之和是多少万元？（3）后5年，专项资金全部投入到产品A、产品B使它们产生利润，求后5年产品A、产品B产生的最大利润之和是多少万元？x﹣+（a a﹣+8．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．而且物价部门规定这种产品的销售价不得/千克）的变化如下表：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出w与x所满足的函数关系式，并求出y与x所满足的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？．9．某商品每件成本60元，试销阶段每件商品的销售价x（元）与商品的日销售量y（件）之间的关系如下表，其（2）要使每日的销售利润最大，每件商品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少？（3）要使这种商品每日的销售利润不低于600元，且每件商品的利润率不得高于40%，那么该商品的销售价x应定为多少？请直接写出结果．，y与x 的函数关系，并求出函数关系式．（2）当销售单价定为多少时，该厂试销该公益品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）（3）当地民政部门规定，若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过46元/件时，该厂每销售一件此公益品，国家就补贴该厂a元利润（a＞4），公司通过销售记录发现，日销售利润随销售单价的增大而增大，求a的取值范围．，a（aa11．（2011•南昌模拟）阅读下列文字2010年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为20元，经市场发现该商品在未来40天内的日销售量为未来40天内，前20天每天的价格b（元/件）与时间t的关系为b=t+25（1≤t≤20），后20天每天价格为c（元/件）与时间t的关系式为c=﹣t+40（21≤t≤40）解得下列问题（1）分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数，反比例函数知识确定一个满足这些数据的a与t的函数关系式；（2）请预测未来40天中哪一天日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件就捐赠n元（n＜4）利润给亚运会组委会，通过销售记录发现前20天中，每天扣除捐赠后利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．）将t+5t﹣（﹣（t12．2009年11月4日，上海市人民政府新闻办宣布上海迪斯尼项目报告已获国家有关部门核准．相应的周边城市效应也随即带动，某周边城市计划开通至上海的磁悬浮列车，列车走完全程包含启动加速、均匀运行、制动减速三200秒，在这段时间内的相关数据如表所示：0≤t≤200）速度v与时间t的函数关系，路程s与时间t的函数关系．（2）最新研究表明，此种列车的稳定运行速度可达180米/秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中，路程、速度随时间的变化关系任然满足（1）中的函数关系式，并且制动减速所需路程与启动加速的路程相同，根据以上要求，至少要建多长的轨道才能满足实验检测要求？t tk=v=ttv=，s=ts=tt13．（2013•蕲春县模拟）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，4月份y与x 的函数关系式；（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=﹣x2+bx+c，请求出5月份y与x的函数关系式；（3）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？x，x2）﹣（（2x+3.1）﹣（﹣x+2x x+1.1，W=﹣14．（2014•宜兴市模拟）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活逐渐成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，今年前5个月二氧化碳排放量y（吨）与月份x（月）之间的关系如下（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数关系能表示y和x的变化规律，请写出y 与x的函数关系式；（2）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p （万元）与月份x（月）的函数关系如图所示，那么今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？（3）受国家政策的鼓励，该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）（参考数据：，，，）∴15．（2010•安庆一模）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如图．未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（1≤t≤20，且t为整数），后20天每天的价格30元/件（21≤t≤40，且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．，，，（，只有当。

广东省深圳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．实数的运算（共1小题）1．（2023•深圳）计算：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°．二．二元一次方程组的应用（共1小题）2．（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．（1）求A，B玩具的单价；（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？三．反比例函数综合题（共1小题）3．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k 倍．（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ （填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？ ．b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；c．请直接写出当结论成立时k的取值范围： ．四．二次函数综合题（共1小题）4．（2023•深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．五．四边形综合题（共2小题）5．（2023•深圳）（1）如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE＝BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；②若S矩形ABCD＝20时，则BE•CF＝ ．（2）如图2，在菱形ABCD中，cos A＝，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E 作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD＝24时，求EF•BC的值．（3）如图3，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，AD＝5，点E在CD上，且CE＝2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF•EG＝7时，请直接写出AG的长．6．（2022•深圳）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．六．圆的综合题（共1小题）7．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF ∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度．（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线并与半圆O交于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．七．作图—应用与设计作图（共1小题）8．（2023•深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；②连接OC，交⊙O于点D；③连接BD，与AC交于点E．（1）求证：DB为⊙O的切线；（2）求AE的长度．八．相似形综合题（共1小题）9．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE 中点，连接BH、BF、HF，发现和∠HBF为定值．（1）①＝ ；②∠HBF＝ ；③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，＝k，∠BDA ＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．求①＝ ；（用k的代数式表示）②＝ ．（用k、θ的代数式表示）九．频数（率）分布折线图（共1小题）10．（2021•深圳）随机调查某城市30天空气质量指数（AQI），绘制成扇形统计图．空气质量等级空气质量指数（AQI）频数优AQI≤50m良50＜AQI≤10015中100＜AQI≤1509差AQI＞150n（1）m＝ ，n＝ ；（2）求良的占比；（3）求差的圆心角；（4）统计表是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从统计表中可以得到空气污染指数为中的有9天．根据统计表可知，一个月（30天）中有 天AQI为中，估测该城市一年（以360天计）中大约有 天AQI为中．一十．列表法与树状图法（共1小题）11．（2022•深圳）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ；（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．广东省深圳市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共1小题）1．（2023•深圳）计算：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°．【答案】．【解答】解：（1+π）0+2﹣|﹣3|+2sin45°＝1+2﹣3+2×＝0+＝．二．二元一次方程组的应用（共1小题）2．（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．（1）求A，B玩具的单价；（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？【答案】（1）A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）100个．【解答】解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，根据题意得：2（x+25）+x＝200，解得：x＝50，可得x+25＝50+25＝75，则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；（2）设商场可以购置A玩具y个，根据题意得：50y+75×2y≤20000，解得：y≤100，则最多可以购置A玩具100个．三．反比例函数综合题（共1小题）3．（2021•深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k 倍．（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？　不存在　（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？　存在　．b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：　k≥　．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，对应的边长为：4和，不符合题意，∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．故答案为：不存在．（2）①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，联立，得：2x2﹣5x+6＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，∴此方程无解，∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．②a：从图象看来，函数y＝﹣x+10和函数y＝图象在第一象限有两个交点，∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．故答案为：存在．b：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，联立，得：2x2﹣5x+6＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，∴此方程无解，∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．从图象看来，函数y＝﹣x+2.5和函数y＝图象在第一象限没有交点，∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．c：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝5k，xy＝6k，联立，得：x2﹣5kx+6k＝0，∴Δ＝（﹣5k）2﹣4×1×6k＝25k2﹣24k，设方程的两根为x1，x2，当Δ≥0即25k2﹣24k≥0时，x1+x2＝5k＞0，x1x2＝6k＞0，解得：k≥或k≤0（舍），∴k≥时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍．故答案为：k≥．四．二次函数综合题（共1小题）4．（2023•深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．【答案】（1）抛物线表达式为．（2）两个正方形装置的间距GM的长为．（3）CK的长为．【解答】解：（1）∵AB＝4，AD＝3，E（0，4），∴A（﹣2，3），B（2，0），C（2，0），D（2，3），设抛物线表达式为y＝ax2+bx+c，将A、D、E三点坐标代入表达式，得，解得．∴抛物线表达式为．答：抛物线表达式为．（2）设G（﹣t，3），则L（﹣t﹣），∴，解得（负值舍去），∴GM＝2t＝．答：两个正方形装置的间距GM的长为．（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，∵FK∥AC，设，∴，得，∴，解得m＝，∴直线FK的解析式为，令y＝0，得x＝，∴．∴CK＝BK﹣BC＝＝答：CK的长为．五．四边形综合题（共2小题）5．（2023•深圳）（1）如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE＝BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；②若S矩形ABCD＝20时，则BE•CF＝　20　．（2）如图2，在菱形ABCD中，cos A＝，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E 作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD＝24时，求EF•BC的值．（3）如图3，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，AD＝5，点E在CD上，且CE＝2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF•EG＝7时，请直接写出AG的长．【答案】答案：（1）①见解析；②20；（2）32；（3）3 或4或．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，则∠A＝∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，又∵CF⊥BC，∴∠FCB+∠CBF＝90°，∠CFB＝∠A＝90°，∴∠FCB＝∠ABE，又∵BC＝BE，∴△ABE≌△FCB（AAS）；②由①可得∠FCB＝∠ABE，∠CFB＝∠A＝90°，∴△ABE∽△FCB．∴＝，又∵S矩形ABCD＝AB•CD＝20，∴BE•CF＝AB•BC＝20，（2）∵在菱形ABCD中，，∴AD∥BC，AB＝BC，则∠CBE＝∠A，∵CE⊥AB，∠CEB＝90°，∴，∴，1∴，∵EF⊥AD，CE⊥AB，∴∠AFE＝∠BEC＝90°，又∵∠CBE＝∠A，∴△AFE∽△BEC，∴，∴EF•BC＝AE•CE＝AB×CE＝S菱形ABCD＝×24＝32；（3）①当点G在AD边上时，如图所示，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，∵平行四边形ABCD中，AB＝6，CE＝2，∴CD＝AB＝6，DE＝DC﹣EC＝6﹣2＝4，∵DM∥FC，∴△EDM∽△ECF，∴，＝＝2，∴S△MGE＝2S△EFG＝EF•EG＝7，在Rt△DEH中，∠HDE＝∠A＝60°，则，，1∴，∴MG＝7，∵GE⊥EF，EH⊥MG，∠MEH＝90°﹣∠HEG＝∠HGE，∴tan∠MEH＝tan∠HGE，∵，∴HE2＝HM•HG，设AG＝a，则GD＝AD﹣AG＝5﹣a，GH＝GD+HD＝5﹣a+2＝7﹣a，HM＝GM﹣GH＝7﹣（7﹣a）＝a，，解得：a＝3或a＝4，即AG＝3或AG＝4，②当G点在AB边上时，如图所示，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，设AG＝x，则DN＝AG＝x，EN＝DE﹣DN＝4﹣x，∵GN∥CM，∴△ENG∽△ECM，∴，∴，∴，∵EF•，∴，过点E作EH⊥BC于点H，在Rt△EHC中，EC＝2，∠ECH＝60°，∴，CH＝1，∴，则，∴，∴，，∵∠MEF＝∠EHM＝90°，∠FEH＝90°﹣∠MEH＝∠M，∴tan∠FEH＝tan∠M，即，∴EH2＝FH•HM，即，解得：x2＝8 （舍去），即；③当G点在BC边上时，如图所示，过点B作BT⊥DC于点T，在Rt△BTC中，，，，EF•EG＝7，∴，∵，∴G点不可能在BC边上，综上所述，AG的长为3或4或．6．（2022•深圳）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）AE的长为；（3）CP的长为或．【解答】（1）证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，∴∠BFG＝90°＝∠C，∵AB＝BC＝BF，BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）；（2）解：延长BH，AD交于Q，如图：设FH＝HC＝x，在Rt△BCH中，BC2+CH2＝BH2，∴82+x2＝（6+x）2，解得x＝，∴DH＝DC﹣HC＝，∵∠BFG＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠FBG，∴△BFG∽△BCH，∴＝＝，即＝＝，∴BG＝，FG＝，∵EQ∥GB，DQ∥CB，∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，∴＝，即＝，∴DQ＝，设AE＝EF＝m，则DE＝8﹣m，∴EQ＝DE+DQ＝8﹣m+＝﹣m，∵△EFQ∽△GFB，∴＝，即＝，解得m＝，∴AE的长为；方法2：连接GH，如图：∵CH＝FH，GH＝GH，∴Rt△FGH≌Rt△CGH（HL），∴CG＝FG，设CG＝FG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△BFG中，BF2+FG2＝BG2，∴62+x2＝（8﹣x）2，解得x＝，∴BG＝BC﹣x＝，∵∠GBE＝∠AEB＝∠FEB，∴EG＝BG＝，∴EF＝EG﹣FG＝；∴AE＝；（3）解：方法一：（Ⅰ）当DE＝DC＝2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图：设DQ＝x，QE＝y，则AQ＝6﹣x，∵CP∥DQ，∴△CPE∽△QDE，∴＝＝2，∴CP＝2x，∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，∴AE是△AQF的角平分线，∴＝，即＝①，∵∠D＝60°，∴DH＝DQ＝x，HE＝DE﹣DH＝2﹣x，HQ＝DH＝x，在Rt△HQE中，HE2+HQ2＝EQ2，∴（2﹣x）2+（x）2＝y2②，联立①②可解得x＝，∴CP＝2x＝；（Ⅱ）当CE＝DC＝2时，延长FE交AD延长线于Q'，过Q'作Q'H'⊥CD交CD延长线于H'，如图：设DQ'＝x'，Q'E＝y'，则AQ'＝6+x'，同理∠Q'AE＝∠EAF，∴＝，即＝，由H'Q'2+H'E2＝Q'E2得：（x'）2+（x'+4）2＝y'2，可解得x'＝，∴CP＝x'＝，综上所述，CP的长为或．方法二：（Ⅰ）当DE＝DC＝2时，连接CF，过P作PK⊥CD于K，如图：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，AD＝AC，∴∠PCK＝60°，∵将△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴∠AFE＝∠D＝60°＝∠ACB，AF＝AD＝AC，EF＝DE＝2，∴∠AFC＝∠ACF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PF＝PC，设PF＝PC＝2m，在Rt△PCK中，CK＝m，PK＝m，∴EK＝EC﹣CK＝4﹣m，在Rt△PEK中，EK2+PK2＝PE2，∴（4﹣m）2+（m）2＝（2+2m）2，解得m＝，∴PC＝2m＝；（Ⅱ）当CE＝DC＝2时，连接CF，过P作PT⊥CD交DC延长线于T，如图：同（Ⅰ）可证AC＝AD＝AF，∠ACB＝60°＝∠D＝∠AFE，∴∠ACF＝∠AFC，∴∠ACF﹣∠ACB＝∠AFC﹣∠AFE，即∠PCF＝∠PFC，∴PC＝PF，设PC＝PF＝2n，在Rt△PCT中，CT＝n，PT＝n，∴ET＝CE+CT＝2+n，EP＝EF﹣PF＝DE﹣PF＝4﹣2n，在Rt△PET中，PT2+ET2＝PE2，∴（n）2+（2+n）2＝（4﹣2n）2，解得n＝，∴PC＝2n＝，综上所述，CP的长为或．六．圆的综合题（共1小题）7．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF ∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度．（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线并与半圆O交于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．【答案】（1）2；（2）；（3）4+π．【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，∴DF是△COM的中位线，∴点D是OC的中点，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2；（2）如图②，过点N作ND⊥OH于点D，∵∠OHN＝45°，∴△NHD是等腰直角三角形，∴ND＝HD，∵tan∠COH＝，∠NDO＝90°，∴＝，设ND＝3x＝HD，则OD＝4x，∵OH＝OA＝4，∴OH＝3x+4x＝4，∴x＝，∴ND＝×3＝，OD＝×4＝，∴ON＝＝；（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+的长，∵∠HOM＝50°，OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH＝65°，∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，∴∠OTH＝∠OHT＝65°，∴∠TOH＝50°，∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴的长＝＝π，∴点N的运动路径长＝4+π．七．作图—应用与设计作图（共1小题）8．（2023•深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；②连接OC，交⊙O于点D；③连接BD，与AC交于点E．（1）求证：DB为⊙O的切线；（2）求AE的长度．【答案】（1）见解答；（2）1.5．【解答】解：如图：（1）∵AC是圆的切线，∴∠OAC＝90°，∴AC＝5，由题意得：OD＝AO＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，∴△AOC≌△DOB（SAS），∴∠ODB＝∠OAC＝90°，∵OD是圆的半径，∴DB为⊙O的切线；（2）∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAO，∴，即：，解得：CE＝2.5，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2.5＝1.5．八．相似形综合题（共1小题）9．（2021•深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE 中点，连接BH、BF、HF，发现和∠HBF为定值．（1）①＝ ；②∠HBF＝　45°　；③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，＝k，∠BDA ＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．求①＝ ；（用k的代数式表示）②＝ ．（用k、θ的代数式表示）【答案】（1）①；②45°；③见解答过程；（2）①；②．【解答】解：①；②45°；③由正方形的性质得：，O为AC的中点，又∵H为CE的中点，∴OH∥AE，OH＝，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝，∴，∵OH∥AE，∴∠COH＝∠CAE，∴∠BOH＝∠BAF，∴△BOH∽△BAF，∴，∴∠HBF＝∠HBO+∠DBF＝∠DBA＝45°；（2）①如图2，连接AC交BD于点O，连接OH，由（1）中③问同理可证：△DOH∽△DAF，∴，②由①知：△DOH∽△DAF，∴∠HDO＝∠FDA，∴∠HDF＝∠BDA＝θ，在△HDF中，，设DF＝2t，HD＝kt，作HM⊥DF于M，∴HM＝DH×sinθ＝kt sinθ，DM＝kt cosθ，∴MF＝DF﹣DM＝（2﹣k cosθ）t，在Rt△HMF中，由勾股定理得：HF＝，∴．九．频数（率）分布折线图（共1小题）10．（2021•深圳）随机调查某城市30天空气质量指数（AQI），绘制成扇形统计图．空气质量等级空气质量指数（AQI）频数优AQI≤50m良50＜AQI≤10015中100＜AQI≤1509差AQI＞150n（1）m＝　4　，n＝　2　；（2）求良的占比；（3）求差的圆心角；（4）统计表是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从统计表中可以得到空气污染指数为中的有9天．根据统计表可知，一个月（30天）中有　9　天AQI为中，估测该城市一年（以360天计）中大约有　108　天AQI为中．【答案】（1）4，2；（2）50%；（3）24°；（4）9，108．【解答】解：（1）根据题意，得m＝×30＝4，所以n＝30﹣4﹣15﹣9＝2，故答案为：4，2；（2）良的占比＝×100%＝50%；（3）差的圆心角＝×360°＝24°；（4）根据折线图，一个月（30天）中有9天AQI为中，估测该城市一年（以360天计）中大约有360×＝108（天）AQI为中．故答案为：9，108．一十．列表法与树状图法（共1小题）11．（2022•深圳）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查总人数为　50人　，“合格”人数的百分比为　40%　；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为　115.2°　；（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）本次抽查的总人数为8÷16%＝50（人），“合格”人数的百分比为1﹣（32%+16%+12%）＝40%，故答案为：50人，40%；（2）补全图形如下：（3）扇形统计图中“不合格”人数的度数为360°×32%＝115.2°，故答案为：115.2°；（4）列表如下：甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，所以刚好抽中甲乙两人的概率为＝．故答案为：．。

2021上海中考数学23题解题技巧2021上海中考数学23题解题技巧引言数学是一门需要不断探索和思考的学科，解题技巧对于学生在中考中发挥出色至关重要。

本文将介绍2021年上海中考数学23题的解题技巧，帮助学生提高解题能力。

技巧一：理解题目要求在解题之前，首先要仔细阅读题目，理解题目要求。

可以在纸上标记关键信息，帮助我们更好地审题。

技巧二：画图辅助思考对于几何类题目，常常适用于画图辅助思考的方法。

通过画出图形，可以更清晰地理解问题，并且更容易找到解题思路。

在解答过程中，可以随时修改图形，添加辅助线等来帮助解题。

技巧三：利用已知条件推导结论当遇到较复杂的题目时，可以先利用已知条件推导出一些结论，以便在后续解题中使用。

这样可以帮助我们简化问题，减少思考的难度。

技巧四：考虑特殊情况有些题目在特殊情况下会出现规律，因此可以尝试通过特殊值来验证或推导结论。

通过考虑特殊情况，我们可以发现隐藏在题目中的规律，从而更容易解决问题。

技巧五：尝试逆向思维逆向思维是指从问题的答案出发，倒推回问题的过程。

当我们无法通过正向思维解题时，可以尝试逆向思考，从题目给定的答案出发，推导出问题的解决方法。

技巧六：合理利用公式和定理在数学中，有许多公式和定理可以帮助我们解决问题。

合理利用这些公式和定理，可以有效地简化求解过程。

在解题过程中，要熟练掌握常用的公式和定理，并且合理应用到题目中。

技巧七：勤于总结归纳数学是一门需要积累和总结的学科。

在解题过程中，积极总结解题方法、技巧和规律是提高解题能力的关键。

通过总结归纳，我们可以发现问题解决的套路和规律，为以后的解题提供参考。

结论解题技巧是提高数学解题能力的关键。

在中考中遇到较难的数学题目，我们可以通过理解题目要求、画图辅助思考、推导结论、考虑特殊情况、逆向思维、利用公式和定理，并勤于总结归纳等方法来解决问题。

希望本文能够帮助学生更好地应对2021年上海中考数学23题。

技巧八：分析选项排除法在解题过程中，如果遇到不确定的选项，可以尝试通过排除法来确定正确答案。

2024届黑龙江省哈尔滨市第六十中学中考数学模拟精编试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是15，则n的值为（）A．10 B．8 C．5 D．3 2．如图，数轴A、B上两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是( )A．a＋b>0 B．ab >0 C．D．3．在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是25，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为14，则原来盒里有白色棋子（）A．1颗B．2颗C．3颗D．4颗4．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=22．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( )A．5个B．4个C．3个D．2个6．如图，等腰△ABC的底边BC与底边上的高AD相等，高AD在数轴上，其中点A，D分别对应数轴上的实数﹣2，2，则AC 的长度为（ ）A ．2B ．4C ．25D ．457．有15位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前8位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这15位同学的（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差 8．将抛物线221y x =-+向右平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A ．()2212y x =---B ．()2212y x =-+- C ．()2214y x =--+ D ．()2214y x =-++ 9．如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）A ．主视图不变，左视图不变B ．左视图改变，俯视图改变C ．主视图改变，俯视图改变D ．俯视图不变，左视图改变10．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile 的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离为（ ）A ．3n mileB ．2 n mileC ．3n mileD ．2 n mile二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．在Rt △ABC 中,∠C =90∘,若AB =4,sin A =35，则斜边AB 边上的高CD 的长为________. 12．函数1x y x =-的自变量x 的取值范围是_____．13．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AC ＝6cm ，则AB 的长是_____．14．比较大小：23_______3（填“>”或“<”或“=”）15．已知图中Rt △ABC ，∠B=90°,AB=BC,斜边AC 上的一点D ，满足AD=AB ，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α （0°<α<360°），得到线段AC’，连接DC’，当DC’//BC 时，旋转角度α 的值为_________,16．不解方程，判断方程2x 2+3x ﹣2＝0的根的情况是_____．17．规定用符号[]m 表示一个实数m 的整数部分，例如：203⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]3.143=．按此规定，101⎡⎤+⎣⎦的值为________． 三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用.张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）19．（5分）在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为（﹣t ，y 1）和（t ，y 2）（其中t 为常数且t ＞0），将x ＜﹣t 的部分沿直线y ＝y 1翻折，翻折后的图象记为G 1；将x ＞t 的部分沿直线y ＝y 2翻折，翻折后的图象记为G 2，将G 1和G 2及原函数图象剩余的部分组成新的图象G ． 例如：如图，当t ＝1时，原函数y ＝x ，图象G 所对应的函数关系式为y ＝2(1)(11)2(1)x x x x x x --<-⎧⎪-≤≤⎨⎪-+>⎩．（1）当t ＝12时，原函数为y ＝x +1，图象G 与坐标轴的交点坐标是 ． （2）当t ＝32时，原函数为y ＝x 2﹣2x ①图象G 所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是 ．②图象G 所对应的函数是否有最大值，如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．（3）对应函数y ＝x 2﹣2nx +n 2﹣3（n 为常数）．①n ＝﹣1时，若图象G 与直线y ＝2恰好有两个交点，求t 的取值范围．②当t ＝2时，若图象G 在n 2﹣2≤x ≤n 2﹣1上的函数值y 随x 的增大而减小，直接写出n 的取值范围．20．（8分）关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22﹣x 1x 2=8，求m 的值．21．（10分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景线.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海地隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得PA ，PB 与观光船航向PD 的夹角18DPA ∠=︒，53DPB ∠=︒，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长（参考数据：180.31sin ︒≈，180.95cos ︒≈，180.33tan ︒≈，530.80sin ︒≈，530.60cos ︒≈，53 1.33tan ︒≈）.22．（10分）《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱.若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？请解答上述问题.23．（12分）某文具店购进A ，B 两种钢笔，若购进A 种钢笔2支，B 种钢笔3支，共需90元；购进A 种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元．（1）求A、B两种钢笔每支各多少元？（2）若该文具店要购进A，B两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，并且A种钢笔的数量少于B种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案？（3）文具店以每支30元的价格销售B种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B 种钢笔，涨价卖出，经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖68支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将新购进的B种钢笔每支涨价a元（a为正整数），销售这批钢笔每月获利W元，试求W与a之间的函数关系式，并且求出B种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？24．（14分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】∵摸到红球的概率为15，∴21 25n=+，解得n=8，故选B．2、C【解题分析】本题要先观察a，b在数轴上的位置，得b＜-1＜0＜a＜1，然后对四个选项逐一分析．【题目详解】A、因为b＜-1＜0＜a＜1，所以|b|＞|a|，所以a+b＜0，故选项A错误；B、因为b＜0＜a，所以ab＜0，故选项B错误；C、因为b＜-1＜0＜a＜1，所以+＞0，故选项C正确；D、因为b＜-1＜0＜a＜1，所以-＞0，故选项D错误．故选C．【题目点拨】本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上右边的数总是大于左边的数．3、B【解题分析】试题解析：由题意得25134xx yxx y⎧⎪+⎪⎨⎪⎪++⎩＝＝，解得：23 xy⎧⎨⎩＝＝．故选B．4、A【解题分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AEBC=AFCF，由AE=12AD=12BC，推出AFCF=12，即CF=2AF；③正确．只要证明DM垂直平分CF，即可证明；④正确．设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有ba=2ab，即b2a，可得tan∠CAD=CDAD=2ba2．【题目详解】如图，过D作DM∥BE交AC于N．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∴∠EAC=∠ACB．∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC=AFCF．∵AE=12AD=12BC，∴AFCF=12，∴CF=2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=12BC，∴BM=CM，∴CN=NF．∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有ba=2ab，即b=2a，∴tan∠CAD=CDAD=2ba=22．故④正确．故选A．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．5、C【解题分析】试题分析：过A作AE⊥BC于E，∵AB=AC=5，BC=8，∴BE=EC=4，∴AE=3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C），∴AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，∵AD为正整数，∴AD=3或AD=4，当AD=4时，E的左右两边各有一个点D满足条件，∴点D的个数共有3个．故选C．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．6、C【解题分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可．【题目详解】解：∵点A，D分别对应数轴上的实数﹣2，2，∴AD ＝4，∵等腰△ABC 的底边BC 与底边上的高AD 相等，∴BC ＝4，∴CD ＝2，在Rt △ACD 中，AC =，故选：C ．【题目点拨】此题考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．7、B【解题分析】由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的中位数是第8名的成绩．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【题目详解】解：由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数．故选B ．【题目点拨】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．8、A【解题分析】根据二次函数的平移规律即可得出．【题目详解】 解：221y x =-+向右平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为()2212y x =---故答案为：A ．【题目点拨】本题考查了二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数的平移规律．9、A【解题分析】分别得到将正方体①移走前后的三视图，依此即可作出判断．【题目详解】将正方体①移走前的主视图为：第一层有一个正方形，第二层有四个正方形，正方体①移走后的主视图为：第一层有一个正方形，第二层有四个正方形，没有改变。

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微信：yxfcc0515，欢迎加入中考数学交流群QQ ：3864353952014年中考成都卷第23题分析及启示近年中考成都卷布局为A 卷（100分）+B 卷（50分），基本意图是A 卷为毕业会考水平测试，B 卷为升学选拔把关.成都中考命题始终严格遵循《考试大纲》要求，在注重考查基本知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验的理念下，逐步形成了“立意鲜明、背景新颖、设问灵活、层次清晰”的新特色（尤其是B 卷部分），这不仅体现了试题立意的新颖性，公平性，而且在有效考查现阶段学习能力的同时，甑别了学生学习的潜质.总的来说，近几年成都中考试题，稳定不乏新意，平和不掩亮点.纵观2014年成都中考试卷，不乏一批优秀试题，如：第23、24、25、26等等.笔者认为这些好题不仅是当年中考的一大亮点，而且在未来几年都有重要的教学和研究价值.因此，对一些优秀试题加以研究非常有必要.本文中以2014年中考成都卷第23题为例，从多个视角分析，以飨读者！1试题再现试题（2014年中考成都卷第23题）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”.顶点全在格点上的多边形称为“格点多边形”，格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如，图中三角形ABC 是格点三角形，其中2S =，0N =，6L =；图中格点多边形DEFGHI 所对应的S 、N 、L 分别是，经探究发现，任意格点多边形的面积S 可表示为S aL bN c =++，其中a ，b ，c 为常数，则当5N =，14L =时，S =.（用数值作答）2命题立意立意指命题者命制试题的意图.它是命题者命题思维的前端，决定考查内容的方向，难度以及问题呈现方式.下文从三个视角分析命题者的立意.立意1承上启下成都B 卷填空题共5题（21—25），一般来说21、22属于简单题，24、25难度较大，而23题（4分）刚好处于过渡位置，既需要有简单题的一面，又要有难题的味，综合在一起，命题者将试题难度设置为中档.据信息反馈，此题预设的难度系数为0.6左右.在此立意下，命题时将试题设置为两个小题：第1小题相对简单，在承前的同时又有送分的意图，体现了命题者们的“人文关怀”和“人人在数学上得到不同发展”的新课标理念；第2小题需要在第1小题的基础上，学生需要进一步自主探究得到解答，有一定难度.立意2能力考查本题是一个经典的新定义探究性问题，构思巧妙，背景新颖、公平.对学生能力的考查主要在两个方面：阅读能力和探究能力.《数学课程标准》（下文简称《标准》）强调注重学生数学阅读能力和探究能力的培养，提倡阅读自学的数学学习方式.在试题的解答中，首先需要学生通过阅读新信息（“格点”和“格点多边形”）在大脑中建构起新概念，建立了新概念后学生需要再次阅读理解“格点多边形”面积(S )、内部的格点数(N )、边界上的格点数(L )的含义，进而把5个新概念有机整合在一起；其次，需要学生通过动手画“格点多边形”来探索试题解答：①学生通过动手画一个“格点多边形”，再根据S 、N 、L 的值建立一个等式（方程组）；②动手画满足条件（5N =，14L =）的“格点多边形”，在这一过程中需要通过逐步调整N 和L 的值，有一个探究的过程.立意3彰显文化皮克公式是著名而有趣的数学问题，以皮克公式为依托命制试题有利于向考生介绍数学史实、渗透（或传递）数学文化，在无形中增加了人文气息和数学底蕴，同时让学生在探究中重温数学家皮克的发现之路，感受数学的乐趣和魅力.3.试题源头3.1源于教材——高于教材试题在选材上源于教材.北师大版（成都市现行教材）《数学》七年级下册第4页“读一读”内容，介绍了一个实用而有趣的皮克公式，如下：皮克公式，也称为皮克定理，由皮克在1899年给出的，是最重要的100个数学定理之一.皮克定理介绍了点阵多边形面积、内部格点数目、边上格点数目的关系：12L S N =+-.(其中N 表示多边形内部的点数，L 表示多边形边界上的点数，S 表示多边形的面积).皮克公式在中学阶段不要求学生掌握.因此，命题者在命制试题时并没有直接考查学生对公式的简单记忆（背诵），或直接套用皮克公式计算给定图形面积，而是以皮克公式为背景，先通过设置新概念、新情境让学生在特例下感知S 、N 、L 之间的关系，再给出S aL bN c =++，让学生通过方程组解答出1a =，12b =，1c =-，进而探究出皮克公式12L S N =+-.真可谓源于教材，高于教材.3.2源于高考——试题原型命题组在确定以皮克公式为背景命题后，查阅了近年高考、中考以及常见教辅中的试题，发现中考以及教辅试题中以皮克公式为背景的新定义基本没有，无独有偶的是在高考试题中有所体现：（2013年湖北卷文科17题）在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标,x y 均为整数，则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中ABC ∆是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.若某格点多边形对应的71N =，18L =，则S =______（用数值作答）尽管高考中对皮克公式有所考查，但丝毫不影响中考命题，反而说明皮克公式是一个很好的命题素材.于是命题者们决定以该高考试题为原型通过改编来命制中考试题.命题者保留了高考试题的主要框架，做出了符合初中生学情的一些改编，具体命制过程如下：1命题者以学生熟悉的“网格”为背景给出了“格点”的概念；2把“已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++”改编成“经探究发现，任意格点多边形的面积S 可表示为S aL bN c =++”，其中“探究”一词有暗示学生要得到皮克公式需要探究的用意.探究的具体思路是：从特殊到一般.具体方法是：再动手画一个格点多边形，构建方程组.③把高考试题中的“71N =，18L =”改编成“5N =，14L =”，这里表面上仅仅是数据相对减小，实质上数据较小是命题者故意为之，其意图是：设置试题解法的多样性：数学学习优秀或图形方面直觉较强的学生可以直接通过画出满足题意的图形解答试题（数据较大是很难直接画出满足题意得图形）.4解答分析解答本题首先需要学习“格点”及“格点多边形”这两个概念，对于“格点”，学生较为亲近，在平常的学习中有所接触，从而在心理上消除了紧张焦虑的情绪.至于“格点多边形”这一概念，尽管学生没有接触过，但理解起来也不是什么难事.然而在掌握“格点多边形”概念后又增加了面积（S ），内部格点数（N ），边界上格点数(L )，使得概念达到了5个，且随着试题叙述文字的增多，考生的情绪急剧升温，这时需要借助具体的实例（图中ABC ∆）来识别、巩固、内化S 、N 和L 的概念，即文字叙述—图形验证的过渡，处理好这一环节是后面两空解答的关键.在正确学习特例ABC ∆中2S =，0N =，6L =后，第1空较为简单.下面重点分析第2空的解答.解答角度1—方程组法题目中给出了S aL bN c =++这一关系，关系中含有a ，b ，c 三个字母，要求a ，b ，c 则需要建立三个方程，于是需要三组S 、N 、L 值，但现成的值只有两组（图中ABC ∆和第1问中S 、N 、L 值），因此需要学生动手画一个“格点多边形”，比如：边长为2的正方形，长为2、宽为1的长方形等等.由边长为2的正方形，得4S =，1N =，8L =.结合图中的格点ABC ∆（2S =，0N =，6L =）及格点多边形DEFGHI （7S =，3N =，10L =），可得48267310a b c b c a b c =++⎧⎪=+⎨⎪=++⎩，解得1121a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以112S N L =+-，将5N =，14L =代入，得11S =.解答角度2—作图法由网格中的格点ABC ∆和格点多边形DEFGHI 可以直接得到对应图形中的S 、N 、L 值，要求“当5N =，14L =时，S 的值”很自然想到能否画出满足条件的图形？事实上，部分数学学习优秀或者在绘图方面直觉较强的学生能直接画出满足条件的图形，进而得到S 的值.（这里给出几种满足题意得图形）解答角度3—规律探索法这里选定比较特殊的“格点”多边形：（1）“格点”长方形：当0N =，L ＝4时，S=1；当0N =，L ＝6时，S=2；当0N =，L ＝8时，S=3；猜测：在0N =的情形下，L 增加2，S 增加1，根据规律猜测12L S aN =+-.选定一个“格点”正方形：1N =，L ＝8时，S=4，于是84112a =⨯+-，得1a =.故12L S N =+-，于是当5N =，14L =时，11S =.（2）“格点”长方形：当0N =，4L =时，1S =→411012=⨯+-当1N =，8L =时，4S =→841112=⨯+-当4N =，12L =时，9S =→891112=⨯+-当9N =，16L =时，16S =→16161912=⨯+-猜测：12L S N =+-.于是当5N =，14L =时，11S =.5.问题分析本题仅仅涉及列、解三元一次方程组，运算量不大，无需特殊技巧，弄清题意后很快就能解答，应该不算一道难题.但令人惊讶的是，从阅卷场反馈信息，此题（成都市六城区）平均得分约1.2分，难度系数约0.3.大家知道，难度系数在0.3以下的题目，一般不宜作为中考试题.换句话说，本题几乎达到了不宜作为考题的状况，这就出现了一道好题不宜作为考题的矛盾！平均得分约1.2分，意味着较大一部分学生没有完成送分的第1空，而解答第1空只需理解新定义即可.问题出在哪里？考后笔者访谈了一些考生，其中一些得0分考生感受：①23题题干文字太多，没有看下去的勇气；②看完题后不知道题目说的是什么意思；一些得2分考生的意见：做第2空时，没有想到通过画一个格点多边形建立方程组.经过分析，笔者认为考生丢分的深层原因是阅读能力、探究能力的缺失.是什么原因造成阅读能力、探究能力缺失的呢？从目前初中数学教学的角度来看，课堂教学的主要任务是范例的讲解与大量题目的演练，教师比较重视学生对基本知识的记忆与重复，忽略学生对数学本质的体验与理解；重视学生对题型─套路─题型的识别，忽略学生对数学思想 方法的总结与提炼；重视学生对具体问题的解决，忽略学生对新情景、新问题的处理.从学生的学习方式来看，数学课堂的基本模式是“教师讲─学生听─学生记”、“教师示范例题─学生模仿练习─学生记忆基本题型”.23题对于广大考生来说是全新的，在老师的“猜题押宝”、“套路训练”“题海战术”中从未见过，学生无法在大脑储存中找到匹配的解答模式.6教学启示6.1研究教材教材是教学活动的重要资源，是执行课程标准、体现课改精神的载体，是众多教育专家及一线教育工作者的智慧结晶.从历年中考命题可以发现，每年都有一部分试题直接源于教材.23题由命题者选用教材中“读一读”栏目中皮克公式命制而成，这有让教师们回归教材、研究教材之意图.笔者认为研究教材分为三个层次：读懂教材、用好教材、用活教材，研究教材可以从以下入手：（1）梳理教材知识脉络、编排顺序，理清章节间的联系；（2）理解编者的意图：领会章节设置、引入、例题、习题、阅读材料、旁白等等的意图；（3）分化教材难点、突破教材重点；（4）研究例题、习题的变式、拓展.6.2改进教学方式《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称《标准》）倡导“积极思考、合作交流、动手实践、自主探索的学习方式”.①“学习金字塔”理论表明：不同的学习方式得到的学习效果区别很大，位于塔尖的是学生单凭阅读或听老师讲授，效果最差（保持10%）；位于塔基的是学生动手参与和给别人讲授效果最好（保持90%）.可见，“教师讲─学生听─学生记”、“教师示范例题─学生模仿练习─学生记忆基本题型”是信息单项传递的教学模式，学习效果低下.因此，数学教学中教师应让单向信息传递的教学模式“动”起来.笔者认为，在教学中应建立多元互动机制，让信息在教师 学生、学生 学生流动起来.首先，教师应精心设置教学内容、知识呈现形式、问题讲解方式，激发学生持续学习热情和欲望，引发他们的行为参与、认知参与和情感参与；其次，教师要重视师生之间的相互合作、相互沟通，充分发挥学生的主体地位，还课堂、时间、还话语权于学生，引导学生之间充分交流，从而在师生对话、生生对话的过程中，达成“互识”和“共识”.②6.3重视能力培养6.3.1加强阅读能力培养阅读，字典的解释是“看文字并理解它的意思”.阅读属于信息输入加工形式，是人类汲取知识、认识世界、可持续发展能力的一个重要方式.而数学阅读是指学生根据已有的知识和经验，通过阅读数学材料（数学公式、方法、图形、符号、文字等）汲取信息，建构数学意义和方法的心理和智力过程.数学阅读过程是一个完整的心理活动过程，包含语言符号的感知和认读，新概念的同化和顺应，阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素.同时它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程.《标准》强调注重学生数学阅读能力的培养，提倡阅读自学的数学学习方式.③通过数学阅读可以促进学生数学语言水平（符号语言、图形语言、文字语言）、认知水平的发展.从23题解答的情况来看，很大一部分学生害怕数学阅读，缺乏阅读的勇气和信心；另一部分学生能坚持读完试题，但不能有效地摄取有效信息，理解和内化试题的意义，都说明了阅读能力的缺乏.因此，教师在教学中要有阅读是一种能力的理念，充分利用教学中的一切资源（比如：教材中的阅读材料、数学史话以及数学科普读物等等），有意识地强化学生阅读能力的培养.6.3.2加强探究能力培养按《现代汉语大词典》的解释，探究是指“探索研究”，即努力找出答案、解决问题.《辞海》对探究的解释是，“深入探讨，反复研究”.布鲁纳说：“探索是数学的生命线”.《标准》中用很大的篇幅提到“数学探究”，即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程．这个过程包括观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律，给出解释或证明.倡导“积极主动、勇于探索的学习方式”是《标准》的一个基本理念.在23题的解答中，部分学生没有通过动手画“格点多边形”来探索试①中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：人民教育出版社，2011．②刘成龙．由一个物理问题引起的探究性学习[J]．中学数学教学参考（中旬），2013，(7)：11—14.③中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：人民教育出版社，2011．题解答的意识，更缺乏通过逐步调整画出满足题意（5N =，14L =）的图形的想法.因此，教师在教学中要加强探究能力的培养.教师可以以问题为引领，以特殊到一般为指导思想，猜想、类比、评价、阅读和实践操作为基本方法，引导学生对探究能力的培养.①①刘成龙．高考数学探究性试题简析[J]．中学数学研究（江西），2011，(11)：29—32.。