4 数学5.2.2同面三角函数的基本关系式(二)

【新教材】5.2.2 同角三角函数的基本关系（人教A 版）1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；2.逻辑推理： “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系；3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．一、 预习导入阅读课本182-183页，填写。

1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝________.商数关系：sin αcos α＝________⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的 ________等于1，________等于角α的正切． 思考：“同角”一词的含义是什么？[提示] 一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin 215°＋cos 215°＝1，sin 2π19＋cos 2π19＝1等． 1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”.）(1)对任意角α，sin 23α＋cos 23α＝1都成立．( )(2)对任意角α，sinα2cos α2＝tan α2都成立．( ) (3)若sin α＝12，则cos α＝32.( ) 2．化简1－sin 2π5的结果是( ) A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π53．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B ．34C ．±34D ．±434．已知tan α＝2，则cos α－5sin α3cos α＋sin α＝________. 题型一 应用同角三角函数关系求值例1(1)若3sin 5α=-，求cos α，tan α的值；(2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 跟踪训练一1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．题型二 三角函数式的化简、求值例2(1)化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130°； (2)若角α是第二象限角，化简：tan α1sin 2α－1. 跟踪训练二1．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)sin θ－cos θtan θ－1. 题型三 三角函数式的证明 例3 求证：cos 1sin .1sin cos x x x x +=-.跟踪训练三1．求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x 1－tan x. 题型四 “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系例4 已知sin α＋cos α＝15，且0＜α＜π. 求：(1)sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．跟踪训练四1.已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝． 2.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值： (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.1．下列各式中成立的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＝1B ．tan α＝sin αcos α(α任意)C ．cos 2α2＝1－sin 2α2D ．sin α＝1－cos 2α2．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2，cos α＝45，则tan α＝( ) A ．±34B ．34C ．－34D ．433．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是． 4．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________.5．已知tan α＝43，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值．6．(1)化简sin 2α－sin 4α，其中α是第二象限角；(2)求证：1＋tan 2α＝1cos 2α.答案小试牛刀1．（1）√（2）×（3）×.2．A3．A4.－95. 自主探究例1【答案】(1)当α是第三象限角时，cos α＝－45，tan α＝34. α是第四象限角时，cos α＝45，tan α＝-34 (2)如果α是第二象限角，那么sin α＝1517，tan α＝－158. 如果α是第三象限角， sin α＝－1517，tan α＝158. 【解析】(1)∵sin α＝－35，α是第三、第四象限角， 当α是第三象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝34. α是第四象限角时，cos α＝1－sin 2α＝45，tan α＝sin αcos α＝-34 (2) ∵cos α＝－817＜0， ∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 跟踪训练一1．【答案】角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 【解析】∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1，即10cos 2α＝1，∴cos α＝±1010. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 例2【答案】（1）1； （2）-1.【解析】(1)原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1. (2)原式＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α×|cos α||sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝sin αcos α×|cos α||sin α|＝sin αcos α×－cos αsin α＝－1. 跟踪训练二 1．【答案】(1)1；(2) cos θ.【解析】 (1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1. (2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θsin θ－cos θsin θ－cos θ＝cos θ. 例3 【答案】见解析【解析】跟踪训练三1．【答案】见解析【解析】证明： 右边＝1＋sin x cos x 1－sin x cos x＝cos x ＋sin x cos x －sin x ＝cos x ＋sin x 2cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x＝左边， ∴原等式成立．例4【答案】(1)－1225； (2)75.【解析】证明：(1)∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125， ∴1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－1225. (2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925. 又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝75. 跟踪训练四1、【答案】－125. 【解析】法一：(构建方程组)因为sin α＋cos α＝713，① 所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169， 即2sin αcos α＝－120169. 因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝1713.② 由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513， 所以tan α＝sin αcos α＝－125. 法二：(弦化切)同法一求出sin αcos α＝－60169，sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－60169，tan αtan 2α＋1＝－60169， 整理得60tan 2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－512或tan α＝－125. 由sin α＋cos α＝713＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－125. 2.【答案】（1）89；(2)1310. 【解析】由sin α＋cos αsin α－cos α＝2， 化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.（1）法一(换元)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89. 法二(弦化切)原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89. (2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310. 当堂检测1-2． CA3．434．－385．【答案】sin α＝43，cos α＝－45.【解析】由tan α＝sin αcos α＝43得sin α＝43cos α.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1.∴cos 2α＝925.又∵α是第三象限的角，∴cos α＝－35.∴sin α＝43，cos α＝－45.6．【答案】见解析【解析】(1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0， 所以sin 2α－sin 4α＝sin 2α（1－sin 2α） ＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α.sin2αcos2α＝cos2α＋sin2αcos2α＝1cos2α.(2)证明：1＋tan2α＝1＋。

5．2．2同角三角函数的基本关系(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第五章)一、内容和内容解析1．内容同角三角函数的基本关系及其应用．2．内容解析本节课要学的内容同角三角函数的关系，指的是正弦、余弦、正切函数三者之间的关系．本单元前面学生已经学过三角函数的定义并从定义出发发现了三角函数值的符号规律，此外还从终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一，本节课同角三角函数的关系就是在此基础上的发展．由于本节课的内容还与后面的诱导公式有重要的联系，在三角函数的学习中占有重要地位，对于后面的内容有着基础性的作用，是本章的重点内容．同角三角函数的基本关系是在前面三角函数概念的基础上学习的，是对三角函数的复习巩固，又是后续内容如诱导公式、两角和差公式推导的基础，所以起到承上启下的作用，并且应用也比较广泛，因此是一节非常重要的课，应使学生熟练掌握．基于以上分析，确定本节课的教学重点：同角三角函数的基本关系式22sin cos 1x x +=和sin tan cos x x x=． 二、目标和目标解析1．目标（1）理解同角三角函数的基本关系式22sin cos 1x x +=，sin tan cos x x x=，体会三角函数的内在联系性．（2）通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能利用三角函数定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并得出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．（2）能运用同角三角函数的基本关系进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．三、教学问题诊断分析本节课学生可能遇到的问题是在同角三角函数的基本关系式变形中有点难度，产生这一问题的原因学生没有考虑角的符号问题，要解决这一问题教师就要借助平面直角坐标系，分析角所在的象限，关键是理解角在每个象限上的符号．本节课的学习难点是对三角函数内在联系性的认识．出现这个难点的主要原因在于三角函 数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数的学习中没有这种经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强．为此，教学中应在思想方法上加强引导．例如，可以通过问题“对于给定的角α，点P αα（cos ，sin ）是α的终边与单位圆的交点，而tan α则是点P 的纵坐标与橫坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系．你能从定义出发，研究一下它们有怎样的联系吗”引导学生探究同角三角函数的基本关系．四、教学支持条件分析在本节课同角三角函数的基本关系的教学中，准备使用板书教学．因为使用板书教学，有利于培养学生的动手能力、活跃学生思维．五、教学过程设计（一）同角三角函数的基本关系导入语：此前我们学习了三角函数的定义，并从定义出发发现了三角函数值的符号规律，我们还从终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一．公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？ 师生活动：教师引导学生讨论，利用公式一先把问题转化为“同一个角的三个三角函数之间的关系”；然后让学生自主探究，得出同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=．这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角α的正切． 设计意图：“终边相同的角的三个三角函数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系”是发现问题的关键思想；由“终边相同的角的同一三角函数的值相等”引出“终边相同的角的不同三角函数之间有什么关系”的问题，再转化为“同一个角的三个三角函数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力．借助单位圆上点的坐标的意义，由三角函数定义可以直接得出“同角三角函数的基本关系”．（二）同角三角函数的基本关系的应用例1 已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值． 变式：已知5cos 13α=-，α为第三象限角，求sin α，tan α的值. 师生活动：学生思考后给出解答．对于本例在学生给出答案后，应该要求学生总结解题步骤，明确这类题目应该先根据条件判断角所在的象限，确定各三角函数值的符号，再利用基本关系求解．在此基础上，可以让学生归纳用同角三角函数的基本关系求值的问题类型．设计意图：进一步加强学生对三角函数值在各象限的符号的认识以及对同角三角函数的基本关系的理解．例2 化简：（1） cos tan θθ； （2）222cos 112sin αα--； （3） 221tan cos αα+()． 设计意图：考査学生利用同角三角函数的基本关系进行简单的三角恒等变换的能力． 例3 求证cos 1sin 1sin cos x x x x+=-． 师生活动：学生可能根据此前用到的分析法进行证明，也可以用综合法直接给出证明，教师板书证明过程．设计意图：本例实际上是22sin cos 1x x +=的变形，采用分析法、综合法都可以证明，还可以从不同方向进行推导，可以要求学生至少给出两种证明方法．例4 已知tan 2α=，求sin cos sin cos αααα+-的值． 变式：已知tan 2tan 1αα=-，求22222sin 3cos 2sin 3cos (1)(2)4sin 9cos 4sin 9cos αααααααα----的值． 师生活动：学生经过思考给出思路，可以利用同角三角函数的基本关系由22sin cos 1αα+=和sin 2cos αα=解出2sin α和2cos α的值，但是由于无法确定α所在象限，因此无法判断sin α和cos α的正负，若要求出代数式的值，需要进行分类讨论．教师在肯定了这个思路后进行追问．追问：有没有其它的方法可以避免谈论sin α和cos α的符号，直接用到已知tan α的取值来求出分式的值呢？师生活动：学生经过思考回答，可以利用sin tan cos ααα=将代数式中sin α和cos α转化为tan α和常数．教师给予肯定并指出所求分式的结构特点，可利用“齐次式”的特征对此类分式进行化简后求值．设计意图：通过本例了解“齐次式”的结构特点，并能利用特定的方法进行化简．通过以上几道例题加深了学生对三角函数基本性质的理解，通过灵活运用性质的训练，提升数学运算素养．（三）课时小结教师引导学生回顾本课时的内容，并回答下面的问题：（1）同角三角函数的基本关系是什么？（2）在利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值及证明时要注意哪些问题？（3）结合前一课时内容，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数的性质的？ 师生活动：学生思考后给出解答．（1）同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos x x x=． （2）在三角求值时，应注意：①注意角所在象限；②一般涉及到开方运算时要分类讨论．在化简时，应注意化简结果：①涉及的三角函数名称要相对较少；②表达形式较简单．证明恒等式时常用以下方法：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边等于同一个式子；③分析法，寻找等式成立的条件．证明的指向一般是“由繁到简”．（3）借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一和同角三角函数的基本关系．设计意图：引导学生回顾总结本课时的学习内容和学习方法．在小结中，要注意引导学生体会研究和发现三角函数性质的过程，为后续诱导公式二～五的学习做好铺垫．（六）布置作业教科书习题5.2 第6，11，12，13，14题．。