第八讲 不等式2

专题 不等式（二）Vip 个性化学科优化学案鹰击长空—知识要点1. 不等式的基本性质一：不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

（重点） 不等式的基本性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（重点）不等式的基本性质三：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

（重点、难点）2．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（1）要判断某个数是不是不等式的解，可直接将该值带入不等式的左右两边，看不等式是否成立，成立，则是，不成立，则不是。

（2）一般，不等式的解不止一个，有时有很多个，甚至无穷个。

3．一个含有未知数的不等式的所有解的集合，组成这个不等式的解集。

不等式的解集必须符合两个条件①解集中的每一个数都能使不等式成立②能使不等式成立的解都在解集内。

4．求解不等式解集的过程叫解不等式。

5．不等式的解集有两种表示方法①用不等式表示（注意≤≥与＜＞区别）②用数轴表示（特别注意有等号画实心点，没有等号画空心点）。

6．等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

7．解一元一次不等式的一般步骤（部分步骤可以根据实际情况适当省略）① 分母 ②去括号 ③移项 （注意变号）④合并同类项 ⑤系数化为一8． 用图像法解ax+b<0(或ax+b>0)型的不等式的步骤（1）将一元一次不等式化成标准形式ax+b<0(或ax+b>0)；（2）在平面直角坐标系中画出一次函数y=ax+b 的图像，确定图像与x 轴交点；（3）图像在x 轴上方的部分所对应的自变量的取值是一元一次不等式ax+b>0的解集; 图像在x 轴下方的部分所对应的自变量的取值是一元一次不等式ax+b<0的解集.9．一般的关于同一未知数的几个一元一次不等式和在一起，就组成了一个一元一次不等式组，理解一元一次不等式组的概念时应注意：（1）不等式组中所有一元一次不等式都只含有同一未知数；(2)不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上。

不等式2知识梳理： 绝对值不等式：含绝对值的不等式性质（双向不等式） a b a b a b -≤±≤+ 左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号解指对不等式：(1) 当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(2) 0)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪1. 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围 ．2. (1) 已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是_______.(2)已知函数22(),[1,),()0x x af x x f x x++=∈+∞≥对于任意恒成立，试求a 的取值范围________.3. (1) 如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是__________.(2) 若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围_______. 4. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于m ∈[－2,2]，f (x )<－m ＋5恒成立，求x 的取值范围．5. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.6．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．7. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．8. 已知抛物线C:y=-x²+mx-1,点A(3,0),B(0,3),求C 与线段AB 有两个不同焦点时m 的取值范围___________.9. 关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥2a 在R 上恒成立，则实数a 的最大值是________．10. 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )(a ≠0，a 、b ∈R)恒成立，求实数x 的取值范围_________．11. 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0,若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值____．12.(1)解不等式log x+1(x2-x-2)＞1?(2)?13.___________?14.设a＞0且a≠1，解不等式?15.a ＞０且a ≠1，解关于x 的不等式： 1log a x >-?16. 已知函数.1)1(log )(),49(log )21()(21221---=+x x g x x f x f 函数满足（Ⅰ）求函数f (x )的表达式；（Ⅱ）若f (x )>g (x )，求x 的取值范围？不等式2知识梳理： 绝对值不等式：含绝对值的不等式性质（双向不等式） a b a b a b -≤±≤+ 左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号解指对不等式：(3) 当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(4) 0)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪1. 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围 ． 解：设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在(),-∞+∞上能成立()min 3f x ⇔≤-．2. (1) 已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是_______.解: 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22，∴k ＋1<22，k <22－1.(2)已知函数22(),[1,),()0x x af x x f x x++=∈+∞≥对于任意恒成立，试求a 的取值范围________.解：()22()20,[1,)23f x x x a x a x x a =++≥∈+∞⇒≥-+⇒≥-对于任意3. (1) 如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是__________. 解：（－2，1）(2) 若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围_______.解：()3,0),(3,02121≥≤⇒⊆x x x x 017(0)03(3)0f m f ∆>⎧⎪⇒≤⇒≤-⎨⎪≤⎩4. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于m ∈[－2,2]，f (x )<－m ＋5恒成立，求x 的取值范围．解:将f (x )<－m ＋5变换成关于m 的不等式m (x 2－x ＋1)－6<0，则命题等价于m ∈[]－2，2时，g ()m ＝m ()x 2－x ＋1－6<0恒成立．∵x 2－x ＋1>0，∴g (m )在[－2,2]上单调递增，∴只要g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6<0， 即x 2－x －2<0，∴－1<x <2.5. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.解：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，则由二次函数的图象及一元二次方程x 2＋mx ＋4＝0的根的分布知，⎩⎪⎨⎪⎧ f （1）≤0，f （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5≤0，2m ＋8≤0.解得m ≤－5. 解法二：当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立⇔m <－x 2－4x，当x ∈(1,2)时恒成立⇔m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，当x ∈(1,2)时恒成立．令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(1,2),则g (x )min ＝g (1)＝－5，∴m ≤－5.6．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．解: 由题意得x 2＋12x ≥(12)n max ＝12，∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．7. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而2510x x +≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞．8. 已知抛物线C:y=-x²+mx-1,点A(3,0),B(0,3),求C 与线段AB 有两个不同焦点时m 的取值范围___________.解：线段AB 的方程：y=3-x(0≤x ≤3)，与抛物线方程联立： --->3-x= -x²+mx-1-->f(x)= x²-(m+1)x+4=0 两个交点--->f(x)=0在[0,3]上有两个根---> (1)f(x)的对称轴x=(m+1)/2∈[0,3]--->m ∈[-1,5](2)判别式=(m+1)^-16＞0--->(m+5)(m-3)＞0--->m ∈(-∞,-5)∪(3,+∞) (3)f(0)=4＞0, 显然成立；(4)f(3)=9-3(m+1)+4≥0--->3m-10≤0--->m ∈(-∞,10/3] (1)(2)(3)(4)求交集--->m ∈(3,10/3]9. 关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥2a 在R 上恒成立，则实数a 的最大值是________．解：本小题考查了绝对值的定义，令f (x )＝|x －2|＋|x －a |，当a >2时，易知f (x )的值域为[a －2，＋∞)，使f (x )≥2a 恒成立，需a －2≥2a 成立，即a ≤－2(舍去)．当a <2时，f (x )的值域为[2－a ，＋∞)，使f (x )≥2a 恒成立，需2－a ≥2a 成立，即a ≤23.当a ＝2时，需|x －2|≥a 恒成立，即a ≤0(舍去)．综上a 的最大值为23.10. 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )(a ≠0，a 、b ∈R)恒成立，求实数x 的取值范围_________．解：由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x )．解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.11. 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0,若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值____． 解：由f (x )≤0得,|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2,由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.12. (1)解不等式log x+1(x 2-x-2)＞1?解:原不等式同解于log x+1(x 2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x ＞3。