大学物理-解析延拓与孤立奇点 例题

第四章解析延拓·Γ函数§4.1 解析延拓一.解析延拓前言：前面我们已经从微积分，级数等不同的角度了解到解析函数具有很多优秀的性质，然而解析都是对一定的点和区域而言的，婴儿人们自然想到，若能通过某种方式将解析区域扩大，那就能使解析函数的优越性在更大范围内体现.所以，它将f(z)的定义域扩大了,我们称之为解析延拓,即简单的说解析延拓是解析函数的定义域的扩大.本章将学习解析延拓并在此基础上将物理上有用的积分г(x)延拓为г(z)中心：解析延拓和Γ函数目的：1.通过学习了解析函数的内唯一性定理，掌握初等解析函数的值由它在实轴或实轴上一段的值唯一确定（这将为后一章留数定理计算实积分奠定基础）2. г(z)的定义性质又如：在留数定理一章中，若f(x)在实轴上无奇点，改写f(x)为f(z)。

这实为，将解析函数在实轴上的值延拓到全平面除f(z)的奇点的所有点.注意：推广：若ïïïïîïïïïíì····Îκ)2()(2)1()(1)(s s H z f H z f z f 的解析函数、或为则)...](3)(2)[(1)(x f x f x f z f但不能经奇点延拓出z ，若此例中z=1正是这个奇点的存在，决定了解析延拓过程中各幂级数的收敛半径×××××®®=Î=<ºÇ=++Þå¥=)()()(1z )()(,)(,1|:|:)()(,....32121101111321z f z f z f H z f z z f z z f z f k kn 沿任一解析点邻域：去掉又在中在，如解析延拓可以不断进行中在解析区域由s s s s s ss s s s注意：由解析函数的唯一性定理知，解析函数在一个邻域上的值可由它在该区域内任一条小弧段或一个特殊的点列(只要它有一个点属于这个区域)完全确定.这又一次反映出解析函数有十分严格的内在联系,即在某一区域,值完全唯一的确定了.[如:在全平面解析,而在Zn=1/n取值为1/n(n=1,2…) 的函数只有一个W=z.因为,点列{1/n}以z=0为聚点,而z=0落在函数的解析区域内,w=z满足全平面解析,且在Zn=1/n取值为1/n的条件, 根据唯一性定理,这样的函数只有一个]由此可断言,象等这些初等解析函数只能象§1.4 那样定义.如,Sin z 和均解析而他们在实轴上的一段由相等还可推断初等实函等式在复函中也成立,如sin2z和2sinzcosz均解析,而它们在实轴上相等sinx=2sinxcosx,所以,sin2z=2sinzcosz还有如,实轴上取值等于Sin x,而在全平面上解析的函数只有一个,这个函数就定以为Sin z二.解析延拓的唯一性..,)(:1.ii 2i 2恒等则它们在整个区域也必域中恒等的一个字区已知它么在和中解析的函数若有两个在区域唯一性定理g G f z f G 即可中，在当中在只要证当中在则中在解析若中在中解析在和若欲证上结论0)(,0)(,0)(,0)()()()(,)(.2ii 2i 2ii 2i 22ii 2i 2¹¹®ºº-=®º=®z F g z F G G z F z F g f z f z F f z f G G f z f s3.证)(:)(,,0)(,,0)(0,0)(])()([,])([)()()(ii 2i 2,2,1,022110见后页注即以此类推即必须为与题设矛盾则当fz f G z z F g z z F a a a a g z z F a b z a b z a a b z b z a a b z b z a z F n m m m m m m mk k k ºÎº+κ××××××\Îι\»××××-+-+®××××-+-=-=+++¥=åa a[ 设E是一点集，a是一点（不属于E），若在a的任一邻域内都有E的异于a的点，则a称为点集E的一个聚点（或极限点）。