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2 x =2
x=
如图中, 设面积为25cm2的正方形, 其边长为多少呢？ 根据正方形的面积公式， 应该是, 边长 2 = 25 9 16 a 5 cm2 25 所以, 其边长为 5cm 又：面积为16，则边长为 4 ； 3x 4 3 ； 面积为9，则边长为 5cm 面积为5，则边长为多少呢？ 面积为a，则边长又如何呢？ 这时，可设其边长为 x ，得到 x2 = a .
例练1
1. 求下列各数的算术平方根: ⑴ 196
121 ⑷ 225
⑵ 0.09
1 ⑸24
⑶0 ⑹(-5)2
⑴解： 196的算术平方根为:√196 =14, 2. 口答下列各式的值: ⑴ √10000 = 100 ⑶±√0.04 = ±0.2 ⑵ √144 = ⑷√(-3)2 =
-12 3
例练2
计算下列各数的算术平方根: ⑴2 ⑵ 529 ⑶ 1225 ⑷ 44.81 解: ⑴√2 ≈1.414 ⑶√1225 =35 ⑵√529 =23 ⑷√44.81 ≈6.694
如果一个数 x 的平方等于 a, 那么这个数 x 叫做 a 的平方根.
就是说, 当 x2 =a (a≥0) 时, 称 x 是 a 的平方根.
例练1
求下列各数的平方根: ⑴ 100
16 ⑷ 25
⑵ 0.49
1 ⑸24
⑶ 1.69
⑴解：因为102=100, 且(-10)2=100, 所以100的平方根为 ±10.
3、求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.
例练3
1. 下列表述正确的是( C ) A. 9的平方根是-3 B. -7是-49的平方根 C. -15是225的平方根 D. (-4)2的平方根是-4 2. 下列各数中没有平方根的是( D ) A. (-10)2 B. 0 C. -6 D. -(-5)2 √ √ √ √ 3. 下列各数: 0, (-3)2, -(-9), - -4 , 3.14-π , x2+1中, 有平 方根的数的个数是( B ) A. 3个 B. 4个 2 C. 5个 D. 6个 4 ± ±8 4. 平方得 25 的数是______; 64开平方得_____; 5 36 的平方根; (-9)2的平方根是_____. ±9 -6是______
x 0 ＜ 7 ＜ 43 ＜ 50 ＜ 81 ＜ 123 ＜ 1000
结论: √x 的值随着x的增大而增大。 叙述: 非负数的算术平方根随着被开方数
的增大而增大。
例练3
估算下列各值在哪两个整数之间:
√2
解:
√5
∵1 <2 <4
√7
√10
√23
∴√1 <√2 <√4
即: 1 <√2 <2
注: 一般先找出被开方数前后的两个完全平方数, 再进行算术平方根的比较估算.
注: 对不是平方数的数和较大的数通常利用计算器 操作求它的算术平方根, 近似数常取四个有效数字.
试一试
操作: √50 ≈7.071 ,√43 ≈6.557 ,√81 = 9 ,√0 = 0
√123 ≈11.09 ,√1000 ≈31.62 ,√7 ≈2.646
比较:
√x √0 ＜√7 ＜√43 ＜√50 ＜√81 ＜√123 ＜√1000
填一填
0 1. 平方根恰是本身的数是_____; 算术平方根恰是本 0 、1 身的数是______. 16 4的平方根是_____. ±2 2. 4的平方是_____; 3 √16 的平方根是_____. ±2 3. 9的算术平方根是_____; 5 -6 ±7 4. √25 =_____; ± √36 =_____; √49 =____. 9 (-9)2的平方根是____. ±9 5. 81的算术平方根是____; ±3 若 ±9 6. 若x2=9, 则x =____; √x2 =9 , 则x =____; 81 若√x =9, 则x =____. 2 7. 若一个正数的两个平方根是m和m-4, 则m =____; 4 且这个正数值是____.
求下列各式中的x: 1. x2=16 x=±4
2. 64x2=25
3. (x-1)2=9
x2=
25 64
x=±
5 8
x-1=±3
x=4 或x= -2
正数 a 的正的平方根叫做a的算术 平方根， 记作:√a , 读作：根号a
这样, a 的另一个平方根就是: √a 其中, √ “ ” 表示开平方的运算符号， a 称为被开方数. 注：1. 被开方数应为非负数的条件. 2. √0 =0 也称为0的算术平方根.
1、算术平方根与平方根:
算术平方根是平方根中正的一个值, 只有一个值; 平方根一般有互为相反数的两个值. 算术平方根只表示为: √a , 而平方根需表示为:± √a
2、计算器操作算术平方根时, 根据精度要求取小数,
没有要求的默认取四个有效数字.
3、进行算术平方根估值时, 先找出被开方数的前后
两个完全平方数, 再根据非负数的算术平方根随 被开方数的增大而增大进行估算.
想一想
下列各数的平方根会是怎样的? ⑴ 121 ⑷0 ⑵ 232 ⑸ -25 ⑶ (-4)2
平方根的情况: ⑴一个正数的平方根有两个, 它们是互为相反数; ⑵ 0的平方根只有一个, 就是它本身0; ⑶负数没有平方根.
例练2
口答下列各数的平方根: ⑴ 49
36 ⑷ 49
⑵ 1600
64 ⑸ 25
⑶ 196
1、平方根的概念: 当x2=a(a≥0) 时, 就称x是a的平方根.
而a称为x的平方数. 即平方根是利用平方数来说的.
2、相关概念:
任何数都有平方数, 且只有一个; 但并不是任何数 都有平方根, 只有非负数才有平方根, 负数没有平方 根, 且正数的平方根是互为相反数的两个数. 通常记作: x=± √a
1 ⑹ 5 16
⑺0 ⑽ 0.81
⑻ 0.09 ⑾ 0.0121
⑼ 1.44 ⑿ 1.69
辨一辨Байду номын сангаас
下列叙述正确的打“ √” ，错误的打“×”： ⑴ 16的平方根是 ±4; ( √ ) ⑵ ±7是49的平方根 ; ( √ ) ⑶ 112的平方根是11; ( × ) ⑷ -9是81的平方根; ( √ ) ⑸ 52的平方根是±25; ( × ) ⑹ -9的平方根是 -3; ( × ) ⑺ 0的平方根是 0; ( √ ) ⑻ 有一个平方根为 -2的数是 -4; ( × ) ⑼ 只有一个平方根的数是0; ( √ )
