陕西省安康市2021版中考数学试卷A卷

陕西省安康市2021版八年级上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共9分)1. （1分）(2017·黄岛模拟) 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （1分）已知三角形的两边长分别是4和7，则这个三角形的第三条边的长可能是（）A . 12B . 11C . 8D . 33. （1分） (2015七下·农安期中) 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A .B .C .D .4. （1分）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （1分）若一个三角形三个内角度数的比为1︰4︰3，那么这个三角形是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等边三角形6. （1分）(2017·徐州模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①BE= AC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED= AB中，一定正确的是（）A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ②③④7. （1分）(2014·绍兴) 不等式3x+2＞﹣1的解集是（）A . x＞﹣B . x＜﹣C . x＞﹣1D . x＜﹣18. （1分）如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A . 13B . 19C . 25D . 1699. （1分）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A . 4cmB . 5cmC . 6cmD . 10cm二、填空题 (共10题；共10分)10. （1分） (2019七下·广州期中) 如果平移△ABC可得到△DEF，如果∠A=40°，∠C=80°，那么∠E=________度.11. （1分）(2017·宽城模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，AC=12．分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF交AB于点D，连结CD．则CD的长为________．12. （1分）如图，AB∥CD，∠A=45゜，∠C=35゜，则∠D=________，∠1=________．13. （1分）当x________时,代数式1- 的值不大于代数式的值.14. （1分） (2017八上·湖北期中) 已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①________；②________；③________；④________．15. （1分） (2019九下·建湖期中) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A、B 两点，以线段AB为边在第二象限内作正方形ABCD，点C恰好落在双曲线y= 上，则k的值是________.16. （1分） (2017八上·宜春期末) 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥直线L于D，CE⊥直线L 于E，若BD=5cm，CE=4cm，则DE=________．17. （1分）等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，底边BC=8cm，⊙O的半径为5cm，则△ABC的面积为________．18. （1分） (2016八上·河西期末) 如图是一个直角三角形，若以这个直角三角形的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点在这个直角三角形的其他边上，那么这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为________．19. （1分） (2018八上·江北期末) 如图所示，是等腰直角三角形，其中，是边上的一点，连接，过作交于，，且，连接并延长，交于点．若四边形的面积为，则的面积为________．三、解答题 (共6题；共11分)20. （1分）(2017·长沙模拟) 解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．21. （2分） (2019八下·台州期中) 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形．（1）三角形三边长为4，3 ，；（2）平行四边形有一锐角为45°，且面积为6．22. （1分）在一次“人与自然”知识竞赛中，共有25道选择题，要求学生把正确答案选出，每道选对得10分，选错或不选倒扣5分．如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于200分，那么他至少要选对多少道题？23. （2分） (2017八上·湖北期中) 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，点D在CE上，AF⊥CB，垂足为F.（1）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；（2）求证：CE＝2AF.24. （3分） (2019八上·湛江期中) 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。

陕西省2021年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.计算：3×(−2)=（）A. 1B. -1C. 6D. -6【答案】 D【考点】有理数的乘法【解析】【解答】解：3×(−2)=−6；故答案为：D.【分析】根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”可求解.2.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；D、不是轴对称图形，故不符合题意；故答案为：B.【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.3.计算：(a3b)−2=（）A. 1a6b2 B. a6b2 C. 1a5b2D. −2a3b【答案】A【考点】负整数指数幂的运算性质，积的乘方【解析】【解答】解：(a3b)−2=1a6b2，故答案为：A.【分析】根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”和积的乘方法则“积的乘方等于把积中每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘”可求解.4.如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（）A. 60°B. 70°C. 75°D. 85°【答案】 B【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵ ∠B =25° ， ∠C =50° ，∴在Rt △BEC 中，由三角形内角和可得 ∠BEC =105° ，∵ ∠A =35° ，∴ ∠1=∠BEC −∠A =70° ；故答案为：B.【分析】在Rt △BEC 中，由三角形内角和可求得∠BEC 的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.5.如图，在菱形 ABCD 中， ∠ABC =60° ，连接 AC 、 BD ，则 AC BD 的值为（ ）A. 12B. √22C. √32D. √33 【答案】 D【考点】等边三角形的判定与性质，菱形的性质【解析】【解答】解：设AC 与BD 的交点为O ，如图所示：∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC,AB=BC，AC⊥BD,BO=DO,AO=CO，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABO=30°,AB=AC，∴AO=12AB，∴OB=√AB2−AO2=√3OA，∴BD=2√3OA,AC=2AO，∴ACBD =2√3OA=√33；故答案为：D.【分析】设AC与BD的交点为O，由菱形的性质和已知条件易得三角形ABC是等边三角形，于是用勾股定理可将OB用含OA的代数式表示出来，则BD、AC也可用含OA的代数式表示出来，于是AC与BD的比值可求解.6.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+m−1的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的图象，则m的值为（）A. -5B. 5C. -6D. 6【答案】A【考点】一次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：将一次函数y=2x+m−1的图象向左平移3个单位后得到的解析式为：y=2(x+3)+m−1，化简得：y=2x+m+5，∵平移后得到的是正比例函数的图象，∴m+5=0，解得：m=−5，故答案为：A.【分析】根据直线平移的规律可得平移后的直线解析式为：y=2(x+3)+m-1，再根据平移后得到的是正比例函数的图象可得关于m的方程，解方程可求解.7.如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为（）A. 6 cmB. 7 cmC. 6√2cmD. 8cm【答案】 D【考点】勾股定理，三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，∵， CD ⊥BC ，∴ ∠BCF +∠FBC =90°，∠BCF +∠GCD =90° ，∴ ∠FBC =∠GCD ，在 △BFC 和 △CGD 中；{∠BFC =∠CGD∠FBC =∠GCD BC =CD，∴ △BFC ≌△CGD ，∴BF=CG ，∵ AB =BC =CD =DE =5cm ，∴ △ABC ，△CDE 均为等腰三角形，∵ AC =6cm ，∴ FC =12AC =3cm ，∴ BF =√BC 2−FC 2=√52−32=4cm ，∴ CE =2CG =2BF =2×4=8cm ，故答案为：D.【分析】分别过B 、D 作AE 的垂线，垂足分别为F 、G ，由同角的余角相等可得∠FBC=∠GCD ，根据角角边可证△BFC ≌△CGD ，由全等三角形的对应边相等可得BF=CG ，结合已知可得三角形ABC 和三角形CDE 都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可得FC=12AC ，用勾股定理可求得BF 的值，于是CE=2CG=2BF 可求解.8.下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是A. 这个函数的图象开口向下B. 这个函数的图象与x 轴无交点C. 这个函数的最小值小于-6D. 当 x >1 时，y 的值随x 值的增大而增大【答案】 C【考点】二次函数y=ax^2+bx+c 的图象，二次函数y=ax^2+bx+c 的性质【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为 y =ax 2+bx +c ，依题意得： {4a −2b +c =6c =−4a +b +c =−6 ，解得： {a =1b =−3c =−4 ，∴二次函数的解析式为 y =x 2−3x −4 = (x −32)2−254 ，∵ a =1>0 ，∴这个函数的图象开口向上，故A 选项不符合题意； ∵ △=b 2−4ac =(−3)2−4×1×(−4)=25>0 ，∴这个函数的图象与x 轴有两个不同的交点，故B 选项不符合题意；∵ a =1>0 ，∴当 x =32 时，这个函数有最小值 −254<−6 ，故C 选项符合题意；∵这个函数的图象的顶点坐标为( 32 ， −254)， ∴当 x >32 时，y 的值随x 值的增大而增大，故D 选项不符合题意；故答案为：C.【分析】根据表格中的信息用待定系数法可求得二次函数的解析式，并将解析式化为顶点式； A 、根据a=1＞0可知，这个函数的图象开口向上；B 、计算b 2-4ac=25＞0，根据一元二次方程的根的判别式可判断这个函数的图象与x 轴有两个不同的交点；C 根据顶点式可知，当x=32时，函数有最小值为-254＜-6； D 、根据顶点式可知当x ＞32时，函数y 的值随x 值的增大而增大. 二、填空题（共5题；共5分）9.分解因式： x 3+6x 2+9x = ________.【答案】 x(x +3)2【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】 x 3+6x 2+9x =x(x 2+6x +9)=x(x +3)2故答案为 x(x +3)2 .【分析】观察多项式可知，多项式的每一项含有公因式x ，括号内的多项式符合完全平方公式特征，再用完全平方公式分解即可求解.10.正九边形一个内角的度数为________.【答案】 140°【考点】多边形内角与外角，正多边形的性质【解析】【解答】正多边形的每个外角 =360°n（ n 为边数）， 所以正九边形的一个外角 =360°9=40° ∴ 正九边形一个内角的度数为 180°−40°=140°故答案为：140°.【分析】根据正九边形的外角和等于360°，用360°÷9可求得每一个外角的度数，再根据正九边形的每一个外角和它相邻的内角互补即可求解11.幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为________.【答案】-2【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为−1−6+1=−6，∴−6+a+2=−6，∴a=−2，故答案为：-2.【分析】根据"各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等"可得关于a的方程，解方程可求解.12.若A(1,y1)，B(3,y2)是反比例函数y=2m−1x (m<12)图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1________ y2（填“>”、“=”或“<”）【答案】<【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】解：∵m<12∴2m<12×2即2m-1<0∴反比例函数图象每一个象限内，y随x的增大而增大∵1<3∴y1< y2故答案为：<.【分析】根据m＜12可判断2m-1<0，于是由反比例函数的性质可知反比例函数图象每一个象限内，y 随x的增大而增大，再结合点A、B的坐标可求解.13.如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________.【答案】 3√2+1【考点】正方形的性质，切线的性质【解析】【解答】解：由题意得当 ⊙O 与BC 、CD 相切时，切点分别为F 、G ，点A 到 ⊙O 上的点的距离取得最大，如图所示：∠OFC =90°连接AC ，OF ，AC 交 ⊙O 于点E ，此时AE 的长即为点A 到 ⊙O 上的点的距离为最大，如图所示， ∵四边形 ABCD 是正方形，且边长为4，∴ AB =BC =4,∠ACB =45° ，∴△OFC 是等腰直角三角形， AC =4√2 ，∵ ⊙O 的半径为1，∴ OF =FC =1 ，∴ OC =√2 ，∴ AO =AC −OC =3√2 ，∴ AE =AO +OE =3√2+1 ，即点A 到 ⊙O 上的点的距离的最大值为 3√2+1 ；故答案为 3√2+1 .【分析】 当⊙O 与CB 、CD 相切时，切点分别为F 、G ，点A 到⊙O 上的点的距离取得最大，连接AC ，OF ，AC 交⊙O 于点E ，此时AE 的长即为点A 到⊙O 上的点的距离为最大；根据切线的性质得到OE ＝OF ，由正方形的性质可得△OFC 是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AC 的值，由线段的构成AO=AAC-OC 可求得AO 的值，则AE=AO+OE 可求解.三、解答题（共13题；共94分）14.计算： (−12)0+|1−√2|−√8 .【答案】 解：原式 =1+√2−1−2√2=−√2【考点】0指数幂的运算性质，二次根式的加减法【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-12）0=1，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可求解.15.解不等式组： {x +5<43x+12≥2x −1 【答案】 解： {x +5<43x+12≥2x −1 ， 由 x +5<4 ，得 x <−1 ；由3x+12≥2x−1，得x≤3；∴原不等式组的解集为x<−1【考点】解一元一次不等式组【解析】【分析】由题意先求出每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即为不等式组的解集.16.解方程：x−1x+1−3x2−1=1.【答案】解：去分母（两边都乘以(x+1)(x−1)），得，(x−1)2−3=x2−1.去括号，得，x2−2x+1−3=x2−1，移项，得，x2−2x−x2=−1−1+3.合并同类项，得，−2x=1.系数化为1，得，x=−12.检验：把x=−12代入(x+1)(x−1)≠0.∴x=−12是原方程的根【考点】解分式方程【解析】【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解.17.如图，已知直线l1//l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B.请用尺规作图法，在线段AB 上求作点P，使点P到l1、l2的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）【答案】解：如图所示，点P即为所求.【考点】平行线之间的距离，线段垂直平分线的性质，作图-线段垂直平分线【解析】【分析】由题意根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知：作线段AB的垂直平分线与线段AB的交点即为所求作的点P.18.如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.【答案】证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C.∵BD=BC，BE=AC，∴△EDB≌△ABC(SAS).∴∠D=∠ABC【考点】三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得∠EBD=∠C，结合已知用边角边可证△EDB≌△ABC，根据全等三角形的对应角相等可求解.19.一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求这种服装每件的标价.【答案】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得10×0.8x=11(x−30)，解得x=110；答：这种服装每件的标价是110元【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题【解析】【分析】由题意根据相等关系“ 按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额=与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额”列方程，解方程即可求解.20.从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6.（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为________；（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀.从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张.请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率.【答案】（1）12（2）解：列表如下：由上表可知，共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种，∴P牌面相同=212=16【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】（1）四张牌为：2，3，3，6，从中抽取一张，共有四种等可能结果，抽到牌面数字是3的有两种，∴P（抽到3）=24=12；【分析】（1）由题意用概率公式即可求解；（2）由题意可列表格，由表格中的信息可知：共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种，再用概率公式即可求解.21.一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示.小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度，他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m.已知点B、C、D共线，AD⊥BD.求钢索AB的长度.（结果保留根号）【答案】解：在△ADC中，设AD=x.∵AD⊥BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=x.在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD=30°，∴AD=BDtan30°，即x=√33(16+x).解之，得x=8√3+8∴AB=2AD=16√3+16∴钢索AB的长度约为(16√3+16)m【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】设AD＝x，在等腰直角三角形ADC中用含x的代数式表示出CD=AD=x，在Rt△ABD中，可得关于x的方程，解方程可求得x的值，然后根据AB=2AD可求解．用三角函数tan30°=ADBD22.今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行.某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况.他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：根据以上信息，回答下列问题：（1）这60天的日平均气温的中位数为________，众数为________；（2）求这60天的日平均气温的平均数；（3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”.请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数.【答案】（1）19.5；19(17×5+18×12+19×13+20×9+21×6+22×4+23×6+24×5)（2）解：x̅=160=20，∴这60天的日平均气温的平均数为20℃×30=20，（3）解：∵12+13+9+660∴预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天【考点】用样本估计总体，条形统计图，分析数据的集中趋势【解析】【解答】解：（1）由题意得样本共60个数据，故中位数取排序后第30、31个数的中位数，由统计图得排序后第30个数为19，第31个数为20，∴中位数为19+2019.5，2=平均气温19出现的次数最多，∴众数为19，故答案为：19.5，19；【分析】（1）中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；众数是指一组数据中出现次数最多的数；根据定义并结合条形图可求解；（2）根据加权平均数的计算公式可求解；（2）用样本估计总体可求解.23.在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min 后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离 y(m ) 与时间 x(min) 之间的关系如图所示.（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是________ m min ⁄ ； （2）求 AB 的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.【答案】 （1）1（2）解：由图象知，A （7，30），B （10，18）设 AB 的表达式 y =kx +b(k ≠0) ，把点A 、B 代入解析式得，{30=7k +b 18=10k +b解得， {k =−4,b =58.∴ y =−4x +58（3）解：令 y =0 ，则 −4x +58=0 .∴ x =14.5 .14.5-1=13.5(min)∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为 13.5min【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】解：（1）从图象可以看出“猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min，“猫”用时（6-1）=5min，所以，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是305−306=6−5=1(m/min)故答案为：1；【分析】（1）观察图象，并根据图象中的信息““猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min”可求出猫”所用时间，再根据速度=路程÷时间可求得“猫”的平均速度和“鼠”的平均速度，求差即可求解；（2）观察图象可知点A、B的坐标，然后用待定系数法可求直线AB的解析式；（3）由题意令（2）中求得的解析式中的y=0可得关于x的方程，解方程可求得x的值，再用求得的x 的值减去迟出发的时间1小时即可求解.24.如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且BF⌢=2BE⌢，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.（1）求证：∠COB=∠A；（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长.【答案】（1）证明：如图，取BF⌢的中点M，连接OM、OF，∵BF⌢=2BE⌢，∴BM⌢=MF⌢=BE⌢，∴∠COB=12∠BOF，∵∠A=12∠BOF，∴∠COB=∠A（2）解：连接BF，∵CD是⊙O的切线，∴AB⊥CD，由（1）知∠COB=∠A，∴△OBC∽△ABD，∴OBBC =ABBD，∵AB=6，CB=4，∴BD=BC⋅ABOB =4×63=8.∴AD=√62+82=10，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AD.∵∠D=∠D，∴△BFD∽△ABD.∴FDBD =BDAD，∴FD=BD2AD =8210=325【考点】圆的综合题【解析】【分析】（1）取弧BF的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝12∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝12∠BOF可求解；（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△OBC∽△ABD，由比例式OBBC =ABBD可求出BD的值，然后用勾股定理可计算出AD的值，根据圆周角定理得∠AFB＝90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△DBF∽Rt△DAB，得比例式FDBD=BDAD可求解．25.已知抛物线y=−x2+2x+8与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点B、C的坐标；（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似且PC与PO是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：令y=0，则−x2+2x+8=0，∴x1=−2，x2=4∴B(4,0).令x=0，则y=8.∴C(0,8)（2）解：存在.由已知得，该抛物线的对称轴为直线x=1.∵点C′与点C关于直线x=1对称，∴C(2,8)，CC′=2.∴CC′//OB.∵点P在y轴上，∴∠PCC′=∠POB=90°∴当PCPO =CC′OB时，△PCC′∽△POB.设P(0,y)，i）当y>8时，则y−8y =24，∴y=16. ∴P(0,16)ii）当0<y<8时，则8−yy =24，∴y=163∴P(0,163).iii）当y<0时，则CP>OP，与PCPO =12矛盾.∴点P不存在∴P(0,16)或P(0,163)【考点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）由题意分别令解析式中的y=0、x=0即可求出B，C的坐标；（2）先设P的坐标为（0，y），根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式PCPO =CC′OB，由题意分三种情况：i）当y＞8时，根据比例式可列关于y的方程，解方程即可求解；ii）当0＜y＜8时，根据比例式可列关于y的方程，解方程即可求解；iii）当y＜0时，根据比例式可列关于y的方程，解方程即可求解.26.如图（1）问题提出如图1，在▱ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中点，点F在DC上且DF=5求四边形ABFE的面积.（结果保留根号）（2）问题解决某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC.已知五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，BC=1200m，CD=600m，AE=900m.满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A 的距离；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：在▱ABCD中，设AB边上的高为h.∵AD=6，∠A=45°，∴ℎ=ADsin45°=3√2∵EA=ED，∴点E到DC的距离为ℎ2.∴S四边形ABFE=S▱ABCD−(S△DEF+S△BCF)=AB⋅ℎ−(12⋅DF⋅ℎ2+12⋅FC⋅ℎ)=24√2−(154√2+92√2)=63√24（2）解：存在.如图，分别延长AE与CD，交于点F，则四边形ABCF是矩形.设AN=x，则PC=x，BO=2x，BN=800−x，AM=OC=1200−2x.由题意，易知MF=BO，PF=BN∴S四边形OPMN=S矩形ABCF−S△ANM−S△BON−S△CPO−S△FMP=800×1200−12⋅x(1200−2x)−12⋅2x(800−x)−12⋅x(1200−2x)−12⋅2x(800−x)=4x2−2800x+960000=4(x−350)2+470000.∴当x=350时，S四边形OPMN=470000.AM=1200−2x=500<900，CP=350<600.∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000m2，这时，点N到点A的距离为350m.【考点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）在▱ABCD中，设AB边上的高为h，根据锐角三角函数sin45°=ℎ可求得h的AD，然后根据四边形面积的构成S四边形ABFE=S平行四边形ABCD-值，由线段中点定义易得点E到DC的距离为ℎ2（S△DEF+S△BCF）可求解；（2）分别延长AE与CD，交于点F，则四边形ABCF是矩形，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN ＝（800−x）米，AM＝OC＝（1200−2x）米，易得MF＝BO=2x米，PF＝BN=（800−x）米，由四边形的面积的构成S四边形OPMN＝S矩形ABCF-S△ANM-S△BON-S△CPO-S△FMP可得S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．。

2021年陕西省中考数学试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)1．计算:(﹣)×2=()A．﹣1 B．1 C．4 D．﹣42．如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是()A．B．C．D．3．下列计算正确的是()A．x2+3x2=4x4B．x2y•2x3=2x4y C．(6x2y2)÷(3x)=2x2D．(﹣3x)2=9x24．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=()A．65° B．115° C．125° D．130°5．设点A(a，b)是正比例函数y=﹣x图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是()A．2a+3b=0 B．2a﹣3b=0 C．3a﹣2b=0 D．3a+2b=06．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE 交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为()A．7 B．8 C．9 D．107．已知一次函数y=kx+5和y=k′x+7，假设k＞0且k′＜0，则这两个一次函数的图象的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有()A．2对B．3对C．4对D．5对9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为()A．3B．4C．5D．610．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为()A．B．C．D．2二、填空题(共4小题，每小题3分，满分12分)11．不等式﹣x+3＜0的解集是．12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是．B．运用科学计算器计算:3sin73°52′≈．(结果精确到0.1)13．已知一次函数y=2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C，且AB=2BC，则这个反比例函数的表达式为．14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为．三、解答题(共11小题，满分78分)15．计算:﹣|1﹣|+(7+π)0．16．化简:(x﹣5+)÷．17．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)18．某校为了进一步改变本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为:“A﹣非常喜欢”、“B﹣比较喜欢”、“C﹣不太喜欢”、“D﹣很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上提供的信息，解答下列问题:(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是；(3)若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？19．如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证:AF∥CE．20．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下:如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下:如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．21．昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题:(1)求线段AB所表示的函数关系式；(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？22．某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是:绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下:①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”)；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关)，便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．根据以上规则，回答下列问题:(1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；(2)有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．23．如图，已知:AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证:(1)FC=FG；(2)AB2=BC•BG．24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1，3)和N(3，5)(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(﹣2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．25．问题提出(1)如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH 部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．2021年陕西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)1．计算:(﹣)×2=()A．﹣1 B．1 C．4 D．﹣4【考点】有理数的乘法．【分析】原式利用乘法法则计算即可得到结果．【解答】解:原式=﹣1，故选A2．如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是()A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据已知几何体，确定出左视图即可．【解答】解:根据题意得到几何体的左视图为，故选C3．下列计算正确的是()A．x2+3x2=4x4B．x2y•2x3=2x4y C．(6x2y2)÷(3x)=2x2D．(﹣3x)2=9x2【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．【分析】A、原式合并得到结果，即可作出判断；B、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；D、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解:A、原式=4x2，错误；B、原式=2x5y，错误；C、原式=2xy2，错误；D、原式=9x2，正确，故选D4．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=()A．65° B．115° C．125° D．130°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．【解答】解:∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故选B．5．设点A(a，b)是正比例函数y=﹣x图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是()A．2a+3b=0 B．2a﹣3b=0 C．3a﹣2b=0 D．3a+2b=0【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点A(a，b)代入正比例函数y=﹣x，求出a，b的关系即可．【解答】解:把点A(a，b)代入正比例函数y=﹣x，可得:﹣3a=2b，可得:3a+2b=0，故选D6．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE 交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为()A．7 B．8 C．9 D．10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．【解答】解:在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．7．已知一次函数y=kx+5和y=k′x+7，假设k＞0且k′＜0，则这两个一次函数的图象的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】两条直线相交或平行问题．【分析】根据k的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限，然后根据b的情况即可求得交点的位置．【解答】解:∵一次函数y=kx+5中k＞0，∴一次函数y=kx+5的图象经过第一、二、三象限．又∵一次函数y=k′x+7中k′＜0，∴一次函数y=k′x+7的图象经过第一、二、四象限．∵5＜7，∴这两个一次函数的图象的交点在第一象限，故选A．8．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有()A．2对B．3对C．4对D．5对【考点】正方形的性质；全等三角形的判定．【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论．【解答】解:∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C．9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为()A．3B．4C．5D．6【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解答】解:过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB==30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故选:B．10．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为()A．B．C．D．2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义．【分析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD=即可计算．【解答】解:令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A(﹣3，0)，B(1，0)，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4，∴顶点C(﹣1，4)，如图所示，作CD⊥AB于D．在RT△ACD中，tan∠CAD===2，故答案为D．二、填空题(共4小题，每小题3分，满分12分)11．不等式﹣x+3＜0的解集是x＞6．【考点】解一元一次不等式．【分析】移项、系数化成1即可求解．【解答】解:移项，得﹣x＜﹣3，系数化为1得x＞6．故答案是:x＞6．12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是8．B．运用科学计算器计算:3sin73°52′≈11.9．(结果精确到0.1)【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．【分析】(1)根据多边形内角和为360°进行计算即可；(2)先分别求得3和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．【解答】解:(1)∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为:360°÷45°=8(2)3sin73°52′≈12.369×0.961≈11.9故答案为:8，11.913．已知一次函数y=2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C，且AB=2BC，则这个反比例函数的表达式为y=．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据已知条件得到A(﹣2，0)，B(0，4)，过C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到==，求得C(1，6)，即可得到结论．【解答】解:∵一次函数y=2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，∴A(﹣2，0)，B(0，4)，过C作CD⊥x轴于D，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴==，∴CD=6，AD=3，∴OD=1，∴C(1，6)，设反比例函数的解析式为y=，∴k=6，∴反比例函数的解析式为y=．故答案为:y=．14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为2﹣2．【考点】菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质．【分析】如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P．此时△PBC 是等腰三角形，线段PD最短，求出BD即可解决问题．【解答】解:如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P．此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴BO=DO=×2=，∴BD=2BO=2，∴PD最小值=BD﹣BP=2﹣2．故答案为2﹣2．三、解答题(共11小题，满分78分)15．计算:﹣|1﹣|+(7+π)0．【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】直接化简二次根式、去掉绝对值、再利用零指数幂的性质化简求出答案．【解答】解:原式=2﹣(﹣1)+1=2﹣+2=+2．16．化简:(x﹣5+)÷．【考点】分式的混合运算．【分析】根据分式的除法，可得答案．【解答】解:原式=•=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3．17．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)【考点】作图—相似变换．【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD 与△CAD相似．【解答】解:如图，AD为所作．18．某校为了进一步改变本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为:“A﹣非常喜欢”、“B﹣比较喜欢”、“C﹣不太喜欢”、“D﹣很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上提供的信息，解答下列问题:(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是比较喜欢；(3)若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？【考点】众数；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【分析】(1)根据条形统计图与扇形统计图可以得到调查的学生数，从而可以的选B的学生数和选B和选D的学生所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；(2)根据(1)中补全的条形统计图可以得到众数；(3)根据(1)中补全的扇形统计图可以得到该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的人数．【解答】解:(1)由题意可得，调查的学生有:30÷25%=120(人)，选B的学生有:120﹣18﹣30﹣6=66(人)，B所占的百分比是:66÷120×100%=55%，D所占的百分比是:6÷120×100%=5%，故补全的条形统计图与扇形统计图如右图所示，(2)由(1)中补全的条形统计图可知，所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是:比较喜欢，故答案为:比较喜欢；(3)由(1)中补全的扇形统计图可得，该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有:960×25%=240(人)，即该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．19．如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证:AF∥CE．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠1=∠2，DF=BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，∵BF=DE，∴BF+BD=DE+BD，即DF=BE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE(SAS)，∴∠AFD=∠CEB，∴AF∥CE．20．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下:如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下:如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．【解答】解:由题意可得:∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，则=，=，即=，=，解得:AB=99，答:“望月阁”的高AB的长度为99m．21．昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题:(1)求线段AB所表示的函数关系式；(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？【考点】一次函数的应用．【分析】(1)可设线段AB所表示的函数关系式为:y=kx+b，根据待定系数法列方程组求解即可；(2)先根据速度=路程÷时间求出小明回家的速度，再根据时间=路程÷速度，列出算式计算即可求解．【解答】解:(1)设线段AB所表示的函数关系式为:y=kx+b，依题意有，解得．故线段AB所表示的函数关系式为:y=﹣96x+192(0≤x≤2)；(2)12+3﹣(7+6.6)=15﹣13.6=1.4(小时)，112÷1.4=80(千米/时)，÷80=80÷80=1(小时)，3+1=4(时)．答:他下午4时到家．22．某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是:绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下:①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”)；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关)，便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．根据以上规则，回答下列问题:(1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；(2)有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】(1)由转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；直接利用概率公式求解即可求得答案；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解:(1)∵转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为:；(2)画树状图得:∵共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况，∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为:．23．如图，已知:AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．求证:(1)FC=FG；(2)AB2=BC•BG．【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质．【分析】(1)由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；(2)连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．【解答】证明:(1)∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中点，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G，∴FC=FG；(2)连接AC，如图所示:∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径，∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴=，∴AB2=BC•BG．24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1，3)和N(3，5)(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(﹣2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】(1)把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；(2)利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．【解答】解:(1)由抛物线过M、N两点，把M、N坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，令y=0可得x2﹣3x+5=0，该方程的判别式为△=(﹣3)2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴抛物线与x轴没有交点；(2)∵△AOB是等腰直角三角形，A(﹣2，0)，点B在y轴上，∴B点坐标为(0，2)或(0，﹣2)，可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，①当抛物线过点A(﹣2，0)，B(0，2)时，代入可得，解得，∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，∴该抛物线的顶点坐标为(﹣，﹣)，而原抛物线顶点坐标为(，)，∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；②当抛物线过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)时，代入可得，解得，∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，∴该抛物线的顶点坐标为(﹣，﹣)，而原抛物线顶点坐标为(，)，∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．25．问题提出(1)如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH 部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】(1)作B关于AC 的对称点D，连接AD，CD，△ACD即为所求；(2)作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，得到此时四边形EFGH 的周长最小，根据轴对称的性质得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=2即可得到结论；(3)根据余角的性质得到1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根据全等三角形的性质得到AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG 关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解:(1)如图1，△ADC即为所求；(2)存在，理由:作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，由题意得:BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∴AF′=6，AE′=8，∴E′F′=10，EF=2，∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，∴在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小，最小值为2+10；(3)能裁得，理由:∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∴∠1=∠2，。

2021 年陕西省中考数学试卷一、选择题（共10 个小题，共计30 分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3 分）如果零上5℃记作+5℃，那么零下7℃可记作（）A．﹣7℃B．+7℃C．+12℃D．﹣12℃2．（3 分）如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（3 分）计算（﹣5a3）2的结果是（）A．﹣10a5 B．10a6 C．﹣25a5 D．25a64．（3 分）某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100 分）如表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（）分数（分）89 92 95 96 97评委（位） 1 2 2 1 1A．92 分B．93 分C．94 分D．95 分5．（3 分）如图，△ABC 中，AD、BE 是两条中线，则S△EDC：S△ABC＝（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：46．（3 分）在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（）A．（2，﹣3），（﹣4，6）B．（﹣2，3），（4，6）C．（﹣2，﹣3），（4，﹣6）D．（2，3），（﹣4，6）7．（3 分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE 的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°8．（3 分）在同一平面直角坐标系中，若一次函数y＝﹣x+3 与y＝3x﹣5 的图象交于点M，则点M 的坐标为（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）9．（3 分）如图，在半径为5 的⊙O 中，AB、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP 的长为（）A．3 B．4 C．3 D．410．（3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣x﹣6 向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．6二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分共18 分）11．（3 分）计算：2cos45°﹣3+（1﹣）0＝．12．（3 分）分解因式：x3y﹣2x2y2+xy3＝．13．（3 分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．A、在平面中，将长度为4 的线段AB 绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°，则线段AB 扫过的面积为．B、用科学记算器计算：sin69°≈（精确到0.01）．14．（3 分）小宏准备用50 元钱买甲、乙两种饮料共10 瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4 元，则小宏最多能买瓶甲饮料．15．（3 分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y ＝﹣2x+6 的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件的一个即可）．16．（3 分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经x 轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A 到点B 所经过的路径的长为．三、解答题（共9 小题，计72 分，解答应写出过程）17．（5 分）化简：．18．（6 分）如图，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BF 分别与AC、AD 交于点E、F．（1）求证：AB＝AF；（2）当AB＝3，BC＝5 时，求的值．19．（7 分）某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书．为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计．结果如图：请你根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？（3）该校计划购买新书共600 本，若按扇形统计图中的百分比来相应的确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？20．（8 分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A 处沿湖岸向东方向走了100 米到B 处，测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东45°方向（点A、B、C 在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离（结果精确到1 米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）21．（8 分）科学研究发现，空气含氧量y（克/立方米）与海拔高度x（米）之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0 米的地方，空气含氧量约为299 克/立方米；在海拔高度为2000 米的地方，空气含氧量约为235 克/ 立方米．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）已知某山的海拔高度为1200 米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？22．（8 分）小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局．依据上述规则，解答下列问题：（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2 的概率；（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和为7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．（骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6 个小圆点的小立方块，点数和：两枚骰子朝上的点数之和）23．（8 分）如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于点A、B，点M 在PB 上，且OM ∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM＝AN；（2）若⊙O 的半径R＝3，PA＝9，求OM 的长．24．（10 分）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；（3）如图，△OAB 是抛物线y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．25．（12 分）如图，正三角形ABC 的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上，在正三角形ABC 及其内部，以点A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形E′ F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH，使得DE 、EF 在边AB 上，点P、N 分别在边CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．2012 年陕西省中考数学试卷解析一、选择题（共10 个小题，共计30 分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3 分）如果零上5℃记作+5℃，那么零下7℃可记作（）A．﹣7℃B．+7℃C．+12℃D．﹣12℃【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：∵“正”和“负”相对，∴零上5℃记作+5℃，则零下7℃可记作﹣7℃．故选：A．【点评】此题考查了正数与负数的定义．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．2．（3 分）如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）A.B．C． D．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【解答】解：从左边看竖直叠放 2 个正方形．故选：C．【点评】考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．3．（3 分）计算（﹣5a3）2的结果是（）A．﹣10a5 B．10a6 C．﹣25a5 D．25a6【分析】利用积的乘方与幂的乘方的性质求解即可求得答案．【解答】解：（﹣5a3）2＝25a6．故选：D．【点评】此题考查了积的乘方与幂的乘方的性质．注意幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．4．（3 分）某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100 分）如表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（）分数（分）89 92 95 96 97 评委（位） 1 2 2 1 1A．92 分B．93 分C．94 分D．95 分【分析】先去掉一个最低分去掉一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可．【解答】解：由题意知，最高分和最低分为97，89，则余下的数的平均数＝（92×2+95×2+96）÷5＝94．故选：C．【点评】本题考查了加权平均数，关键是根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式．5．（3 分）如图，△ABC 中，AD、BE 是两条中线，则S△EDC：S△ABC＝（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4【分析】在△ABC 中，AD、BE 是两条中线，可得DE 是△ABC 的中位线，即可证得△EDC∽△ABC，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC 中，AD、BE 是两条中线，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE ＝ AB ，∴△EDC ∽△ABC ，∴S △EDC ：S △ABC ＝（）2＝ ． 故选：D ．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意中位线的性质的应用，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．6．（3 分）在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（） A ．（2，﹣3），（﹣4，6）B ．（﹣2，3），（4，6）C ．（﹣2，﹣3），（4，﹣6）D ．（2，3），（﹣4，6）【分析】由于正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同，找到比值相同的一组数即可．【解答】解：A 、∵＝，∴两点在同一个正比例函数图象上； B 、∵≠，∴两点不在同一个正比例函数图象上； C 、∵≠，∴两点不在同一个正比例函数图象上；D 、∵≠，两点不在同一个正比例函数图象上； 故选：A ．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，知道正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同是解题的关键．7．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，OE ⊥AB ，垂足为 E ，若∠ADC ＝130°，则∠AOE 的大小为（ ）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD 的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO 的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：在菱形ABCD 中，∠ADC＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．8．（3 分）在同一平面直角坐标系中，若一次函数y＝﹣x+3 与y＝3x﹣5 的图象交于点M，则点M 的坐标为（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）【分析】联立两直线解析式，解方程组即可．【解答】解：联立，解得，所以，点M 的坐标为（2，1）．故选：D．【点评】本题考查了两条直线的交点问题，通常利用联立两直线解析式解方程组求交点坐标，需要熟练掌握．9．（3 分）如图，在半径为5 的⊙O 中，AB、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP 的长为（）A．3 B．4 C．3 D．4【分析】作OM⊥AB 于M，ON⊥CD 于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM 的长，然后判定四边形OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM 的长．【解答】解：作OM⊥AB 于M，ON⊥CD 于N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3，∵弦AB、CD 互相垂直，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB 于M，ON⊥CD 于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∴四边形MONP 是矩形，∵OM＝ON，∴四边形MONP 是正方形，∴OP＝3故选：C．【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．10．（3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣x﹣6 向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．6【分析】计算出函数与x 轴、y 轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离及方向．【解答】解：当x＝0 时，y＝﹣6，故函数图象与y 轴交于点C（0，﹣6），当y＝0 时，x2﹣x﹣6＝0，即（x+2）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣2 或x＝3，即A（﹣2，0），B（3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移 2 个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数与几何变换，画出函数图象是解题的关键．二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分共18 分）11．（3 分）计算：2cos45°﹣3+（1﹣）0＝﹣5 +1 ．【分析】先将二次根式化为最简，再计算零指数幂，然后代入cos45°的值即可得出答案．【解答】解：原式＝2×﹣3×2 +1＝﹣5 +1．故答案为：﹣5+1．【点评】此题考查了实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题，注意各部分的运算法则，另外要注意熟记一些特殊角的三角函数值．12．（3 分）分解因式：x3y﹣2x2y2+xy3＝xy（x﹣y）2．【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解因式．【解答】解：x3y﹣2x2y2+xy3，＝xy（x2﹣2xy+y2），＝xy（x﹣y）2．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．13．（3 分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．A、在平面中，将长度为4 的线段AB 绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°，则线段AB 扫过的面积为π．B、用科学记算器计算：sin69°≈ 2.47 （精确到0.01）．【分析】A、画出示意图，根据扇形的面积公式求解即可；B、用计算器计算即可．【解答】解：A、由题意可得，AM＝MB＝AB＝2，线段AB 扫过的面积为扇形MCB 和扇形MAD 的面积和，故线段AB 扫过的面积＝+＝．B、sin69°≈2.47．故答案为：、2.47．【点评】此题考查了扇形的面积计算及计算器的运用，解答 A 需要我们明确线段AB 旋转后扫过的面积，解答 B 要求我们熟练操作计算器．14．（3 分）小宏准备用50 元钱买甲、乙两种饮料共10 瓶，已知甲饮料每瓶7 元，乙饮料每瓶 4 元，则小宏最多能买 3 瓶甲饮料．【分析】首先设小宏能买x 瓶甲饮料，则可以买（10﹣x）瓶乙饮料，由题意可得不等关系：甲饮料的花费+乙饮料的花费≤50 元，根据不等关系可列出不等式，再求出整数解即可．【解答】解：设小宏能买x 瓶甲饮料，则可以买（10﹣x）瓶乙饮料，由题意得：7x+4（10﹣x）≤50，解得：x≤，∵x 为整数，∴x＝0，1，2，3，则小宏最多能买 3 瓶甲饮料．故答案为：3．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，找出合适的不等关系，设出未知数，列出不等式．15．（3 分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y＝﹣2x+6 的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是y＝（只写出符合条件的一个即可）．【分析】两个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其k 要满足﹣2x2+6x﹣k＝0，△＜0 即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为：y＝，∵一次函数y＝﹣2x+6 与反比例函数y＝图象无公共点，则，∴﹣2x2+6x﹣k＝0，即△＝62﹣8k＜0解得k＞，则这个反比例函数的表达式可以是y＝；故答案可为：y＝．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解题的关键是：两个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其k 要满足﹣2x2﹣6x﹣k＝0 的△＜0．16．（3 分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经x 轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A 到点B 所经过的路径的长为．【分析】首先过点B 作BD⊥x 轴于D，由A（0，2），B（4，3），即可得OA＝2，BD＝3，OD＝4，由题意易证得△AOC∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可得OA：BD＝OC：DC＝AC：BC＝2：3，又由勾股定理即可求得这束光从点A 到点B 所经过的路径的长．【解答】解：如图，过点 B 作BD⊥x 轴于D，∵A（0，2），B（4，3），∴OA＝2，BD＝3，OD＝4，根据题意得：∠ACO＝∠BCD，∵∠AOC＝∠BDC＝90°，∴△AOC∽△BDC，∴OA：BD＝OC：DC＝AC：BC＝2：3，∴OC＝OD＝×4＝，∴AC＝＝，∴BC＝，∴AC+BC＝．即这束光从点A 到点B 所经过的路径的长为：．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及点与坐标的性质．此题难度适中，解此题的关键是掌握辅助线的作法，掌握入射光线与反射光线的关系．三、解答题（共9 小题，计72 分，解答应写出过程）17．（5 分）化简：．【分析】根据分式混合运算的法则先计算括号里面的，再把除法变为乘法进行计算即可．【解答】解：原式＝•＝＝＝＝．【点评】本题考查的是分式的混合运算，即分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．18．（6 分）如图，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BF 分别与AC、AD 交于点E、F．（1）求证：AB＝AF；（2）当AB＝3，BC＝5 时，求的值．【分析】（1）由在▱ABCD 中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠2＝∠3，又由BF 是∠ABC 的平分线，易证得∠1＝∠3，利用等角对等边的知识，即可证得AB＝AF；（2）易证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．【解答】解：（1）如图，在▱ABCD 中，AD∥BC．∴∠2＝∠3，∵BF 是∠ABC 的平分线，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝AF；（2）∵∠AEF＝∠CEB，∠2＝∠3，∴△AEF∽△CEB，∵AF＝AB＝3，∴＝＝，∴＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意有平行线与角平分线易得等腰三角形．19．（7 分）某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书．为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计．结果如图：请你根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？（3）该校计划购买新书共600 本，若按扇形统计图中的百分比来相应的确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？【分析】（1）根据借出的文学类的本数除以所占的百分比求出借出的总本数，然后求出其它类的本数，再用总本数减去另外三类的本数即可求出漫画书的本数；根据百分比的求解方法列式计算即可求出科普类与漫画类所占的百分比；（2）根据扇形统计图可以一目了然进行的判断；（3）用总本数600 乘以各部分所占的百分比，进行计算即可得解．【解答】解：（1）借出图书的总本数为：40÷10%＝400 本，其它类：400×15%＝60 本，漫画类：400﹣140﹣40﹣60＝160 本，科普类所占百分比：×100%＝35%，漫画类所占百分比：×100%＝40%，补全图形如图所示；（2 分）（2）该校学生最喜欢借阅漫画类图书．（3 分）（3）漫画类：600×40%＝240（本），科普类：600×35%＝210（本），文学类：600×10%＝60（本），其它类：600×15%＝90（本）．…（7 分）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（8 分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A 处沿湖岸向东方向走了100 米到B 处，测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东45°方向（点A、B、C 在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离（结果精确到1 米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）【分析】如图作CD⊥AB 交AB 的延长线于点D，在Rt△ACD 和Rt△BCD 中分别表示出AC 的长就可以求得AC 的长．【解答】解：如图作CD⊥AB 交AB 的延长线于点D，则∠BCD＝45°，∠ACD＝65°，在Rt△ACD 和Rt△BCD 中，设AC＝x，则AD＝x sin65°，BD＝CD＝x cos65°，∴100+x cos65°＝x sin65°．∴x＝≈207（米），∴湖心岛上迎宾槐 C 处与凉亭 A 处之间的距离约为207 米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的求解．21．（8 分）科学研究发现，空气含氧量y（克/立方米）与海拔高度x（米）之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0 米的地方，空气含氧量约为299 克/立方米；在海拔高度为2000 米的地方，空气含氧量约为235 克/ 立方米．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）已知某山的海拔高度为1200 米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？，解之得【分析】（1）利用在海拔高度为 0 米的地方，空气含氧量约为 299 克/立方米； 在海拔高度为 2000 米的地方，空气含氧量约为 235 克/立方米，代入解析式求出即可；（2）根据某山的海拔高度为 1200 米，代入（1）中解析式，求出即可． 【解答】解：（1）设 y ＝kx +b （k ≠0），则有：，∴y ＝﹣；（2）当 x ＝1200 时，y ＝﹣×1200+299＝260.6（克/立方米）．答：该山山顶处的空气含氧量约为 260.6 克/立方米．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键．22．（8 分）小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局．依据上述规则，解答下列问题：（1） 随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为 2 的概率；（2） 小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和为 7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．（骰子：六个面分别刻有 1、2、3、4、5、6 个小圆点的小立方块，点数和：两枚骰子朝上的点数之和）【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点数和为 2 的情况，利用概率公式即可求得答案；（2）根据（1）求得点数和大于 7 的情况，利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）随机掷骰子一次，所有可能出现的结果如表：骰子 1/骰子 21 2 3 4 5 6 12345672 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12∵表中共有36 种可能结果，其中点数和为 2 的结果只有一种．…..（3 分）∴P（点数和为2）＝．…（5 分）（2）由表可以看出，点数和大于7 的结果有15 种．∴P（小轩胜小峰）＝＝．…（8 分）【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（8 分）如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于点A、B，点M 在PB 上，且OM ∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM＝AN；（2）若⊙O 的半径R＝3，PA＝9，求OM 的长．【分析】（1）连接OA，由切线的性质可知OA⊥AP，再由MN⊥AP 可知四边形ANMO 是矩形，故可得出结论；（2）连接OB，则OB⊥BP 由OA＝MN，OA＝OB，OM∥AP．可知OB＝MN，∠OMB＝∠NPM．故可得出Rt△OBM≌△MNP，OM＝MP．设OM＝x，则NP＝9﹣x，在Rt△MNP 利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出结论．【解答】（1）证明：如图，连接OA，则OA⊥AP，∵MN⊥AP，∴MN∥OA，∵OM∥AP，∴四边形ANMO 是矩形，∴OM＝AN；（2）解：连接OB，则OB⊥BP∵OA＝MN，OA＝OB，OM∥AP．∴OB＝MN，∠OMB＝∠NPM．∴Rt△OBM≌Rt△MNP，∴OM＝MP．设OM＝x，则NP＝9﹣x，在Rt△MNP 中，有x2＝32+（9﹣x）2∴x＝5，即OM＝5．【点评】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，在解答此类题目时往往连接圆心与切点，构造出直角三角形，再根据直角三角形的性质解答．24．（10 分）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是等腰三角形；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；（3）如图，△OAB 是抛物线y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．【分析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与x 轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b＞0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b 的值．（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA＝OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE 的长，通过△OAB 这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B 的坐标，即可确定C、D 的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D 的抛物线的解析式．【解答】解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A 必在O、B 的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．故填：等腰．（2）当抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（，），满足＝（b＞0）．则b＝2．（3）存在．如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称，则四边形ABCD 为平行四边形．当OA＝OB 时，平行四边形ABCD 是矩形，又∵AO＝AB，∴△OAB 为等边三角形．∴∠AOB＝60°，作AE⊥OB，垂足为E，∴AE＝OE tan∠AOB＝．∴＝•（b＞0）．∴b′＝2．∴A（，3），B（2，0）．∴C（﹣），D（﹣2，0）．设过点O、C、D 的抛物线为y＝mx2+nx，则，解得．故所求抛物线的表达式为y＝x2+2x．【点评】这道二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，难度不大，重在考查基础知识的掌握情况．25．（12 分）如图，正三角形ABC 的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上，在正三角形ABC 及其内部，以点A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形E′ F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH，使得DE 、EF 在边AB 上，点P、N 分别在边CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN 的位似正方形E′F′P′ N′，如答图①所示；（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′＝AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长；（3）设正方形DEMN、正方形EFPH 的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：S＝+ （m﹣n）2，可见S 的大小只与m、n 的差有关：①当m＝n 时，S 取得最小值；②当m 最大而n 最小时，S 取得最大值．m 最大n 最小的情形见第（1）（2）问．【解答】解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC 为正三角形，∴AE′＝BF′＝x．∵E′F′+AE′+BF′＝AB，∴x+ x+ x＝3+，∴x＝，即x＝3 ﹣3，（x≈2.20 也正确）（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP＝90°．设正方形DEMN、正方形EFPH 的边长分别为m、n（m≥n），它们的面积和为S，则NE＝，PE＝n．∴PN2＝NE2+PE2＝2m2+2n2＝2（m2+n2）．∴S＝m2+n2＝PN2，延长PH 交ND 于点G，则PG⊥ND．在Rt△PGN 中，PN2＝PG2+GN2＝（m+n）2+（m﹣n）2．∵AD+DE+EF+BF＝AB，即m+m+n+ n＝+3，化简得m+n＝3．∴S＝[32+（m﹣n）2]＝+（m﹣n）2①当（m﹣n）2＝0 时，即m＝n 时，S 最小．∴S最小＝；②当（m﹣n）2最大时，S 最大．即当m 最大且n 最小时，S最大．∵m+n＝3，由（2）知，m最大＝3﹣3．∴S最大＝[9+（m最大﹣n最小）2]＝[9+（3 ﹣3﹣6+3 ）2] ＝99﹣54…．（S最大≈5.47 也正确）综上所述，S最大＝99﹣54，S最小＝．。