2002年高考.北京卷.理科数学试题及答案.docx

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟． （1）圆1)1(22=+-y x的圆心到直线3y x =的距离是（A ）21 （B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是 （A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ（C ）)45,4(ππ（D ）)23,45(),4(ππππ（5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k kx x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53-（8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+kyx 的一个焦点是)2,0(，那么=k（15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(xxx f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++na a a aADE参考答案 一、选择题二、填空题（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα 0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α∴6πα=∴33=αtg（18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22==)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ） 21)22( 2+-=a MN所以，当22=a 时，22=MN即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故 112222=--mymx将x y 2±=代入112222=--mymx ，并解得222251)1(mm m x--=，因012>-m所以0512>-m解得55||0<<m即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则 301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b x b b n n n ++⨯=+⨯=-+所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=nx x 94.0)06.030(06.0⨯-+=当006.030≥-x，即8.1≤x 时3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x ，即8.1>x 时数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x ，即6.3≤x 万辆综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤．（ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k ka a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a ank k nk k nk k。

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工）（北京卷）参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=;)]sin()[sin(21cos cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=;)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+=正棱台、圆台的侧面积公式1c c)2S '=+台体（l 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．满足条件}3,2,1{}1{= M 的集合M 的个数是（ ）(A )1 (B )2 (C )3 (D )42．在平面直角坐标系中，已知两点()000020sin ,20cos ),80sin ,80(cos B A ，则AB 的值是（ ）(A )21 (B )22 (C )23 (D )1 3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间),2(ππ上为减函数的是（ ）(A )x y 2cos = (B ) x y sin 2= (C )xy cos 31⎪⎭⎫ ⎝⎛= (D ) x y cot -=4．64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为甲V ，表面积之和为甲S ；一个直径为a 的球，记其体积为乙V ，表面积为乙S ，则（ ） (A )乙甲乙甲且S S ,V V >>(B ) 乙甲乙甲〈且〈S S ,V V (C ) 乙甲乙甲且S S ,V V >= (D ) 乙甲乙甲且S S ,V V ==5．已知某曲线的参数方程是)(,tan sec 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x ，若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不便变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（ ）(A )1=ρ (B )12cos =θρ(C )12sin 2=θρ6．给定四条曲线：①2522=+y x ，②14922=+y x ，③1422=+y x ，④1422=+y x ．其中与直线05=-+y x 仅有一个交点的曲线是（ ）(A )①②③ (B )②③④ (C )①②④ (D ) ①③④ 7．已知1z ，C z ∈2，且11=z ．若221=+z z ，则21z z -的最大值是（ ）(A )6 (B ) 5 (C ) 4 (D )38．若11cot 21cot =+-θθ，则θθ2sin 12cos +的值为（ ）(A )3 (B )-3 (C ) -2 (D )21-9．12名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）(A )4448412C C C 种 (B ) 44484123C C C 种 (C ) 3348412P C C 种 (D ) 334448412/P C C C 种10．设命题：“直四棱柱1111D C B A ABCD -中，平面1ACB 与对角面D D BB 11垂直”；命题乙：“直四棱柱1111D C B A ABCD -是正方体”，那么，甲是乙的（ ）(A )充分必要条件 (B )充分非必要条件 (C )必要非充分条件 (D )即非充分又非必要条件11．已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是（ ）(A ))3,2()1,0()2,3(ππ-- (B ) )3,2()1,0()1,2(ππ -- (C ))3,1()1,0()1,3( -- (D ) )3,1()1,0()2,3( π--12．如图所示，)4,3,2,1)((=i x f i 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，任意]1,0[∈λ，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（ ）(A ))(),(21x f x f (B ) )(2x f (C ) )(),(32x f x f(D )二．填空题：13．)45arctan(),43arccos(),52arcsin(---从大到小的顺序是 ． 14．等差数列}{n a ，中，21=a ，公差不为零，且n a a a ,,31恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．15．关于直角AOB 在平面α内的射影有如下判断：①可能是00的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是直角；⑤可能是0180的角．其中正确的序号是 ．（注：把你认为正确判断的序号都填上）． 16．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA ，PB 是圆082222=+--+y x y x 的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17．解不等式212<--x x18．如图，在多面体1111D C B A ABCD -中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交与F E ,两点，上、下底面矩形的长、宽分别为d c ,与b a ,，且d b c a >>,，两底面间的距离为h ．AD E F BCA 1B 1C 1D 1abd c（1）求侧面11A ABB 与底面ABCD 所成二面角的大小； （2）证明：ABCD EF 面//；（3）在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式h S V ⋅=中截面估来计算，已知它的体积公式是)4(6hV 下底面中底面上底面S S S ++=试判断估V 与V 的大小关系，并加以证明． （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．）19．数列}{n a 由下列条件确定：01>=a x ，N n x ax x nn n ∈+=+),(211． （1）证明：对2≥n ，总有a x n ≥；（2）证明：对2≥n ，总有1+≥n n x x ； （3）若数列}{n a 的极限存在，且大于零，求nn xlim ∞→的值．20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n 个不同的数n v v v ,,,21 的和n ni iv v v v+++=∑= 211，计算开始前，n个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机（2）当128=n 时，要使所有机器都得到∑=i iv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21．已知)0,0(O ，)0,1(B ，),(c b C 是OBC ∆的三个顶点．（1）写出OBC ∆的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明H F G ,,三点共线； （2）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．22．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅．（1）求)1(),0(f f 的值；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（3）若2)2(=f ，)()2(N n nf u n n ∈=-，求数列}{n u 的前n 项的和n S参考解答说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

20０２年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科)及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分．第Ｉ卷1至２页．第ＩＩ卷3至9页．共１５0分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共6０分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共6０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本试卷分第Ｉ卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分.第Ｉ卷1至2页.第ＩI 卷３至9页.共1５0分.考试时间120分钟.(1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 (Ａ）21 (B ）23 （Ｃ)１ （D ）3 （2)复数3)2321(i +的值是 （A ）i - (Ｂ)i （C ）1- (D ）1(3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A)}10|{<≤x x (B ）0|{<x x 且}1-≠x（C ）}11|{<<-x x (D ）1|{<x x 且}1-≠x（4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是(A ）)45,()2,4(ππππ （Ｂ)),4(ππ （Ｃ）)45,4(ππ (Ｄ）)23,45(),4(ππππ (5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==,则 （A)N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （Ｄ)∅=N M(6)点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈)上的点的最短距离为(Ａ)0 (B)1 (C ）2 (D)２(7）一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 (B ）54 （C)53 (D)53- (8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为１,侧棱长为2,则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是(A)︒90 (B ）︒60 （C)︒45 (D)︒30(9)函数c bx x y ++=2(),0[+∞∈)是单调函数的充要条件是（A ）0≥b (B)0≤b （Ｃ)0>b （D)0<b(1０)函数111--=x y 的图象是(11）从正方体的6个面中选取３个面，其中有2个面不相邻的选法共有(A ）8种 （B)12种 (Ｃ)16种 (D ）2０种（12)据2０02年３月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2００1年国内生产总值达到9５９33亿元,比上年增长７.3%”,如果“十•五”期间(2０01年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A)１150０0亿元 (Ｂ)１2００00亿元 (C ）127000亿元 (D)1３5000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题４分,共16分.把答案填在题中横线.（1３）函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为３，则a =(1４）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k(15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是。

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是A ．4B ．3C ．2D ．12．在平面直角坐标系中，已知两点)20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos ︒︒︒︒B A 则|AB|的值是A ．21B ．22C ．23D ．13．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（ππ,2）上为减函数的是A ．x y cos =B ．|sin |2x y =C ．2cos xy = D ．ctgx y -=4．在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是CD 5．64个直径都为4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则 A ．V 甲＞V 乙且S 甲＞S 乙 B ．V 甲＜V 乙且S 甲＜S 乙 C ．V 甲＝V 乙且S 甲＞S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙6．若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围A ．)3,6[ππ B ．)2,6(ππ C ．)2,3(ππ D ．]2,6[ππ 7．（1+i ）8等于 A ．16i B ．－16i C ．－16 D ．168．若1121=+-θθctg ctg ，则θ2cos 的值为A ．53 B ．－53 C ．552 D ．－552 9．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为 A ．480 B ．240 C ．120 D ．9610．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 分别表示球的半径D C D D11．已知)(x f 的定义在（0，3）上的函数，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是A ．（0，1）∪（2，3）B ．)3,2()2,1(ππC ．)3,2()1,0(πD ．)3,1()1,0(12．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和x 2，)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有A ．)(),(31x f x fB ．)(2x fC ．)(),(32x f x fD ．)(4x f第Ⅱ卷（非选择题 共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．πππ57,56cos ,52sintg 从小到大的顺序是 . 14．等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 .15．关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）. 16．圆012222=+--+y x y x 的动点Q 到直线0843=++y x 距离的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式x x >+-212. 18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .. （Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值； （Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6h V =（S 上底面+4S 中截面+S 下底面）， 试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.） 19．（本小题满分12分）数列{x n }由下列条件确定：.),(21,011N n x ax x a x nn n ∈+=>=+ （Ⅰ）证明：对n ≥2，总有a x n ≥；（Ⅱ）证明：对n ≥2，总有1+≥n n x x ；20．（本小题满分12分）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题： 用计算机求n 个不同的数n v v v ,,,21 的和∑=++++=ni n iv v v v v1321 .计算开始前，n 个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.ABCDA 1 C 1B 1D 1abc d为了用尽可能少的单位时间．．．．．．．．．，使各台机器都得到这n 个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2时，（Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到∑=i iv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21．（本小题满分13分）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点.（Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G ，F ，H （Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹. 22．（本小题满分13分）已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅. （Ⅰ）求f （0），f （1）的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若))(2(,2)2(N n f u f n n ∈==，求证)(1N n u u n n ∈>+.数学试题（文史类）（北京卷）参考解答说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.C2.D3.B4.A5.C6.B7.D8.A9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．πππ5752sin 56costg << 14．4 15．①②③④⑤ 16．2 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.解： ⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-⇔>+-02012)2(12,02,0122122x x x x x x x x 或 221056,22<≤⎩⎨⎧<+-≥⇔x x x x 或2215222151,2<≤<≤⇔<≤⎩⎨⎧<<≥⇔x x x x x 或或521<≤⇔x .所以，原不等式组的解集为}521|{<≤x x .18．本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和 逻辑推理能力. 满分12分.（1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ,过B 1作B 1G ⊥PQ,垂足为G.∵平面ABCD ∥平 面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°，∴AB ⊥PQ ，AB ⊥ B 1P. ∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作 C 1H ⊥PQ ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二 面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形.h G B d b PG =-=1),(21又，),(21d b db h PG B tg >-=∠∴即所求二面角的正切值为d b h -2. （Ⅲ）V 估＜V.证明： ∵a ＞c ，b ＞d ，∴h d b c a d b c a ab cd h V V 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++=-估0))((12)])((3))((222[12>--=++-++++=d b c a hd b c a d b c a ab cd h ∴V 估＜V . 19．本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分12分.（Ⅰ）证明：由)(21,011n n n x a x x a x +=>=+及，可归纳证明0>n x （没有证明过程不扣分）.从而有)()(211N n a x ax x a x xnn n n n ∈=⋅≥+=+，所以，当n ≥2时，a x n ≥成立.（Ⅱ）证法一：当n ≥2时，因为)(21,01nn n n x a x x a x +=>≥+，所以021)(2121≤-⋅=-+=-+nn nnn n n x x a x x a x x x ，故当n ≥2时，1+≥n n x x 成立. 证法二：当n ≥2时，因为)(21,01nn n n x a x x a x +=>≥+，所以122)(21222221=+≤+=+=+nn n n n n n n n n x x x x a x x x a x x x ，故当n ≥2时，1+≥n n x x 成立. 20．本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解：当n=4时，只用2个单位时间即可完成计算.21．本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得重心)3,31(c b G +，外心F )2,21(22c b c b -+，垂心)3,(2b b b H -.当21=b 时， G ，F ，H 三点的横坐标均为21，故三点共线；当21≠b 时，设G ,H 所在直线的斜率为GH k ，F ，G 所在直线的斜率为FG k .因为)21(33313222b c b b c b b c b b c kGH--+=-+--=， )21(332131232222b c b b c b c b c b c k FG--+=-+-+-=，所以FG GH k k =，G ，F ，H 三点共线. 综上可得，G ，F ，H 三点共线.（Ⅱ）解：若FH//OB ，由0)21(3322=--+=b c b b c k FH ，得)21,0(0)(322≠≠=+-b c c b b ， 配方得1)23()21()21(,43)21(3222222=+-=+-c b c b 即，即1)23()21()21(2222=+-y x )0,21(≠≠y x . 因此，顶点C 的轨迹是中心在（21，0），长半轴长为23，短半轴长为21，且短轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（21，23），（21，－23）四点.22．本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.（Ⅰ）解：0)0(0)0(0)00()0(=⋅+⋅=⋅=f f f f . 因为)1(1)1(1)11()1(f f f f ⋅+⋅=⋅=， 所以0)1(=f（Ⅱ）)(x f 是奇函数. 证明：因为0)1(0)1()1(])1[()1(2=-=----=-=f f f f f 所以， ),()1()()1()(x f xf x f x f x f -=-+-=⋅-=-因此，)(x f 为奇函数. （Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明).(0)2(N n f u n n ∈>=（1）当n=1时，02)2(1>==f u ；（2）假设当n=k 时，,0)2(>=k k f u 那么当n=k +1时，)2(2)2(2)2(11f f f u k k k k +==++02)2(21>+=+k k f .由以上两步可知，对任意0)2(,>=∈n n f u N n .因为)(0N n u n ∈> 所以)(22)2(2)2(2)2(111N n u u f f f u n n n n n n n ∈>+=+==+++。

2002年普通高等学校春季招生考试数学试卷(北京文、理)一、选择题（1）不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集（ ）（A ）{x|–1<x<1} （B ）{x|0<x,3} （C ）{x|0<x<1} （D ）{x|–1<x<3}（2）已知三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ，下列四个命题中，正确的是（ ）（A ）βαγβγα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥ （B ）ββ⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m //（C ）n m n m //////⇒⎭⎬⎫γγ （D ）n m n m //⇒⎭⎬⎫⊥⊥γγ（3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线 （4）如果θ∈(π/2,π)那么复数(1+i)(cos θ+isin θ)的辐角的主值是（ ）（A ）θ+9π/4 （B ）θ+π/4 （C ）θ–π/4 （D ）θ+7π/4 （5）若角α满足条件sin2α<0，cos α–sin α<0，则α在（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（6）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）（A ）280种 （B ）240种 （C ）180种 （D ）96种 （7）在∆ABC 中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120︒（如图）．若将∆ABC绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）（A ）9π/2 （B ）7π/2 （C ）5π/2 （D ）3π/2 （8）（理）圆2x 2+2y 2=1与直线xsin θ+y –1=0 (θ∈R, θ≠π/2+k π, k ∈Z)的位置关系是（ ） （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）不能确定 （文）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）（A ）x –y=0 （B ）x+y=0 （C ）|x|–y=0 （D ）|x|–|y|=0 （9）（理）在极坐标系中，如果一个圆的方程ρ=4cos θ+6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）ρsin θ=3 （B ）ρsin θ = –3 （C ）ρcos θ =2 （D ）ρcos θ = –2 （文）函数y=2sinx 的单调增区间是（ ）（A ）[2k π–π/2, 2k π+π/2] (k ∈Z) （B ）[2k π+π/2, 2k π+3π/2] (k ∈Z) （C ）[2k π–π, 2k π] (k ∈Z) （D ）[2k π, 2k π+π] (k ∈Z) （10）（理）对于二项式(1/x+x 3)n ，四位同学作出了四种判断：①存在n ∈N ，展开式中有常数项；②对任意n ∈N ，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N ，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N ，展开式中有x 的一次项．上述判断中正确的是（ ）（A ）①与③ （B ）②与③ （C ）②与④ （D ）④与① （文）在(1/x+x 2)6的展开式中，x 3的系数和常数项依次是（ ）（A ）20，20 （B ）15，20 （C ）20，15 （D ）15，15（11）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） （A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项（12）用一张钢板制作一个容积为4m 3的无盖长方体水箱．可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各项所示，单位均为m ）．若既要够用，又要所剩够用，则应选择钢板的规则是（ ） （A ）2×5 （B ）2×5.5 （C ）2×6.1 （D ）3×5二、填空题（13）若双曲线x 2/4–y 2/m=1的渐近线方程为y=±√3 x/2，则双曲线的焦点坐标是 （14）如果cos θ= –12/13 θ∈(π, 3π/2)，那么cos(θ+π/4)的值等于_____（15）正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图所示）．M 为矩形AEFD 内 的一点，如果∠MBE=∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值 为1/2，那么点M 到直线EF 的距离为________（16）对于任意两个复数z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i （x 1、y 1、x 2、y 2为实数），定义运算⊙为：z 1⊙z 2=x 1x 2+y 1y 2．设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点为O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2=0，那么在∆P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为_______ 三、解答题（17）在∆ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求tg(A/2)+3tg(A/2)tg(C/2)+tg(C/2)的值．（18）已知f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数．判断f(x)在(–∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明（19）在三棱锥S –ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90︒，AC=2，BC=√13，SB=√29． （Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角大小； （Ⅲ）（理）求异面直线SC 与AB 所成的角的大小（用反三角函数表示）． （文）求三棱锥的体积V S –ABC ．（20）假设A 型进口汽车关税税率在2001年是100﹪，在2006年是25﹪，2001年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．（Ⅰ）已知与A 型车性能相近的B 型国产车，2001年每辆价格为46万元．若A 型车的价格只受关税降低影响，为了保证2006年B 型车的价格不高于A 型车价格的90﹪，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（Ⅱ）某人在2001年将33万元存入银行，假如该银行扣利息税后的年利率为1.8﹪（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息记入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（Ⅰ）中所述降价后的B 型汽车？ （21）（理）已知点的序列A n (x n ,0)，n ∈N ，其中x 1=0，x 2=a (a>0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，···，A n 是线段A n –2A n –1的中点，···．（Ⅰ）写出x n 与x n –1、x n –2之间的关系式 (n ≥3)；（Ⅱ）设a n =x n+1–x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明；（Ⅲ）求n n x ∞→lim .（文）同理（22）（Ⅰ）（Ⅱ） （22）（理）已知某椭圆的焦点是F 1(–4,0)、F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B|+|F 2B|=10，椭圆上不同的两点A(x 1,y 1)、C(x 2,y 2)满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列． （Ⅰ）求该椭圆方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC 的垂直平分线的方程为y=kx+m ，求m 的取值范围． （文）同理（21）参考答案一、选择题：CDABB BDC (D)A(A)D (C) AC 二、填空题；（13）(±√7, 0)；（14）-7√2/26；（15）√2/2；（16）π/2. 三、解答题：（17）√3；（18）增函数；（19）（Ⅰ）略；（Ⅱ）60︒；（Ⅲ）（理）arccos √17/17，（文）125√3/6； （20）（Ⅰ）2万元；（Ⅱ）5年后本息和为36 .07692>36，可以. （21）（理）（Ⅰ）x n =(x n –1+x n –2)/2；（Ⅱ）a n =(–1/2)n –1 (n ∈N)；（Ⅲ）2a/3； （文）同理（Ⅰ）（Ⅱ）. （22）（理）（Ⅰ）x 2/25+y 2/9=1；（Ⅱ）x 0=4；（Ⅲ）–16<m<16/5；（文）同理 (21).2002年普通高等学校招生全国统一考试数学理参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得 0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α∴6πα=∴33=αtg（18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形。

2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 （A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围聘进来的员工化学教案有两个星期的无薪试用期化学教案如果在这两个星期内的表现没有令老板满意化学教案（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；ADE（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形14.∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22==)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ） 21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--m y m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得 222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1xx x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。

2002年普通高等学校春季招生考试（北京卷）数 学一、选择题 （1）不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集（ ） （A ）{x|–1<x<1} （B ）{x|0<x,3} （C ）{x|0<x<1} （D ）{x|–1<x<3}（2）已知三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ，下列四个命题中，正确的是（ ）（A ）βαγβγα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥ （B ）ββ⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m // （C ）n m n m //////⇒⎭⎬⎫γγ （D ）n m n m ////⇒⎭⎬⎫⊥γβ （3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线（4）如果θ∈(π/2,π)那么复数(1+i)(cos θ+isin θ)的辐角的主值是（ ）（A ）θ+9π/4 （B ）θ+π/4 （C ）θ–π/4 （D ）θ+7π/4（5）若角α满足条件sin2α<0，cos α–sin α<0，则α在（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（6）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）（A ）280种 （B ）240种 （C ）180种 （D ）96种（7）在∆ABC 中，AB=2，BC=15，∠ABC=120︒（如图）．若将∆ABC绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）（A ）9π/2 （B ）7π/2 （C ）5π/2 （D ）3π/2（8）（理）圆2x 2+2y 2=1与直线xsin θ+y –1=0 (θ∈R, θ≠π/2+k π, k ∈Z)的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）不能确定（文）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）（A ）x –y=0 （B ）x+y=0 （C ）|x|–y=0 （D ）|x|–|y|=0（9）（理）在极坐标系中，如果一个圆的方程ρ=4cos θ+6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ）（A ）ρsin θ=3 （B ）ρsin θ = –3 （C ）ρcos θ =2 （D ）ρcos θ = –2（文）函数y=2sinx 的单调增区间是（ ）（A ）[2k π–π/2, 2k π+π/2] (k ∈Z) （B ）[2k π+π/2, 2k π+3π/2] (k ∈Z)（C ）[2k π–π, 2k π] (k ∈Z) （D ）[2k π, 2k π+π] (k ∈Z)（10）（理）对于二项式(1/x+x 3)n ，四位同学作出了四种判断：①存在n ∈N ，展开式中有常数项；②对任意n ∈N ，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N ，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N ，展开式中有x 的一次项． 上述判断中正确的是（ ）（A ）①与③ （B ）②与③ （C ）②与④ （D ）④与①（文）在(1/x+x 2)6的展开式中，x 3的系数和常数项依次是（ ）（A ）20，20 （B ）15，20 （C ）20，15 （D ）15，15（11）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项（12）用一张钢板制作一个容积为4m 3的无盖长方体水箱．可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各项所示，单位均为m ）．若既要够用，又要所剩够用，则应选择钢板的规则是（ ）（A ）2×5 （B ）2×5.5 （C ）2×6.1 （D ）3×5二、填空题（13）若双曲线x 2/4–y 2/m=1的渐近线方程为y=±3 x/2，则双曲线的焦点坐标是 ．（14）如果cos θ= –12/13 θ∈(π, 3π/2)，那么cos(θ+π/4)的值等于______．（15）正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图所示）．M 为矩形AEFD 内的一点，如果∠MBE=∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为1/2，那么点M 到直线EF 的距离为_________．（16）对于任意两个复数z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i （x 1、y 1、x 2、y 2为实数），定义运算⊙为：z 1⊙z 2=x 1x 2+y 1y 2．设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点为O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2=0，那么在∆P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为________．三、解答题（17）在∆ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求tg(A/2)+tg(B/2)+tg(C/2)的值．（18）已知f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数．判断f(x)在(–∞,0)上是增函数还是减函数，并加以证明（19）在三棱锥S –ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90︒，AC=2，BC=13，SB=29．（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角大小；（Ⅲ）（理）求异面直线SC 与AB 所成的角的大小（用反三角函数表示）．（文）求三棱锥的体积V S –ABC ．（20）假设A 型进口汽车关税税率在2001年是100﹪，在2006年是25﹪，2001年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．（Ⅰ）已知与A 型车性能相近的B 型国产车，2001年每辆价格为46万元．若A 型车的价格只受关税降低影响，为了保证2006年B 型车的价格不高于A 型车价格的90﹪，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（Ⅱ）某人在2001年将33万元存入银行，假如该银行扣利息税后的年利率为1.8﹪（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息记入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（Ⅰ）中所述降价后的B 型汽车？（21）（理）已知点的序列A n (x n ,0)，n ∈N ，其中x 1=0，x 2=a (a>0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，···，A n 是线段A n –2A n –1的中点，···．（Ⅰ）写出x n 与x n –1、x n –2之间的关系式 (n ≥3)；（Ⅱ）设a n =x n+1–x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明； （Ⅲ）求n n x ∞→lim . （文）同理（22）（Ⅰ）（Ⅱ）（22）（理）已知某椭圆的焦点是F1(–4,0)、F2(4,0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．（文）同理（21）【答案】一、选择题：CDABB BDC(D)A(A)D(C) AC二、填空题；（13）(±7, 0)；（14）-72/26；（15）2/2；（16）π/2.三、解答题：（17）3；（18）增函数；18.解：由偶函数的图像关于y轴对称，可以判定f(x)在(–∞,0)上是增函数。

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工）（北京卷）参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=;)]sin()[sin(21cos cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=; )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+=正棱台、圆台的侧面积公式1c c)2S '=+台体（l 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．满足条件}3,2,1{}1{=Y M 的集合M 的个数是（ ）(A )1 (B )2 (C )3 (D )42．在平面直角坐标系中，已知两点()00020sin ,20cos ),80sin ,80(cos B A ，则AB 的值是（ ）(A )21(B )22 (C )23 (D )13．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间),2(ππ上为减函数的是（ ）(A )x y 2cos = (B ) x y sin 2= (C )xy cos 31⎪⎭⎫ ⎝⎛= (D ) x y cot -=4．64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为甲V ，表面积之和为甲S ；一个直径为a 的球，记其体积为乙V ，表面积为乙S ，则（ ） (A )乙甲乙甲且S S ,V V >>(B ) 乙甲乙甲〈且〈S S ,V V (C ) 乙甲乙甲且S S ,V V >= (D ) 乙甲乙甲且S S ,V V ==5．已知某曲线的参数方程是)(,tan sec 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x ，若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不便变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（ ）(A )1=ρ (B )12cos =θρ(C )12sin 2=θρ6．给定四条曲线：①2522=+y x ，②14922=+y x ，③1422=+y x ，④1422=+y x ．其中与直线05=-+y x 仅有一个交点的曲线是（ ）(A )①②③ (B )②③④ (C )①②④ (D ) ①③④ 7．已知1z ，C z ∈2，且11=z ．若221=+z z ，则21z z -的最大值是（ ）(A )6 (B ) 5 (C ) 4 (D )3Oxyf(x)1O x yf(x)1O xyf(x)1O xyf(x)18．若11cot 21cot =+-θθ，则θθ2sin 12cos +的值为（ ） (A )3 (B )-3 (C ) -2 (D )21-9．12名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）(A )4448412C C C 种 (B ) 44484123C C C 种 (C ) 3348412P C C 种 (D ) 334448412/P C C C 种10．设命题：“直四棱柱1111D C B A ABCD -中，平面1ACB 与对角面D D BB 11垂直”；命题乙：“直四棱柱1111D C B A ABCD -是正方体”，那么，甲是乙的（ ）(A )充分必要条件 (B )充分非必要条件 (C )必要非充分条件 (D )即非充分又非必要条件11．已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是（ ）(A ))3,2()1,0()2,3(ππY Y -- (B ) )3,2()1,0()1,2(ππY Y -- (C ))3,1()1,0()1,3(Y Y -- (D ) )3,1()1,0()2,3(Y Y π--12．如图所示，)4,3,2,1)((=i x f i 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，任意]1,0[∈λ，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（ ）(A ))(),(21x f x f (B ) )(2x f (C ) )(),(32x f x f(D ) )(4x f二．填空题：13．)45arctan(),43arccos(),52arcsin(---从大到小的顺序是 ． 14．等差数列}{n a ，中，21=a ，公差不为零，且n a a a ,,31恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．15．关于直角AOB 在平面α内的射影有如下判断：①可能是00的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是直角；⑤可能是0180的角．其中正确的序号是 ．（注：把你认为正确判断的序号都填上）． 16．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA ，PB 是圆082222=+--+y x y x 的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17．解不等式212<--x x18．如图，在多面体1111D C B A ABCD -中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交与F E ,两点，上、下底面矩形的长、宽分别为d c ,与b a ,，且d b c a >>,，两底面间的距离为h ．AD E F BCA 1B 1C 1D 1abd c（1）求侧面11A ABB 与底面ABCD 所成二面角的大小； （2）证明：ABCD EF 面//；（3）在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式h S V ⋅=中截面估来计算，已知它的体积公式是)4(6hV 下底面中底面上底面S S S ++=试判断估V 与V 的大小关系，并加以证明． （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．）19．数列}{n a 由下列条件确定：01>=a x ，N n x ax x nn n ∈+=+),(211． （1）证明：对2≥n ，总有a x n ≥；（2）证明：对2≥n ，总有1+≥n n x x ； （3）若数列}{n a 的极限存在，且大于零，求nn xlim ∞→的值．20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n 个不同的数n v v v ,,,21Λ的和n ni iv v v v+++=∑=Λ211，计算开始前，n个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机 （2）当128=n 时，要使所有机器都得到∑=i iv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21．已知)0,0(O ，)0,1(B ，),(c b C 是OBC ∆的三个顶点．（1）写出OBC ∆的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明H F G ,,三点共线； （2）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．22．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅．（1）求)1(),0(f f 的值；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（3）若2)2(=f ，)()2(N n nf u n n ∈=-，求数列}{n u 的前n 项的和n S参考解答说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。