椭圆讲义

专题：椭圆的定义、方程与性质应用(★★★) 教学目标 1.理解掌握椭圆的定义、标准方程以及几何性质； 2.能灵活运用定义性质解决有关轨迹、面积以及最值问题.知识梳理4 min.1.椭圆的定义： 平面内到两个定点21 F F 、的距离和等于常数）＞（2122F F a a 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点21 F F 、叫做椭圆的焦点，两个焦点21F F 的距离叫做焦距.（1）当212F F a ＞时，动点轨迹是椭圆；（2）当212F F a =时，动点轨迹是线段21 F F ；（3）当212F F a ＜时，动点轨迹不存在.类型 标准方程 焦点坐标 之间的关系、、c b a 焦点在x 轴上 )0(12222＞＞b a by a x =+ )0,( , )0,(21c F c F - 222c b a += 焦点在y 轴上)0(12222＞＞b a bx a y =+ ),0( , ),0(21c F c F - ①函数方程思想、对称思想和分类讨论思想；②定义法：利用椭圆的定义解题，使求解过程更简捷；③点差法：利用椭圆弦的端点坐标、中点坐标、弦所在直线的斜率的相互关系解题，是解决中点弦问题的简捷方法.典例精讲33 min.例1（★★★） 已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点为1F 、2F ，椭圆上一点P 到两焦点21F F 、的距离分别为352 354、，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【答案】解：由13PF =、23PF =，得2a =+，即a =由条件可知2PF ∥y 轴，且1230PF F =∠， ∴1252=30=3c PF cos⋅，即c 253c =，210 3b =. ∴椭圆的方程为2231510x y +=或2231510y x +=. 【平面几何有关知识在解几中的应用在高考中时常出现，有时利用平面几何知识往往可以走捷径】巩固练习（★★★）已知椭圆的中心在原点，一个焦点的坐标是()25,0，直线23-=x y 与椭圆相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是21，求此椭圆的方程. 【答案】2217525y x +=.例2（★★★）过点(1,0)P -作倾斜角为3π的直线L 与椭圆22:24C x y +=相交于A 、B 两点. （1）求AB ；（2）若右焦点为1F ，求△1AFB △的面积.【答案】解：（1）由题意，直线L 的方程为1)y x +.由221)24y x x y ⎧+⎪⎨+=⎪⎩得27+1220x x += 设()11,A x y ，()22,B x y 为L 与椭圆的交点，122AB x x -=.（2）由题意易得右焦点1F ， 设1F 到直线L 的距离为d ，则)=d .∴()1166=2AF B S AB d =△. 【求面积知道弦长找到点到直线距离就可以轻松解答】巩固练习（★★★）3 答案 ：3.椭圆22134x y +=焦点为1F 、2F ，若P 为椭圆上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是多少？【答案】⎛ ⎝⎭.例3（★★★★）已知点A 、B 点分别为椭圆2213620x y +=长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点.若P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 为椭圆长轴AB 上一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到M 距离的最小值.【答案】解：（1）由已知易得()6,0A -，()4,0F .设点P 坐标为,)x y （， 则(6,)AP x y =+，(4,)FP x y =-.∵PA PF ⊥，则0AP FP ⋅=，∴2(6)(4)0x x y +-+=. 联立22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩.则29180x x +-=2.所以32x =或6x =-. 又0y ＞，∴可得3532P （，）. （2）由（1）不难求得AP 方程为36=0x y -+，设点M 的坐标为,0m （）， 则M 到直线AP 的距离为62m +. 于是6=62m m +-. 又∵≤≤-6m 6，解得=2m .椭圆上的点,x y （）到点M 的距离d ，则有222=(2)d x y -+. 将其代入椭圆方程，得2249()1592d x =-+. ∵≤≤-6x 6，∴当92x =时，d 取得最小值15. 【椭圆上的点坐标都是有范围限制，所以最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题】巩固练习（★★★）1. 若点A 的坐标1,1（），1F 是椭圆22195x y +=左焦点，P 为椭圆上的动点.则1PF PA +的最小值为多少？【答案】62-.（★★★★）2.椭圆22194x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，当P 、 1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点时，且12PF PF ＞，求12PF PF 的值. 【答案】当P 为直角顶点时，12PF PF 的值为2； 当2F 为直角顶点时，12PF PF 的值为72.回顾总结 3 min.椭圆的定义、方程是什么？椭圆有哪些性质？解题的思想方法是什么？。

一、实际生活中的椭圆问题例1(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是()A．a1＋c1＝a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2C.c1a1<c2a2 D.c1a1>c2a2反思感悟解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．(3)用解得的结果说明原来的实际问题．跟踪训练1某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为87 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米．二、直线与椭圆的位置关系问题1类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系时，如何确定直线与椭圆的位置关系？提示联立直线与椭圆的方程，看公共解的个数．知识梳理直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y (或x )得到一个关于x (或y )的一元二次方程：注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况．例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题．此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．跟踪训练2 已知椭圆x 24＋y 23＝1，直线l ：x ＋my －m ＝0(m ∈R )，则直线l 与椭圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定三、中点弦问题问题2 已知椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，直线与椭圆相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，弦的中点为(x 0，y 0)，你能求出k OM ·k AB 的值吗？提示 将点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 21m ＋y 21n＝1，x 22m ＋y22n ＝1，将两式作差并整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)m ＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)n＝0，记弦AB 的中点为M (x 0，y 0)．若x 1≠x 2，则(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－n m ，即y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－n m ，从而k AB ·y 0x 0＝－n m ，即k AB ·k OM ＝－nm .知识梳理点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 例3 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，则直线AB 的方程为________．反思感悟 涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系．跟踪训练3 过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________．1．知识清单：(1)实际生活中的椭圆问题． (2)直线与椭圆的位置关系． (3)中点弦的求法．2．方法归纳：分类讨论法、点差法． 3．常见误区：忽略直线中斜率不存在的情况．1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切2．直线y ＝x －1被椭圆2x 2＋y 2＝4所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，－23 B.⎝⎛⎭⎫－23，13 C.⎝⎛⎭⎫12，－13 D.⎝⎛⎭⎫－13，123．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm ，短轴长为20 cm ，小椭圆的短轴长为10 cm ，则小椭圆的长轴长为_________cm.课时对点练1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断2．直线x ＋4y ＋m ＝0交椭圆x 216＋y 2＝1于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为1，则m的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．23．德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是( ) A.159 B.259 C.2959 D.30594．(多选)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( )A ．－22B ．－12 C.12 D.225．经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32且与椭圆x 24＋y 2＝1相切的直线方程是( )A ．x ＋23y －4＝0B ．x －23y －4＝0C ．x ＋23y －2＝0D ．x －23y ＋2＝06．已知过圆锥曲线x 2m ＋y 2n ＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x m ＋y 0y n ＝1.过椭圆x 212＋y 24＝1上的点A (3，－1)作椭圆的切线l ，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．2x ＋3y －3＝0 D ．3x －y －10＝07．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_____________________________．8．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为________．9．已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．10．已知点A ，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．11．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点的直线的斜率为22，则mn的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.232712.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.1313．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，若椭圆C 的右焦点F (c ,0)关于直线l ：y ＝cb x 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为( )A.12B.32 C ．1 D ．214．已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程为________．15.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F ，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F 为一个焦点的椭圆，则τ的的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫35，1B.⎝⎛⎦⎤0，35C.⎝⎛⎦⎤0，45D.⎣⎡⎭⎫45，116．如图，我区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)和y 2b 2＋x 281＝1(x ≥0)组成，其中a >b >9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点)．(1)求“挞圆”的方程；(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y ＝t (t ∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值．。

椭圆专题复习★知识梳理★1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.考点1 椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是A ．4aB ．2(a －c)C ．2(a+c)D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 1.短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为（ ）A.3B.6C.12D.242.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）A ． 5B ． 7C ．13D ． 153．设k ＞1，则关于x ，y 的方程（1﹣k ）x 2+y 2=k 2﹣1所表示的曲线是（ ） A.长轴在x 轴上的椭圆 B.实轴在y 轴上的双曲线 C.实轴在x 轴上的双曲线 D.长轴在y 轴上的椭圆 4．椭圆2299x y +=的长轴长为（ ） A ．2 B.3 C.6 D. 95．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点为12,F F ,以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且124F F =，则a 等于___________.题型2 求椭圆的标准方程[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为12222=+b y a x 或)0(12222>>=+b a ay b x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为1163222=+y x 或1321622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系．［警示］易漏焦点在y 轴上的情况．1. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.2．已知()()0,1,0,121F F -是椭圆的两个焦点，过1F 的直线l 交椭圆于N M ,两点，若N MF 2∆的周长为8，则椭圆方程为（ ）A.1151622=+y x B.1151622=+x y C.13422=+x y D.13422=+y x 3．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为21，它的长轴长等于圆222150x y x +--=的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A ．1121622=+y x B ．1422=+y x C ．141622=+y x D ．13422=+y x 4.已知方程),0(,1sin cos 22πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||21=⋅=∆A AC AB S ABC ， 32||=∴AC ，2cos ||||2||||||22=⋅-+=A AC AB AC AB BC2132322||||||-=+=+=BC AC AB e 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定 （2）只要列出c b a 、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A .45 B .23 C .22 D .212.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为 3．已知椭圆方程，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ） A.2 B.4 C.8 D.4．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．16 B ．13C ．36D ．335．椭圆)320(112222<<=+b by x 与渐近线为02=±y x 的双曲线有相同的焦点21,F F ,P 为它们的一个公共点,且9021=∠PF F ,则椭圆的离心率为（ )（A ）66 （B)216 （C ）306 （D)1566．已知椭圆C 的上、下顶点分别为1B 、2B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形1122B F B F 是正方形，则此椭圆的离心率e 等于 A ．13 B ．12C ．22D ．37．过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．8．椭圆C 的两个焦点分别是12,F F ，若C 上的点P 满足1123||||2PF F F =，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e ≤B ．14e ≥C ．1142e ≤≤D ．104e <≤或112e ≤< 9．椭圆22x a＋22y b ＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A 31- B 51- C 15+ D 13+ 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4 ] 已知实数y x ,满足12422=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【解题思路】 把x y x -+22看作x 的函数[解析] 由12422=+y x 得22212x y -=, 2202122≤≤-∴≥-∴x x ]2,2[,23)1(212212222-∈+-=+-=-+∴x x x x x y x当1=x 时,x y x -+22取得最小值23,当2-=x 时,x y x -+22取得最大值6【新题导练】1.已知点B A ,是椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）上两点,且λ=,则λ=2.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________3．已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.考点3 椭圆的最值问题[例5 ]椭圆191622=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________． 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P(θθsin 3,cos 4). 那么点P 到直线l 的距离为：|9)sin(5|2211|12sin 3cos 4|22-+=+-+ϕθθθ.22≥ 【名师指引】也可以直接设点),(y x P ，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，关键是要具有“函数思想” 【新题导练】1.椭圆191622=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 2. P 是椭圆12222=+b y a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ⋅的最大值与最小值3.已知点P 是椭圆1422=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ， O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________．4．已知(,)P x y 是曲线22:143x y C +=上的动点，则2z x y =-的最大值为A.425．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）．A ．B ． D6．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为A ．2．12C ．2．17．动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=,则||PM 的最小值是（ )2 D.38．在椭圆193622=+y x 上有两个动点Q P ,，()0,3E 为定点，EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为（ ） A.6 B.33- C.9 D.3612-9．[2014·福建调研]若点O 和点F 分别为椭圆24x ＋23y ＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为( )A.2B.3C.6D.8中点弦问题1．已知椭圆+=22143x y ，则以点-(1,1)M 为中点的弦所在直线方程为( )．A ．-+=3470x yB ．+-=3410x yC ．-+=4370x yD ．++=4310x y2．已知椭圆+=2211216x y ，则以点-(1,2)M 为中点的弦所在直线方程为( )．A ．-+=38190x yB ．+-=38130x yC ．-+=2380x yD ．+-=2340x y3.椭圆221369x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．2100x y +-=C ．220x y --=D ．280x y +-=焦点弦问题1．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．2．（2011•浙江）设F 1，F 2分别为椭圆+y 2=1的焦点，点A ，B 在椭圆上，若=5；则点A 的坐标是 _________ ．考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3=． （1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围．【解题思路】通过3=，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m 的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设2222:1(0)y x C a b a b+=>>由条件知1a =且b c =，又有222a b c =+，解得 21,2a b c ===故椭圆C 的离心率为22c e a ==12122=+x y （2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m2x 2＋y 2＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 22消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝2－2m 24m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 12<m <1容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 【新题导练】1.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是 （ ）A.()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132322>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,0123322>>=+y x y x[解析]),(),3,23(y x OQ y x AB -=-=132322=+∴y x ，选A. 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。

3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．一、椭圆的几何性质问题1观察椭圆x2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？提示范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a ＋c ，最小值为a －c .问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？提示 利用离心率e ＝ca来刻画椭圆的扁平程度．如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越接近于圆．知识梳理椭圆的离心率：e ＝ca ∈(0,1)．注意点： (1)e ＝1－b 2a2＝11＋b 2c 2. (2)离心率的范围为(0,1)．(3)e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆．例1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其几何性质． 、二、由椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)过点(3,0)，离心率e ＝63.反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的标准方程．(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆的标准方程．跟踪训练2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OF A ＝23，则椭圆的标准方程是__________．三、求椭圆的离心率例3 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．延伸探究1．若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．反思感悟 求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法或不等式法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3 (1)某月球探测器发射后顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，近月点与月球表面的距离为100 km ，远月点与月球表面的距离为400 km.已知月球的直径约为 3 476 km ，则该椭圆形轨道的离心率约为( ) A.125 B.340 C.18 D.35(2)椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 的长为185，若△MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为( )1．知识清单：(1)椭圆的简单几何性质． (2)由椭圆的几何性质求标准方程． (3)求椭圆的离心率．2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)．3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e ＜1及长轴长与a 的关系．1．(多选)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±34D ．离心率为322．已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( )A.x 236＋y 227＝1 B.x 26＋y 23＝1 C.x 227＋y 236＝1 D.x 29＋y 26＝13．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.644．若椭圆C ：x 2m ＋y 2m 2－1＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C 的长轴长为________．课时对点练1．(多选)为使椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，正数m 的值可以是( )A ．1 B. 3 C.83 D.322．(多选)已知椭圆C ：16x 2＋25y 2＝400，则关于椭圆C 下列叙述正确的是( ) A ．椭圆C 的长轴长为10B ．椭圆C 的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3) C ．椭圆C 的离心率等于35D ．若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q ，则|PQ |＝3253．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对4．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.12 B ．2 C.14 D ．45．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.456．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地心最近的一点)距地面m km ，远地点B (离地心最远的一点)距地面n km ，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R km ，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ,2b ,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________________．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求椭圆的离心率．10.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B —→，求椭圆的标准方程．11．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( ) A.x 28＋y 29＝1 B.x 218＋y 216＝1 C.x 212＋y 26＝1 D.x 29＋y 28＝112．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点是F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝5|PF 2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎦⎤0，23C.⎣⎡⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫23，113．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.14．如图，把椭圆x 216＋y 29＝1的长轴AB 八等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 7F |的值为________．15．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，55 B.⎣⎡⎭⎫55，1 C.⎝⎛⎦⎤0，255 D.⎣⎡⎭⎫255，116．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．+。

椭圆讲义课前双击巩固1.椭圆的定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作 .这两个定点叫作椭圆的 ,两焦点间的距离叫作椭圆的 . 集合P={M||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a>0,c>0,且a ,c 为常数: (1)若 ,则集合P 为椭圆; (2)若 ,则集合P 为线段; (3)若 ,则集合P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0) y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0)图形性质范围对称性对称轴: 对称中心:顶点A 1 ,A 2B 1 ,B 2 A 1 ,A 2 B 1 ,B 2轴长轴A 1A 2的长为 短轴B 1B 2的长为焦距 |F 1F 2|= 离心率 e=ca ,e ∈a ,b ,c 的关系c 2=常用结论椭圆中几个常用的结论:(1)焦半径:椭圆上的点P(x 0,y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径,分别记作r 1=|PF 1|,r 2=|PF 2|. ①x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),r 1=a+ex 0,r 2=a-ex 0; ②y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),r 1=a+ey 0,r 2=a-ey 0;③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点). (2)焦点三角形:椭圆上的点P(x 0,y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形.r 1=|PF 1|,r 2=|PF 2|,∠F 1PF 2=θ,△PF 1F 2的面积为S,则在椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)中:①当r 1=r 2时,即点P 的位置为短轴端点时,θ最大;②S=b 2tan θ2=c |y 0|,当|y 0|=b 时,即点P 的位置为短轴端点时,S 取最大值,最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长l min =2b 2a.(4)AB 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的弦,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦中点M(x 0,y 0),则 ①弦长l=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+1k 2|y 1-y 2|;②直线AB 的斜率k AB =-b 2x 0a 2y 0.题组一 常识题1.[教材改编] 椭圆36x 2+81y 2=324的短轴长为 ,焦点为 ,离心率为 .2.[教材改编] 已知动点P (x ,y )的坐标满足√x 2+(y +7)2√x 2+(y -7)2,则动点P 的轨迹方程为 .3.[教材改编] 若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为10,一个焦点的坐标是(-√5,0),则椭圆的标准方程为 .4.[教材改编] 椭圆x 249+y 233=1上一点P 与椭圆两焦点F 1,F 2的连线的夹角为直角,则Rt △PF 1F 2的面积为 . 题组二 常错题◆索引:椭圆的定义中易忽视2a>|F 1F 2|这一条件;忽视焦点的位置;易忽视椭圆方程中未知数的取值范围.5.平面内一点M 到两定点F 1(0,-9),F 2(0,9)的距离之和等于18,则点M 的轨迹是 .6.短轴长等于6,离心率等于45的椭圆的标准方程为 .7.设点P (x ,y )在椭圆4x 2+y 2=4上,则5x 2+y 2-6x 的最大值为 .课堂考点探究探究点一 椭圆的定义1 (1)过椭圆x 24+y 2=1的左焦点F 1作直线l 交椭圆于A ,B 两点,F 2是椭圆右焦点,则△ABF 2的周长为( )A.8B.4√2C.4D.2√2(2) 在平面直角坐标系xOy 中,P 是椭圆y 24+x 23=1上的一个动点,点A (1,1),B (0,-1),则|PA |+|PB |的最大值为( )A.5B.4C.3D.2[总结反思] 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P 在椭圆上时,与椭圆的两焦点F 1,F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|,通过整体代入可求其面积等. 式题 (1)若椭圆x 236+y 216=1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1,F 2的连线互相垂直,则△PF 1F 2的面积为 ( ) A.36B.16C.20D.24(2)已知椭圆x 24+y 2b 2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b= . 探究点二 椭圆的标准方程2 (1) 椭圆E 的焦点在x 轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆E 的标准方程为 ( )A.x 22+2√2=1B.x 22+y 2=1 C.x 24+y 22=1 D.y 24+x 22=1(2) 已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若线段AB 的中点的坐标为(1,-1),则E 的方程为 ( )A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=1[总结反思] 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有:(1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义;(2)待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a ,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ),再用待定系数法求出m ,n 的值即可.式题 (1)已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆的两个焦点,过F 1的直线l 交椭圆于M ,N 两点,若△MF 2N 的周长为8,则椭圆方程为 ( )A.x 24+y 23=1 B.y 24+x 23=1 C.x 216+y 215=1 D.y 216+x 215=1(2) 过点A (3,-2)且与椭圆x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215+y 210=1B.x 225+y 220=1 C.x 210+y 215=1D.x 220+y 215=1探究点三 椭圆的几何性质3 (1) 设F 1,F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线y=b 相切的☉F 2交椭圆于点E ,且点E 恰好是直线EF 1与☉F 2的切点,则椭圆的离心率为 ( )A.√32B.√23C.√53D.√54(2)椭圆x 2+y 2b =1(0<b<1)的左焦点为F ,上顶点为A ,右顶点为B ,若△FAB 外接圆的圆心P (m ,n )在直线y=-x 的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为 ( ) A.(√22,1) B.(12,1) C.(0,√22) D.(0,12)[总结反思] 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法: (1)求出a ,c ,代入公式e=ca .(2)根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=a 2-c 2转化为关于a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e 的值或取值范围.式题 (1)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e.P 是椭圆上一点,位于第一象限,满足PF 2⊥F 1F 2,点Q 在线段PF 1上,且F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ .若F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则e 2=( ) A.√2-1 B.2-√2 C.2-√3 D.√5-2(2)中心为原点O 的椭圆的焦点在x 轴上,A 为该椭圆右顶点,P 为椭圆上一点,若∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e 的取值范围是 ( )A.[12,1) B.(√22,1) C.[12,√63) D.(0,√22)探究点四 直线与椭圆的位置关系4已知点M是圆E:(x+√3)2+y2=16上的动点,点F(√3,0),线段MF的垂直平分线交线段EM于点P.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)矩形ABCD的边所在直线与轨迹C均相切,设矩形ABCD的面积为S,求S的取值范围. [总结反思](1)解决直线与椭圆的位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=√(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+1k2)[(y1+y2)2-4y1y2](k为直线斜率).(3)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法:涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两交点)中点弦或弦的中点点差法(结果要检验Δ>0)式题 已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为12,点A 在椭圆C上,|AF 1|=2,∠F 1AF 2=60°,过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,N 为线段PQ 的中点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知点M 0,18,且MN ⊥PQ ,求线段MN 所在的直线方程.课时作业一、 填空题1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于________．2．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为________．3．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是________．4．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距等于2，则m 的值为________．5．若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．6．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C的离心率等于________．7．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y轴上，若∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是________．9．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点(12，12)平分，则这条弦所在的直线方程是________．10．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．11．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________． 二、解答题12．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.13．已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE 与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；。

椭圆专题讲义一、知识梳理1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2注意：点P(x00(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 题组二：教材改编2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．123．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215＋y 210＝1 B.x 225＋y 220＝1 C.x 210＋y 215＝1 D.x 220＋y 215＝1 4．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 题组三：易错自纠5．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)6．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 三、典型例题：椭圆及其性质题型一：椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆2．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．223．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( )A.72B.32C. 3 D ．4 4．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 思维升华：椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程命题点1：利用定义法求椭圆的标准方程典例 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 (2)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 命题点2：利用待定系数法求椭圆方程典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)25,23( ，(3，5)，则椭圆方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．思维升华：(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．跟踪训练：设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________． 题型三：椭圆的几何性质典例 (1)P 为椭圆x 216＋y 215＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2＋y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF →的取值范围是( ) A ．[0,15] B ．[5,15] C ．[5,21]D ．(5,21)(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点．P为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 思维升华：(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．跟踪训练 (1)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．四、反馈练习1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( )A.12B. 2 C ．2 D.224．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于( )A.π6B.π4C.π3D.π25．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．156．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 7．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________．8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为________．10．设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．11．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 12．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．。

椭圆一、椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是线段F 1F 2 ；②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．二、椭圆的标准方程：(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中( a > b > 0)；(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b x a y ，其中( a > b > 0)。

例题：1、与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( )A 1858014520125201202522222222=+=+=+=+y x D y x C y x B y x2、求与椭圆224936x y +=3、椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ ）A. 1-B. 1C.5D. 三、离心率：,01ce e a=＜＜（222a b c =+） 例题：1．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A.12B.32C.34D.642．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．323．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )A.12B.2C.D. 24．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( ) A .x 24＋y 23＝1 B .x 216＋y 24＝1 C .x 216＋y 212＝1 D .x 216＋y 23＝1 四、课内练习： 1、距离问题：1、P 为22298x y +=上的动点，A （0,5），求PA |最值。

椭圆及其标准方程授课教师：刘老师知识一：椭圆的定义【问题导思】1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？2．如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？3．在问题2中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.知识二：椭圆的标准方程【问题导思】1．观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？2．在椭圆的标准方程中，a2和b2能相等吗？你能否根据椭圆的标准方程判定椭圆的焦点位置？类型一：求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2；(2)经过点A (0,2)和B (12，3)．类型二：椭圆的定义及其应用设P是椭圆x225＋y2754＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．在本例中，若把椭圆方程改为“x 24＋y 23＝1”，把∠F 1PF 2＝60°，改为“∠PF 1F 2＝90°”，其余条件不变，试求△PF 1F 2的面积．类型三：与椭圆有关的轨迹问题如图所示，圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP′，P′为垂足．M为直线PP′上一点，且|P′M|＝λ|PP′|(λ为大于零的常数)．当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？动点P在y＝2x2＋1上移动，则P点与Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是什么？忽略椭圆标准方程的隐含条件致误若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，求k 的取值范围．课堂小结：1．求椭圆的标准方程常用待定系数法．首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，可用两种方法来解决问题．2．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件转换成x，y 间的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法．(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．(3)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是() A．椭圆B．线段C．圆D．以上都不对2．设P是椭圆x225＋y216＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．10B．8C．5D．43．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是() A．(±5，0) B．(0，±5)C．(±56，0) D．(±536，0)4．已知一椭圆的标准方程中b＝3，c＝4，求此椭圆的标准方程．一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，如图，求圆心P的轨迹方程．。

新高考数学复习基础知识专题讲义知识点43 椭圆知识理解一．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.二．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大. 三．椭圆的几何性质－a≤x≤a －b≤x≤b四．直线与椭圆的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离． 五．弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|=(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； ②|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)=⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 考向一 椭圆的定义及应用考向分析【例1-1】（2021·全国课时练习）下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点12(1,0),(1,0)F F -，则满足|PF 1|＋|PF 2|的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹为椭圆. 【答案】②【解析】①中，因为12(1,0),(1,0)F F -，可得122F F =2，所以点P 的轨迹不存在；②中，因为12124PF PF F F +==，所以点P 的轨迹是线段12F F ；③中，由定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线，即0x =. 故答案为：②【例1-2】．（2021·上海市奉贤中学）若过椭圆2211612y x +=上焦点1F 的直线交椭圆于点A ，B ，2F 为椭圆下焦点，则三角形2F AB 的周长为___________. 【答案】16【解析】在椭圆2211612y x +=中，4a =由椭圆的定义得12122,2AF AF a BF BF a +=+=所以12124,AF AF BF BF a +++=即22+416AF BF AB a +== 故答案为：16【例1-3】（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已如12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P是椭圆上一点，1234PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ）A ．24B ．26C ．．【答案】A【解析】由椭圆方程可得焦点在y 轴上，7a =，b =5c ==， 由椭圆定义可得12214PF PF a +==，又1234PF PF =，则可解得128,6PF PF ==，12210F F c ==，满足2221212PF PF F F +=，则12PF PF ⊥，121212186242PF F PF P SF ⋅=⨯⨯∴==.故选：A. 【举一反三】1．（2021·广西桂林市）设P 是椭圆2222143x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两焦点距离之和为_____.【答案】8【解析】由2222143x y +=，得4a =，由椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为28a =.故答案为：82．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆2224x y +=上一点P 到其左焦点F 的距离为1，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．3B ．32C ．1D ．12【答案】B【解析】易知椭圆的标准方程为22142x y +=．设椭圆的长轴长为2a ，则2a =，设椭圆的右焦点为1F ，连接1PF ，则由椭圆的定义得123PF a PF =-=．在1PFF 中，易知OM 为1PFF 的中位线，所以11322OM PF ==，故选：B ． 3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）已知P 是椭圆22193x y +=上的任意一点，若12PF =，则2PF =___________. 【答案】4【解析】由椭圆的方程22193x y +=知：3,a b ==，由椭圆的定义知：1226PF PF a +==，12PF = 所以2164PF PF =-= 故答案为：44．（2021·陕西安康市）已知点(3,A -，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，则||||PB PA -的最大值为___________.【答案】2【解析】由椭圆22:143x y C +=，可得2,1a b c ===，设右焦点为()'1,0F -，因为P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，所以'||||1||||12||||PB PA PF PA a PF PA -≤+-=+--()'5||||PF PA =-+，3PF PA AF +≥=''=，当且仅当',,A P F 共线时取等号，()52PB PA PF PA -≤-+≤'，故答案为：2.5．（2021·全国课时练习）已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △的面积是______.【解析】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =由椭圆的定义可得1224PF PF a +==，12F F = 在12F PF △中，1260F PF ∠=， 由余弦定理可得()22221212121212122cos603F F PF PF PF PF PF PF PF PF ==+-⋅=+-⋅12163PF PF =-⋅，解得1243PF PF ⋅=，因此，121213sin 602PF F S PF PF =⋅=△故答案为：考向二 椭圆的标准方程【例2-1】（2021·全国单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．221167x y +=B ．221167y x +=C ．2212516x y +=D ．221259y x +=【答案】B【解析】∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．∵28,a ==∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为221167y x +=．故选：B ．【例2-2】（2021·黑龙江大庆市）已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】D【解析】依题意程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆列不等式，所以2120k k ->->，解得12k <<，所以实数k 的取值范围是()1,2.故选：D 【举一反三】1．（2021·全国课时练习）经过点P (3，0)，Q (0，2)的椭圆的标准方程为（ ）A ．22194x y +=B ．22194y x +=C ．22194x y -=D ．22194y x -=【答案】A【解析】依题意可知3,2a b ==且椭圆焦点在x 轴上，故椭圆方程为22194x y+=.故选：A2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．(0，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1) 【答案】D【解析】因为方程222x ky +=，即22122+=x y k表示焦点在y 轴上的椭圆， 所以22>k，即01<<k ，所以实数k 的取值范围是(0,1)．故选：D ．3．（2021·湖南岳阳市·岳阳一中）椭圆221y x k+=的一个焦点是(，那么k =（ ）A ．6-B ．6C1D．1【答案】B【解析】因为椭圆221y x k+=上的一个焦点为，在y 轴上，所以1k >，所以15k -=则6k =.故选：B4．（2021·浙江丽水市）“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为曲线2211x yt t +=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件.故选：B考向三 直线与椭圆的位置关系【例3】（2021·全国课时练习）已知椭圆2241x y +=与直线y x m =+有公共点，则实数 m 的取值范围是 _______ .【答案】m ≤≤【解析】由2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得225210x mx m ++-=．因为直线与椭圆有公共点，所以()2242010m m ∆=--≥， 即254m ≤，解得m ≤≤．故答案为：m ≤≤． 【举一反三】1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．【答案】 [1,5)∪(5，＋∞)【解析】方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0. 由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.2．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________．【答案】相交【解析】由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是(，0). （1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围. 【解析】（1）由已知得2a =c =a =2321b ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为2213x y +=． （2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=，有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->． 解不等式得22m -<<．考向四 弦长【例4】（2021·上海市进才中学高二月考）过椭圆22:143x y C +=的左焦点，斜率为1的直线被椭圆C截得的弦长为________． 【答案】247【解析】设直线与椭圆相交的两个交点坐标为()()1122,,,x y x y椭圆22:143x y C +=的左焦点为()1,0-所以直线的方程为1y x =+则22217880143y x x x x y =+⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩所以121288,77x x x x +=-=-247=故答案为：247【举一反三】1．（2021·全国课时练习）求过点(3，0)且斜率为45的直线被椭圆2212516x y +=所截得的线段的长度． 【答案】415【解析】过点(3，0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得()22312525x x -+=， 即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.∴415AB ===. 2．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是()，).（1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于A ､B两不同的点，若AB =，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1m =±. 【解析】（1）由已知得2a =，则a =c =2221b a c =-=所以椭圆的标准方程2213x y +=（2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 得2246330x mx m ++-= 因为有两个不同的交点，所以()222(6)44(33)1240m m m ∆=-⨯⨯-=--> 得m 的取值范围为()2,2-由韦达定理得：126342m m x x --+== ，212334m x x -=所以2AB ===解得1m =± 考向五 离心率【例5】（2021·全国课时练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12BC【答案】A【解析】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴1cos602c a ︒==，即椭圆的离心率12e =.故选：A【举一反三】1．（2021·全国高三月考（文））已知点(M 是椭圆22221x y a b+=()0a b >>上的一点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，若△12MF F 为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．23B ．24C ．12或23D ．23 【答案】D【解析】由△12MF F 为等腰三角形知：当112||||2F M F F c ==，而1(,0)F c -，则22(3)154c c ++=，整理得2280c c --=，解得4c =或2c =-（舍），而242228F M a c a ===-=-，故6a =，此时23c e a ==； 当212||||2F M F F c ==，而2(,0)F c ，则22(3)154c c -+=，整理得2280c c +-=，解得2c =或4c =-（舍），而12224F M a c a ===-=-，故2a =+，此时23c e a ==； 故选：D.2．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PF FOP π∠=∠=，则椭圆的离心率是（ ） AB【答案】D【解析】根据12123F PF FOP π∠=∠=以及121PF F OF P ∠=∠，得121PFO F F P ∽△△，于是11121PF F O F F PF =，所以1PF =，又122PF PF a +=，所以22PF a =．在21F FP △中，由余弦定理，得)()()22214222()2c a a =+-⨯-，即2220c a +-=，所以220e -=，因为01e <<，所以椭圆的离心率e =D 3．（2021·江苏启东市）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（ ）A．10B．3C．2D【答案】A【解析】由题意可知：223bc =，即3b c =，所以a ==所以离心率10c e a ===.故选：A1．（2021·江西高三其他模拟（文））如图，P 是椭圆22194x y +=上的一点，F 是椭圆的右焦点且PQ FQ =-，2OQ =，则PF =（ ）强化练习A ．2B ．3D ．4 【答案】A【解析】由22194x y +=可得：3a =因为PQ FQ =-，所以点Q 是线段PF 的中点， 设椭圆的右焦点为F '，则O 是FF '的中点， 所以24PF OQ '==， 由椭圆的定义可知：26PF PF a '+==，所以2PF =， 故选：A.2．（2021·全国课时练习）已知椭圆2211612x y +=的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝（ ） A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3 【答案】C【解析】由2211612x y +=＝1可知216a =，212b =，所以22216124c a b =-=-=，所以F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上，且原点O 为线段12F F 的中点， 所以2//PF MO ，所以2PF x ⊥轴，∴可设P (2，y )，把P (2，y )代入椭圆2211612x y +=，得29y =.∴|PF 1|5=，|PF 2|＝3.∴12||5||3PF PF =. 故选：C3．（2021·上海市莘庄中学）平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲：12||||MF MF +是定值，命题乙：点M 的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数）成立是定值．若动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数），当122||a F F ，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B ．4．（2021·重庆）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限上的一点P 与椭圆的左、右焦点1F 、2F 恰好构成顶角为120的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A B ．12C ．2D 【答案】A【解析】因为点P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上位于第一象限的点，12PF PF >，所以，12PF F ∠为锐角，因为12PF F △是顶角为120的等腰三角形，但1221PF F PF F ∠<∠，故21120PF F ︒∠=，所以，2212PF F F c ==，由余弦定理可得12PF ==，由椭圆定理可得1222PF PF c a +=+=，故12c a -==. 故选：A.5．（2021·江苏南通市）设1F ，2F 是椭圆22:13x y C m +=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,B ．[)9044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,C ．[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)90124⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,【答案】C【解析】由题意可知，若焦点在x 轴上，223,(0)==>a b m m ，则23=-c m ，椭圆C 上存在点M满足12120F MF ∠=︒，如图所示，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即33-≥m m ，得34m ≤；若焦点在y 轴上，22,3(3)==>a m b m ，则23c m =-，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即39-≥m ，得12m ≥； 所以m 的取值范围是[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.6．（2021·江西高三其他模拟（文））若椭圆22: 15x y C m+=的一个焦点坐标为(1,0)-，则实数m 的值为（ ） A ．9B ．6C ．4D ．1 【答案】C【解析】因为椭圆的焦点(1,0)-在x 轴上， 所以25a =，2b m =，所以2225c a b m =-=-， 所以51m -=，解得4m =. 故选：C7．（2021·福建龙岩市）已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（ ） A ．22132x y +=B ．22142x y +=C ．22152x y +=D ．22162x y +=【答案】C【解析】解：椭圆22212x y a +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=．故选：C ． 8．（2021·江西赣州市）已知椭圆222116x y m+=的右焦点为(2,0)，则m =（ ）A ．．．±．±【答案】C【解析】因为右焦点为(2,0)，故焦点在x 轴上且2164m -=，故m =±，故选：C.9．（2021·广西百色市）“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴的椭圆”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意，方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则满足120m m +>>，解得01m <<；又由当01m <<则必有0m >，但若0m >则不一定有01m <<成立，所以“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件．故选：B ．10．（2021·河南郑州市）设1F 、2F 分别是椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在椭圆C 上且满足4OP =，则12PF F △的面积为（ ）A ．3B ．．6D ．9【答案】D【解析】在椭圆22:1259x y C +=中，5a =，3b =，则4c =，所以，1228F F c ==，设点()00,P x y ，则22001259x y +=，可得220025259x y =-，4OP ===，解得208116y =，094y ∴=，因此，12PF F △的面积为1212011989224PF F S F F y =⋅=⨯⨯=△. 故选：D.11．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛ ⎝⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．22⎣⎦【答案】A【解析】由120PF PF ⋅=得：12PF PF ⊥，∴点P 在以()()12,0,,0F c F c -为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径r c b =≥，2222c b a c ∴≥=-，即222c a ≥，22212c e a ∴=≥，12e ∴≤<.故选：A.12．（2021·江苏）若椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）的焦距为2，且其离心率为2，则椭圆的方程为（ ）A ．22+=142x yB ．22+=121x yC ．22143+=x yD ．22+=184x y【答案】B【解析】由题意可知：22c =，即1c =，由椭圆的离心率2c e a ==，解得：a = 2221b a c =-= ∴椭圆的标准方程：2212x y +=故选：B13．（2021·全国课时练习）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是（ ）A ．22134x y +=B ．2214x +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且11,2,2c c e a b a ===⇒=== 因此椭圆的方程是22143x y +=.故选：C14．（多选）（2021·山东滨州市·高三一模）已知椭圆22:12520x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．125PF PF +=B ．直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为45- C ．存在点P 满足1290F PF ∠=︒D ．若12F PF △的面积为P 的横坐标为【答案】BD【解析】由题意5,a b c ===，1(F ，2F ，1(5,0)A -，2(5),0A ，短轴一个顶点2B ，12210PF PF a +==，A 错；设(,)P x y ，则2212520x y +=，2220(1)25x y =-，所以1222221420(1)552525255PA PAy y y x k k x x x x =⨯==-⨯=-+---，B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，C 错；(,)P x y，1212132PF F P P S F F y y ===△4P y =，则21612520P x +=，P x =D 正确． 故选：BD ．15．（多选）（2021·武冈市第二中学）已知点(),2P a a -在直线730x ay ++=上，则圆锥曲线221x y a+=的离心率为（ ） ABD．2【答案】AC【解析】∵(),2P a a -在直线730x ay ++=上，所以27230a a -++=, 即22730a a -+=,解得3a =或12a =, 当3a =时，圆锥曲线2213x y +=,为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率e ==, 当12a =时，圆锥曲线22112x y +=,为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆，2e ==, 故选:AC.16．（多选）（2021·山东聊城市）已知五个数1，p ，m ，q ，16成等比数列，则曲线221x y p m+=的离心率可以是（ ）A B ．2C 【答案】AC【解析】由题意416p =，2p =±，4m =，曲线方程为22124x y +=或22124x y +=-，方程为22124x y +=时，离心率为22e ==，方程为22124x y +=-，离心率为22e ==． 故选：AC ．17．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线1l 与过2F 的直线2l 交于P 点，点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=．则椭圆C 的离心率e =________．1 【解析】如下图所示：由已知条件可知，在12Rt PF F 中，1290F PF ∠=，1230PF F ∠=，21212PF F F c ∴==，则1PF ==，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，即12c a ，1c e a ∴===.1.18．（2021·安徽芜湖市·）已知F 1，F 2为椭圆22C :14x y +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=___________. 【答案】43【解析】由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝4，利用余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2， 所以22121212()312PF PF PF PF F F +-⋅==，解得3|PF 1|·|PF 2|＝4，即12PF PF ⋅=43， 故答案为：4319．（2021·上海市西南位育中学）已知Р为椭圆22195x y +=上的点，1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF =_____ 【答案】203【解析】由椭圆22195x y +=，可得()12,0F -、()22,0F由条件可得1226PF PF a +== 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒所以()21212163PF PF PF PF =+-，即1216363PF PF =-所以12PF PF =203故答案为：20320．（2021·江苏南通市）已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()4,4M ，若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PM PF -的最小值为____________. 【答案】1【解析】由已知得222224,3,1a b c a b ===-=，2(1,0)F ， 因为2124PF PF a +==，所以124PF PF =-， 所以()12244PM PF PM PF PM PF -=--=+-， 所以当三点2M P F 、、共线时，24PM PF +-最小，即224441PM PF MF +-=-==.故答案为：1.21．（2021·广西百色市）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的一个交点M 满足21122MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于________．1【解析】设直线)y x c =-的倾斜角为α，则tan α=0180α≤<120α∴=．21211212122360090F MF F MF F M F MF M F F F ∴∠=∠=∠∴∠=∴∠=在直角三角12F MF 形中，令1c =，则211,MF MF ===由椭圆定义得122||||1a MF MF =+=∴椭圆的离心率212c e a ===．1．22．（2021·内蒙古赤峰市·高三期末（理））已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为12e =，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=，则12F PF △的面积为__________．【答案】24-【解析】由已知得12,2c e ==，所以4a =， 由椭圆定义得12248F P PF +=⨯=，由余弦定理得222121212123cos cos302F P PF F F F PF F P PF +-∠===⨯， 即()2121212216F P PF FP PF P PF +-⨯-=⨯，12F P PF⨯=，则12F PF △的面积为12111sin 3024222S F P PF =⨯⨯=⨯=-故答案为：24-23．（2021·广东梅州市）已知过点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆C 的焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，则椭圆C 的标准方程是___________.【答案】22143x y +=【解析】由题意24a ==，2a =，所以b =,所以椭圆方程为22143x y +=．故答案为：22143x y +=．24．（2021·安徽省临泉第一中学）椭圆22134x y+=的离心率等于______.【答案】12【解析】由题意2,a b ==，所以1c ==，离心率为12c e a ==．故答案为：12．25．（2021·湖南常德市一中高三月考）写一个离心率是椭圆2211612x y +=的离心率4倍且焦点在x 轴上的双曲线标准方程：___________.【答案】2213y x -=(答案不唯一)【解析】有椭圆方程可知216a =，212b =，则216124c =-=，所以椭圆的离心率2142c e a ===，则双曲线的离心率2e =，则双曲线中22cc a a=⇒=，即22224c a a b ==+，得223b a =，令21a =，则23b =，所以满足条件的一个双曲线方程是2213y x -=.故答案为：2213y x -=(答案不唯一)26．（2021·全国高三专题练习）过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________． 【答案】12-【解析】根据题意，圆222210x y x y +--+=的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，其圆心为(1,1)，半径1r =，过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 经过圆的圆心， 故直线l 的斜率1211(1)2k -==---；故答案为：12-． 27．（2021·六安市裕安区新安中学）已知椭圆的两个焦点坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线1y x =+与椭圆交于A ､B 两点，求AB 中点的坐标．【答案】（1）221106x y +=；（2）53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>，由椭圆定义知2c =，2a ==所以a =，所以222104b a c =-=-， 所求椭圆标准方程为221106x y +=．（2）设直线与椭圆的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2211061x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2810250x x +-=，得1254x x +=-，12258x x =-． 设AB 的中点坐标为()00,x y ，则120528x x x +==-，038y =， 所以中点坐标为53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭．28．（2021·河南高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若1110·3AF BF =，求AB ． 【答案】（1）2212x y +=；（2）||3AB =．【解析】解：（1）因为椭圆C过点33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以2241133a b +=．① 又椭圆C2212c a =，故2222222112b ac c a a a -==-=．② 联立①②得2222411,331,2a b b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）当直线l的斜率不存在时，2222b AF BF a ===，所以211910223AF BF ⋅==≠， 故直线l 的斜率存在，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-．联立22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222214220k x k x k +-+-=， 则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++．1AF ====，同理1||BF =． 因为()2121211242182102423x x x x k AF BF k ++++⋅===+，解得21k =，所以11AF BF +==又因为11||AF BF AB++=||3AB =． 29．（2021·吉林长春市·高三二模（文））已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于,A B 两点，1AF B △的周长为8,O 为坐标原点， （1）求椭圆的方程；（2）求面积AOB 的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）32． 【解析】（1）设椭圆半焦距为,c 由题意可知48,2a a ==， 由离心率有21,3c b ==，所以椭圆方程为22143x y +=，（2）设直线:1AB x ty =+，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得()2243690tyty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ， 有12122269,4343t y y y y t t --+==++， 由21OF =，所以OAB的面积2121612S OF y y =⋅-==⨯，函数1()3f x x x=+[)1,x ∈+∞，令121x x >≥， 则()1212121212123111()()33x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为121x x >≥，所以()121212310x x x x x x -->，12())0(f x f x ->。