下载文档原格式
高中数学人教A版必修3课后练习13用样本的数字特征估计总体的数字特征题组1：夯实基础1.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是() A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数C．中位数<众数<平均数D．平均数＝中位数＝众数解析：∵平均数为18×(20+30+40+50+50+60+70+80)＝50，中位数为12×(50×50)＝50，众数为50，∴它们的大小关系是平均数＝中位数＝众数.答案：D2.某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，平均数为85.5，则x+y＝()A．12 B．13 C．14 D．15解析：因为中位数为85，所以4+x＝2×5，解得x＝6.又平均数为85.5，所以73+79+3×84+86+87+88+93+90+y＝855，所以y＝7.故x+y＝13.答案：B3.已知某组数据的方差s2＝16[(x1－3)2+(x2－3)2+(x3－3)2+…+(x6－3)2]，则x1+x2+x3+…+x6＝()A．3 B．6 C．18 D．36解析：由方差公式可知，6个数据的平均数是3，∴x1+x2+x3+…+x6＝6×3＝18.答案：C4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2+(5－6)2+(6－6)2+(7－6)2+(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2+(5－6)2+(5－6)2+(6－6)2+(9－6)2]＝125，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错.答案：C5.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是()A．12.5，12.5 B．13.5，13C．13.5，12.5 D．13，13解析：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2，第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3，则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3＝13，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间(10，15]的35的位置，即中位数为10+(15－10)×35＝13.故选D．答案：D6.设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为2和5，若y i＝x i+a(a为非零实数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为()A．2，5B．2+a，5C．2+a，5+aD．2，5+a解析：由题意知x＝110(x1+x2+…+x10)＝2，x x2＝110[(x1－2)2+(x2－2)2+…+(x10－2)2]＝5，对于y i＝x i+a，则有x＝110(x1+a+x2+a+…+x10+a)＝110(x1+x2+…+x10+10a)＝2+a，x x2＝110[(y1－2－a)2+(y2－2－a)2+…+(y10－2－a)2]＝5.答案：B7.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下:7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则:(1)平均命中环数为__________；(2)命中环数的标准差为__________.解析：(1)x＝7+8+7+9+5+4+9+10+7+410＝7.(2)∵s2＝110[(7－7)2+(8－7)2+(7－7)2+(9－7)2+(5－7)2+(4－7)2+(9－7)2+(10－7)2+(7－7)2+(4－7)2]＝4，∴s＝2.答案：(1)7(2)28.:若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是__________.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)解析：分析表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙.答案：丙9.已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差为√2，则xy＝__________.解析：由平均数得9+10+11+x+y＝50，所以x+y＝20.又由(9－10)2+(10－10)2+(11－10)2+(x－10)2+(y－10)2＝(√2)2×5＝10，得x2+y2－20(x+y)＝－192，(x+y)2－2xy－20(x+y)＝－192，所以xy＝96.答案：9610.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万民居，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.解(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02＝0.12.由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.11.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.(1)从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩好些)；(2)从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；(3)从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；(4)从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).解则(1)∵平均数相同，且x 甲2<x 乙2，∴甲稳定些. ∴甲的成绩比乙好.(2)∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数， ∴乙的成绩比甲好.(3)∵平均数相同，且乙命中9环及9环以上次数比甲多，∴乙的成绩比甲好.(4)∵甲的成绩在平均线上下波动；而乙处于上升趋势，从第四次以后就没有比甲少的情况发生， ∴乙更有潜力.题组2：难点突破1.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 ( ) A ．甲地:总体平均数为3，中位数为4 B ．乙地:总体平均数为1，总体方差大于0 C ．丙地:中位数为2，众数为3D ．丁地:总体平均数为2，总体方差为3解析：根据信息可知，连续10天内，每天新增的疑似病例不能超过7人，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，选项C 中也有可能存在大于7的数；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，设连续10天，每天新增疑似病例分别为x 1，x 2，x 3，…，x 10，并设有一天超过7人，如第一天为8人，则s 2＝110[(8－2)2+(x 2－2)2+…+(x 10－2)2]>3，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人. 答案：D2.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为( )A ．1169B ．367C ．36D ．6√77解析：由题中茎叶图可知，去掉的两个数是87，99，所以87+90×2+91×2+94+90+x ＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17×[(87－91)2+(90－91)2×2+(91－91)2×2+(94－91)2×2]＝367. 答案：B3.若a 1，a 2，…，a 20这20个数据的平均数为x ，方差为0.2，则a 1，a 2，…，a 20，x 这21个数据的方差为________.解析：s 2＝121×[(a 1－x )2+(a 2－x )2+…+(a 20－x )2+(x −x )2]＝121×20×0.2＝421. 答案：4214.在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中x是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是__________.解析：x＝(40+41+43+43+44+46+47+48)×18＝44，该程序框图是计算这8个数据的方差，经计算得S＝7，则输出7.答案：75.某工厂36(1)44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2；(3)36名工人中年龄在x－s与x+s之间的有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，根据题意，所抽取工人编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，相应工人的年龄数据为44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)样本均值x＝19×(44+40+36+43+36+37+44+43+37)＝40.样本方差s2＝19×[(44－40)2+(40－40)2+(36－40)2+(43－40)2+(36－40)2+(37－40)2+(44－40)2+(43－40)2+(37－40)2]＝19×[42+02+(－4)2+32+(－4)2+(－3)2+42+32+(－3)2]＝1009.(3)由于x＝40，s＝√x2＝103≈3.33，36名工人中年龄在x－s≈36.67与x+s≈43.33之间有23人，所占比例为2336≈63.89%.6.某班有四个学习小组，各小组人数分别为10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数.解该组数据的平均数为14(10+10+x +8)＝14(28+x )，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数.(1)当x ≤8时，原数据从小到大排序为x ，8，10，10，中位数是9，由14(28+x )＝9，得x ＝8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8<x ≤10时，原数据从小到大排序为8，x ，10，10，中位数是12(x +10)，由14(28+x )＝12(10+x )，得x ＝8，与8<x ≤10矛盾，舍去；(3)当x>10时，原数据从小到大排序为8，10，10，x ，中位数是10，由14(28+x )＝10，得x ＝12，符合题意，此时中位数是10.综上所述，这组数据的中位数是9或10.。
课时提升作业(十三)用样本的数字特征估计总体的数字特征(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·豫西五校联考)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为8，12，10，11，9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为( )A.8分钟B.9分钟C.11分钟D.10分钟【解析】选D.依题意，估计此人每次上班途中平均花费的时间为=10(分钟).2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.46，45，56B.46，45，53C.47，45，56D.45，47，53【解析】选A.从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即=46，众数为45，极差为68-12=56.3.(2015·安徽高考)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为( )A.8B.15C.16D.32【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差.【解析】选C.样本数据x1，x2，…，x10的标准差=8，则DX=64，而样本数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差D(2X-1)=22DX=22×64，所以其标准差为=16.4.期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N为( )A. B.1 C. D.2【解析】选B.N==M，所以M∶N=1.【补偿训练】(2015·乐清高一检测)某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：则次品数的众数、平均数依次为( )A.0，1.1B.0，1C.4，1D.0.5，2【解析】选A.数据x i出现的频率为p i(i=1，2，…，n)，则x1，x2，…，x n的平均数为x1p1+x2p2+…+x n p n.5.某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为( )A.7B.8C.9D.10【解析】选B.由甲班学生成绩的众数是85知x=5，由乙班学生成绩中位数是83，得y=3.所以x+y=8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·江苏高考)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为.【解题指南】利用平均数的概念计算即可.【解析】=，所以这组数据的平均数为=6.答案：6【补偿训练】有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )A.6B.C.66D.6.5【解析】选A.因为=(2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+x)=(61+x)=6，所以x=5.方差数为：s2===6.7.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则：(1)平均命中环数为.(2)命中环数的标准差为.【解析】(1)=(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7.(2)s2=[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=(0+1+0+4+4+9+4+9+0+9)=4，所以s=2.答案：(1)7(2)2【补偿训练】抛硬币20次，正面12次，反面8次.如果抛到正面得3分，抛到反面得1分，则平均得分是，得分的方差是.【解析】总得分为12×3+8×1=44，则平均分是=2.2，方差s2=[(3-2.2)2×12+(1-2.2)2×8]=0.96.答案：2.20.968.甲、乙两人在相同的条件下练习射击，每人打5发子弹，命中的环数如下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9.则两人的射击成绩较稳定的是.【解析】==8，=1.2，=1.6，因为<，所以甲稳定.答案：甲三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128(1)填写下面的频率分布表.(2)作出频率分布直方图. 【解析】(1)填表如下：(2)画频率分布直方图如下：10.(2014·新课标全国卷Ⅱ改编)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数.(2)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.【解题指南】(1)将数字按从小到大排列，得到中位数.(2)数出两部门小于90的市民数，求得概率.(3)从中位数、标准差等角度进行评价.【解析】(1)两组数字是有序排列的，50个数的中位数为第25，26两个数.由给出的数据可知道，市民对甲部门评分的中位数为=75，对乙部门评分的中位数为=67，所以市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为75，67.(2)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( ) A.2，5 B.5，5 C.5，8 D.8，8【解析】选C.因为甲组数据的中位数为15，所以易知x=5，又乙组数据的平均数为16.8，所以=16.8，解得y=8.2.(2014·陕西高考)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a(a为非零常数，i=1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a【解析】选A.样本数据x1，x2，…，x10的均值=(x1+x2+…+x10)=1，方差s'2=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4，新数据x1+a，x2+a，…，x10+a的均值=(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10)+a=1+a，新数据x1+a，x2+a，…，x10+a的方差s2=[(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则a1与a2的大小关系是.【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a2>a1.答案：a2>a14.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为. 【解析】设甲、乙两位射击运动员的平均成绩分别为，，方差分别为，.==90，==90，故==4，==2.因为>，所以乙射击运动员成绩较为稳定.答案：2【拓展延伸】极差、方差与标准差的区别与联系数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离.三、解答题(每小题10分，共20分)5.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)作出这些数据的频率分布直方图：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定? 【解题指南】(1)根据题意直接作图.(2)利用频率分布直方图计算平均数及方差.(3)运用样本估计总体.【解析】(1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为：s2=(80-100)2×0.06+(90-100)2×0.26+(100-100)2×0.38+ (110-100)2×0.22+(120-100)2×0.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.6.(2015·广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据.(2)计算(1)中样本的平均值和方差.(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?【解析】(1)由题条件知所抽样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2，6，10，14，18，22，26，30，34，对应样本的年龄数据依次为44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)(1)中样本的平均值为==40，方差为：s2=[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2 +(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]==.(3)由(2)知s=，所以-s=，+s=，所以年龄在-s与+s之间的共有23人，所占的百分比为：×100%≈63.89%.。
1．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是( )A ．众数B ．平均数C ．标准差D ．中位数答案：C2．已知一组数据为－5,3,5，x,9,6且这组数据的众数为3，那么数据的中位数为( )A ．7B ．5C ．4D ．11 解析：∵众数为3.∴x ＝3.从小到大排列－5,3,3,5,6,9.∴中位数为3＋52＝4. 答案：C3．甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等，但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是( )A ．因为他们的平均分相等，所以学习水平一样B ．成绩虽然一样，方差较大，说明潜力大，学习态度踏实C ．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定D ．平均分相等，方差不等，说明学习水平不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低解析：方差小说明成绩稳定，方差大成绩不稳定，忽高忽低．答案：C4．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：甲 乙 丙 丁 x8.5 8.8 8.8 8 s3.5 3.5 2.1 8.7则参加奥运会的最佳人选为________．解析：由表可知乙、丙平均成绩最好，但丙方差比乙方差小，故成绩稳定，∴选丙． 答案：丙5.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况的茎叶图如图所示，若甲运动员得分的中位数为a ，乙运动员得分的众数为b ，则a －b ＝________.解析：由茎叶图可知a ＝19，b ＝11.∴a －b ＝8.答案：86．某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分．全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%.(1)若全班共10人，则平均分是多少？(2)若全班共20人，则平均分是多少？解：(1)若全班共10人，则得3分的学生有3人，得2分的有5人，得1分的有1人，得0分的有1人，故平均分＝3×3＋2×5＋1×1＋0×110＝2(分)； (2)若全班共20人，则得3分、2分、1分和0分的学生分别有6人、10人、2人、2人．故平均分＝3×6＋2×10＋1×2＋0×220＝2(分)．。
第二章统计2．2用样本估计总体2．2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征[A组学业达标]1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是() A．85、85、85B．87、85、86C．87、85、85 D．87、85、90解析：从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.答案：C2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．答案：C3．已知数据x1，x2，x3，…，x n是我省普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是() A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变解析：插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．答案：B4．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为() A．①③B．①④C．②③D．②④解析：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.答案：B5．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁解析：根据所给的信息可知，在区间[25，30)上的数据的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.故中位数在第3组，且中位数的估计为30＋(35－30)×57≈33.6(岁)．答案：C6．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝__________．解析：由平均数是10，得x＋y＝20，由标准差是2，得12＋（10－10）2＋（11－10）2＋（x－10）2＋（y－10）2] 5[（9－10）＝2，所以(x－10)2＋(y－10)2＝8，所以xy＝96.答案：967．甲、乙两人在相同的条件下练习射击，每人打5发子弹，命中的环数如下： 甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9. 则两人的射击成绩较稳定的是__________．解析：由题意求平均数可得x 甲＝x 乙＝8，s 2甲＝1.2，s 2乙＝1.6，s 2甲<s 2乙，所以甲稳定． 答案：甲8．若a 1，a 2，…，a 20，这20个数据的平均数为x ，方差为0.20，则数据a 1，a 2，…，a 20，x 这21个数据的方差约为__________．解析：这21个数的平均数仍为x ，从而方差为121×[20×0.2＋(x －x )2]≈0.19. 答案：0.199．下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：(2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？解析：(1)周平均收入x －＝17(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．(2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．(3)去掉老板的收入后的周平均收入x 2＝16(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)，这能代表打工人员的周收入水平．10．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85) [85，95)[95，105) [105，115)[115，125)频数62638228(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解析：(1)(2)质量指标值的样本平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．[B 组 能力提升]11．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x－B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x －A >x －B ，s A >s BB.x －A <x －B ，s A >s BC.x －A >x －B ，s A <s B D.x －A <x －B ，s A <s B解析：样本A 数据均小于或等于10，样本B 数据均大于或等于10，故x －A <x －B . 又样本B 波动范围较小，故s A >s B . 答案：B12．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s ，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s 1，则s 与s 1的大小关系为 ( )A ．s ＝s 1B ．s ＜s 1C ．s ＞s 1D ．不能确定解析：由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x ， 则s ＝115[（15－x －）2＋（23－x －）2＋（x 3－x －）2＋…＋（x 15－x －）2]， s 1＝115[（20－x －）2＋（18－x －）2＋（x 3－x －）2＋…＋（x 15－x －）2] . 若比较s 与s 1的大小，只需比较(15－x －)2＋(23－x －)2与(20－x －)2＋(18－x －)2的大小即可．而(15－x －)2＋(23－x －)2＝754－76 x －＋2 x －2，(20－x －)2＋(18－x －)2＝724－76 x －＋2 x －2，所以(15－x －)2＋(23－x －)2＞(20－x －)2＋(18－x －)2.从而s ＞s 1. 答案：C13．若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是__________，标准差是__________．解析：设这40个数据为x i (i ＝1，2，…，40)，平均数为x －.则s 2＝140×[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 40－x －)2]＝140[x 21＋x 22＋…＋x 240＋40 x －2－2 x － (x 1＋x 2＋…＋x 40)]＝140⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2×22×40×22＝140×⎝ ⎛⎭⎪⎫56－40×12 ＝0.9. ∴s ＝0.9＝910＝31010.答案：0.93101014．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________．解析：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7；方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.从而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35，①(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为：(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＝4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10.答案：1015．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？解析：(1)各组的组中值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．s2＝1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60.故标准差为 2 128.60≈46.估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适．。
课时作业( 十三) 用样本的数字特征估计总体的数字特征A组基础巩固1 ．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7 ，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A．9.4,0.484 B ．9.4,0.016C．9.5,0.04 D ．9.5,0.016答案：D2．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A．0.6 h B ．0.9 hC．1.0 h D ．1.5 h答案：B3．某学校对100 间学生公寓进行综合评比，依考核分数分为A，B，C，D四种等级，其中分数在[60,70) 为D等级，有15 间；分数在[70,80) 为C等级，有40 间；分数在[80,90)为B 等级，有20 间；分数在[90,100] 为A等级，有25 间．考核评估后，得其频率分布直方图如图所示，估计这100 间学生公寓评估得分的中位数是( )A．78.65 B ．78.75C．78.80 D ．78.85答案：B4．样本中共有五个个体，其值分别为a, 0,1,2,3. 若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65B.65C. 2 D ．2答案：D5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：1甲乙丙丁平均环数x 8.4 8.7 8.7 8.32 3.6 3.6 2.2 5.4方差s从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是( )A．甲 B ．乙C．丙 D ．丁解析：∵甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，∴丙是最佳人选，故选 C.答案：C6．某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法( 每个分厂的产品为一层) 从 3 个分厂生产的电子产品中共取100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h ，则抽取的100 件产品的使用寿命的平均值为________ h.答案：1 0137．用一组样本数据8，x, 10,11,9 来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s＝________.解析：∵该组样本数据的平均数为10，∴(8 ＋x＋10＋11＋9) ÷5＝10，∴x＝12，2∴s＝15(4 ＋4＋0＋1＋1) ＝2，∴s＝ 2.答案：28．已知某班 4 个小组的人数分别为10,10 ，x, 8，这组数据中的中位数与平均数相等，则这组数据的中位数是________．解析：(1) 当x≤8 时，原数据按从小到大的顺序为x, 8,10,10 ，中位数为12(10 ＋8) ＝9.1若( x＋28) ＝9，则x＝8，此时中位数为9.4(2) 当8<x≤10 时，原数据按从小到大顺序排列为8，x, 10,10 ，中位数为12( x＋10) ，若1 1( x＋28) ＝( x＋10) ，则x＝8，而8 不在8<x≤10 的范围内，所以舍去．4 2(3) 当x>10 时，原数据为8,10,10 ，x，中位数为12(10＋10) ＝10.若14( x＋28) ＝10，则x＝12，所以此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9 或10.答案：9 或109．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩情况如图．2(1) 分别求出两人得分的平均数与方差．(2) 根据图中数据算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．解：(1) 甲、乙两人五次测试的成绩分别为：甲10 分13 分12 分14 分16 分乙13 分14 分12 分12 分14 分甲的平均得分为10＋13＋12＋14＋16＝13，5乙的平均得分为13＋14＋12＋12＋14＝13.52s甲＝15[(10 －13)2＋(13 －13) 2＋(12 －13) 2＋(14 －13) 2＋(16 －13) 2] ＝4，2s乙＝乙＝15[(13 －13)2＋(14 －13)2＋(12 －13)2＋(12 －13)2＋(14 －13)2] ＝0.8.2 2(2) 由s甲>s乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．B组能力提升10．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成 5 组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.40 ，0.15 ，0.10,0.05 ，则参赛的选手成绩的众数和中位数可能是( )A．65,65 B ．70,65C．65,50 D ．70,50解析：众数为第二组中间值65. 设中位数为x，则0.03 ×10＋( x－60)×0.04 ＝0.5 ，解得x＝65. 故选 A.答案：A11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )3甲乙A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差－4＋5＋6＋7＋8解析：由条形图易知甲的平均数为x ＝6，甲＝52方差为s甲＝－2＋－52 2 2 2＋0 ＋1 ＋2＝2，中位数为6，极差为4；乙的平均数为x乙＝3×5＋6＋92＝6，方差为s乙＝乙＝5－52 2＋0＋3 12＝，中位数为5，极差为4，故5x 甲＝x 2 2乙，s乙＞s甲，且甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数，两人成绩的极差相等．答案：C12．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：(1) 求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差；(2) 比较两名同学的成绩，谈谈你的看法．解析：x甲＝1(65 ＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113) ＝89. 102s甲＝1[(65 －89)102 ＋(70 －89) 2＋(80 －89) 2＋(86 －89) 2＋(89 －89)2 ＋(95 －89)2 ＋(91－89)2＋(94 －89)2＋(107 －89)2＋(113 －89)2] ＝119.2 ，∴s 甲≈14.1x乙＝1(79 ＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114) ＝94.1042s乙＝1[(79 －94)102 ＋(86 －94) 2＋(83 －94) 2＋(88 －94) 2＋(93 －94)2 ＋(99 －94)2 ＋(98－94)2＋(98 －94)2＋(102 －94)2＋(114 －94)2] ＝96.8.∴s 乙≈9.8.∴x 甲＜x 乙且s 甲＞s乙．∴乙同学的平均成绩较高且标准差较小；说明乙同学比甲同学的成绩扎实，稳定．5。
课时分层作业(十三) 用样本的数字特征估计总体的数字特征(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85,85,85B ．87,85,86C ．87,85,85D ．87,85,90C [平均分为110(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.由众数的定义可知众数为85，中位数为85.]2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为x 甲，x 乙；标准差分别是s 甲，s 乙，则有( )A.x 甲＞x 乙，s 甲＞s 乙B.x 甲＞x 乙，s 甲＜s 乙C.x 甲＜x 乙，s 甲＞s 乙D ．x 甲＜x 乙，s 甲＜s 乙C [观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系，或者通过公式计算比较．] 3．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是x ＝2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数和方差分别为( )A ．2，13B ．2,1C ．4，13D ．4,3D [平均数为x ′＝3x －2＝3×2－2＝4，方差为s ′2＝9s 2＝9×13＝3.]4．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )A ．6 B. 6 C ．66D ．6.5A [∵x ＝111(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x )＝111(61＋x )＝6，∴x ＝5.方差为：s 2＝42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋1211＝6611＝6.]5．设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 ( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次的总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次的总体平均数与标准值接近程度不能确定 A [x 甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x 乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，∴x 甲与0.618更接近．] 二、填空题6．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x ＝________.21 [由题意知x ＋232＝22，则x ＝21.]7．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图所示，则平均分数较高的是____________，成绩较为稳定的是________．甲 甲 [x 甲＝70，x 乙＝68，s 2甲＝15×(22＋12＋12＋22)＝2，s 2乙＝15×(52＋12＋12＋32)＝7.2.]8．某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表：． ①平均数；②众数；③中位数；④方差．② [鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数．由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据的众数为37.]三、解答题9．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)这50名学生的平均成绩．[解] (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.020×10＝0.04＋0.06＋0.20＝0.30，∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.030×10＝0.30,0.3＋0.3＞0.5，∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x ，高为0.03，∴令0.03x ＝0.2得x ≈6.7， 故中位数应约为70＋6.7＝76.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.020×10)＋75×(0.030×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.10．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？[解] (1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数．从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．(2)x 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33.x 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33.s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的极差为11，乙的极差为10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．[等级过关练]1．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学高； ③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差． 以上说法正确的是( ) A ．③④ B ．①②④ C ．②④D ．①③A [甲的中位数为81，乙的中位数为87.5，故①错，排除B 、D ；甲的平均分x ＝16(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分x ′＝16(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②错，③对，排除C ，故选A.]2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差C [判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．]3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：89⎪⎪⎪7 74 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为________．367[根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99， 则17×[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91， ∴x ＝4，∴s 2＝17×[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.]4．若40个数据的平方和是56，平均数是22，则这组数据的方差是________，标准差是________．0.931010[设这40个数据为x i (i ＝1,2，…，40)，平均数为x . 则s 2＝140×[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 40－x )2]＝140[x 21＋x 22＋…＋x 240＋40x 2－2x (x 1＋x 2＋…＋x 40)] ＝140⎣⎢⎡⎦⎥⎤56＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2×22×40×22 ＝140×⎝⎛⎭⎪⎫56－40×12＝0.9， ∴s ＝0.9＝910＝31010.] 5．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：[0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[2，2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5]，2.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数； (3)当地政府制定了人均月用水量为3t 的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？[解] (1)频率分布表(2)频率分布直方图如图：众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02.(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的．。
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(一)一、基础过关1．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 2．下列说法错误的是( )A ．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D ．众数是一组数据中出现次数最多的数3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差等于( )A ．3.5B ．－3C ．3D ．－0.54．已知样本数据x 1，x 2，…，x 10，其中x 1，x 2，x 3的平均数为a ，x 4，x 5，x 6，…，x 10的平均数为b ，则样本数据的平均数为( )A.a ＋b 2B.3a ＋7b 10C.7a ＋3b 10D.a ＋b 105．电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该电池的平均寿命估计为______小时．6．某商店的大米价格是3.00元/千克，面粉的价格是3.60元/千克，大米与面粉的销量分别是1 000千克，500千克，则该商店出售的粮食的平均价格是________元/千克． 7．已知一组数据的频率分布直方图如下．求众数、中位数、平均数．8．有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5,18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5)，8,0.08.试估计总体的平均数．二、能力提升9．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ∶N 为( ) A.4041B ．1C.4140D ．210．若有一个企业，70%的员工收入1万，25%的员工年收入3万，5%的员工年收入11万，则该企业员工的年收入的平均数是______万，中位数是____万，众数是____万． 11．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3，0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)问参加这次测试的学生人数是多少？(3)问在这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？ 三、探究与拓展 12．已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128(1)填写下面的频率分布表：分组 频数累计频数 频率 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5]合计(2)(3)根据直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．答案1．D 2.B 3.B 4.B 5.28 6.3.207．解由频率分布直方图可知，众数为65，由10×0.03＋5×0.04＝0.5，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65，平均数为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67.8．解由于每组数据是一个范围，所以可以用每组中间值近似地表示平均数．方法一总体的平均数约为1100(13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20＋23.5×10＋25.5×8)＝19.42.故总体的平均数约为19.42.方法二求组中值与对应频率积的和13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.故总体的平均数约为19.42.9．B10．21 1解析年收入的平均数是1×70%＋3×25%＋11×5%＝2(万)．11．(1)第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)参加这次测试的学生人数为50.1＝50.(3)由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．故这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第3小组内．12．解(1)分组频数累计频数频率[120.5,122.5)20.1[122.5,124.5)30.15[124.5,126.5)80.4[126.5,128.5)40.2[128.5,130.5]30.15合计20 1(2)(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5.图中虚线对应的数据为中位数，即124.5＋2×58＝125.75.使用“组中值”求平均数：x＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8.。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课时目标1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题．1．众数、中位数、平均数(1)众数的定义：一组数据中重复出现次数________的数称为这组数的众数．(2)中位数的定义及求法把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最______位置的那个数称为这组数据的中位数．①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的__________那个数．②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的________．(3)平均数①平均数的定义：如果有n个数x1，x2，…，x n，那么x＝____________，叫做这n个数的平均数．②平均数的分类：总体平均数：________所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：________所有个体的平均数叫样本平均数．2．标准差、方差(1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝________________________________________________________________________.(2)方差的求法：标准差的平方s2叫做方差．s2＝________________________________________________________________________.一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B ．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C ．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高2．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．c>a>b D ．c>b>a3．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是( )A ．甲B ．乙C ．甲、乙相同D ．不能确定4．一组数据的方差为s 2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差是( ) A .13s 2 B ．s 2 C ．3s 2 D ．9s 25．如图是2010年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为() A．84,4.84 B．84,1.6C．85,1.6 D．85,0.46．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B则()A.x A>x B，s A>s BB.x A<x B，s A>s BC.x A>x B，s A<s BD.x A<x B，s A<s B7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.8．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：如果甲、乙两人只能有1人入选，则入选的应为________．9．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为x，方差为0.20，则数据a1，a2，…，a20，x这21个数据的方差为________．三、解答题10．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：(1)请填写表：(2)①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．能力提升(2)计算出的平均工资能反映一般工作人员一周的收入水平吗？(3)去掉总经理的工资后，再计算剩余人员的平均工资，这能代表一般工作人员一周的收入水平吗？12．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：1．平均数、众数、中位数都是描述数据的集中趋势的，其中平均数是最重要的量． 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也成为缺点，因为这些极端值有时是不能忽视的．由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．2．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．3．极差、方差、标准差是描述数据的离散程度的，即各数据与其平均数的离散程度．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．答案：2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征知识梳理1．(1)最多 (2)中间 ①中间位置的 ②平均数 (3)①x 1＋x 2＋…＋x nn②总体中 样本中 2．(1)1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] (2)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]作业设计1．B [A 中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C 中求和后还需取平均数；D 中方差越大，射击越不平稳，水平越低．]2．D [由题意a ＝110(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝15710＝15.7，中位数为16，众数为18，即b ＝16，c ＝18， ∴c>b>a.]3．B [方差或标准差越小，数据的离散程度越小，表明发挥得越稳定． ∵5.09>3.72，故选B .]4．D [s 20＝1n [9x 21＋9x 22＋…＋9x 2n －n(3x )2]＝9·1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n －n x 2)＝9·s 2(s 20为新数据的方差)．]5．C [由题意x ＝15(84＋84＋86＋84＋87)＝85.s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝15(1＋1＋1＋1＋4)＝85＝1.6.]6．B [样本A 数据均小于或等于10，样本B 数据均大于或等于10，故x A <x B ， 又样本B 波动范围较小，故s A >s B .] 7．91解析 由题意得8．甲解析 x 甲＝9，2S 甲＝0.4，x 乙＝9，2S 乙＝1.2，故甲的成绩较稳定，选甲． 9．0.19解析 这21个数的平均数仍为20，从而方差为121×[20×0.2＋(20－20)2]≈0.19.10．解 由折线图，知甲射击10次中靶环数分别为： 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大重排为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9. 乙射击10次中靶环数分别为： 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.也将它们由小到大重排为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)x 甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7010＝7(环)，x 乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7010＝7(环)，s 2甲＝110×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2] ＝110×(4＋2＋0＋2＋4) ＝1.2，s 2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2] ＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9) ＝5.4.平均数 方差 中位数命中9环及9环以上的次数甲 7 1.2 7 1(2)①∵2S 甲<2S 乙，∴甲成绩比乙稳定． ②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数， ∴乙的成绩比甲好些．③∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少， ∴乙成绩比甲好些．④甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．11．解 (1)平均工资即为该组数据的平均数x ＝17×(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝17×5 250＝750(元)． (2)由于总经理的工资明显偏高，所以该值为极端值，因此由(1)所得的平均工资不能反映一般工作人员一周的收入水平．(3)除去总经理的工资后，其他工作人员的平均工资为：x ′＝16×(450＋350＋400＋320＋320＋410) ＝16×2 250＝375(元)． 这个平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平．12．解 设第一组20名学生的成绩为x i (i ＝1,2，…，20)， 第二组20名学生的成绩为y i (i ＝1,2，…，20)，依题意有：x ＝120(x 1＋x 2＋…＋x 20)＝90，y ＝120(y 1＋y 2＋…＋y 20)＝80，故全班平均成绩为：140(x 1＋x 2＋…＋x 20＋y 1＋y 2＋…＋y 20) ＝140(90×20＋80×20)＝85； 又设第一组学生成绩的标准差为s 1，第二组学生成绩的标准差为s 2，则s 21＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220－20x 2)，s 22＝120(y 21＋y 22＋…＋y 220－20y 2) (此处，x ＝90，y ＝80)，又设全班40名学生的标准差为s ，平均成绩为z (z ＝85)，故有s 2＝140(x 21＋x 22＋…＋x 220＋y 21＋y 22＋…＋y 220－40z 2) ＝140(20s 21＋20x 2＋20s 22＋20y 2－40z 2) ＝12(62＋42＋902＋802－2×852)＝51. s ＝51.所以全班同学的平均成绩为85分，标准差为51.。
【课堂新坐标】2021高中数学用样本的数字特点估量整体的数字特点课时作业新人教版必修3一、选择题1．(2021·济南高一检测)某学习小组在某次数学考试中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，那么该小组成绩的平均数、众数、中位数别离是( ) A．85,85,85 B．87,85,86C．87,85,85 D．87,90,85【解析】从小到大排列为75,80,85,85,85,85,90,90,95,100观看可知，众数、中位数别离为8五、85，计算得平均数为87.【答案】C2．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，那么选送决赛的最正确人选应是( )A.甲C．丙D．丁【解析】∵x乙＝x丙＞x甲＝x丁，且s2甲＝s2乙＜s2丙＜s2丁，∴应选择乙进入决赛．【答案】B3．(2021·山东高考)在某次测量中取得的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.假设B样本数据恰好是A样本数据每一个都加2后所得数据，那么A，B两样本的以下数字特点对应相同的是( ) A．众数B．平均数C．中位数D．标准差【解析】对样本中每一个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．【答案】 D4．某同窗利用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A ．3.5B ．－3C ．3D ．－0.5【解析】 少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数等于－3.【答案】 B5．(2021·安徽高考)甲、乙两人在一次射击竞赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2－2－9所示，那么( )图2－2－9A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】 由条形统计图取得相关数据，然后利用平均数、中位数、方差、极差的概念求解． 由条形统计图知：甲射靶5次的成绩别离为：4,5,6,7,8； 乙射靶5次的成绩别离为：5,5,5,6,9， 因此x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6. 因此x甲＝x 乙．故A 不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确．s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2<125，因此s 2甲<s 2乙.故C 正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故D 不正确．应选C.【答案】 C二、填空题6．(2021·深圳高一检测)已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，标准差为2，那么xy ＝________.【解析】 由平均数得9＋10＋11＋x ＋y ＝50，∴x ＋y ＝20. 又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2＝(2)2×5＝10，得x 2＋y 2－20(x ＋y )＝－192，(x ＋y )2－2xy －20(x ＋y )＝－192，∴xy ＝96. 【答案】 967．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，那么这100人成绩的标准差为________．分数 5 4 3 2 1 人数2010303010【解析】 平均成绩为5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10100＝3，s 2＝1100×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝160100. ∴s ＝2105【答案】21058．(2021·广东高考)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，那么这组数据为________．(从小到大排列)【解析】 利用平均数、中位数、标准差公式分类讨论求解． 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，∴{ x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4. 又s ＝ 14[x 1－22＋x 2－22＋x 3－22＋x 4－22]＝12x 1－22＋x 2－22＋4－x 2－22＋4－x 1－22＝122[x1－22＋x2－22]＝1，∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2.同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.【答案】1,1,3,3三、解答题9．某公司销售部有销售人员15人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：每人销售件数 1 800510250210150120人数113532(1)求这15(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为320件，你以为是不是合理，什么缘故？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额．【解】(1)平均数x＝115×(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．(2)不合理，因为15人中就有13人的销售额达不到320件，也确实是说320虽是这一组数据的平均数但它却不能反映销售人员的一样水平．销售额定为210件要合理些．由于210既是中位数，又是众数，是绝大部份人都能达到的销售额．10．某篮球队教练要从甲、乙两名运动员中挑选一名运动员，甲、乙两人进行10轮投篮竞赛，每轮每人投10次，甲每轮投中的次数别离为9,7,8,7,8,10,7,9,8,7，乙每轮投中的次数别离为7,8,9,8,7,8,9,8,9,7，请你给教练一个人选的建议．【解】由已知x甲＝110×(9＋7＋8＋7＋8＋10＋7＋9＋8＋7)＝8，x乙＝110×(7＋8＋9＋8＋7＋9＋8＋9＋8＋7)＝8，s2甲＝110×[(9－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝1.s2乙＝110×[(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝35.∵x甲＝x乙，s2甲>s2乙，∴乙运动员发挥稳固，应选乙．11．为了解小学生的体能情形，抽取了某小学同年级部份学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率散布直方图如图2－2－10，已知图中从左到右前三个小组的频率别离是0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.图2－2－10(1)求第四小组的频率；(2)问参加这次测试的学生人数是多少？(3)问在这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？【解】(1)第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)参加这次测试的学生人数为50.1＝50.(3)由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率散布直方图中表现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而确实是小矩形的面积和相等．因此在频率散布直方图中将频率散布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．∵0.1＋0.3＝0.4<0.5，0．1＋0.3＋0.4＝0.8>0.5，故这次测试中学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.。
一、选择题1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设平均数为a，中位数为b，众数为c，则有() A．a<b<c B．a>b>cC．a<c<b D．c>a>b【解析】众数c＝17，中位数b＝15，平均数a＝110×(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，所以a<b<c.【答案】 A2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会的射击项目选拨赛，四人的平均成绩和标准差见表：甲乙丙丁平均数x8.58.88.88标准差s 3.5 3.5 2.18.7A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】乙、丙两人平均成绩相同也较高，但丙的标准差小，说明丙的成绩稳定，所以选丙．【答案】 C3．样本101,98,102,100,99的标准差为()A. 2 B．0C．1 D．2【解析】样本平均数x＝100，方差s2＝2，∴标准差s＝ 2.【答案】 A4．如图2－2－16，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x －B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )图2－2－16A.x －A >x －B ，s A >s BB.x －A <x －B ，s A >s BC.x －A >x －B ，s A <s BD.x －A <x －B ，s A <s B【解析】 由所给的图知样本A 分布在(2.5,10)之间，且波动大；而样本B 分布在(10,15)之间，且波动小，故x －A <x －B ，s A >s B ，应选B.【答案】 B5．(2013·潍坊高一检测)某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是( )A ．70,75B ．70,50C ．75,1.04D ．65,2.35【解析】 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s 2，则由题意可得：s 2＝148，而更正前有：75＝148， 化简整理得s 2＝50. 【答案】 B 二、填空题6．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．【解析】 由题意：该校数学建模兴趣班的平均成绩40×90＋50×8190＝85分．【答案】 857．(2013·湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．【解析】 (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s 2＝110＝4，∴s ＝2. 【答案】 (1)7 (2)28．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是________、________.【解析】 设原数据的平均数为A ，方差为B ，则将原数据都减去80，得一组新数据的平均数为A －80，方差为B ，则：A －80＝1.2，∴A ＝81.2，B ＝4.4.【答案】 81.2 4.4 三、解答题9．某公司销售部有销售人员15人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：(1)(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额．【解】 (1)平均数x －＝115×(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．(2)不合理．因为15人中就有13人的销售额达不到320件，也就是说320虽是这一组数据的平均数，但它却不能反映销售人员的一般水平．销售额定为210件要合理些，这是由于210既是中位数又是众数，是绝大部分人都能达到的销售额．10．对甲、乙两人的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的数据如下：甲：60,80,70,90,70 乙：80,60,70,80,75问：甲、乙两人谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡． 【解】 平均数：x 甲＝15×(60＋80＋70＋90＋70)＝74， x 乙＝15×(80＋60＋70＋80＋75)＝73， 方差：s 2甲＝15×＝104， s 2乙＝15×(72＋(－13)2＋(－3)2＋72＋22)＝56. 由于x 甲>x 乙，s 2甲>s 2乙，所以甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡． 11．某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分：方案1 所有评委所给分的平均数．方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．方案3 所有评委所给分的中位数． 方案4 所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图(如图2－2－17所示)．图2－2－17(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．【解】(1)方案1最后得分：110(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：18(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4.(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案．因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．。
课时作业(十三)一、选择题1．函数y ＝2的值域是( ) A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：∵x ≥0，∴y ＝2≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．答案：B2．(2021年人大附中月考)设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，那么x 0所在的区间是 A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：(数形结合法)如下图．由1<x <2，可知1<x 3<8； －1<x －2<0,1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<2. 答案：B3．假设函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象通过第二、三、四象限，那么必然有A ．0<a <1，且b >1B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0 解析：因为函数y ＝a x ＋b －1的图象通过第二、三、四象限，可大致画出图象如图： 因此0<a <1，当x ＝0时，a 0＋b －1<0，那么b <0.答案：C4．在平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x 图象关于 ( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝2x 左移一个单位得y ＝2x ＋1，y ＝2－x 右移一个单位得y ＝21－x ，而y ＝2x 与y ＝2－x 关于y 轴对称，∴f (x )与g (x )关于y 轴对称．答案：C5．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，那么k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2) 解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，因此有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.答案：C6．已知a >0且a ≠1, f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，那么实数a 的取值范围是( )∪[2，＋∞)∪(1,4] ∪(1,2] ∪[4，＋∞) 解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象， 当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2， 当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1， 综上，12≤a <1或1<a ≤2. 答案：C二、填空题7．当x∈[－2,0]时，函数y＝3x＋1－2的值域是________．解析：∵x ∈[－2,0]时y ＝3x ＋1－2为增函数，∴3－2＋1－2≤y ≤30＋1－2，即－53≤y ≤1. 答案：[－53，1] 8．假设实数x ，y 知足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，那么t ＝2x ＋2y 的取值范围是________． 解析：由4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，得(2x ＋2y )2－2×2x ×2y ＝2(2x ＋2y )．即t 2－2·2x ＋y ＝2t ，t 2－2t ＝2·2x ＋y .又由2x ＋2y ≥22x ＋y ，得2x ＋y ≤14(2x ＋2y )2， 即2x ＋y ≤14t 2.因此0<t 2－2t ≤12t 2，解得2<t ≤4.答案：(2,4]9．(2021年惠州模拟)关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，那么实数a 的取值范围为________．解析：x <0，因此0<⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <1， 从而0<2＋3a 5－a <1，解得－23<a <34. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，34 三、解答题10．函数y ＝lg (3－4x ＋x 2)的概念域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．解：由3－4x ＋x 2>0，得x >3或x <1，∴M ＝{x |x >3或x <1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512.∵x >3或x <1，∴2x >8或0<2x <2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大， 最大值为2512，f (x )没有最小值． 11．已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判定函数f (x )的单调性，并用概念证明；(3)求函数的值域．解：(1)∵f (x )的概念域为R ，且为奇函数，∴f (0)＝0，解得a ＝1.经查验，符合题意，∴a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1， ∴f (x )为增函数．证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2. f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1， ∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，且2x 1＋1>0,2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )为R 上的增函数．(3)令y ＝2x －12x ＋1，那么2x ＝－1－y y －1， ∵2x >0，∴－1－y y －1>0.∴－1<y <1. ∴函数f (x )的值域为(－1,1)．12．已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判定f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时， f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)函数概念域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，因此f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0.y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数．因此f (x )为增函数． 当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数． 因此f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时， f (x )在概念域为单调递增函数．(3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，因此在区间[－1,1]上也是增函数．因此f (－1)≤f (x )≤f (1)．因此f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1. 因此要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，那么只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1]．[热点预测]13．假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x <1，x －1，x ≥1，若f (a )>1，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，2a >1，得0<a <1；由⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a －1>1，得a >2，因此实数a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．答案：C14．假设函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，那么实数a的取值范围是________．解析：令a x－x－a＝0即a x＝x＋a，假设0<a<1，显然y＝a x与y＝x＋a的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如下图． 答案：(1，＋∞)15．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象通过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)假设不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝ba 3. 结合a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x . (2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可． ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上为减函数， ∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56. ∴只需m ≤56即可．。
甲
乙
A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：由条形图易知甲的平均数为x －
甲＝4＋5＋6＋7＋8
5
＝6，
方差为
s 2甲
＝
(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22
5
＝2，中位数为6，极差为4；乙的平均数为x
乙
＝3×5＋6＋95＝6，方差为s 2乙＝3×(－1)2＋0＋325＝125
，中位数为5，极差为4，故x 甲＝x 乙，
s 2乙＞s 2
甲，且甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数，两人成绩的极差相等．
答案：C
12．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差； (2)比较两名同学的成绩，谈谈你的看法．
解析：x 甲＝1
10(65＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113)＝89.
s 2甲＝
1
10
[(65－89)2＋(70－89)2＋(80－89)2＋(86－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(91－89)2＋(94－89)2＋(107－89)2＋(113－89)2]＝119.2，
∴s 甲≈14.1
x 乙＝1
10(79＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114)＝94.
s 2乙＝
1
10
[(79－94)2＋(86－94)2＋(83－94)2＋(88－94)2＋(93－94)2＋(99－94)2＋(98－94)2。
