[理学]古典回归模型
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古典线性回归模型
概率(Probability)对于一个随机事件A，用一个数P （A）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P（A） 就称为随机事件A的概率，因此，概率度量了随机事 件发生的可能性的大小。 概率的定义 定义在事件域F上的一个集合函数P称为概率，如果 它满足如下三个条件： （i）P（A）≥0，对一切 F （ii）P（Ω）=1； P A A F （iii）若 ，i=1,2…，且两两互不相容，则 P( A ) 性质（iii）称为可列可加性（conformable addition） 或完全可加性。
某工厂用机器生产商品，当机器运转正常时，产品 合格率为98%，当机器发生故障时，产品合格率为 55%。每天开工的时候，机器运转正常的规律为95%。 已知某日早上第一件产品为合格品，则机器调整良 好的概率是多少？ A:机器运转正常。B：合格品
P( A | B) P( AB) P( B | A) P( A) P( B | A) P( A) P( B) P( B) P( B | A) P( A) P( B | A) P( A)
由这个定义，其取值一定在-1和1之间。如果X和Y是相互独 立的，那么ρXY =0。如果Y=aX+b，这里a,b是不等于0的常数， 那么|ρXY|=1，此时，我们说X和Y是完全相关的。X和Y的值越 接近线性关系，|ρXY|值接近1。
相关系数=0能证明两个变量 不相关吗？ 什么情况下等于1，什么情 况下等于-1？
3000
1500
2000
2500
a=5250,b=-800
回归的本质就是寻找y的平均值（在x的条 件下）
3
3.5 s w
4 Fitted values
古典线性回归模型
6
从总体与样本的关系看残差与随机扰动项 • 最小二乘估计直线有４条性质。性质中 的残差是一个样本的残差。 • 从总体与样本的关系看，数据是总体的 一个子集，自然u^i也是ui的一个子集， 而ui是总体的随机扰动项。 • 样本一般说来总会反映一些总体的性质， 于是对随机扰动项作出类似最小二乘估 计残差的假设。 • 从而完成了数据生成过程的假设。
8
假设１ 随机扰动项ui垂直波动 （Vertical Error Jumps）
• 样本数据点只沿着yi的方向在真实直线附 近垂直跳动，即这种波动围绕真实直线上 下波动。对于每一个xi，yi总是垂直变动， 没有横向偏移。这也就是说观察到的xi是 准确无误的，实际中的xi没有丝毫偏差， 而对应于xi的yi却存在垂直的偏差。 • 误差变量模型——xi存在随机偏差
假设６ 数据产生过程是线性的 （Linearity of the Model）
• yi=a+b1xi1+b2xi2+b3xi3+＋bkxik+ui • (i=1,2, ,n) • 因变量yi=自变量的线性组合再加上一个随机 扰动项。自然，因变量yi也是一个随机变量， 于是必须对yi的分布做一番讨论。 • 而a、b等回归估计系数乃是由yi和xij估计出来 的，自然也需对它们的性质作进一步的讨论。 关于它们性质的讨论十分有用，影响到估计得 到规律（回归方程）的检验——可靠性。 19 • 如果是非线性就不能采用最小二乘法。
解决问题的思路
• 根据古典模型的假设，推断出因变量的 性质 • 在通过高斯-马尔科夫定理精确地讨论最 小二乘估计量的性质
22
关于随机扰动项的6项假定
假设１ 随机扰动项ui垂直波动 自变量X是确定性变量 假设２ 残差分布均值为零 ui=0 假设３ 随机扰动项方差一定 Var(ui)=2 假设４ 随机扰动项（误差）相互独立 E(ui,uj)=0uiuj=0 (i<>j) 假设５ 所有xi都是可观察的并且独立于ui E(x,uj)=0xuj=0 假设６ 数据产生过程是线性的 Y=XB+u
从总体与样本的关系看残差与随机扰动项 • 最小二乘估计直线有４条性质。性质中 的残差是一个样本的残差。 • 从总体与样本的关系看，数据是总体的 一个子集，自然u^i也是ui的一个子集， 而ui是总体的随机扰动项。 • 样本一般说来总会反映一些总体的性质， 于是对随机扰动项作出类似最小二乘估 计残差的假设。 • 从而完成了数据生成过程的假设。
8
假设１ 随机扰动项ui垂直波动 （Vertical Error Jumps）
• 样本数据点只沿着yi的方向在真实直线附 近垂直跳动，即这种波动围绕真实直线上 下波动。对于每一个xi，yi总是垂直变动， 没有横向偏移。这也就是说观察到的xi是 准确无误的，实际中的xi没有丝毫偏差， 而对应于xi的yi却存在垂直的偏差。 • 误差变量模型——xi存在随机偏差
假设６ 数据产生过程是线性的 （Linearity of the Model）
• yi=a+b1xi1+b2xi2+b3xi3+＋bkxik+ui • (i=1,2, ,n) • 因变量yi=自变量的线性组合再加上一个随机 扰动项。自然，因变量yi也是一个随机变量， 于是必须对yi的分布做一番讨论。 • 而a、b等回归估计系数乃是由yi和xij估计出来 的，自然也需对它们的性质作进一步的讨论。 关于它们性质的讨论十分有用，影响到估计得 到规律（回归方程）的检验——可靠性。 19 • 如果是非线性就不能采用最小二乘法。
解决问题的思路
• 根据古典模型的假设，推断出因变量的 性质 • 在通过高斯-马尔科夫定理精确地讨论最 小二乘估计量的性质
22
关于随机扰动项的6项假定
假设１ 随机扰动项ui垂直波动 自变量X是确定性变量 假设２ 残差分布均值为零 ui=0 假设３ 随机扰动项方差一定 Var(ui)=2 假设４ 随机扰动项（误差）相互独立 E(ui,uj)=0uiuj=0 (i<>j) 假设５ 所有xi都是可观察的并且独立于ui E(x,uj)=0xuj=0 假设６ 数据产生过程是线性的 Y=XB+u
光华管理学院古典线性回归模型
proc corr data=two; var x2 x1 beta; run; /* 看看模拟产生的x1是否与beta相关*/
proc reg data=two; model eret=beta; model eret=beta x1; run; /* 可以看到两个回归结果中，beta的系数几乎相同。理论上应该完全相同*/
• 直观上为什么是这样？
• Ballentine diagram – 交叉部分哪去了？ – 多元回归模型，只能反映边际关系（线性关系），联合影响（非 线性关系）无法反映出来
• 例题exer2.sas
/* 分步回归*/ proc reg data=one; model beta=beta2; output out=resout residual=ress; run; /* 第一步，把感兴趣的x对所有其它解释变量回
data one; set wang.exer1_ret09; run; proc sort data=one nodupkey; by id date; run;
proc reg outest=outfile EDF data=one noprint; model dretwd=retindex; by id; run; /* 估计结果输出到文件outfile中， EDF是要输出自由度、R2等指标， noprint是要求估计结果不要出现在output窗口*/
• 实证研究（计量经济分析）与案例研究的根本差别在于前者“看平均 ”，后者“看例子”（奇异值）。 – 前者是科学，后者是艺术，比如西医与中医。现实中更多的是介 乎科学与艺术之间，所以我们要中西医结合。
– 这里u是一个均值为0的随机变量。因为事实上，不可能只有x影响 y，我们把所有其它因素加总到了u中
proc reg data=two; model eret=beta; model eret=beta x1; run; /* 可以看到两个回归结果中，beta的系数几乎相同。理论上应该完全相同*/
• 直观上为什么是这样？
• Ballentine diagram – 交叉部分哪去了？ – 多元回归模型，只能反映边际关系（线性关系），联合影响（非 线性关系）无法反映出来
• 例题exer2.sas
/* 分步回归*/ proc reg data=one; model beta=beta2; output out=resout residual=ress; run; /* 第一步，把感兴趣的x对所有其它解释变量回
data one; set wang.exer1_ret09; run; proc sort data=one nodupkey; by id date; run;
proc reg outest=outfile EDF data=one noprint; model dretwd=retindex; by id; run; /* 估计结果输出到文件outfile中， EDF是要输出自由度、R2等指标， noprint是要求估计结果不要出现在output窗口*/
• 实证研究（计量经济分析）与案例研究的根本差别在于前者“看平均 ”，后者“看例子”（奇异值）。 – 前者是科学，后者是艺术，比如西医与中医。现实中更多的是介 乎科学与艺术之间，所以我们要中西医结合。
– 这里u是一个均值为0的随机变量。因为事实上，不可能只有x影响 y，我们把所有其它因素加总到了u中
第3讲 古典线性回归模型
用矩阵形式表示的正规方程组
移项得
当(X ′X )
−1
ˆ) X′ (y − Xβ = 0 ˆ X ′ Xβ= X ′y
存在时，即得回归参数的最小二乘估计为：
ˆ β = (X ′ X )-1 X ′y
2. 方差的估计
用估计的回归方程计算因变量的回归值 ˆ ˆ y = Xβ ˆ ˆ 将β = ( X ′X ) −1 X ′y 代入可得 y = X ( X ′X ) −1 X ′y 记H = X ( X ′X ) −1 X ′，称为帽子矩阵,H 是对称幂等阵，即 H′ = H H 2 = X ( X ′X ) −1 X ′X ( X ′X ) −1 X ′ = H 矩阵H的迹为 tr ( H ) = tr ( X ( X ′X ) −1 X ′) = tr ( ( X ′X ) −1 X ′X ) = tr ( I p +1 ) = p + 1
0 0
其中： J t +1
λ1 = ⋱ λt +1
λi > 0 , i = 1,2, ⋯ , t + 1 。 由 CHC ′ = CH 2 C ′ = CHC ′ ⋅ CHC ′ ,
证明： （1）与（2）在前面已说明。下面证明性质（3） 。 由 于
SSE = y ′(1 − H ) y = ( y − X β )′(1 − H )( y − X β )
，
H = X ( X ′X ) −1 X ′ 是一个非负定矩阵，其秩为 X 的秩 t + 1 。所以
必存在正交阵 C 使
J ′ = t +1 CHC 0
4. 用矩阵形式表示，即
E( X Tε ) = 0 ∑ ε i ∑ E (ε i ) ∑ x1iε i = ∑ x1i E (ε i ) = 0 E ⋮ ⋮ ∑ x ε ∑ x E (ε ) pi i pi i
回归模型的要素
回归模型的要素
回归模型是一种统计分析方法，用于建立变量之间的关系模型。
它基于变量之间的线性关系假设，并通过拟合数据来估计模型参数。
回归模型包含以下要素：
1. 因变量（Dependent Variable）：也称为被解释变量或目标变量，它是我们想要预测或解释的变量。
2. 自变量（Independent Variables）：也称为解释变量或预测变量，它们是用来解释或预测因变量的变量。
回归模型可以包含一个或多个自变量。
3. 线性关系（Linear Relationship）：回归模型假设因变量与自变量之间存在线性关系，即自变量的变化对因变量的影响是线性的。
4. 残差（Residuals）：在回归模型中，残差是指观测值与模型预测值之间的差异。
回归模型的目标是通过最小化残差的平方和来找到最佳拟合线。
5. 模型参数（Model Parameters）：回归模型的参数是用来描述自变量与因变量之间关系的数值。
在线性回归模型中，参数表示自变量对因变量的影响程度。
6. 截距（Intercept）：截距是回归模型中的常数项，表示在自变量为零时，因变量的预测值。
它反映了因变量在没有自变量影响时的基准水平。
通过确定回归模型的要素，并进行数据拟合和参数估计，我
们可以使用回归模型来预测或解释因变量的变化。
Ch2古典回归模型
2.1 古典线性回归模型 古典线性回归模型有如下一些基本假定: A2.1.1 解释变量(X)与扰动误差项不相关. 但是,如果X是非随机的,(即其值为固定数 值), 则该假定自动满足. A2.1.2 扰动项的期望或均值为零. 即
E (ui ) 0
A2.1.3 同方差(homoscedastic)假定，即 每个ui的方差为一常数σ2。
估计值的标准差通常用作对估计回归线的拟 合优度（goodness of fit)的简单度量。
2.3 普通最小二乘估计量的性质 高斯－－－马尔柯夫定理：若满足古典 线性回归模型的基本假定，则在所有无 偏估计量中，OLS估计量具有最小方差 性；则OLS估计量是最优线性无偏 （Best Linear Unbiased Estimator, BLUE）估计量。
2 i
)
b2 ~ N ( B2 ,
x
2 2 i
)
2.5 假设检验 T检验 零假设(―Zero‖ null hypothesis),也称之为 稻草人假设（straw man hypothesis). H0:B2=0 H1 B2≠0 利用分布
b2 B2 ~ tn2 2 ˆ / xi
设圆面积为S1，正 方形面积为S2，利 用蒙特卡罗试验确 定S1/S2。
则，πr2/4r2=S1/S2
π＝4＊S1／S2
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其 内部的一个形状不规则的“图形”，如 何求出这个“图形”的面积呢？ Monte Carlo方法是这样一种“随机化” 的方法：向该正方形“随机地”投掷N个 点落于“图形”内，则该“图形”的面 积近似为M/N。
第二章 古典回归模型
03中级计量古典模型
在矩阵形式中，Xi是矩阵X 中的一列。
需要注意的是，在计量经济学中，“线性”指的是估 计参数可以表达为样本观察值和误差项的线性函数，
而并不要求回归方程中变量之间的关系为线性的。
例：CD函数
Y
e0
X
1 1
X
2 2
eu
对该函数两边取对数得到：LnY=0+1LnX1+2LnX2+e
18
b b b ki xi kiui b b ki xi 1 kiui kiui
最小二乘法估计
（一元回归模型）
最小方差（取决于总体方差、样本方差和样本容量） 估计参数bˆ1 的方差为：
Var bˆ ki2E ei2 2 ki2 2 xi2
即： Y*=0+1X1*+2X2*+e
比较： Y
e X X 0 1 2 12
u
4
不同数学函数的性质
模型 线性 双对数 左对数 右对数 倒数
数学方程 Y=β0+β1X lnY=β0+β1lnX lnY=β0+β1X Y=β0+β1lnX Y=β0+β1(1/X)
斜率(dY/dX) β1
14
最小二乘法估计
（一元回归模型）
在应用研究中很少会使用到一元回归模型。 介绍该模型的主要目的是说明OLS的性质、 算法及相应的统计检验方法。
然而，也存在一些特殊的应用，例如：
凯恩斯宏观消费模型Ct=a+bYt+et 恩格尔曲线FSi=a+bLnYi+ei 增长曲线LnYt=a+bTt+et
2.1 古典回归模型
举例说明： 举例说明： 假设一个总体由60户家庭组成，为了研究 家庭消费支出Y与家庭收入X之间的关系，将这 60户家庭按人均月收入划分成组内收入水平大 致相同的10个组。表2-1列出了每组各个家庭 的人均月消费支出和收入情况。
表2-1
人均月收入X 人均月收入X 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
（3）相关程度的度量
以简单线性相关系数为例 X和Y的总体线性相关系数：
ρ=
Cov ( X , Y ) Var ( X )Var (Y )
X和Y的样本线性相关系数：
γ XY =
∑ (X − X )(Y − Y ) ∑(X − X ) ∑ (Y − Y )
i i 2 i i
2
相关系数的特点
⑴相关系数取值在[-1,1] ⑵当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系 ⑶当0<|r|<1时，表明X与Y存在一定的线 性相关关系。若r>0表明为正相关，r<0 表明为负相关。 ⑷当|r|＝1时，表明X与Y完全线性相关。
使用相关系数应注意的问题
X和Y 都是相互对称的随机变量。 线性相关系数只反映变量间的线性相关程度， 不能说明非线性相关关系。 样本相关系数是总体相关系数的样本估计值， 由于抽样波动，样本相关系数是个随机变量， 其统计显著性有待检验。 相关系数只能反映线性相关程度，不能确定 因果关系，不能说明相关关系具体接近哪条 直线
单位：元/月
条件均值 E(Y) 165 177 189 201 213 225 237 249 261 273
消费支出
300 270 240 210 180 150 120 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340
古典线性回归模型(金融计量浙大蒋岳祥)
上课材料之五第四章古典线性回归模型在引论中，我们推出了满足凯恩斯条件的消费函数与收入有关的一个最普通模型：C=α+βX+ε，其中α＞0，0＜β＜1ε是一个随机扰动。
这是一个标准的古典线性回归模型。
假如我们得到如下例1的数据例1 可支配个人收入和个人消费支出年份可支配收入个人消费1970197119721973197419751976197719781979来源：数据来自总统经济报告，美国政府印刷局，华盛顿特区，1984。
（收入和支出全为1972年的十亿美元）一、线性回归模型及其假定一般地，被估计模型具有如下形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,其中y是因变量或称为被解释变量，x是自变量或称为解释变量，i标志n个样本观测值中的一个。
这个形式一般被称作y对x的总体线性回归模型。
在此背景下，y称为被回归量，x称为回归量。
构成古典线性回归模型的一组基本假设为：1. 函数形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,2. 干扰项的零均值：对所有i，有：E[εi]=0。
3. 同方差性：对所有i ，有：Var[εi ]=σ2，且2σ是一个常数。
4. 无自相关：对所有i ≠j ，则Cov[εi ,εj ]=0。
5. 回归量和干扰项的非相关：对所有i 和j 有Cov[x i ,εj ]=0。
6. 正态性：对所有i ，εi 满足正态分布N （0，2σ）。
模型假定的几点说明：1、函数形式及其线性模型的转换 具有一般形式i i i x g y f εβα++=)()(对任何形式的g(x)都符合我们关于线性模型的定义。
[例] 一个常用的函数形式是对数线性模型：βAx y =。
取对数得：x y ln ln βα+=。
（A ln =α） 这被称作不变弹性形式。
在这个方程中，y 对于x 的变化的弹性是βη===xd yd x dx y dy ln ln //， 它不随x 而变化。
与之相反，线性模型的弹性是：x xdx dy x x x y dxdy βαββαη+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛=。
计量经济学 第二章古典回归模型 PPT课件
模型本身的局限性。 模型函数形式的设定误差。 数据的测量与归并误差。 随机因素的影响（如自然灾害等）
第一节
古典回归模型
三、 古典回归模型的基本假定 1．解释变量x为非随机变量。 2．零均值假定：E(ε i ) = 0 3．同方差假定：D(ε i) =σ 2（常数） 4．非自相关假定：Cov(ε i,ε j)=0（i≠j） 5．解释变量与随机误差项不相关假定： Cov(xi,ε i)=0（或E(xiε i)=0）
第一节
古典回归模型
ˆx ) ˆ i yi ( a ˆ b ei yi y i
称ei为残差（或拟合误差），它可以作为随 机误差ε i的估计。
而方程：
ˆx e ˆi ei a ˆ b yi y i i
称为样本回归方程的随机设定形式 。
第一节
古典回归模型
（二）随机误差产生的原因 客观现象本身的随机性。
第一节
表2-1
人均月收入X 180 200 220 240 260 280
古典回归模型
某总体的家庭收支情况
人均月消费支出Y
单位：元/月
条件均值 E(Y) 165 177 189 201 213 225
155 160 165 170 175 165 170 174 180 185 188 179 184 190 194 198 180 193 195 203 208 213 215 202 207 210 216 218 225 210 215 220 230 235 240
2 2 ˆ ˆ ˆ e ( y a b x ) ˆ , b) 由于 Q f (a i 是关 i i
ˆx ) 0 ˆ b (y a ˆx ) x 0 ˆ ( y a b i i i
第一节 古典回归模型(zhao)
yi = a + bxi ˆ ˆ ˆ ˆ 称为样本回归方程， 、分别为总体回归参数 、的 a b ˆ ˆ a b
估计。
因此，回归分析的主要内容是： 根据样本观察值确定样本回归方程； 检验样本回归方程对总体回归方程的近似程 度； 利用样本回归方程进行分析和预测。
二、回归模型的随机设定
1．随机误差项 εi＝y－E(yi)＝y－(a＋bxi) 其中εi是一个不可观测的、可正可负的随机变量， 所以称之为随机误差项。 y＝ a＋bxi＋εi 称为总体回归模型的随机设定形式
根据回归模型中包含的自变量个数的不同回归模型可分为一元回归模型和多元回归模根据因变量与自变量相关形式不同回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型根据回归模型中是否含有虚似变量回可分为普通回归模型和带虚拟变量的回归模型
第一节 古典回归模型
一、回归分析和回归模型
㈠ 相关分析和回归分析 1、相关分析 函数关系是指变量之间存在严格的数量依存关系， 当给定自变量的数值，因变量就有确定的值与其 相对应。 相关关系是指变量之间客观存在的非严格的数 量依存关系，也就是给定自变量的数值，因变 量的数值并不能唯一确定，而是可能有许多个 值与之相对应。
若样本回归方程为 yi = a + b xi ˆ ˆ ˆ
ˆ 则实际值 yi 与估计值 y 的离差用 ei 表示，即：
ˆ ˆ ˆ ei = yi - yi = yi - (a + bxi )
称 ei 为残差（或拟合误差），它可以作为随机 误差εi的估计。
ˆ ˆ ˆ yi = yi + ei = a + b x i + ei
Cov ( xi , ε i ) = 0
即解释变量与随机误差项互不相关，彼此独立的对y产 生影响。 6．无多重共线性假定。 7、εi服从正态分布，即εi ～N(0，σ2 )。
回归模型的演变史
回归模型的演变史回归模型是统计学中的一种重要方法，用于研究变量之间的关系。
它的演变史可以追溯到19世纪初，当时的统计学家们开始尝试用数学方法来描述变量之间的关系。
最早的回归模型是线性回归模型，它最早由法国数学家勒让德提出。
他发现，一些自然现象的变化可以用一条直线来描述，这就是线性回归模型的基本思想。
线性回归模型的公式为y = a + bx，其中y是因变量，x是自变量，a和b是常数。
这个模型可以用来预测因变量y的值，只需要知道自变量x的值即可。
随着统计学的发展，人们发现线性回归模型并不能完全描述变量之间的关系。
于是，他们开始尝试用非线性模型来描述这些关系。
这就是非线性回归模型的诞生。
非线性回归模型的公式为y = f(x)，其中f(x)是一个非线性函数。
这个模型可以用来描述因变量y和自变量x之间的复杂关系。
在20世纪60年代，统计学家们开始尝试用多元回归模型来描述多个自变量和一个因变量之间的关系。
多元回归模型的公式为y = a + b1x1 + b2x2 + ... + bnxn，其中x1、x2、...、xn是自变量，b1、b2、...、bn是常数。
这个模型可以用来预测因变量y的值，只需要知道自变量x1、x2、...、xn的值即可。
随着计算机技术的发展，人们开始尝试用机器学习算法来构建回归模型。
这就是机器学习回归模型的诞生。
机器学习回归模型可以自动学习变量之间的关系，从而预测因变量的值。
它可以处理大量的数据，并且可以自动调整模型参数，以提高预测精度。
回归模型是统计学中的一种重要方法，它可以用来描述变量之间的关系，并且可以用来预测因变量的值。
随着时间的推移，回归模型不断演变，从线性回归模型到非线性回归模型，再到多元回归模型和机器学习回归模型。
这些模型的出现，为我们研究变量之间的关系提供了更多的选择。
计量经济学：第3章 双变量模型：估计与检验
xi2
ˆ
的方差：Var (ˆ )
X
2 i
nxi2
2
ˆ Y ˆ X
ˆ
xi yi xi2
2 的估计量
e2
ˆ 2
i
n2
ˆ：残差的标准差s，又称为回归标准误，
度量了真实值与估计量的离差。
7
3.3 OLS估计量的性质
高斯-马尔可夫定理 （Gauss-Markov theorem） 如果满足古典线性回归模型的基本假 定，则在所有线性无偏估计量中， OLS估计量具有最小方差。即OLS估 计量是最优线性无偏估计量（BLUE） （Best Linear Unbiased Estimator）。
y | Coef. Std. Err. t P>|t| -----------------------------------------------------------
x | -.479529 .1140218 -4.21 0.002 _cons | 2.691124 .1216225 22.13 0.000
Var( X )
0 C ov( X , X ) C ov( X , u)
Var( X )
C ov( X , u)
Var( X )
11
回归估计量的性质 Y X u
Yˆ ˆ ˆX
ˆ C ov( X ,Y ) C ov( X ,[ X u])
Var( X )
Var( X )
Var( X )
0 C ov( X , X ) C ov( X , )
Var( X )
C ov( X , )
Var( X )
10
回归估计量的性质 Y X u
Yˆ ˆ ˆX
ˆ
的方差：Var (ˆ )
X
2 i
nxi2
2
ˆ Y ˆ X
ˆ
xi yi xi2
2 的估计量
e2
ˆ 2
i
n2
ˆ：残差的标准差s，又称为回归标准误，
度量了真实值与估计量的离差。
7
3.3 OLS估计量的性质
高斯-马尔可夫定理 （Gauss-Markov theorem） 如果满足古典线性回归模型的基本假 定，则在所有线性无偏估计量中， OLS估计量具有最小方差。即OLS估 计量是最优线性无偏估计量（BLUE） （Best Linear Unbiased Estimator）。
y | Coef. Std. Err. t P>|t| -----------------------------------------------------------
x | -.479529 .1140218 -4.21 0.002 _cons | 2.691124 .1216225 22.13 0.000
Var( X )
0 C ov( X , X ) C ov( X , u)
Var( X )
C ov( X , u)
Var( X )
11
回归估计量的性质 Y X u
Yˆ ˆ ˆX
ˆ C ov( X ,Y ) C ov( X ,[ X u])
Var( X )
Var( X )
Var( X )
0 C ov( X , X ) C ov( X , )
Var( X )
C ov( X , )
Var( X )
10
回归估计量的性质 Y X u
Yˆ ˆ ˆX
古典概型的常见模型归纳
古典概型的常见模型归纳
关于古典概型的常见模型
古典概型学，即Classical Archetypal Theory，是指一种从古代神话中发掘
出来的人物、物体及情节的模式，它多以人物或行动的例子来描述普遍的情感及心理体验状态。
古典概型的模型是一种通用性模型，它们描述的是共性主题，及人们在极寻对抗状态和复合性状态之间过渡的是非二分法人文实践必经之路。
古典概型的模型共分为女性模型和男性模型，两者机制不同、性格单独，组成
一起，则可以发挥出独特的功能。
女性模型以魔法女神，贤婆，孤儿英雄为主，故事以逆转、变化式走向结局；而男性模型则以英雄，象征性实践行动为主，以直线式主题线索及结局。
古典概型模型也可以用于语言的分析，可以帮助理解作者背后倡导的价值观以
及情绪，它也为人们提供了一种思考古代叙事文本体系及其历史变迁的分析视野。
古典概型模型为我们洞察人类心理及行为奠定了基础，尤其是在探讨文化的多样性，弘扬纯正的传统文化，凝聚文化本源的意义下，古典概型模型更是不可忽视的力量。
2、高级实验设计—古典回归设计(Classic Regessional Design)
如果令A为正规方程组的系数矩阵，即 ：
N x1 A x2 x p x1 x12 x1 x2 x1 x p x2 x1 x2
2 x2
x2 x p
在实际中，与因变量 y 有关系的变量不止一个，而是多 个，它们之间的关系也不一定是线性的。
例 如 ， 作 物 产 量 （ Yield ） 的 高 低 ， 与 播 期 （ Sowing date）、密度（Density）、施肥量（Fertilization rates）、土 壤 肥 力 （ Soil fertility ） 、 以 及 雨 量 （ Rainfall ） 、 光 照 （Sunshine）、气温（Temperature）、病虫害（Damage by pests and diseases）等多种因素有关。
试验号
x1 x11 x21 xN 1
x2 x12 x22 xN 2
xp x1 p x2 p x Np
y y1 y2 yN
1 2 N
试验号
x1 x11 x21 xN 1
x2 x12 x22 xN 2
xp x1 p x2 p x Np
¦ ´ À í¹ Å 1 2 3 4 5 6 ¦À ´ í N0 N1 N2 N3 N4 N5 N 0 75 150 225 300 375 © « Ê ÊÁ ¿ (Ó Ð ú º Ê « m3/hm2£ ¬ Ó Î ª kg/hm2) P2O5 K2O 90 75 90 75 90 75 90 75 90 75 90 75 Ð ú Ó º« Ê 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5
ˆ b0 b1 x1 b2 x2 bp x p y
计量经济学课件教案第四章_从数理统计到古典回归模型
第四章从数理统计到古典回归模型案例4-1：人类天生的统计本能在基因上，我们仍和未开化的土著人很接近。
我们信念的形成，充满着迷信——即使今天也不例外，甚至尤以今天为甚。
某一天，原始部落的某个人摸鼻子后不久，天开始下雨，于是他煞费苦心地发展出一套抓鼻子祈雨的方法。
同样地，我们会把经济的繁荣归功于中央银行降低利率。
或者一家公司的经营成功和新总裁走马上任有关。
类似风马牛不相及的事件屡屡被我们扯上联系，并导致我们在人生的重要抉择关头步步踏错，先机尽失。
我们所受的教育和文化，骗我们去相信科学和逻辑进入现代生活时，迷信就会自然消除。
但是随着我们的智力与日俱增，随机现象却源源不绝而来，我们变得越来越迷信。
哈佛大学心理学家Skinner做过一个关老鼠和鸽子的笼子，笼子有个开关，鸽子可以用喙去操作。
此外，有个电动装置会把食物送进笼子里。
1948年，他以随机的方式送食物给非常饥饿的鸽子。
随后他观察到鸽子表现出相当惊人的行为。
它们根据内在根深蒂固的统计机制，发展出极其复杂、有如祈雨般的舞蹈行为；有只鸽子会对着笼中特定的一角有规律地摇头，另一只鸽子会以逆时钟方向转头。
几乎每一只鸽子都发展出一种与获取食物联结起来的特别仪式，慢慢地固定到它们心里。
有那么一段时间，我迷上了炒股，每天早上搭黄色出租车去证券公司，有一天，不幸却搭上一辆红色出租车，司机还不知道他要去的地方，我试着要他从央行门口往南走，但他顽固地再往南多走了一个街区，我被逼得只好利用后门口进入证券公司，那一天，我操作的投资组合赚了很多钱，那是我年轻时最美好的一天。
隔天，一切如常，我在校门口等那辆出租车，前一天的红色出租车和那个顽固的家伙却不见踪影。
真是不巧，因为我有个无法解释的念头，想要谢谢那天他对我做的好事，还想多给他一点钱。
我好不容易等到一辆红色的出租车，上车后我告诉新司机载我绕到证券公司的后门，也就是前一天下车的那个地方。
进了公司，迎面有个镜子，看着自己，发现仍然装着昨天那件沾了污渍的衬衣。
古典回归模型的检验
一、 关于正态分布检验——JB 检验法 服从正态分布μ:0H 不服从正态分布μ:1HJB 正态性检验是基于偏态和峰态的一种检验方法。
偏态是对分布的对称性而言，因为正态分布是对称的，故偏态为0。
偏态S 定义为3223])([])([μμ--=X E X E S ， 而峰态是对分布的高尖而言，峰态K 定义为224])([)(μμ--=X E X E K 其中μ为均值。
正态分布的峰态为3，大于3的为尖峰态，小于3的为扁峰态。
正态JB 检验为JB ＝]24)3(6[22-+K S n )2(~2χ 当JB ＞2αχ，或者对应的p 值很小时，拒绝0H ；当JB ≤2αχ，或者对应的p 值很大时，接受0H ；一般而言，任何残差不可能服从一个严格的正态分布二、伪回归的消除1. 引进趋势变量如果解释变量和被解释变量均虽随时间而呈同趋势变动,如果不包含时间趋势变量而仅仅是将Y 对X 回归，则结果可能仅仅反映这两个变量的同趋势特征而没有反映它们之间的真实关系，这种回归也称为伪回归。
增加时间趋势变量,随时间增长的效应,就可通过时间趋势变量截获这种同趋势对回归所产生的影响, 此时X 的偏回归系数就度量了X 扣除时间因素后对Y 的影响，所以增加时间趋势变量后就起着避免虚回归的作用。
i i i t X Y εβββ+++=210时间趋势变量还可能包含了模型没有包括的变量对应变量的影响。
如本例中人口的增长对总量消费的影响，在生产函数中，技术进步对产出的影响，由于技术进步不易度量，但技术进步随时间而提高，因而技术进步对产出的影响亦随时间而递增，为简化，常用时间趋势变量截获这一类影响。
2.退化趋势所谓退化趋势即是去掉数据中的时间趋势。
首先，将Y 对时间趋势变量回归i i v t Y 1++=φα其残差为Y 中去掉时间趋势后的部分。
其次，将2X 对时间趋势回归， i i v t X 22++=ξλ残差i v 2即为X 2中排除了时间趋势的影响之后的部分。
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区别：
从研究目的上，相关分析用一定的数量指标（相关系 数）度量变量间相关联系的方向和程度；回归分析却是要 寻求变量间联系的具体数学形式，是要根据解释变量的固 定值去估计和预测被解释变量的平均值。
从对变量的处理上，相关分析对称的对待相互联系的 变量，相关的变量不一定具有因果关系，均视为随机变量； 回归分析是建立在变量因果关系的基础上的，研究解释变 量的变动对被解释变量的具体影响。回归分析必须划定解 释变量和被解释变量，对变量的处理是不对称的。
一、回归分析
㈠相关与回归（统计学知识介绍）
在统计学中考察经济变量间的依存关系，通常分
确定性的函数 Y=f(X)
函数关系
例子，商品销售量X和销售额Y Y=PX
不确定性的随机关系
相关关系
Y=f(X)＋ （为随机变量）
例子，居民消费函数 Y=a+bX+
没有关系
⒈相关关系的表现 对相关关系的描述通常最直观的是座标图
第二章 回归模型
引例
从2004年中国国际旅游交易会上获悉，到2020 年，中国旅游业总收入将达到3000亿美元，相 当于GDP的8％至11％。 ？
是什么决定性因素能使中国旅游业总收入到 2020年达到3000亿美元？ 旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟 如何？
怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数 量关系？
对参数而言是线性的——Y的条件均值是的线 性函数 例子
计量经济学中的线性回归模型主要指参数“线 性”
㈢随机误差项
概念
各个Yi值与条件均值
E(YXi)的偏差i代表排
除在模型以外的所有因
素对Y的影响
Y
性质
i是期望为0，有一定
分布的随机变量
随机误差项的性质决
定着计量经济方法的选
X
择。
关系。若r>0表明为正相关，r<0表明为负相关。 ⑷当|r|＝1时，表明X与Y完全线性相关。
使用相关系数应注意的问题
X和Y 都是相互对称的随机变量。 简单相关系数只反映变量间的线性相关程度，
不能说明非线性相关关系。 样本相关系数是总体相关系数的样本估计值，
由于抽样波动，样本相关系数是个随机变量， 其统计显著性有待检验。 相关系数只能反映线性相关程度，不能确定因 果关系，不能说明相关关系具体接近哪条直线
⒋回归分析
回归的古典意义： 高尔顿在1889年发表的著作《自然的遗传》中，首次
提出了回归的概念 （父母身高与孩子身高的关系）
回归的现代意义： 一个应变量对若干解释变量依存关系的研究
回归分析的基本思想: 在相关分析的基础上,对具有相关关系的两个或多个变
量之间的数量变化的一般关系进行测定,确定一个相应的数 学表达式,以便从一个已知量来推断另一个未知量. 回归的目的（实质）:
二者都只是从数据出发定量分析经济变量间相互联系的手 段，并不能决定经济现象之间的本质联系。本质需要结合 实际经验分析，并要从经济学原理上加以说明。对本来没 有内在联系的经济现象，仅凭数据进行相关分析和回归分 析，可能是一种“伪相关”和“伪回归”。
注意的几个概念
•Y的条件分布
当解释变量X取某固定 Y 值时（条件），Y的值不确 定，Y的不同取值形成一定 的分布，这就是Y 的条件 分布。
⑵个别值表现形式（随机设定形式） 对于一定的Xi，Y的每一个值Yi分布在E(YXi)的周围， 若 是令随每机一变个量值Yi与条件均值E(YXi)的偏差i，显然i
则有 i＝ Yi-E(YXi)＝ Yi- 1-2Xi Yi= 1+2Xi ＋ i
对线性回归模型线性的两种解释
对变量而言是线性的——Y的条件均值是X的 线性函数
注意
实际的经济研究中总体回归函数通常是未知的， 只能根据经济理论和实践经验去设定。“计量” 的目的就是寻找PRF。
总体回归函数中Y和X的关系可以是线性的， 也可以是非线性的。
⒉总体回归函数的表现形式
⑴条件均值表现形式 假如Y的条件均值E(YXi)是解释变量X的线性函数， 可表示为 E(YXi)＝f(Xi)＝1＋2Xi 1 和 2 分别是总体回归函数的总体回归参数参数
二、古典回归模型的基本假定
为什么要作基本假定？ 模型中随机误差项，估计的参数是随机变量， 只有对随机误差的分布作出假定，才能确定所 估计的参数分布性质，也才可能进行假设检验 和区间估计。 只有具备一定的假设条件，所作出的估计才具 有较好的统计性质。
六大假定
⑴解释变量非随机，被解释变量随机 ⑵零均值假定（正态性假定） ⑶同方差假定 ⑷非自相关性假定 ⑸解释变量与随机误差项不相关假定 ⑹无多重共线性假定 补充：延伸到y
第一节 古典回归模型
对经济变量相互关系的计量，最基本的方法 是回归分析。回归分析是计量经济学的主要工具， 也是计量经济学理论和方法的主要内容。只有一 个解释变量的线性回归模型是最简单的，称为简 单线性回归模型或一元线性回归模型。本章从一 元线性回归模型入手，讨论在基本假定满足的条 件下，对经济变量关系计量的基本理论和方法， 这也是我们学习的基础。
y
...
...
.. .
. ..
..
.
x
图2.1
⒉相关关系的类型
•从涉及的变量数量看 简单相关——只有两个变量的相关关系 多重相关（复相关）——三个或三个以上变量的 相关关系。例：某人身高与体重与年龄的关系 •从变量相关关系的表现形式（可根据散点图） 线性相关 非线性相关 •从变量相关关系变化的方向 正相关：收入 对消费量影响 负相关：价格 不相关
• Y的条件期望
对于X的每一个取值， 对Y所形成的分布确定其期 望或均值，称为Y的条件期 望或条件均值E(YXi)
图2.2
xi
⒌回归线与回归函数
回归线：对于每一个X的取值，都有Y的条件 期的望点E的(Y轨X迹i)所与形之成对的应直，线代或表曲这线些，Y的称条为件回期归望线。
回归函数：被解释变量Y的条件期望随解释变 量X的变化而有规律的变化，如果把Y的条件 期望E(YXi)表示为X的某种函数 E(YXi)＝f(Xi) 这个函数称为回归函数。
⒊相关程度的度量
X和Y的总体线性相rY
X和Y的样本线性相关系数：
XY
2 XY
XY
Xi X Yi Y N
Xi X 2 N Yi Y 2 N
相关系数的特点
⑴相关系数取值在[-1,1] ⑵当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系 ⑶当0<|r|<1时，表明X与Y存在一定的线性相关
E Y Xi 0 1Xi
样本回归模型
样本回归函数(直线)
Yi ˆ0 ˆ1Xi ei
残差
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi
根据课本例题p17~20进行说明
回归分析的目的
用样本回归函数去估计总体回归函数 由于样本对总体总是存在代表性误差，SRF总
会过高或过低估计PRF。 要解决的问题 寻求一种规则和方法，使得到的SRF的参数尽 可能接近总体回归函数的参数。这样的规则和 方法有很多，最常用的就是最小二乘法。
复习
理解掌握总体回归模型和样本回归模型的区别； 比较总体回归模型、样本回归模型和总体回归函 数、样本回归函数。
了解随机误差项产生的原因；比较随机误差项和 残差项。
着重理解古典假设。
样本回归函数：
如果把被解释变量Y的 样本条件均值表示为解释变 量X的某种函数，这个函数 称为样本回归函数（SRF）
图2.4
xi
样本回归函数的特点
每次抽样都能获得一个样本，就可以拟合一条 样本回归线，所以样本回归线随抽样波动而变 化，可以有很多条（SRF不唯一）
样本回归函数的函数形式应与设定的总体回归 函数的函数形式一致
可分为：总体回归函数；样本回归函数
㈡总体回归函数（PRF）
⒈总体回归函数的概念 前提：假如已知所研究的经济现象的总体被解 释变量Y和解释变量X的每个观测值，可以计 算出总体被解释变量Y的条件期望E(YXi)，并 将其表现为解释变量X的某种函数 E(YXi)＝f(Xi) 这个函数称为总体回归函数（PRF）
图2.3
产生随机误差的原因
（1）模型中被忽略的因素的影响； （2）变量观测值的观测误差的影响； （3）模型函数形式的设定误差的影响； （4）其它随机因素的影响。 见p20－21 设置随机误差的意义: p21
㈣样本回归函数（SRF）
样本回归线：
对于X的一定值，取得Y Y 的样本观测值，可计算其条 件均值，样本观测值条件均 值的轨迹，称为样本回归线。
ei 在概念上类似总体回归函数中的 i ，可以视 为对 i 的估计
样本回归函数与总体回归函数的关系
Y
Yi
Yˆi
E(YXi)
SRF
i
ei
PRF
图2.5
Xi
X
总体回归模型
Yi E Y Xi i 0 1Xi i
总体回归函数(直线)
系统变 化部分
非系统 变化部分
研究变量相互之间的依存关系时，首先需要分 析它们是否存在相关关系，随后要明确相关关 系的类型，而且还应计量其相关关系的密切程 度，在统计上这种分析研究称为相关分析。相 关分析主要是指用一个指标（相关系数）去表 明现象间相互依存关系的性质和密切程度。
计量经济学关心的是：变量间的因果关系及隐 藏在随机性后面的统计规律性，这靠相关分析 无法完成.相关分析并不能说明变量间相关关 系的具体形式，还不能从一个变量的变化去推 测另一个变量的具体变化。这时就需要运用回 归分析。
由固定的解释变量去估计应变量的平均值。
相关分析与回归分析的联系及区别
联系：二者都是对变量间依存关系的研究，二 者可以互相补充。相关分析可以表明变量间相 关关系的性质和程度，只有当变量间存在一定 程度的相关关系时，进行回归分析去寻求相关 的具体数学形式才有意义。同时，在进行相关 分析时如果要具体确定变量间相关的具体数学 形式，又要依赖回归分析，而且相关分析中相 关系数的确定也是建立在回归分析的基础上。