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第6章 容斥原理及应用6.7 练习题3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。
解：∵100001002=,9261213=,10648223=∴从1到10000，共有100个平方数，21个立方数 又∵409646=，1562556=∴从1到10000，共有4个6次方数，也就是共有4个数既是平方数又是立方数 计算：10000-100-21+4=9883∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个□4、确定多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，的12-组合的个数。
解：设T ：{}d c b a S ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞=,,,*的所有12-组合 1A ：a 的个数大于4的12-组合2A ：b 的个数大于3的12-组合 3A ：c 的个数大于4的12-组合4A ：d 的个数大于5的12-组合要求的是：4321A A A A ⋂⋂⋂ = T )(4321A A A A +++-)(434232413121A A A A A A A A A A A A ⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂- )(4321A A A A ⋂⋂⋂+T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+121412=4551A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 2A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+8148=165 3A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 4A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+6146=8421A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 31A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 41A A ⋂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1141=432A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 42A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 43A A ⋂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1141=4321A A A ⋂⋂=421A A A ⋂⋂=431A A A ⋂⋂=432A A A ⋂⋂=4321A A A A ⋂⋂⋂=0 455-（120+165+120+84）+（20+10+4+20+10+4）=34∴多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，的12-组合的个数是34 □9、确定方程204321=+++x x x x满足611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x的整数解的个数。
6.2.3 组合6.2.4 组合数第1课时组合与组合数公式1．通过实例理解组合的概念．(重点) 2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)1．通过学习组合与组合数的概念，提升数学抽象素养．2．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算素养．“校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一，它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台，同时也给同学们出了一道数学题．比较下列两个问题并发现它们之间的关系．(1)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，且其中一名参加流行组，一名参加民歌组，共有几种不同的报名结果？(2)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，共有几种不同的报名结果？知识点1 组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．1．怎样理解组合，它与排列有何区别？[提示] (1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．1．(多选题)下列选项是组合问题的是( )A ．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法B ．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法C ．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法D ．3本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法 BD [AC 与顺序有关，是排列问题，BD 与顺序无关，是组合问题．] 知识点2 组合数的概念从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．2．如何理解组合与组合数这两个概念？[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a ，b ，c 中每次取出两个元素的组合为ab ，ac ，bc ，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3．2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数为________．3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同． 所以共有甲↔乙，甲↔丙，乙↔丙三种票价．] 知识点3 组合数公式及其性质 (1)公式：C m n＝A mn A m m ＝n ！m ！n －m ！．(2)性质：C m n ＝C n －m n ，C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1． (3)规定：C 0n ＝1．3．(1)C 26＝________；(2)C 1718＝________．(1)15 (2)18 [(1)C 26＝6×52＝15．(2)C 1718＝C 118＝18．]类型1 组合的概念【例1】 (1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：①设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？ ②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？③2022年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？ (2)(对接教材P 22例5)已知A ，B ，C ，D ，E 五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．[解] (1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．判断一个问题是不是组合问题的方法技巧(1)区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题．(2)写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来．[跟进训练]1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．[解] (1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．(2)可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd．类型2 组合数公式的计算与应用【例2】 (1)式子n n ＋1n ＋2…n ＋100100！可表示为( )A ．A 100n ＋100 B ．C 100n ＋100C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100(2)计算：C 5－nn ＋C 9－nn ＋1． (3)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1． (1)D [分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ，故n n ＋1n ＋2…n ＋100100！＝101·n n ＋1n ＋2…n ＋100101！＝101C 101n ＋100．](2)[解] 由组合数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，所以4≤n ≤5，又因为n ∈N *，所以n ＝4或5． 当n ＝4时，C 5－nn ＋C 9－nn ＋1＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，C 5－nn ＋C 9－nn ＋1＝C 05＋C 46＝16． (3)[证明] ∵右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1 ＝m ＋1n ＋1·n ＋1！m ＋1！n －m ！＝n ！m ！n －m ！＝C mn ， 左边＝C mn ，∴左边＝右边， ∴原式成立． [母题探究]1．(变条件，变设问)将例(2)改为若A 3m ＝6C 4m ，求m ． [解] 因为A 3m ＝6C 4m ， 所以m (m －1)(m －2) ＝6·m m －1m －2m －34×3×2×1，所以m －3＝4，m ＝7．2．(变设问)将例(3)改为证明C mn ＝nn －mC mn －1．[证明] 右边＝nn －mC mn －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ，左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立．关于组合数计算公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m＝nn －1n －2…n －m ＋1m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！n －m ！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．[跟进训练]2．(1)计算：C 38－n3n ＋C 3n21＋n ；(2)求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝195中的n 值． [解] (1)由组合数的意义可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤38－n ≤3n ，0≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤38，0≤n ≤212，∴192≤n ≤212． ∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466．(2)原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3，即n －1n －2n －3n －4n －55！＝145·n －3n －4n －53！，化简整理，得n 2－3n －54＝0．解得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．类型3 组合数的两个性质【例3】 C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝__________．(用数字作答)220 [C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 34＋C 24＋…＋C 211＝…＝C 312＝220．] [母题探究]1．将本例改为C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝________．210 [C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210．] 2．将本例改为“C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 021”则结果如何？[解] C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 021＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 32 021－C 44＝C 45＋C 35＋…＋C 32 021－1＝…＝C 42 021＋C 32 021－1＝C 42 022－1．组合数公式C m n＝A mnA m m体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式C mn ＝n ！n －m ！m ！的主要作用有：1计算m ，n 较大时的组合数．2对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．特别地，当m >n2时计算C m n ，用性质C m n ＝C n －mn 转化，减少计算量．[跟进训练]3．(1)化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8m ＝________； (2)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值．(1)0 [原式＝(C 9m ＋C 8m )－C 9m ＋1＝C 9m ＋1－C 9m ＋1＝0．](2)[解] 根据题意，C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，变形可得C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ， 由组合数的性质，可得 C 7n ＋1＝C 8n ＋1，故8＋7＝n ＋1，解得n ＝14．1．若C x7＝C 47，则x 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．3或4D ．7C [由组合数性质知x ＝4或x ＋4＝7，即x ＝4或x ＝3．] 2．计算：C 24＋C 34＝( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．16B [C 24＋C 34＝4×32×1＋4＝6＋4＝10．]3．C 2n ＝10，则n 的值为________． 5 [由题意知n n －12＝10，解得n ＝5或n ＝－4(舍去)．]4．计算C 28＋C 38＋C 29＝________． 120 [C 28＋C 38＋C 29＝C 39＋C 29＝C 310＝10×9×83×2×1＝120．]5．C 17－n2n ＋C 3n n ＋13＝________．31 [由题意及组合数公式知⎩⎪⎨⎪⎧0≤17－n ≤2n ，0≤3n ≤n ＋13，n ∈N *，解得n ＝6．所以原式＝C 1112＋C 1819＝C 112＋C 119＝12＋19＝31．]回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．写出本节课学习的公式．[提示] ①C m n＝A mn A m m ＝n ！m ！n －m ！；②C 0n ＝1；③C m n ＝C n －m n ；④C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1．2．区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？[提示] 关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题． 3．写组合时可采取什么方法？[提示] 可采用“顺序后移法”或“树形图法”．。
6.2.3组合6.2.4组合数第1课时组合及组合数的定义学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．知识点一组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．知识点二排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数C m n与排列数A m n间存在的关系A m n＝C m n A m m1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．(√) 2．“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．(×)3．组合数C35＝A35A33.(√)4．两个组合相同，则其对应的元素一定相同．(√)一、组合概念的理解例1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．反思感悟排列、组合辨析切入点(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．跟踪训练1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．解(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．二、组合的个数问题例2在A，B，C，D四位候选人中．(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数A m n与组合数C m n间的等量关系吗？解(1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有A24＝12(种)选法，所有可能的选举结果：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，BA ，CA ，DA ，CB ，DB ，DC .(2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有C 24＝6(种)选法，所有可能的选举结果：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .(3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应A 22个排列，即A 24＝C 24A 22.类比可知，从n 个不同元素选出m 个元素的排列数A m n 与组合数C m n 间的等量关系为A m n ＝C m n A m m .反思感悟 组合个数的求解策略(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A 开头的组合，再枚举以字母B 开头的组合，直到全部枚举完毕．(2)公式法：利用排列数A m n 与组合数C m n 之间的关系C m n ＝A m n A m m求解． 跟踪训练2 从5个不同元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．解 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：由此可得所有的组合：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共有10种．三、简单的组合问题例3 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．答案 (1)45 (2)21 (3)90解析 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝A 210A 22＝10×92×1＝45. (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝A 26A 22＋A 24A 22＝6×52×1＋4×32×1＝15＋6＝21(种)不同的选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝A 26A 22×A 24A 22＝6×52×1×4×32×1＝90(种)． 反思感悟 利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．跟踪训练3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝A 38A 33＝8×7×63×2×1＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝A 27A 22＝7×62×1＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝A 37A 33＝7×6×53×2×1＝35.1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是( )A ．a ，b ，c —b ，c ，aB ．a ，b ，c —a ，c ，bC ．a ，c ，d —d ，a ，cD ．a ，b ，c —a ，b ，d答案 ABC2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )A ．10B ．5C ．4D ．1答案 B解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．3．在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为( )A．4×13手B．134手C．A1352手D．C1352手答案 D解析本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到C1352手不同的牌．4．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________．(填序号)①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动．答案①②③解析①②为组合问题，③为排列问题．5．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________．答案ab，ac，ad，bc，bd，cd解析可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.1．知识清单：(1)组合与组合数的定义．(2)排列与组合的区别与联系．(3)用列举法写组合．2．方法归纳：枚举法．3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有()A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数C ．由1,2,3组成两位数的不同方法数D ．由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数答案 AB2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A ．A 310种B ．C 310种 C ．C 310A 310种D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人，即C 310. 3．已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24答案 B解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BCD .4．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64答案 C解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C 28＝A 28A 22＝8×72×1＝28(条)公路． 5．某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有( )A ．C 59种B ．A 37种C ．C 37种D ．C 57种答案 C解析 只需再从其他7名队员中选3人，即C 37种选法．6．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同选法．答案 84解析 只需从9名学生中选出3名即可，从而有C 39＝A 39A 33＝9×8×73×2×1＝84(种)选法． 7．若已知集合P ＝{1,2,3,4}，则集合P 的子集中含有2个元素的子集数为________． 答案 6解析 由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 24＝A 24A 22＝4×32×1＝6(个)．8．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是________．(用数字作答) 答案 10解析 由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有C 35＝A 35A 33＝5×4×33×2×1＝10(种)不同方法． 9．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？解 (1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A 210＝90.(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为C 210＝A 210A 22＝45. (3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C 210＝A 210A 22＝45. (4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C 310＝A 310A 33＝120. (5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为A 310＝720.10．平面内有10个点，其中任意3个点不共线．(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解 (1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合数，共有C 210＝A 210A 22＝10×92×1＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列数，共有A 210＝10×9＝90(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C 310＝A 310A 33＝10×9×83×2×1＝120(个)．11．(多选)下列问题是组合问题的有( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B ．平面上有2 021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }中含有三个元素的子集有多少个D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法答案 ABC解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.12．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( )A ．60种B ．36种C ．10种D ．6种答案 D解析 甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有C 24＝A 24A 22＝6(种)不同的选法． 13．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．28答案 B解析 由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 14＝A 28A 22·A 14A 11＝112. 14．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.15．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有________个矩形；(2)从A 点走向B 点最短的走法有________种．答案 (1)210 (2)210解析 (1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形C 27·C 25＝A 27A 22·A 25A 22＝210(个)． (2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610·C 44＝A 610A 66·A 44A 44＝210(种)走法．16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问：全部赛程共需比赛多少场？解 (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C 26＝2×A 26A 22＝30(场)．(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．。
