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第6章 容斥原理及应用6.7 练习题3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。
解：∵100001002=,9261213=,10648223=∴从1到10000，共有100个平方数，21个立方数 又∵409646=，1562556=∴从1到10000，共有4个6次方数，也就是共有4个数既是平方数又是立方数 计算：10000-100-21+4=9883∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个□4、确定多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，的12-组合的个数。
解：设T ：{}d c b a S ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞=,,,*的所有12-组合 1A ：a 的个数大于4的12-组合2A ：b 的个数大于3的12-组合 3A ：c 的个数大于4的12-组合4A ：d 的个数大于5的12-组合要求的是：4321A A A A ⋂⋂⋂ = T )(4321A A A A +++-)(434232413121A A A A A A A A A A A A ⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂- )(4321A A A A ⋂⋂⋂+T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+121412=4551A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 2A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+8148=165 3A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 4A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+6146=8421A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 31A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 41A A ⋂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1141=432A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 42A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 43A A ⋂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1141=4321A A A ⋂⋂=421A A A ⋂⋂=431A A A ⋂⋂=432A A A ⋂⋂=4321A A A A ⋂⋂⋂=0 455-（120+165+120+84）+（20+10+4+20+10+4）=34∴多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，的12-组合的个数是34 □9、确定方程204321=+++x x x x满足611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x的整数解的个数。
6.2.3 组合6.2.4 组合数第1课时组合与组合数公式1．通过实例理解组合的概念．(重点) 2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)1．通过学习组合与组合数的概念，提升数学抽象素养．2．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算素养．“校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一，它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台，同时也给同学们出了一道数学题．比较下列两个问题并发现它们之间的关系．(1)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，且其中一名参加流行组，一名参加民歌组，共有几种不同的报名结果？(2)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，共有几种不同的报名结果？知识点1 组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．1．怎样理解组合，它与排列有何区别？[提示] (1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．1．(多选题)下列选项是组合问题的是( )A ．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法B ．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法C ．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法D ．3本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法 BD [AC 与顺序有关，是排列问题，BD 与顺序无关，是组合问题．] 知识点2 组合数的概念从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．2．如何理解组合与组合数这两个概念？[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a ，b ，c 中每次取出两个元素的组合为ab ，ac ，bc ，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3．2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数为________．3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同． 所以共有甲↔乙，甲↔丙，乙↔丙三种票价．] 知识点3 组合数公式及其性质 (1)公式：C m n＝A mn A m m ＝n ！m ！n －m ！．(2)性质：C m n ＝C n －m n ，C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1． (3)规定：C 0n ＝1．3．(1)C 26＝________；(2)C 1718＝________．(1)15 (2)18 [(1)C 26＝6×52＝15．(2)C 1718＝C 118＝18．]类型1 组合的概念【例1】 (1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：①设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？ ②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？③2022年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？ (2)(对接教材P 22例5)已知A ，B ，C ，D ，E 五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．[解] (1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．判断一个问题是不是组合问题的方法技巧(1)区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题．(2)写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来．[跟进训练]1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．[解] (1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．(2)可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd．类型2 组合数公式的计算与应用【例2】 (1)式子n n ＋1n ＋2…n ＋100100！可表示为( )A ．A 100n ＋100 B ．C 100n ＋100C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100(2)计算：C 5－nn ＋C 9－nn ＋1． (3)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1． (1)D [分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ，故n n ＋1n ＋2…n ＋100100！＝101·n n ＋1n ＋2…n ＋100101！＝101C 101n ＋100．](2)[解] 由组合数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，所以4≤n ≤5，又因为n ∈N *，所以n ＝4或5． 当n ＝4时，C 5－nn ＋C 9－nn ＋1＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，C 5－nn ＋C 9－nn ＋1＝C 05＋C 46＝16． (3)[证明] ∵右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1 ＝m ＋1n ＋1·n ＋1！m ＋1！n －m ！＝n ！m ！n －m ！＝C mn ， 左边＝C mn ，∴左边＝右边， ∴原式成立． [母题探究]1．(变条件，变设问)将例(2)改为若A 3m ＝6C 4m ，求m ． [解] 因为A 3m ＝6C 4m ， 所以m (m －1)(m －2) ＝6·m m －1m －2m －34×3×2×1，所以m －3＝4，m ＝7．2．(变设问)将例(3)改为证明C mn ＝nn －mC mn －1．[证明] 右边＝nn －mC mn －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ，左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立．关于组合数计算公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m＝nn －1n －2…n －m ＋1m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！n －m ！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．[跟进训练]2．(1)计算：C 38－n3n ＋C 3n21＋n ；(2)求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝195中的n 值． [解] (1)由组合数的意义可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤38－n ≤3n ，0≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤38，0≤n ≤212，∴192≤n ≤212． ∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466．(2)原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3，即n －1n －2n －3n －4n －55！＝145·n －3n －4n －53！，化简整理，得n 2－3n －54＝0．解得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．类型3 组合数的两个性质【例3】 C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝__________．(用数字作答)220 [C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 34＋C 24＋…＋C 211＝…＝C 312＝220．] [母题探究]1．将本例改为C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝________．210 [C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210．] 2．将本例改为“C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 021”则结果如何？[解] C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 021＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 32 021－C 44＝C 45＋C 35＋…＋C 32 021－1＝…＝C 42 021＋C 32 021－1＝C 42 022－1．组合数公式C m n＝A mnA m m体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式C mn ＝n ！n －m ！m ！的主要作用有：1计算m ，n 较大时的组合数．2对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．特别地，当m >n2时计算C m n ，用性质C m n ＝C n －mn 转化，减少计算量．[跟进训练]3．(1)化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8m ＝________； (2)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值．(1)0 [原式＝(C 9m ＋C 8m )－C 9m ＋1＝C 9m ＋1－C 9m ＋1＝0．](2)[解] 根据题意，C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，变形可得C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ， 由组合数的性质，可得 C 7n ＋1＝C 8n ＋1，故8＋7＝n ＋1，解得n ＝14．1．若C x7＝C 47，则x 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．3或4D ．7C [由组合数性质知x ＝4或x ＋4＝7，即x ＝4或x ＝3．] 2．计算：C 24＋C 34＝( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．16B [C 24＋C 34＝4×32×1＋4＝6＋4＝10．]3．C 2n ＝10，则n 的值为________． 5 [由题意知n n －12＝10，解得n ＝5或n ＝－4(舍去)．]4．计算C 28＋C 38＋C 29＝________． 120 [C 28＋C 38＋C 29＝C 39＋C 29＝C 310＝10×9×83×2×1＝120．]5．C 17－n2n ＋C 3n n ＋13＝________．31 [由题意及组合数公式知⎩⎪⎨⎪⎧0≤17－n ≤2n ，0≤3n ≤n ＋13，n ∈N *，解得n ＝6．所以原式＝C 1112＋C 1819＝C 112＋C 119＝12＋19＝31．]回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．写出本节课学习的公式．[提示] ①C m n＝A mn A m m ＝n ！m ！n －m ！；②C 0n ＝1；③C m n ＝C n －m n ；④C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1．2．区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？[提示] 关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题． 3．写组合时可采取什么方法？[提示] 可采用“顺序后移法”或“树形图法”．。
