运筹学黄皮版习题答案(第一章)

运筹学1至6章习题参考答案第1章 线性规划1.1 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.2 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：【解设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。

已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。

1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。

（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。

第一章 线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。

Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。

（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)第一章：线性规划一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数可以是（）A. 最大化B. 最小化C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中，目标函数可以是最大化也可以是最小化，关键在于问题的实际背景。

2. 在线性规划问题中，约束条件通常表示为（）A. 等式B. 不等式C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中的约束条件通常包括等式和不等式两种形式。

二、填空题1. 线性规划问题的基本假设是______。

答案：线性性2. 线性规划问题中，若决策变量个数和约束条件个数相等，则该问题称为______。

答案：标准型线性规划问题三、计算题1. 求解以下线性规划问题：Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 83x + 4y ≤ 12x, y ≥ 0答案：最优解为 x = 4, y = 2，最大值为 Z = 14。

解析：画出约束条件的图形，找到可行域，再求目标函数的最大值。

具体步骤如下：1) 将约束条件化为等式，画出直线；2) 找到可行域的顶点；3) 将顶点代入目标函数，求解最大值。

第二章：非线性规划一、选择题1. 以下哪个方法适用于求解非线性规划问题（）A. 单纯形法B. 拉格朗日乘数法C. 柯西-拉格朗日乘数法D. A和B都对答案：B解析：非线性规划问题通常采用拉格朗日乘数法求解，单纯形法适用于线性规划问题。

2. 非线性规划问题中，以下哪个条件不是K-T条件的必要条件（）A. 梯度条件B. 正则性条件C. 互补松弛条件D. 目标函数为凸函数答案：D解析：K-T条件包括梯度条件、正则性条件和互补松弛条件，与目标函数是否为凸函数无关。

二、填空题1. 非线性规划问题中，若目标函数和约束条件都是凸函数，则该问题称为______。

答案：凸非线性规划问题2. 非线性规划问题中，K-T条件是求解______的必要条件。

章节习题详解第1章导论1．区别决策中的定性分析和定量分析，试各举出两例。

答：决策中的定性分析是决策人员根据自己的主观经验和感受到的感觉或知识对决策问题作出的分析和决策，在许多情况下这种做法是合适的。

例1 在评定“三好生”的条件中，评价一个学生是否热爱中国共产党，尊敬师长，团结同学，热爱劳动等属于定性分析，它依赖于评价者对被评价者的感知、喜好而定。

在“德”、“智”、“体”这三个条件中规定“德”占30%、“智”占40%、“体”占30%，这种比例是决策者们通过协商和主观意识得出的，它也属于定性分析的范畴。

决策中的定量分析是借助于某些正规的计量方法去作出决策的方法，它主要依赖于决策者从客观实际获得的数据和招待所采用的数学方法。

例2 在普通高等学校录取新生时，通常按该生的入学考试成绩是否够某档分数线而定，这就是一种典型的定量分析方法。

另外，在评价一个学生某一学期的学习属于“优秀”、“良好”、“一般”、“差”中的哪一类时，往往根据该生的各科成绩的总和属于哪一个档次，或者将各科成绩加权平均后视其平均值属于哪一个档次而定。

这也是一种典型的定量分析方法。

2．构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？答：运用运筹学进行决策过程的几个步骤是：1．观察待决策问题所处的环境；2．分析和定义待决策的问题；3．拟定模型；4．选择输入资料；5．提出解并验证它的合理性；6．实施最优解。

3．简述运筹学的优点与不足之处。

答：运用运筹学处理决策问题有以下优点：（1）快速显示对有关问题寻求可行解时所需的数据方面的差距；（2）由于运筹学处理决策问题时一般先考察某种情况，然后评价由结局变化所产生的结果，所以不会造成各种损失和过大的费用；（3）使我们在众多方案中选择最优方案；（4）可以在建模后利用计算机求解；（5）通过处理那些构思得很好的问题，运筹学的运用就可以使管理部门腾出时间去处理那些构思得不好的问题，而这些问题常常要依赖于足够的主观经验才能解决的；（6）某些复杂的运筹学问题，可以通过计算机及其软件予以解决。

运筹学题库第⼀章1 求解下述线性规划问题≥=-≥++-=0,1524..43min21212121x x x x x x t s x x z2 设某种动物每天⾄少需要700g 蛋⽩质、30g 矿物质、100mg 维⽣素，现有五种饲料可供选择，每种饲料每公⽄营养成分的含量及单价如表所⽰。

3某医院昼夜24h 各时段内需要的护⼠数量如下：2：00—6：00 10⼈，6：00—10：00 15⼈，10：00—14：00 25⼈，14：00—18：00 20⼈，18：00—22：00 18⼈，22：00—2：00 12⼈。

护⼠分别于2：00，6：00，10：00，14：00，18：00，22：00分6批上班，并连续⼯作8⼩时。

试建⽴模型，要求既满⾜值班需要，⼜使护⼠⼈数最少。

4 某⼈有⼀笔30万元的资⾦，在今后三年内有以下投资项⽬：（1）三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可以起⽤于下⼀年投资；（2）只允许第⼀年年初投⼊，第⼆年年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；（3）于三年内第⼆年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类投资限额20万元。

（4）于三年内的第三年初允许投资，⼀年回收，可获利40%，投资限额为10万元。

试为该⼈确定⼀个使第三年末本利和为最⼤的投资计划。

⽹上下载部分：某航空公司为满⾜客运量⽇益增长的需要，正考虑购置⼀批新的远程、中程、短程的喷⽓式客机。

每架远程的喷⽓式客机价格670万元，每架中程的喷⽓式客机价格500万元，每架短程的喷⽓式客机价格350万元。

该公司现有资⾦15000万元可以⽤于购买飞机。

根据估计年净利润每架远程客机42万元，每架中程客机30万元，每架短程客机23万元。

设该公司现有熟练驾驶员可⽤来配备30架新的飞机。

维修设备⾜以维修新增加40架短程的喷⽓式客机，每架中程客机的维修量相当于4/3架短程客机，每架远程客机的维修量相当于5/3架短程客机。

第一章习题解答1.1 用图解法求解下列线性规划问题。

并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

+=32min 21x x Z +=23max 21x x Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+0,422664.)1(212121x x x x x x st ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+0,124322.)2(212121x x x x x x st ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=85105120106.max )3(212121x x x x st x x Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+−≥−+=0,23222.65max )4(21212121x x x x x x st x x Z 第一章习题解答无穷多最优解，,422664.32min )1(21212121⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=x x x x x x st x x Z 是一个最优解3,31,121===Z x x 该问题无解⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0,124322.23max )2(21212121x x x x x x st x x Z 第一章习题解答85105120106.max )3(212121⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=x x x x st x x Z 唯最优解16,6,1021===Z x x 唯一最优解，该问题有无界解⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+−≥−+=0,23222.65max )4(21212121x x x x x x st x x Z 第一章习题解答1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。

1422245243min )1(432143214321⎪⎪⎧≤+−+−=−+−+−+−=x x x x x x x x x x x x Z .,0,,23243214321⎪⎪⎩⎨≥≥−++−无约束x x x x x x x x st ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤−+−=++−+−=无约束321321321321,0,0624322min )2(x x x x x x x x x st x x x Z 第一章习题解答.2321422245243min )1(4321432143214321⎪⎪⎪⎨⎧≥−++−≤+−+−=−+−+−+−=x x x x x x x x x x x x st x x x x Z ,0,,4321⎪⎩≥无约束x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=−+−++−=+−+−+=−+−+−+−+−=0,,,,,232142222455243max 64241321642413215424132142413214241321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x x Z 第一章习题解答⎪⎪⎨⎧≥≤≤−+−=++−+−=无约束321321321321,0,0624322min)2(x x x x x x x x x st x x x Z ⎩⎪⎩⎪⎨⎧≥=++−+=−++−+−+=0,,,,6243322max 43231214323121323121323121x x x x x x x x x x x x x x st x x x x Z第一章习题解答634334max )3(3212121⎪⎪⎧=−+=++=x x x x x st x x Z 517,0,1,59,524,,1,0424321421=====⎪⎪⎩⎨=≥=++Z x x x x j x x x x j 该题是唯一最优解：）（"第一章习题解答⎪⎧≤++−≤++++=151565935121510max 321321x x x x x x x x x Z 该题无可行解。

第1章训练题一．基本技能训练1．用图解法求解下列线性规划问题（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+≤++=0,41501053max 212212121x x x x x x x x x z （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,23364min 21212121x x x x x x x x z （3）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--≥-+=0,25.0122max 21212121x x x x x x x x z （4）⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥-+=0,33022max 21212121x x x x x x x x z1．用图解法求解下列线性规划问题(1). 唯一最优解14,)4,2(**==z X T； (2). 唯一最优解9,)21,23(**==z X T ； (3). 无界解； (4). 无可行解；2．用单纯形法求解下列线性规划问题（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,1823122453max 21212121x x x x x x x x z （2） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≤+-≤+++-=0,,201026032max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≤++-≤--++++=0,,,1032425823320446581026max 43214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤+-≤++-++=3,2,11722044132246max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z （5）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤++≤++++=0,,1234166482212322532max 3213231321321321x x x x x x x x x x x x x x x x z （6）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+++≤+++≤++++++=0,,,9005387800584548024821004016090max 43214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z（7）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≥+=0,4.126.18.018001000min 212121121x x x x x x x x x z （8）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0,,62382432min 32121321321x x x x x x x x x x x z （9）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥++≤++-≤++++=0,,52151565935121510max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z （10）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++=++-++=0,,,1022052153232max 432143213213214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （11）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥+++-=0,,0222622max 3213231321321x x x x x x x x x x x x x z （12） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≤++++=无约束，3213213213213210,101632182635max x x x x x x x x x x x x x x x z （13）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+-=0,5623min 21212121x x x x x x x x z （14）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤++=0,1262385max 21212121x x x x x x x x z（15）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++-+-=0,,1043223232min 321321321321x x x x x x x x x x x x z （16）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤-+≤+++-=0,,9362122max 32121321321321x x x x x x x x x x x x x x z（17）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤+-+≤-++-+--=0,,,41232642532min 4321431432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （18）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤+-≥+--≥---=0,16482623323min 212121212121x x x x x x x x x x x x z （19）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤+≤+++=0,,132173132343max 3213213231321x x x x x x x x x x x x x z （20）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≥+-≥++-+=0,,452233min 32132121321321x x x x x x x x x x x x x x z（21）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥++≤++++=0,,1 29002500350038007080 6560 670075008400min 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z（22）⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-+-=--++++=0,,,376284327432max 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x z(22). 唯一最优解5117,)57,0,0,534(**==z X T ； （23）⎪⎩⎪⎨⎧≥=+++=+++-+-=0,,,32274326325min 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x z(23). 唯一最优解3,)1,1,0,0(**-==z X T；（24）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-=++-+=0,,10527532max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(24). 唯一最优解7102,)0,74,745(**==z X T ；（25）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,7742min 21212121x x x x x x x x z （26） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+++≥-+-≥++++++=0,,,1562522730542423min 43214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z(25). 1331,)1310,1321(**==z X T ； (26). 9,)0,0,0,3(**==z X T（27）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+++≤+++++=0,,,1222282652max 432143214314321x x x x x x x x x x x x x x x z (27). 唯一最优解44,)4,4,0,0(**==z X T；（28）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++0,,4201013240085103001028321321321321321x x x x x x x x x x x x(28). 唯一最优解152029,)322,5116,15338(**==z X T ； （29）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,30222010127max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(29). 唯一最优解220,)10,10,0(**==z X T；（30）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,30222061615max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(30). 唯一最优解240,)0,15,0(**==z X T；（31）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+--≤-+-+=无正负号限制32121321321321,,63445322max x x x x x x x x x x x x x x z(31). 唯一最优解211,)49,411,49(**=--=z X T ； （32）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≤++++=0,,824322323max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(32). 唯一最优解4,)0,2,0(**==z X T；（33）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无正负号限制321321321321,0,06422min x x x x x x x x x x x x z(33). 唯一最优解12,)1,0,5(**-=--=z X T；（34）⎪⎩⎪⎨⎧≥=-=++0,,423232121321x x x x x x x x(34). 唯一最优解5,)1,0,2(**==z X T；（35）⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≥+-+=0,2122min 21212121x x x x x x x x z(35). 无可行解；（36）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤++≤++++=30,52,40233421422253max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(36). 唯一最优解4123,)0,415,4(**==z X T ； （37）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--=++++=0,,40653025325max 321321321321x x x x x x x x x x x x z(37). 唯一最优解150,)0,0,30(**==z X T ；（38）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+++≤++++++=0,,,2023220322432max 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x z(38). 唯一最优解28,)4,4,0,0(**==z X T；（39）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++++=0,,10536423425min 321321321321x x x x x x x x x x x x z(39). 唯一最优解3/22,)0,2,3/2(**==z X T；（40）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≤+=--+=0,,28242max 321323232132x x x x x x x x x x x x z (40). 唯一最优解8,)2,4,10(**==z X T； 2．用单纯形法求解线性规划问题 (1). 唯一最优解36,)6,2(**==z X T； (2). 唯一最优解25,)0,5,15(**==z X T； (3). 无界解；(4). 有无穷多最优解，其一47,)7,25.2,5.5(**==z X T； (5). 唯一最优解5.16,)2,5.1,1(**==z X T； (6). 唯一最优解18000,)140,0,25,0(**==z X T； (7). 唯一最优解1640,)8.0,1(**==z X T；(8). 有无穷多最优解，其一7,)8.1,8.0(**==z X T； (9). 无可行解；(10). 唯一最优解15,)0,5.2,5.2,5.2(**==z X T； (11). 无界解；(12). 唯一最优解46,)4,0,14(**=-=z X T； (13). 唯一最优解9,)3,0(**-==z X T； (14). 唯一最优解24,)3,0(**==z X T； (15). 唯一最优解5.5,)0,3,5.0(**-==z X T； (16). 有无穷多最优解，其一12,)6,0,6(**==z X T； (17). 唯一最优解368,)4,0,38,0(**-==z X T ； (18). 无界解；(19). 唯一最优解41,)2,11,0(**==z X T； (20). 无可行解；(21). 有无穷多最优解，其一321700,)31,32,0(**==z X T 。