中职数学《指数函数及其性质》

§4.2.1指数函数及其图像与性质授课人：教学目标：（1）知识与能力：1.了解指数函数模型的实际背景；理解指数函数的概念，能根据定义判断一个函数是否为指数函数；2.理解指数函数的图像和性质，能根据图像归纳出指数函数的性质；3.掌握指数函数性质的简单应用。

（2）过程与方法：1.通过探讨指数函数的概念，感知数学概念的严谨性和科学性，培养学生观察、分析、抽象、概括能力；2.引导学生进一步体会数形结合的思想，培养学生的识图能力和分析、归纳、总结的技巧；3.通过学生自己画图提炼函数性质，培养了学生的动手能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力和简约直观的思维方法和良好的思维品质。

（3）情感态度与价值观：1.通过实例引入，让学生深切感受到生活中处处有数学，激发学习的兴趣和动力；2.学习过程中经历了通过图像探究函数性质的过程，使学生体会到认识事物的特殊性与一般性之间的关系；3.通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神；4.通过作图，教师有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法，培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能、主人翁意识和集体主义精神。

教学重点与难点：重点：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质；难点：（1）指数函数的概念中对底数a的规定；（2）用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质。

教学方法：发现法、探究法、讨论法．教学过程：故事引入：一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。

杰米说：“真的？！你说话算数？”合同开始生效了，杰米欣喜若狂。

第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；......到了第十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多一点。

指数函数教课方案课题指数函数科目数学教课对象高一学生供给者课时 1 课时单位一、教材内容剖析本节课是中等职业学校基础模块数学上册第四章第二节《指数函数》，是在学生系统学习了函数的基本看法、表示方法、单一性、奇偶性及一次、二次函数图象，掌握了实指数幂及其运算的基础上引入的。

指数函数是高中阶段接触的第一类重要的基本初等函数，本节课将从一尺之棰，日取其半和木马病毒的自我复制的实质问题引入，引出指数函数的看法，接着研究指数函数的图像和性质，进而深入学生对指数函数的理解，并且认识较为全面的研究函数的方法，为此后在研究对数函数幂函数等其余函数打下基础。

此外，我们平时生活中的好多方面都波及到了指数函数的知识，比如细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，因此学习这一节拥有很大的现实价值。

二、教课目的（知识，技术，感情态度、价值观）1.知识和技术：⑴理解指数函数的看法⑵掌握指数函数的图像、有关性质及简单的运算及应用2.过程与方法：⑴经过察看函数图像概括总结出指数函数的性质⑵指引学生进一步领会数形联合的思想，培育学生的识图能力和剖析、概括、总结的技巧3.感情、态度、价值观⑴经过实例引入，让学生深切感觉到生活中到处有数学，激发学习的兴趣和动力⑵学习过程中经历了经过图像研究函数性质的过程，使学生领会到认识事物的特别性与一般性之间的关系⑶经过主动研究、合作学习、相互沟通，感觉研究的乐趣与成功的愉悦，领会数学的理性与谨慎，养成脚踏实地的科学态度和契而不舍的研究精神三、教课重点与难点1.教课重点：理解指数函数的定义,掌握图象和性质.2.教课难点：对底数的分类，如何由图象、分析式概括指数函数的性质四、学习者特色剖析1.智力要素 :⑴知识基础：系统学习了函数的基本看法、表示方法、单一性、奇偶性及一次、二次函数图象及性质，掌握了实指数幂及其运算⑵认知能力：学生对函数有了必定的理解认识，已初步掌握用函数的看法来剖析问题和解决问题⑶认知构造变量：指数函数是高中阶段接触的第一类重要的基本初等函数，本节课主假如指引学生经过察看函数图像来总结概括出函数的性质，内容新鲜且抽象，对识图能力和剖析、概括、总结的能力要求较高，学习起来会感觉困难。

指数函数的图象及其性质一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。

根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。

指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

二、学生学习况情分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。

教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。

本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

三、设计思想本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，指数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

四、教学目标1．通过具体实例，直观了解指数函数模型所刻画的数量关系，初步理解指数函数的概念，体会指数函数是一类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并了解指数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象探索研究指数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。

五、教学重点与难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

六、教学过程：教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）创设情景、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。

语文版中职数学基础模块上册《指数函数的图象与性质》课件 (一)《指数函数的图象与性质》是中职数学基础模块上册中一个重要的知识点，也是一项相对比较难理解的内容。

为了帮助学生更好地理解这个知识点，语文版中职数学基础模块上册推出了相应的课件。

本文将从以下几个方面进行分析和评价。

一、课件的结构和内容分析这个课件包括三个部分：概念部分、图象部分和性质部分。

在概念部分，详细讲解了指数函数的概念、指数函数的基本形式、指数函数图象的特点等内容。

在图象部分，详细解释了指数函数图象在不同的参数下的变化和形态。

在性质部分，阐述了指数函数的单调性、奇偶性、周期性等方面的性质。

每部分都被清晰地区分为相应的子部分，具有清晰明了的条理分明、结构合理等特点。

二、课件的优势1.结构清晰，内容详尽这个课件的结构清晰，内容详尽，在每个部分都详细讲解了相关的知识点，为学生消除了很多疑惑，更加方便了学习者理解掌握知识点。

2.多样的图像展示课件中不仅包括传统的黑白文本解释，更贴近生活、图像形象展示，能直观地呈现函数图象，使学生更加清晰地理解函数的变化和性质。

3.适合多维度的学生群体这个课件内容和讲解方法既适用于初级学习者，也适用于高级学习者。

对于对中职数学不熟悉的初中生，这个课件也适用于他们，对于已经掌握一定数学基础的学生，这个课件同样可以满足他们的需要。

三、课件的观感这个课件主要采用黑白色调，视觉效果清晰、干净简洁，没有过多的花哨元素。

同时也没有过多的文字堆积在同一张PPT上，给人一种条理清晰的感觉。

四、课件的不足这个课件可以通过增加一些互动环节，更好地评估学生对知识点的掌握程度，并让学生在学习中主动思考，得到更深入的学习效果。

综上所述，语文版中职数学基础模块上册《指数函数的图象与性质》这个课件具有结构清晰、内容详尽、图像直观等优点，并且适用于多种学生群体。

未来可以增加一些评估机制和互动环节，使学生在学习过程中得到更好的体验和学习效果。

教案：中等职业学校数学必修上册指数函数教学目标：1. 理解指数函数的定义和性质。

2. 学会运用指数函数解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

教学内容：第一章：指数函数的定义与性质1.1 指数函数的定义1.2 指数函数的性质第二章：指数函数的应用2.1 运用指数函数解决实际问题2.2 指数函数在其他领域的应用第三章：指数函数与对数函数的关系3.1 指数函数与对数函数的互化3.2 指数函数与对数函数的图像关系第四章：指数函数的图像与性质4.1 指数函数的图像特点4.2 指数函数的性质探究第五章：运用指数函数解决实际问题5.1 人口增长模型5.2 放射性物质的衰变教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾初中阶段学习的指数函数知识。

2. 提问：指数函数在生活中有哪些应用？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解指数函数的定义与性质。

2. 通过例题讲解指数函数的应用。

3. 引导学生思考指数函数与对数函数的关系。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成课后习题。

2. 教师精选几道习题进行讲解，解答学生的疑问。

四、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生运用指数函数解决实际问题。

2. 分组讨论，分享各组解决问题的方法与思路。

五、总结与反思（5分钟）1. 教师总结本节课的重点知识点。

2. 学生分享学习收获，提出疑问。

教学评价：1. 课后习题完成情况。

2. 实际问题解决能力的提升。

3. 学生对指数函数知识的掌握程度。

教案：中等职业学校数学必修上册指数函数（续）教学内容：第六章：指数函数在经济领域的应用6.1 投资收益模型6.2 贷款还款模型第七章：指数函数在自然界的应用7.1 生物种群增长模型7.2 放射性物质的衰变规律第八章：指数函数与其他函数的关系8.1 指数函数与线性函数的关系8.2 指数函数与二次函数的关系第九章：指数函数在科技领域的应用9.1 计算机科学中的指数函数9.2 网络技术中的指数函数第十章：综合应用与复习10.1 综合应用题解析10.2 复习指数函数的知识点教学过程：六、导入（5分钟）1. 提问：上节课我们学习了指数函数的应用，谁能举例说明一下？2. 引导学生思考指数函数在其他领域的应用。

2017年全国中等职业院校数学课程“创新杯”教师信息化教学说课大赛教学设计《指数函数及其图象与性质》目录课程信息 (1)设计思想 (1)教学内容分析 (1)学情分析 (1)教学目标 (2)教学重难点 (2)教法与学法 (2)教学环境设计及资源准备 (2)教学过程 (3)教学评价及分析 (11)教学反思 (11)《指数函数及其图像与性质》教学设计教学云平台—雨课堂运用平台，学生课前的作业、课中的参与、课后的拓展练习均有记录可查，课堂评价更为全面视频—微课视频—情景案例用于课上学习、课后复习，内容精要，目标明确，易于理解，为学生自主学习提供有力支架将实际不能实现的问题，通过视频动画进行呈现，直观形象，极大的激发了学生的学习兴趣PPT让教学内容变得形象直观，图文并茂，并可以在学习平台上进行资源共享，帮助学生课前预习与课后复习数学软件—Geogebra通过学生亲自动手操作，自我探索函数图像的规律与特征，亲身感受知识的形成过程1.上传课前任务单到班级雨课堂：2.制作微课“指数函数图像的分类”:3.检查学生提交的课前任务单，并上传答案. 1.阅读课本，完成课前任务单：2.找各组组长抽取作图纸，在纸上用“描点法”作出纸内所写函数的图像：3.在班级云平台上查看答案，并进行纠正. 单”不仅能巩固上节课的内容，也为这节课的学习奠定基础函数图像的制作，一方面巩固另一方面为本节课的学习提供资源根据作业调整上课的内容及方法课中课题引入师：常生活和专业中的一些应用生：概念探究<折纸游戏>：对折次数1234 (x)纸的层数 2 4 8 16 …y对折次数123 (x)纸的面积1/2 1/4 1/8 …y（假设纸的面积为1)<概念形成>：思考：一次函数？二次函数？…幂函数？生：折纸游戏.师：播放视频，提出疑问“给我一张足够大的纸，我可以登上月球”.生：思考讨论.师：引导建立对折次数与纸的层数、对折次数与纸的面积之间的函数关系式.生：观察规律，得出关系式.生：讨论2xy=与(1/2)xy=结构上的共同点.师：提示引导.生：在教师引导下得出答案.师：引导学生将底数用常数a来代替.生：思考是否为学过的函数，如一次函数，二次函数，幂函数等.师：给出指数函数的概念，强调底数的取值范围及定义域.生：理解构建.通过游戏和视频设立疑问，激论，增强学习的趣味性探讨y特征，有利于降低学习概念的难度与学过的函数进行对比，发现问题，从而意识到定义指数函数的必要性．形成规范性的概念()xy=常数x ay=2.指数函数的底数 <引出问题>:思考：为什么在指数函数中规定底数的取值范围是0a >且1a ≠． <分析问题>:<解决问题>:归纳总结：指数函数的底数0a >且1a ≠，即(0,1)(1,)+∞U .3.自我检测 <在线测试>：(题目推送到雨课堂，限时3分钟)方法提炼：指数函数形式：系数为 ，指数为 ，底数为数，且 .生：思考讨论，参考课前任务单中的第一题,填写课件中划线部分. 师：归纳总结，强调底数的取值范围.生：理解记忆.师：引导学生将底数的取值范围写成区间形式.生：用区间表示底数取值范围.师：将测试题推送至雨课堂，要求学生在规定的时间内完成. 生：进入班级课堂,完成测试题. 师：通过后台查看学生完成情况，并根据完成情况，进行针对性讲解. 生：理解纠错.师：提炼总结解题步骤.生：理解明确.底数取值范围是教学中的难点，在课前任务单中提前将所涉及到的知识析，通过填空的形式，完成每种情形的讨论，降度将底数取值范围写成区间形式为后面分类讨论做铺垫通过雨课堂可以及时的了解学况两道测试题，都是简单的概念辨析题，一方面检测学生对解，另一方面增加学生学习的成就感<释疑>：折纸送你上月球.师：生：图像探究【指数函数的图像】1.特殊指数函数图像<大家来找茬>：<规范作图 >：生：明确课前所画函数图像为指数函数的图像.师：展示具有典型错误的学生课前作图作业，让学生找出其中的问题.生：观察发言.师：对于图像是否与x轴有交点，可以让学生用手机作图，将手机图像放大、移动，观察对比.生：结合手机作图，纠正图像错误.师：展示六个函数中，完成最好的作业.生：结合手机作图，对比感受,规范作图.让学生自己去发现错误，一方面巩固“描点法”，另一方面强调作业的规范性很多学生所画图像与交，让学生将手大、移动来观察点展业，提高学生的良性竞争，结图，明确课前作业中六个指数像2.指数函数一般图像<学生探索>：<形成图形>：师：引导学生观察这六个函数图像的走势.生：观察图像，发现问题.师：提示学生底数的取值范围被1分隔成了两个区间(0,1)和(1,)+∞，而底数1/2，1/3，1/4刚好属于(0,1)，而底数2，3，4刚好属于(1,)+∞.质疑“是否只要底数在区间(0,1)图像就有相同规律，底数在(1,)+∞图像就会有相同规律.”生：根据教师提示，在手机作图软件中不断地改变底数，验证是否只要底数在(0,1)图像就在x轴上方呈下降趋势，只要底数在(1,)+∞图像的在x轴上方呈上升趋...师：播放微课.生：根据手机作图和微课中的动态演示，明确图像的分类.师：让学生观结合作图软件所画图形和微课，小组合作在大白纸上在不同的坐标系中分别画出当底数大于0小于1，与底数大于1时的函数大致图像.然后将大白纸贴于教室内指定的区域.将底数1/3数在被两个不同的区间内讨论，让学生自然的意识到需要分类讨论由般，由学生自主探究在微课中利用Geogebra演示不断地改变底数，函数图形象生动小组合作画草图，增强学生的团队协作能力和合作交流的意识画在不同的坐生：业师：及学生的参与度生：师：生：性质探究【指数函数的性质】<图形特征>：<函数特征>：<在线测试>：(题目推送到雨课堂，限时3分钟)师：观察图像，归纳两种情况的图像特征生：师：并进行补充说明生：出函数的性质师：学生在规定的时间内完成生：师：并根据完成情况，生：归纳升华【归纳小结】1.知识归纳2.思想方法归纳【布置作业】阅读：温习教材4.2.1中的知识内容和例题；书写:教材习题4.2.1.学以致用：上网查阅课前引例中的问题，用指数函数来解释引例，将作业上传到班级平台.生：识点师：生：生：学习过程师：生：图像—观察归纳特征—数学语言描述性质师：生：。

中职数学《指数函数图像与性质》教学策略探究摘要：指数函数是中职阶段学习的第一个重要的基本初等函数，是函数中的重要内容。

指数函数的图像与性质是本节课的重难点，可利用EXCEL给学生提供研究指数函数图像的平台，帮助学生理解指数函数图像，突破教学重难点，改变中职生学习数学的方式，丰富课堂内容。

关键词：指数函数图像与性质；探究平台；学习方式函数是中职数学中抽象性较强的内容，指数函数是中职生在中职阶段接触的第一个函数，他们虽在初中学习了一次函数与二次函数，但对于数学基础及学习能力较弱的中职生来说，学习本节内容还是有较大的困难的。

随着教学的不断改革，教师在课堂上经常会用现代教育技术辅助教学，Word办公软件、几何画板、Flash等，正在积极的影响着课堂教学效果和教学质量。

能否借助现代教育技术让学生在学习指数函数的过程中，准确做出函数图像，并观察图像掌握函数性质，帮助中职生了解中职阶段要如何学习函数，掌握需要学习的函数内容。

一、《指数函数图像与性质》在中职数学教学中的地位指数函数是中职学习的第一个函数，教师要教授的不仅仅是指数函数的相关知识，还要教会学生如何研究指数函数，从而获得指数函数的性质。

指数函数是学生在学习了函数的定义、单调性与奇偶性之后，学习的第一个重要的基本初等函数，是中职函数中重要的内容。

指数函数的学习有助于加深学生对函数的理解，有利于学生后续的函数学习、学习研究函数方法的掌握。

中等职业学校数学教学大纲中，指数函数教学要求学生理解指数函数的概念、图像及性质[1]。

在数学学习中，理解无疑是最重要的，不能理解概念就谈不上掌握和应用。

为了避免机械记忆，学生学习指数函数，不能被迫的接受，还是应该给学生提供一个研究指数函数的平台，让学生自主探索、动手实践。

二、中职学校《指数函数图像与性质》的教与学教学是教师的教与学生的学的共同活动，任何一堂课都离不开教师的教，学生的学。

要想学生能在课堂上理解指数函数的概念、图像及性质，就需要找到学生学习指数函数理解上的困难。

第3课时指数函数及其性质（3）导入新课思路1 •我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①尸覚②y=3x+,,③尸汐的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y=护与y=a x+m（a>O,meR）有着怎样的关系呢?在理论上，含有指数函数的复合两数是否具有奇偶性呢?这是我们本堂课研究的内容.教师点出课题:指数函数及其性质（3）•思路2•我们在第一章中，已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点, 我们刚刚学习的指数函数严格地证明了指数*1数的单调性,便于我们在解题时应川这些性质, 在实际牛活中，往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题也是我们木堂课要解决的问题——指数函数及其性质（3）.推进新课新知探究提出问题（1）指数函数冇哪些性质？（2）利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？⑶対复合函数，如何证明函数的单调性？⑷如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生冋忆，教师提问，学生冋答，积极交流,及时评价学生，学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容.讨论结果：（1）指数函数的图象和性质一般地，指数函数尸『在底数a>l及OVaVl这两利悄况下的图象和性质如下表所示：（2）依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：①取值.即设X.、x2是该区间内的任意两个值且x,<x2.②作差变形.即求f（X2）—f（X|）,通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.③定号.根据给定的区间和X2—X］的符号确定f（X2）—f（X】）的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论.④判断.根据单调性定义作出结论.(3)対于复合函数y=f(g(x)河以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数尸f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y=f(g(x))是减函数；乂简称为口诀“同增异减(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考察式子f(x)与f(・x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性.应用示例思路1例1在同一坐标系下作出下列函数的图彖，并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系. ⑴尸2山与y=2x+2;(2)y=2vl与y=2v2.活动：教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生,列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点咸用计算机作图. 解：(1)列出函数数据表作出图象如图2-1-2-12.X ・3 ・2 ・1 0 1 2 32X0.125 0.25 0.5 1 2 4 82^+1 0.25 0.5 1 2 4 8 162丫+2 ().5 1 2 4 8 16 32O x图2-1-2-12比较町知函数y=2x+,. y=2品与『=2%的图彖的关系为：将指数函数y=F的图彖向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数尸2也的图象.X -3 ・2 ・1 0 1 2 32X0.125 0.25 0.5 1 2 4 81 0.625 0.125 0.25 0.5 12 40.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2比较对知函数y=2“i、y=2x'2与y=2x的图彖的关系为：将指数函数y=»的图象向右平行移动1个单位氏度，就得到函数y=2小的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度, 就得到函数y=2“的图彖.点评：类似地我们得到尸F与y=a x+m(a>0,a#l,meR)之间的关系：y=a x+m(a>0,meR)的图象可以由y=a x的图象变化而來.当m>0吋,y=F的图象向左移动m个单位得到y=a x+m的图象；当m<0时，尸护的图象向右移动向|个单位得到y=a x+ni的图象. 上述规律也简称为“左加右减二变式训练为了得到函数y=2心・1的图象，只需把函数尸2"的图象()A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度答案：B点评：对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出._2X +b例2已知定义域为R的两数f(x)=—.—是奇函数.2 +a(1)求a,b的值;(2)若对任意的伍R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范I札活动：学生审题，考虑解题思路.求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f(O)=O,f(-l)=-f(l), (2)在(1)的基础上求出f(x),转化为关于k的不等式，利用恒成立问题再转化.(1)解：因为f(x)是奇函数，. 一1所以f(0)=0,即----- =0 => b= 1,a+ 21-2V所以f(x)=7^;1-2 1-；乂由f(l)=f(・l)知---------- = ----- =>a=2・d+4 a+11-2V 1 1(2)解法一：由(1)知f(x)= --------------- =——+ ---------- ，易知f(x)在(・oo,+oo)上为减函数.2 + 2x+l 2 2X +1又因f(x)是奇函数,从而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)为减函数,山上式推得：t2-2t>k-2t2,BP对一切tWR 有3t2-2t-k>0,从而判别式A=4+12k<0,解法二由⑴知2时即(2，"+1 + 2)(1 - 2/2_2/) + (2f2-2f + 2)(1 - 2,2-k ) <0. 整理得2宀 fl,因底数2>1,故3t 2-2t-k>0,上式对一•切tGR 均成立，从而判别式△=4+12k<0,即k<--.3点评：记住下列函数的增减性，对解题是十分有用的，若f(x)为增(减)函数,则丄为减(增)函 数.思路2例1£丫 ci设 a>0,f(x)=— + —在 R 上满足 f(-x)=f(x).a e x ⑴求a 的值；(2) 证明f(x)在(0,+co)上是增函数.活动：学牛先思考或讨论，如果有困难，教师提示,引导.(1) 求单独一个字母的值，一般是转化为方程，利用f(-x)=f(x)nJ*建立方程. (2) 证明增减性一般用定义法，回忆定义法证明增减性的步骤，规范书写的格式. 1e' a⑴解：依题意，对一切xeR 冇f(-x)=f(x)成立，即 —— +ac x =— + —.ae x a e x所以(a-—)(e x ——)=0对一切xER 成立.由此可得a -丄=0,即a 2=l.a e x ci乂因为a>0,所以a=L(2)证明:设 0<Xi<x 2, ill xi>0,x 2>0,x 2-xi>0,W X2+xi>0,八一">0,1 —e X2+x, <0,所以f(X1)-f(x 2)<0,即f(x)在(0,+oo)上是增函数.点评：在已知等式f(・x)=f(x)成立的条件下，对应系数相等，求出a,也可用特殊值求解.证明函数 的单调性,严格按定义写出步骤，判断过程尽量明显直观.例 2 已知函数 f(x)=3x ,K x=a+2 nj-,f(x)=18,g(x)=3ar -4 v 的定义域为[0,1]. ⑴求g(x)的解析式；⑵求g(x)的单调区间，确定其增减性并试用定义证明； ⑶求g(x)的值域.又rh 题设条件得2“*]<0,W 宀—…)(—□(严-I)-(1 —严2)解：(1)因为f(x)=3x,K x=a+2 时f(x)=18,所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2.所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4\W 以g(x)=2x-4\(2)因为函数g(x)的定义域为［0,1］，令t=2：因为xW ［0,1］时，函数t=2x在区间［0,1］上单调递增，所以蛙［1,2］，则g(t)=t-r=-(t2-t)=-(t--)2+--,te ［1,2］.2 4因为函数t=V在区间［0,1］上单调递增，函数g(t)=t-t2在炖［1,2］上单调递减, 所以函数g(x)在区间［0,1］上单调递减.证明:设X］和X2是区间［0,1］上任意两个值，且X产X2,g(x2)-g(X］)=2A2 - 4勺-2X} + 4X,= (2。