2017年高考物理新课标一轮复习习题：第5章 第1讲 万有引力定律及天体运动

第5单元 万有引力定律第一部分 知识复习1．万有引力定律（1）内容：任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。

（2）公式：F =G221rm m ，其中G =6.67×10-11N ﹒m 2/kg 2（3）万有引力定律适用于一切物体，而公式在中学阶段只能直接用于质点间的万有引力的计算（匀质球体或匀质球壳亦可）。

（4）万有引力是一种场力在空间只要存在有质量的物体，它就会在周围空间建立起引力场。

任何一个有质量的物体进入这个引力场，就会受到万有引力的作用，这是由于进入引力场的物体也在周围空间形成自己的引力场，并通过引力场与其它物体相互作用。

2．地球上物体重力变化的原因 （1）自转的影响当物体位于纬度φ处时万有引力为F =G2RMm向心力为F n =mω2R cos φ 重力mg =φcos 222n n FF F F -+当物体位于赤道时，φ=0°，mg =F －F n =G 2RMm －mω2R cos φ当物体位于两极时，φ=90°，mg =F =G2RMm可见，物体的重力产生于地球对物体的引力，但在一般情况下，重力不等于万有引力，方向不指向地心，由于地球自转的影响，从赤道到两极，物体的重力随纬度的增大而增大。

（2）地面到地心的距离R 和地球密度ρ的影响由于地球是椭球体，质量分布也不均匀，根据F =G 2RMm =ρπGRm 34可知，随着R和ρ的变化，重力也会发生变化。

说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力变化为千分之五；地面到地心的距离R 每增加一千米，重力减少不到万分之三。

所以，在近似计算中，mg ≈F 。

3．万有引力定律的应用 （1）重力加速度g =G2)(h R M +（2）行星绕恒星、卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律可知 G2rMm =ma n ，又a n =r Tr rv222)2(πω==，则v =rGM ，3rGM =ω，T =GMr32π（3）中心天体的质量M 和密度ρ 由G2rMm =m r T2)2(π可得M =2324GTr π，ρ=2333334TGR rRM ππ=当r =R ，即近地卫星绕中心天体运行时，ρ23GTπ=。

2017年高考物理专题练习 万有引力定律（讲）1．（多选）【2016·海南卷】通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。

假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。

这两个物理量可以是（ ） A ．卫星的速度和角速度 B ．卫星的质量和轨道半径 C ．卫星的质量和角速度 D ．卫星的运行周期和轨道半径2．【2015·海南·6】若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为27倍，地球的半径为R ，由此可知，该行星的半径为（ ） A ．1R 2B ．7R 2C ．2R D3．设地球自转周期为T ，质量为M 。

引力常量为G 。

假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R 。

同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为（ ） A ．2223GMT GMT 4πR -B ．2223GMT GMT 4πR +C ．2232GMT 4πR GMT -D ．2232GMT 4πR GMT +4．据报道，2016年2月18日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自2013年12月14日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作最长记录。

假如月球车在月球表面以初速度0v 竖直上抛出一个小球，经时间t 后小球回到出发点，已知月球的半径为R ，引力常量为G ，下列说法正确的是（ ） A ．月球表面的重力加速度为0v tB ．月球的质量为20v R GtCD5．（多选）如图所示，ABCD 为菱形的四个顶点，O 为其中心，AC 两点各固定有一个质量为M 的球体，球心分别与AC 两点重合，将一个质量为m 的小球从B 点由静止释放，只考虑M 对m 的引力作用，以下说法正确的有（ ）A ．m 将在BD 之间往复运动B ．从B 到O 的过程当中，做匀加速运动C ．从B 到O 的过程当中，左侧的M 对m 的引力越来越小D ．m 在整个运动过程中有三个位置所受合力的功率为零6．2015年9月14日，美国的LIGO 探测设施接收到一个来自GW150914的引力波信号，此信号是由两个黑洞的合并过程产生的。

一、行星的运动 二、万有引力定律 三、引力常量的测定【例题】应用万有引力定律和向心力的公式证明：对于所有在圆周轨道上运动的地球卫星，其周期的二次方与轨道半径的三次方之比为一常量，即T 2/R 3＝常量．【证明】设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，轨道半径为R ，周期为T ．因为卫星绕地球作圆周运动的向心力为万有引力，故F ＝G 2R Mm ＝m R ω2＝m R 22T 4π． ∴ 32R T ＝GM 42π＝常量． 可见，这一常量只与中心天体(地球)的质量有关．也适用于绕某一中心天体运动的天体系统．●课堂针对训练●(1)关于丹麦天文学家第谷，对行星的位置进行观测所记录的数据，下列说法正确的是：A ．这些数据在测量记录时误差相当大；B ．这些数据说明太阳绕地球运动；C ．这些数据与以行星绕太阳做匀速圆周运动为模型得到的结果相吻合；D ．这些数据与以行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果相吻合．(2)关于行星绕太阳运动的正确说法是：A ．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动；B ．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处；C ．离太阳越近的行星运动周期越大；D ．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．(3)如图6－1所示，r 远大于两球的半径，但两球半径不能忽略，而球的质量均匀分布、大小分别为m 1与m 2，则两球间的万有引力大小为：A ．Gm 1m 2/r 2；B ．Gm 1m 2/r 12；C ．Gm 1m 2/(r 1＋r 2)2；D ．Gm 1m 2/(r ＋r 1＋r 2)2．(4)地球对月球具有相当大的万有引力，为什么它们不靠在一起，其原因是：A ．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相平衡了；B ．地球对月球的引力还不算大；C ．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系里其他星球对月球也有万有引力，这些力的合力等于零；D ．万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球绕地球运行．(5)关于引力常量G ，以下说法正确的是：A ．在国际单位制中，G 的单位是N ·kg 2/m 2；B ．在国际单位制中，G 的数值等于两个质量各为1kg 的物体，相距1m 时的相互吸引力；C ．在不同星球上，G 的数值不一样；D ．在不同的单位制中，G 的数值不一样．(6)以下说法正确的是：A ．质量为m 的物体在地球上任何地方其重力均相等；B ．把质量为m 的物体从地面移到高空上，其重力变小了；C ．同一物体在赤道处的重力比在两极处重力大；D ．同一物体在任何地方其质量是相同的．(7)有一个半径比地球大两倍、质量是地球质量36倍的行星．同一物体在它表面的重力是在地球表面的重力的多少倍？(8)人造地球卫星运动时，其轨道半径为月球轨道半径的31，则此卫星运动的周期大约是多少天？(9)物体在地面上重力为G 0，它在高出地面0.5R(R 为地球半径)处的重力是多少？(10)已知地面的重力加速度是g ，距地面高等于地球半径处的重力加速度是多少？(11)假设火星和地球都是球体，火星的质量为M 火，地球的质量为M 地，且M 火/M 地＝p ，火星的半径和地球的半径之比是R 火/R 地＝q ，那么在它们表面的重力加速度之比g 火/g 地等于多少？★滚动训练★(12)小球从高为h 处落到一个倾角为45°的斜面上，如图6－2所示，设小球与斜面碰撞后速率不变，沿水平方向向左运动，求小球第二次与斜面碰撞时离第一次碰撞处的距离是多少？(斜面足够长，不计空气阻力)(13)一辆汽车匀速率通过一座圆形拱桥后，接着又以相同的速率通过圆弧形凹地，设两圆形半径相等，汽车通过桥顶A 时，桥面受到的压力F NA 为车重的一半，汽车在圆弧形凹地最低点B 时，对地面的压力为F NB ，求f NA 与F NB 之比． 四、万有引力定律在天文学上的应用【例题】月亮绕地球转动的周期为T ，轨道半径为r ，则由此可得地球质量表达式为________(引力常量为G)．若地球半径为R ，则其密度表达式是________．【分析与解答】月亮绕地球转可看成作匀速圆周运动，且F 向＝F 引，∴ G 2r m M 月地＝m 月ω2r ＝m 月(T 2π)2r 故M 地＝232GT r 4π． 而 ρ＝体V M ＝232GT r 4π/(34πR 3)＝323RGT r 3π． ●课堂针对训练●(1)若已知行星绕太阳公转的半径为r ，公转的周期为T ，万有引力恒量为G ，则由此可求出：A ．某行星的质量；B ．太阳的质量；C ．某行星的密度；D ．太阳的密度．(2)若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比M 日/M 地为：A ．R 3t 2/r 3T 2；B ．R 3T 2/r 3t 2；C ．R 3t 2/r 2T 3；D ．R 3T 3/r 3t 3．(3)设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T 的平方与其运行轨道半径R 的三次方之比为常数，即T 2/R 3＝k ，那么k 的大小决定于：A ．只与行星质量有关；B ．只与恒星质量有关；C ．与行星及恒星的质量都有关；D ．与恒星的质量及行星的速率有关．(4)银河系中有两颗行星环绕某恒星运转，从天文望远镜中观察到它们的运转周期的比为27∶1，则它们的轨道半径的比为：A ．3∶1；B ．9∶1；C ．27∶1；D ．1∶9．(5)下列说法正确的是：A ．海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的；B ．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的；C ．天王星的运行轨道偏离根据万有引力计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其它行星的引力作用；D ．以上均不正确．(6)行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星运转周期是T ，试证明：ρT 2是一个常量，即对任何行星都相同．(7)已知某行星绕太阳运动的轨道半径为r ，周期为T ，太阳的半径是R ，则太阳的平均密度是多少？(万有引力恒量为G)(8)已知月球的半径是r ，月球表面的重力加速度为g 月，万有引力恒量为G ，若忽略月球的自转，试求出月球的平均密度表达式．(9)一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道，宇航员着手进行预定的考察工作．宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？说明理由及推导过程，并说明推导过程中各量的物理意义．(10)太阳光经500s 到达地球，已知地球的半径是6.4×106m ，试估算太阳的质量与地球的质量的比值(光速c ＝3×108m/s ，结果取1位有效数字)．★滚动训练★(11)从离地面高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为2s ．在A 点正上方且离地面高为2H 的B 点，以相同方向平抛另一物体，其水平射程为s ，两物体在空中的运动轨道在同一竖直平面内，且都从同一个屏M 的顶端擦过，求屏M 的高度．(12)如图6－3所示，半径为R 的光滑圆环上套有一质量为m 的小环，当圆环以角速度ω绕着环心的竖直轴旋转时，求小环偏离圆环最低点的高度．五、人造卫星 宇宙速度【例1】一人造地球卫星距地球表面的高度是地球半径的15倍．试估算此卫星的线速度(已知地球半径R ＝6400km)．【分析与解答】人造地球卫星绕地球做圆周运动时，满足的关系式为 G 2)R 16(M m ＝m R 16v 2① 式中：m 为卫星质量；M 为地球质量；16R 为卫星的轨道半径．由于地球质量M 未知，所以应设法用其他已知常数代换，在地球表面mg ＝G 2RMm ② 由①、②两式消去GM ，解得v ＝1610468916R 6⨯⨯=..g ＝2.0×103(m/s)． 注意：有些基本常知，尽管题目没有明显给出，必要时可以直接应用，如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力，地球自转周期T ＝24小时，公转周期T ＝365天，月球绕地球运动的周期约为30天等．【例2】人造卫星环绕地球运转的速度v ＝r /R 20g ，其中g 为地面处的重力加速度，R 0为地球的半径，r 为卫星离地球中心的距离，下面哪些说法正确？A ．题目中卫星速度表达式是错误的；B ．由速度表达式知，卫星离地面越高，其速度也越大；C ．由速度表达式知，卫星环绕速度与轨道半径平方根成反比；D ．从速度表达式可知，把卫星发射到越远的地方越容易．【分析和解答】卫星绕地球转动时，F 引＝F 心所以，G 2r M m ＝m r v 2(其中m 是卫星质量，M 是地球的质量)，故v ＝r GM ， 而在地球表面：mg ＝G 20R M m (其中m 为地面上物体的质量)故有GM ＝g R 02，所以v ＝r /R 20g ， 由此可知A 是错的，C 为正确的．又因为v 是环绕速度，故离地球越远处卫星环绕速度越小，但发射卫星到越远，克服地球引力作功越多，所需初速越大，故D 错(注意区分：发射初速度与环绕速度)．●课堂针对训练●(1)已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M 地(引力常量G 为已知)：A ．月球绕地球运动的周期T 1及月球到地球中心的距离R 1；B ．地球绕太阳运行的周期T 2及地球到太阳中心的距离R 2；C ．人造卫星在地面附近的运行速率v 3和运行周期T 3；D ．地球绕太阳运行的速度v 4及地球到太阳中心的距离R 4．(2)关于第一宇宙速度，下面说法中错误的是：A ．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度；B ．它是人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度；C ．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度；D ．它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度．(3)下列说法正确的是：A ．地球同步卫星和地球自转同步，因此同步卫星的高度和速度是一定的；B ．地球同步卫星的角速度虽被确定，但高度和速度可以选择，高度增加，速度增大，高度降低，速度减小；C ．地球同步卫星只能定点在赤道上空，相对地面静止不动；D ．以上均不正确．(4)人造地球卫星中的物体处于失重状态是指物体：A ．不受地球引力作用；B ．受到的合力为零；C ．对支持它的物体没有压力作用；D ．不受地球引力，也不受卫星对它的引力．(5)实际中人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度一定________第一宇宙速度．(填“大于”或“小于”或“等于”)(6)两个行星的质量分别为m 和M ，绕太阳运行的轨道半径分别是r 和R ，则：①它们与太阳之间的万有引力之比是多少？②它们公转的周期之比是多少？(7)两颗人造地球卫星，其轨道半径之比为R 1∶R 2＝4∶1，求这两颗卫星的：①线速度之比v 1∶v 2＝？ ②角速度之比ω1∶ω2＝？③周期之比T 1∶T 2？ ④向心加速度之比a 1∶a 2＝？(8)为转播电视节目，发射地球的同步卫星，它在赤道上空某高度处随地球同步运转，地球半径为6400km ，地球表面重力加速度g 取10m/s 2，求它的高度和线速度大小．(9)如图6－4所示，两颗靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不致于因万有引力作用而吸引在一起．已知双星的质量分别为m 1和m 2，相距为L ，万有引力常数为G ．求：①双星转动中心位置O 与m 1的距离； ②转动周期．(10)一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星，其轨道半径为r ＝3R(R 为地球半径)，已知地球表面重力加速度为g ，则该卫星的运行周期是多大？若卫星的运动方向与地球自转方向相同，已知地球自转角速度为w 0，某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，再经过多少时间它又一次出现在该建筑物正上方？★滚动训练★(11)如图6－5所示，长为L 的轻杆，两端各连接一个质量都是m 的小球，使它们以轻杆中点为轴在竖直平面内做匀速圆周运动，周期为T ＝2πgL ．求两小球通过竖直位置时杆分别对上下两球的作用力，并说明是拉力还是支持力．●补充训练●(1)如图6－6中的圆a 、b 、c ，其圆心均在地球的自转轴线上，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言：A ．卫星的轨道只可能为a ；B ．卫星的轨道可能为b ；C ．卫星的轨道不可能为c ；D ．同步卫星的轨道一定为b ．(2)人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是：A ．半径越大，环绕速度越小，周期越小；B ．半径越大，环绕速度越小，周期越大；C ．所有卫星的环绕速度均是相同的，与半径无关；D ．所有卫星角速度都相同，与半径无关．(3)人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R ，线速度为v ，周期为T ，若要使卫星的周期变为2T ，可能的办法是： A ．R 不变，使线速度变为v /2； B ．v 不变，使轨道半径变为2R ；C ．轨道半径变为43R ；D ．无法实现．(4)“黑洞”是近代引力理论所预言的宇宙中一种特殊天体，在“黑洞”引力作用范围内，任何物体都不能脱离它的束缚，甚至连光也不能射出．研究认为，在宇宙中存在的黑洞可能是由于超中子星发生塌缩而形成的．2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，被命名为：MCG6－30－15．假设银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动，则根据下列哪一组数据可以估算出该黑洞的质量：A ．太阳系质量和运动速度；B ．太阳系绕黑洞公转的周期和到“MCG6－30－15”的距离；C ．太阳系质量和到“MCG6－30－15”的距离；D ．太阳系运行速度和“MCG6－30－15”的半径．(5)物体在月球表面上的重力加速度为地球表面上的1/6，这说明：A ．地球的直径是月球直径的6倍；B ．月球的质量是地球质量的1/6；C ．月球吸引地球的引力是地球吸引月球引力的1/6；D ．物体在月球表面的重力是在地球表面的1/6．(6)三颗人造地球卫星A 、B 、C 绕地球作匀速圆周运动，如图6－7所示，已知m A ＝m B ＜m C 知，则三个卫星：A ．线速度关系：v A ＞vB ＝vC ； B ．周期关系：T A ＜T B ＝T C ；C ．向心力大小：F A ＝F B ＜F C ；D ．半径与周期关系：2C 3C 2B 3B 2A 3A T R T R T R ==． (7)宇航员在一行星上以速度为v 0竖直上抛一个物体经t 秒钟后落回手中，已知该行星半径为R ，要使物体不再落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少应是多少？(8)地球绕太阳公转的周期为T 1，轨道半径为R 1，月球绕地球公转的周期为T 2，轨道半径为R 2，则太阳的质量是地球的质量的多少倍？(9)有m 1和m 2两颗人造卫星，已知m 1＝m 2，如果m 1和m 2在同一轨道上运行，则它们的线速度之比v 1∶v 2＝？；如果m 1的运行轨道半径是m 2的运行轨道半径的2倍，则它们的速度之比v 1∶v 2＝？(10)若取地球的第一宇宙速度为8km/s ，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，这行星的第一宇宙速度约为多少？(11)某一高处的物体的重力是在地球表面上的重力的一半，则其距地心距离是地球半径R 的多少倍？(12)北京时间2002年12月30日零时40分，“神舟”四号无人飞船在酒泉卫星发射中心由长征二号运载火箭发射升空，飞船按计划进入预定轨道，用时t 秒绕地球运行了n 圈后，安全返回地面，这标志着我国航天技术达到新的水平．已知地球半径为R ，地面重力加速度为g ，试求飞船绕地球飞行时离地面的高度．(13)已知地球半径约6.4×106m ，又知月球绕地球的运动可近似看作做圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为多少？(结果保留一位有效数字)(14)在火箭发射卫星的开始阶段，火箭与卫星一起竖直上升的运动可看作匀加速直线运动，加速度大小为a ＝5m/s 2，卫星封闭舱内用弹簧秤挂着一个质量m ＝9kg 的物体，当卫星竖直上升到某高度时，弹簧秤的示数为85N ，求此时卫星距地面的高度是多少？(地球半径R ＝6.4×103km ，g ＝10m/s 2)(15)宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ．若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G ．求该星球的质量M ．(16)用打点计时器测量重力加速度，如图6－8所示，A 、B 、C 为纸带上的3个点，测AB 间距离为0.980cm ，BC 间距离为1.372cm ，已知地球半径为6.37×106m ，试计算地球的第一宇宙速度为多少？(电源频率为50Hz)(17)2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内．若把甘肃嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α＝40°，已知地球半径R 、地球自转周期T 、地球表面重力加速度g (视为常量)和微波信号传播速度为c ．试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间(要求用题给的已知量的符号表示)．参考答案一、行星的运动 二、万有引力定律 三、引力常量的测定：(1)D(2)D(3)D(4)D(5)BD(6)BD(7)4(8)5.8天(9)94G(10)41g (11)p /q 2(12)42h(13)1∶3． 四、万有引力定律在天文学上的应用(1)B(2)A(3)B(4)B(5)AC(6)略(7)323RGT r 3π(8)rG 43π月g (9)3π/GT 2(10)3×105(11)6H/7(12)R －g /ω2．五、人造卫星、宇亩速度：(1)AC(2)AD(3)AC(4)C(5)小于(6)①22Mr R m ；②33R r (7)1∶2，1∶8，8∶1，1∶16(8)3.56×104km ，3.1×103m/s(9)①)(L 212m m m +；②)(G L 2213m m +π(10)6π；03R 3/6ωπ-g (11)21mg ，支持力；23mg ，拉力． 本章补充训练： (1)B(2)B(3)C(4)B(5)D(6)ABD(7)t /R 20v (8)21322231T R T R (9)1∶1，1∶2(10)16km/s(11)2(12)222n 4t R π2g －R(13)4×108m(14)3.2×103km(15)22Gt 3L R 32(16)7.9km/s ．(17)C cos )4T R (R 2R )4T R (312223222αππg g 22-+．。

双星和多星问题1．考点及要求：(1)万有引力定律的应用(Ⅱ)；(2)力的合成与分解(Ⅱ)；(3)匀速圆周运动的向心力(Ⅱ).2.方法与技巧：(1)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(2)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r，以此列向心力方程进行求解．1．(双星问题)(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( ) A ．这两颗恒星的质量必定相等 B ．这两颗恒星的质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1D ．其中必有一颗恒星的质量为4π2R 1＋R 23GT 22．(多星问题)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图1所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，下列说法正确的是( )图1A ．每颗星做圆周运动的角速度为3GmL 3B ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D ．若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍3．(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图2所示，四颗质量均为m 的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a ，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗都在同一平面内绕正方形对角线的交点O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，则( )图2A ．每颗星做圆周运动的线速度大小为 ＋24GmaB ．每颗星做圆周运动的角速度大小为Gm 2a3 C ．每颗星做圆周运动的周期为2π2a3GmD ．每颗星做圆周运动的加速度与质量m 有关4．2002年四月下旬，天空中出现了水星、金星、火星、木星、土星近乎直线排列的“五星连珠”的奇观．假设火星和木星绕太阳做匀速圆周运动，周期分别是T 1和T 2，而且火星离太阳较近，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面内，若某一时刻火星和木星都在太阳的同一侧，三者在一条直线上排列，那么再经过多长的时间将第二次出现这种现象( ) A.T 1＋T 22B.T 1T 2C.T 1T 2T 2－T 1D.T 21＋T 2225．宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已知双星系统中星体1的质量为m ，星体2的质量为2m ，两星体相距为L ，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G .求该双星系统运动的周期．6．宇宙中存在质量相等的四颗星组成的四星系统，这些系统一般离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．四星系统通常有两种构成形式：一是三颗星绕另一颗中心星运动(三绕一)，二是四颗星稳定地分布在正方形的四个顶点上运动．若每个星体的质量均为m ，引力常量为G .(1)分析说明三绕一应该具有怎样的空间结构模式．(2)若相邻星球的最小距离为a ，求两种构成形式下天体运动的周期之比．答案解析1．BC [对m 1有：G m 1m 2R 1＋R 22＝m 1R 14π2T 2，解得m 2＝4π2R 1R 1＋R 22GT 2，同理可得m 1＝4π2R 2R 1＋R 22GT 2，故两者质量不相等，故选项A 错误；将两者质量相加得m 1＋m 2＝4π2R 1＋R 23GT 2，故选项B 正确；m 1∶m 2＝R 2∶R 1，故选项C 正确；两者质量之和为4π2R 1＋R 23GT 2，则不可能其中一个的质量为4π2R 1＋R 23GT 2，故选项D 错误．]2．C [任意两星间的万有引力F ＝G m 2L2，对任一星受力分析，如图所示．由图中几何关系和牛顿第二定律可得：3F ＝ma ＝m ω2L3，联立可得：ω＝ 3GmL3，a ＝ω2L3＝3GmL 2，选项A 、B 错误；由周期公式可得：T ＝2πω＝2πL 33Gm ，当L 和m 都变为原来的2倍，则周期T ′＝2T ，选项C 正确；由速度公式可得：v ＝ωL3＝GmL，当L 和m 都变为原来的2倍，则线速度v ′＝v ，选项D 错误．]3．AD [由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r ＝22a ，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：Gm 22a2＋2G m 2a 2cos 45°＝m v 222a，解得v ＝＋24Gm a ，角速度为ω＝vr＝＋22Gm a 3，周期为T ＝2πω＝2π2a3＋2Gm，加速度a ＝v 2r ＝2＋Gm2a2，故选项A 、D 正确，B 、C 错误．]4．C [根据万有引力提供向心力得：GMm r 2＝m 4π2rT 2，解得T ＝2πr 3GM，火星离太阳较近，即轨道半径小，所以周期小．设再经过时间t 将第二次出现这种现象，此为两个做匀速圆周运动的物体追及相遇的问题，虽然不在同一轨道上，但是当它们相遇时，运动较快的物体比运动较慢的物体多运行2π弧度．所以2πT 1t －2πT 2t ＝2π，解得t ＝T 1T 2T 2－T 1，选项C 正确．]5．2πLL3Gm解析 双星系统围绕两星体间连线上的某点做匀速圆周运动，设该点距星体1为R ，距星体2为r对星体1，有G 2mm L 2＝m 4π2T2R对星体2，有G 2mm L2＝2m 4π2T2r根据题意有R ＋r ＝L ，由以上各式解得T ＝2πLL 3Gm6．(1)见解析 (2) ＋2－34解析 (1)三颗星绕另一颗中心星运动时，其中任意一个绕行的星球受到的另三个星球的万有引力的合力提供向心力，三个绕行星球的向心力一定指向同一点，且中心星受力平衡，由于星球质量相等，具有对称关系，因此向心力一定指向中心星，绕行星一定分布在以中心星为中心的等边三角形的三个顶点上，如图甲所示．(2)对三绕一模式，三颗星绕行轨道半径均为a ，所受合力等于向心力，因此有 2Gm 23a2cos 30°＋G m 2a 2＝m 4π2T 21a 解得T 21＝－3π2a3Gm对正方形模式，如图乙所示，四星的轨道半径均为22a ，同理有 2G m 2a2cos 45°＋G m 22a2＝m 4π2T 22·22a 解得T 22＝－2π2a37Gm故T 1T 2＝＋2－34。

避躲市安闲阳光实验学校第五单元 万有引力定律 人造地球卫星『夯实基础知识』1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值） 2．万有引力定律及其应用(1) 内容：(2)定律的适用条件： (3) 地球自转对地表物体重力的影响。

地面附近：G2R Mm= mg ⇒GM=gR 2 (黄金代换式) （1）天体表面重力加速度问题 （2）计算中心天体的质量 （3）计算中心天体的密度 （4）发现未知天体 3、人造地球卫星。

1、卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，球球心一定在卫星的轨道平面内。

2、原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有实际是牛顿第二定律的具体体现3、表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等： 应该熟记常识：地球公转周期1年， 自转周期1天=24小时=86400s ， 地球表面半径6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8 m/s 2月球公转周期30天4．宇宙速度及其意义(1)三个宇宙速度的值分别为(2)当发射速度v 与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同5．同步卫星（所有的通迅卫星都为同步卫星） ⑴同步卫星。

⑵特点 『题型解析』【例题1】下列关于万有引力公式221r m m GF =的说法中正确的是（ ）A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中万有引力常量G 的值是牛顿规定的【例题2】设想把质量为m 的物体，放到地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（ ）A ．2R GMmB ．无穷大C ．零D ．无法确定【例题3】设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较A ．地球与月球间的万有引力将变大B ．地球与月球间的万有引力将减小C ．月球绕地球运动的周期将变长D ．月球绕地球运动的周期将变短表面重力加速度：轨道重力加速度：【例题4】设地球表面的重力加速度为g ，物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g ，，则g/g ，为（ ）A 、1；B 、1/9；C 、1/4；D 、1/16。

专题三 万有引力定律1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)F 万＝F 向，即G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2r T2。

(2)在中心天体表面或附近运动时G MmR2＝mg 。

2．天体质量和密度的计算(1)由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR。

(2)由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2，天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3。

3．卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系(1)由G Mm R ＝m v 2R得v ＝GMR，所以R 越大，v 越小。

(2)由G Mm R2＝m ω2R 得ω＝GMR 3，所以R 越大，ω越小。

(3)由G Mm R 2＝m 4π2T2R 得T ＝4π2R3GM，所以R 越大，T 越大。

4．卫星变轨问题分析(1)当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2<m v 2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，当卫星进入新的轨道稳定运行时其运行速度比原轨道时减小。

(2)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，当卫星进入新的轨道稳定运行时其运行速度比原轨道时增大。

一、选择题(本题共7个小题，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～7题有多项符合题目要求)1．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的( )A.14 B ．4倍 C ．16倍 D ．64倍 解析：选D 万有引力F ＝GMm R 2，其中M ＝ρV ＝ρ43·πR 3，在地球和星球表面G Mm R2＝mg ，结合重力加速度的关系可得，选项D 正确。

2．关于地球同步卫星，下列说法正确的是( )①地球同步卫星和地球同步，因此同步卫星的高度和线速度大小是一定的 ②地球同步卫星的角速度虽被确定，但高度和线速度可以选择，高度增加，线速度增大，高度降低，线速度减小③地球同步卫星只能定点在赤道上空，相对地面静止不动 ④周期是24小时的卫星一定是同步卫星 A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④解析：选A 地球同步卫星相对地球静止，同步卫星的周期T 必与地球自转周期相同，为定值，绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，设地球半径为R ，同步卫星离地面的高度为h ，于是有h ＝3GMT 24π2－R ，其中M 、R 、T 均为定值，所以同步卫星离地面的高度为定值，线速度的大小为定值，故①正确，②错误；假设同步卫星在除赤道所在平面外的任意点实现了同步，它的运动轨道平面与赤道所在平面平行，则受到地球的万有引力就不指向地心，这是不可能的，所以地球同步卫星只能定点在赤道上空，相对地面静止，故③正确；对于地球卫星而言，由万有引力提供向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T2r ，只要离地面的高度恰当，它的周期就可以为24小时，所以周期为24小时的卫星不一定是同步卫星，故④错误，所以选A 。

第五章 万有引力定律一、单项选择题1．质量为m 探月航天器在接近月球外表轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．月球质量为M ，月球半径为r ，月球外表重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转影响，那么航天器与月球中心连线在单位时间内所扫过面积是( ) A.12Gmr B.12r Gr C.12r gr D.122GMr 2．2021年9月、10月我国相继发射了天宫一号、神舟8号与一箭发射两颗实验卫星，天宫一号与神舟8号两次对接实验圆满成功，神舟8号顺利回收．关于人造地球卫星与宇宙飞船，以下说法中不正确是( )A ．假设神舟8号仅向运动相反方向喷气加速，它将可能在此轨道上与天宫1号相遇实现对接B ．假设人造地球卫星轨道半径与它周期，利用引力常量，就可以算出地球质量C ．卫星在轨道上做匀速圆周运动圆心必定与地心重合D ．神舟8号在降落过程中向下减速时产生超重现象3．我国自主研制“嫦娥三号〞，携带“玉兔号〞月球车已于2013年12月2日1时30分在西昌卫星发射中心发射升空，落月点有一个富有诗意名字“广寒宫〞．落月前一段时间内，绕月球外表做匀速圆周运动，假设月球质量为M，月球半径为R，引力常量为G，对于绕月球外表做圆周运动卫星，以下说法正确是( )A．线速度大小为R GMB．线速度大小为GM RC．周期为4π2R GMD．周期为4π2R2 GM4．一个物体静止在质量均匀球形星球外表赤道上，万有引力常量为G，星球密度为ρ，假设由于星球自转使物体对星球外表压力恰好为零，那么星球自转角速度为( )A. 43ρGπ B.3πρGC．ρGπ D.3πρG5．假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4 200 km赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6 400 km，地球同步卫星距地面高为36 000 km，宇宙飞船与一地球同步卫星绕地球同向运动，每当二者相距最近时．宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号送到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开场，在一昼夜时间内，接收站共接收到信号次数为( )A．4次B．6次C．7次D．8次6．“嫦娥二号〞探月卫星绕地运行一段时间后，离开地球飞向月球．如图1所示是绕地飞行三条轨道，轨道1是近地圆形轨道，2与3是变轨后椭圆轨道，A 点是2轨道近地点，B 点是2轨道远地点，卫星在轨道1运行速率为7.7 km/s ，那么以下说法正确是( ) 图1A ．卫星在2轨道经过A 点时速率一定小于7.7 km/sB ．卫星在2轨道经过B 点时速率一定小于7.7 km/sC ．卫星在3轨道所具有机械能小于2轨道所具有机械能D ．卫星在3轨道所具有最大速率小于2轨道所具有最大速率二、多项选择题7．北斗卫星系统由地球同步轨道卫星与低轨道卫星两种卫星组成，这两种卫星正常运行时( )A ．低轨卫星与地球同步卫星轨道平面一定重合B ．低轨卫星环绕速率不可能大于7.9 km/sC ．地球同步卫星比低轨卫星转动周期大D ．低轨卫星与地球同步卫星，可能具有一样角速度8．美国航空航天局发射“月球勘测轨道器〞LRO 每天在50 km 高度穿越月球两极上空10次．假设以T 表示LRO 在离月球外表高度h 处轨道上做匀速圆周运动周期，以R 表示月球半径，那么( )A ．LRO 运行时向心加速度为4π2R T 2B ．LRO 运行时向心加速度为4π2R ＋h T 2C ．月球外表重力加速度为4π2R T 2D ．月球外表重力加速度为4π2R ＋h 3T 2R 29．实现全球通讯至少要三颗地球同步轨道卫星，如图2所示，三颗地球同步卫星a 、b 、c 等间隔分布在半径为r 圆轨道上，那么三颗卫星( )图2A ．质量必须一样B ．某时刻线速度一样C ．绕地球运行周期一样D ．绕行方向与地球自转方向一样10．我们在推导第一宇宙速度公式v ＝gR 时，需要做一些假设与选择一些理论依据，以下必要假设与理论依据有( )A ．卫星做半径等于地球半径匀速圆周运动B ．卫星所受重力全部作为其所需向心力C ．卫星所受万有引力仅有一局部作为其所需向心力D ．卫星运转周期必须等于地球自转周期11．引力常量G 、月球中心到地球中心距离r 与月球绕地球运行周期T .仅利用这三个数据，可以估算物理量有( )A ．地球质量B ．地球密度C ．地球半径D ．月球绕地球运行速度大小12．为了探测X 星球，载着登陆舱探测飞船在以该星球中心为圆心、半径为r 1圆轨道上运动，周期为T 1，总质量为m 1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近半径为r 2圆轨道上运动，此时登陆舱质量为m 2，那么( )A ．X 星球质量为M X ＝4π2r 31GT 21B ．X 星球外表重力加速度为g X ＝4π2r 1T 21C ．登陆舱在r 1与r 2轨道上运动时速度大小之比为v 1v 2＝ m 1r 2m 2r 1 D ．登陆舱在半径为r 2轨道上做圆周运动周期为T 2＝T 1r 32r 31三、非选择题 13．探月卫星发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行“停泊轨道〞，在该轨道P 处，通过变速，再进入“地月转移轨道〞，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获〞后，成为环月卫星，最终在环绕月球“工作轨道上〞绕月飞行(视为圆周运动)，对月球进展探测，“工作轨道〞周期为T ，距月球外表高度为h ，月球半径为R ，引力常量为G ，忽略其他天体对探月卫星在“工作轨道〞上环绕运动影响．(1)要使探月卫星从“转移轨道〞进入“工作轨道〞，应增大速度还是减小速度？(2)求探月卫星在“工作轨道〞上环绕线速度大小．(3)求月球第一宇宙速度．答案解析1．C [根据万有引力定律与牛顿第二定律可得：mg ＝G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得T ＝2πr 3GM ＝2πr g，结合圆面积公式，单位时间内扫过面积S ＝πr 2T ＝12r gr ，所以选项C 正确．] 2．A [两飞行器处于同一轨道，然后后者加速，那么后一飞行器在短时间内速度就会增加，后面飞行器所需要向心力也会增加，而此时受到万有引力大小几乎不变，也就小于所需要向心力．那么后面飞行器就会做离心运动，偏离原来轨道，两飞行器就不能实现对接，故A不正确；根据万有引力提供向心力得：G Mm r 2＝m 4π2T2r ，解得：M ＝4π2r 3GT2，故B 正确；卫星运动过程中向心力由万有引力提供，故地球必定在卫星轨道中心，即地心为圆周运动圆心，故C 正确；神舟8号在降落过程中向下减速时，加速度方向向上，产生超重现象，故D 正确．]3．B [根据“嫦娥三号〞所受万有引力提供做圆周运动向心力有：G Mm R 2＝m v 2R ＝m 4π2T2R ，线速度大小v ＝ GM R ，故A 错误，B 正确；周期T ＝2π R 3GM，故C 、D 均错误．] 4．A [设该星球质量为M ，半径为R ，物体质量为m ，万有引力充当向心力，那么有G Mm R 2＝mRω2，又M ＝ρV ＝43ρπR 3，联立两式解得：ω＝43ρGπ.]5．C [对飞船，GMmR＋h12＝m4π2T21(R＋h1)，对同步卫星，G Mm′R＋h22＝m′4π2T22(R＋h2)，由于同步卫星运动周期为T2＝24h，可求出载人宇宙飞船运动周期T1＝3 h，因此一昼夜内绕地球8圈，比同步卫星多运动了7圈，因此相遇7次，接收站共接收到7次信号，C正确，A、B、D错误．]6．B [卫星在经过A点时，要做离心运动才能沿2轨道运动，卫星在1轨道上速度为7.7 km/s，故在2轨道上经过A点速度一定大于7.7 km/s，故A错误；假设有一圆轨道经过B点，根据v＝GM R，可知此轨道上速度小于7.7 km/s，卫星在B点速度减小，才会做近心运动进入2轨道运动，故卫星在2轨道经过B点时速率一定小于7.7 km/s，故B正确；卫星运动轨道高度越高，需要能量越大，具有机械能越大，所以卫星在3轨道所具有机械能一定大于2轨道所具有机械能，故C错误；根据开普勒第二定律可知近月点速度大于远月点速度，故比拟卫星在轨道3经过A点与轨道2经过A点速度即可，又因为卫星在轨道2经过A点要加速做离心运动才能进入轨道3，故卫星在3轨道所具有最大速率大于2轨道所具有最大速率，故D错误．]7．BC8．BD [LRO 运行时向心加速度为a ＝ω2r ＝4π2R ＋h T2，选项B 正确，A 错误；根据Gm 月m R ＋h 2＝m (2πT )2(R ＋h )，又Gm 月m ′R 2＝m ′g ，两式联立得g ＝4π2R ＋h 3T 2R 2，选项D 正确，C 错误．]9．CD [根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T2r 可得：轨道半径与同步卫星质量无关，所以A 错误；线速度大小相等，而方向沿轨迹切线方向，是不同，所以B 错误；周期一样，同步卫星与地球保持相对静止，故转动方向与地球自转方向一样，故C 、D 正确．]10．AB [人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径近似等于地球半径R ，其向心力为地球对卫星万有引力，其向心加速度近似等于地面处重力加速度，设地球质量为M ，根据万有引力定律与匀速圆周运动规律，可得：G Mm R 2＝m v 2R，代入数据解得：v ＝ GM R ＝7.9 km/s ，或mg ＝m v 2R，代入数据解得：v ＝7.9 km/s ，由以上证明可知，卫星做半径等于地球半径匀速圆周运动，故A 正确；卫星所受重力全部作为其所需向心力，故B 正确，C 错误；卫星运转周期不等于地球自转周期，故D 错误．]11．AD [根据万有引力提供向心力为：G Mm r 2＝m 4π2T2r ，得地球质量为：M ＝4π2r 3GT2，故A 可以；根据题目条件无法求出地球半径，故也无法求得地球密度，故B 、C 不可以；根据v ＝2πr T ，那么可求得月球绕地球运行速度大小，故D 可以．] 12．AD [飞船绕X 星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律知G M X m 1r 21＝m 14π2T 21r 1，那么X 星球质量M X ＝4π2r 31GT 21，选项A 正确；根据圆周运动知识，a ＝4π2r 1T 21只能表示在半径为r 1圆轨道上向心加速度，不等于X 星球外表重力加速度，故B 错误；研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：在半径为r 圆轨道上运动时G Mm r 2＝m v 2r 得出v ＝ GM r，表达式中M 为中心星球质量，r 为运动轨道半径，所以登陆舱在r 1与r 2轨道上运动时速度大小之比为v 1v 2＝1r 11r 2＝r 2r 1，故C 错误；研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：在半径为r 圆轨道上运动：G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得出：T ＝2π r 3GM，表达式中M 为中心星球质量，r 为运动轨道半径，所以登陆舱在r 1与r 2轨道上运动时周期大小之比为：T 1T 2＝ r 31r 32，所以T 2＝T 1r 32r 31，D 正确．] 13．(1)应减小速度 (2)2πR ＋h T (3)2πR ＋h T R ＋h R 解析 (1)要使探月卫星从“转移轨道〞进入“工作轨道〞，应减小速度做近心运动．(2)根据线速度与轨道半径与周期关系可知探月卫星线速度大小为v＝2πR＋hT(3)设月球质量为M，探月卫星质量为m，月球对探月卫星万有引力提供其做匀速圆周运动向心力，所以有：GMmR＋h2＝m(R＋h)4π2T2.月球第一宇宙速度v1等于“近月卫星〞环绕速度，设“近月卫星〞质量为m′，那么有：G Mm′R2＝m′v21R，由以上两式解得：v1＝2πR＋hT R＋hR.第11 页。

习题课 天体运动与万有引力1．(多项选择)关于开普勒第三定律中的公式a 3T2＝k ，如下说法中正确的答案是( )A ．k 值对所有的天体都一样B ．该公式适用于围绕太阳运行的所有行星C ．该公式也适用于围绕地球运行的所有卫星D ．以上说法都不对解析：选BC ．开普勒第三定律公式a 3T2＝k 中的k 只与中心天体有关，对于不同的中心天体，k 不同，A 错．此公式虽由行星运动规律总结所得，但它也适用于其他天体的运动，包括卫星绕地球的运动，B 、C 对，D 错．2．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体外表的赤道上．引力常量为G ，假设由于天体自转使物体对天体外表的压力恰好为零，如此天体自转周期为( )A ． 4π3G ρ B ．34πG ρ C ．πG ρD ．3πG ρ解析：选D ．物体对天体外表的压力为零时，所做圆周运动的向心力由万有引力提供，即G Mm R 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R解得天体质量M ＝4π2R 3GT2又由于M ＝ρV ＝ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3如此4π2R 3GT 2＝ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3解得T ＝ 3πG ρ，选项D 正确．3．(多项选择)如下列图，飞船从轨道1变轨至轨道2．假设飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )A ．动能大B ．向心加速度大C ．运行周期长D ．角速度小解析：选CD ．飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F 引＝F 向，所以GMm r 2＝ma 向＝mv 2r ＝4π2mr T 2＝mrω2，即a 向＝GM r 2，E k ＝12mv 2＝GMm 2r，T ＝ 4π2r3GM，ω＝GMr 3(或用公式T ＝2πω求解)．因为r 1<r 2，所以E k1>E k2，a 向1>a 向2，T 1<T 2，ω1>ω2，选项C 、D 正确．4．(多项选择)地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所需的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球外表附近做圆周运动的人造卫星所需的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球同步卫星所需的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3．假设这三个物体的质量相等，如此( )A ．F 1>F 2>F 3B ．a 2>a 3>a 1C ．v 1＝v 2>v 3D ．ω1＝ω3<ω2解析：选BD ．地球同步卫星绕行的角速度与地球自转的角速度一样，即ω1＝ω3；由G Mmr 2＝mω2r 得ω＝ GMr 3，因r 2<r 3，所以ω2>ω3．故在地球外表附近做圆周运动的人造卫星的角速度ω2与ω1和ω3的关系为ω1＝ω3<ω2，故D 正确．地球赤道上的物体与地球同步卫星的角速度一样，但r 3>r 1，由向心力公式F ＝mω2r 得F 3>F 1；地球外表附近的人造卫星与地球同步卫星的向心力等于其万有引力，如此有F 2>F 3．如此三者向心力的关系为F 2>F 3>F 1，故A 错误．地球外表附近人造卫星的向心加速度近似等于地球外表的重力加速度，即a 2＝g ；地球同步卫星的向心加速度a 3<g ；由a ＝ω2r 得，地球赤道上物体与地球同步卫星的向心加速度的关系为a 3>a 1．如此三者向心加速度的关系为a 2>a 3>a 1，故B 正确．地球外表附近的人造卫星的绕行速度等于第一宇宙速度，由v ＝ GMr，得v 2>v 3；由v ＝ωr 得v 3>v 1．如此三者的关系为v 2>v 3>v 1，故C 错误．5．某星球“一天〞的时间T ＝6 h ，用弹簧测力计在星球的“赤道〞上比在“两极〞处测同一物体的重力时读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天〞是多少小时？解析：设该物体在星球的“赤道〞上时重力为G 1，在“两极〞处时重力为G 2，在“赤道〞上G Mm R2－G 1＝mω2R①在“两极〞处G Mm R2＝G 2②依题意得G 2－G 1＝0．1G 2③设该星球自转的角速度增大到ωx 时，赤道上的物体自动飘起来，这里的自动飘起来是指星球外表与物体间没有相互作用力，物体受到的万有引力全部提供其随星球自转所需的向心力，如此有G Mm R 2＝mω2x R ④由于ωx ＝2πT x，ω＝2πT⑤由①～⑤得T x ＝610h ≈1．9 h 即赤道上的物体自动飘起来时，这时星球的“一天〞是1．9 h ． 答案：见解析。