4数列求和(1)

数列求和的八种方法及题型1、抽象加法法：把等差数列的元素抽象为某一个相同的数值（称为项数，式子为S），通过加法求出所求等差数列的和。

例题：这样一个等差数列：2、4、6、8……100，求这一数列的和是多少？答案：抽象加法法：元素个数n = 99，公差d = 2，首项a = 2。

由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 99*（2+100）/2 = 99*102/2 = 4950。

2、数值加法法：直接对元素逐一加法求和。

例题：计算这一等差数列的和：1、3、5、7……99？答案：数值加法法：元素个数n = 49，即：1+3+5+7+...+99=49*100/2=4900。

3、改编组合法：将数列改编为组合形式，将大式化简，从这个组合计算其和。

例题：求这一等差数列的和：2、5、8、11……99？答案：改编组合法：元素个数n = 48，公差d = 3，首项a = 2。

将其转换为组合：2+48d ，即2+(48*3)=150，由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 48*（2+150）/2 = 48*152/2 = 7344。

4、数表法：把数列列成表，统计其和。

例题：求这一等差数列的和：3、5、7、9……99？答案：数表法：数列：3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99和：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+ 45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83 +85+87+89+91+93+95+97+99=24505、立方法：一种特殊情形——这一数列两个元素的值等于这两个元素之间的位数的立方和。

第三十讲 数列求和一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分．)1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－4002．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为( )A.2n 2n ＋1B.2n n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n 2n ＋13．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N)，则f (n )等于( )A.27(8n －1)B.27(8n ＋1－1)C.27n ＋3－1)D.27(8n ＋4－1) 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．3n ＋1－3B ．3n －3C ．3n ＋1＋3D ．3n＋35．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1 D ．n 2－n ＋1－12n6．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分．)7．已知函数f (x )对任意x ∈R，都有f (x )＝1－f (1－x )，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝________.8.12＋222＋323＋424＋…＋n 2n －2等于________． 9．数列112＋2，122＋4，132＋6，142＋8…的前n 项和等于________．10．函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 2 (n 为奇数)－n 2 (n 为偶数)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 1000＝__________.三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分．)11．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 12．等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n 2＋n ＋1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前99项的和．13．(2011·沈阳市模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，2a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1n 2·a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n n 2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .。

第3讲：简单数列求和（一）知识要点:许多同学都知道这样一个故事:大数学家高斯在很小的时候,就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。

那高斯是用什么方法来巧妙进行计算的呢?因为1到100这100个自然数有这样的关系:1+100=101,2+99=101,3+98=101…一共有多少个101呢?因为一共有100个数,每两个数一组,一共有100÷2=50(组),也就是说有50个101。

所以1+2+3+……+100=101×50=5050。

若干个数按一定的规律排成一列,称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。

从第一项开始,后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为该数列的公差。

这种数列有极简便的求和方法:等差数列的和=(首项十末项)×项数÷2。

通过这一讲的学习,我们不仅掌握有关这种数列求和的方法,而且还能学会利用这种数列来解决许多有趣的问题。

例1、1+2+3+4+5+6+………+99+100练习1、89+90+91+92+93+94+95+96+97+98例2、求下列各式的和。

(1)1+3+5+7+9+……+97+99(2)2+4+6+8+10+……+98+100练习2(1)1+3+5+7+9+……+47+49(2) 2+4+6+8+10+……+48+50例3、把一堆苹果分给8个小朋友,如果要使每个小朋友都能拿到苹果,而且每人拿到的苹果个数都不同这堆苹果至少要有多少个?练习3、某市举行数学竞赛,比赛前规定,前12名可以获奖,比赛结果第一名1人,第二名并列2人,第三名并列3人……第十二名并列12人,得奖的一共有多少人?例4、把27枚棋子放到7个不同的空盒子中,如果要求每个盒子都不能空,且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多,问能否办到?说明理由。

练习4、有10个盒子,56只乒乓球,能不能把56只乒乓球放进盒中,并且各个盒子里的乒乓球只数不相等?(每个盒子至少放一只球)例5、小明家的一个时钟,在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟的点数,每半点也敲一下。

数列的求和数列求和主要思路：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 11123(1)2nn k S k n n n ===+++++=+∑… 4、2222211123(1)(21)6nn k S k n n n n ===++++=++∑5、 2333331(1)1232nn k n n S kn =+⎡⎤===++++=⎢⎥⎣⎦∑ 公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例1．求和221-++++n xx x (0,2≠≥x n )二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S例3．求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的例4．求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例5．已知数列{}n a 的通项公式321n n a n =+-，求数列{}n a 的前n 项和n S 。

数列的求和公式数列是数学中常见的一个概念，指的是按照一定规律排列的一组数。

在实际问题中，经常需要求解数列的和，即把数列中的所有数相加得到一个结果。

为了方便计算，数学家们总结出了一些数列求和的公式。

1. 等差数列求和公式等差数列是指数列中每个相邻元素之间的差值相等的数列。

常见的等差数列求和公式如下：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn 表示等差数列的前n项和，n 表示项数，a1 表示首项，an 表示末项。

公式中的 "*" 表示乘法运算。

2. 等比数列求和公式等比数列是指数列中每个相邻元素之间的比值相等的数列。

常见的等比数列求和公式如下：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn 表示等比数列的前n项和，n 表示项数，a1 表示首项，q表示公比。

公式中的 "*" 表示乘法运算。

3. 平方数列求和公式平方数列是指数列中每个元素都是其下标的平方的数列。

平方数列求和公式如下：Sn = n/6 * (2n + 1) * (n + 1)其中，Sn 表示平方数列的前n项和，n 表示项数。

公式中的 "*" 表示乘法运算。

4. 立方数列求和公式立方数列是指数列中每个元素都是其下标的立方的数列。

立方数列求和公式如下：Sn = [n(n + 1)/2]^2其中，Sn 表示立方数列的前n项和，n 表示项数。

公式中的 "^" 表示乘方运算。

除了以上常见数列的求和公式外，还有许多其他类型的数列，每种数列都有相应的求和公式。

在实际应用中，根据所给数列的规律，可以推导出相应的求和公式，从而高效地计算数列的和。

总结数列的求和公式是数学中常用的工具，可以帮助我们快速计算数列的和。

根据不同类型的数列，有不同的求和公式。

熟练掌握这些公式，能够在解决实际问题时提高计算效率。

在应用公式时，需要注意各个参数的含义和取值范围，确保计算结果的准确性。