最新中考数学菱形专题练习.doc

一、题目：已知菱形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，AB=8cm，AD=6cm，求菱形ABCD的面积。

解答：1. 由菱形的性质可知，对角线互相垂直平分，因此∠AOB=∠COD=90°。

2. 因为AB=8cm，AD=6cm，所以OA=OB=AB/2=4cm，OD=OC=AD/2=3cm。

3. 根据勾股定理，在直角三角形AOB中，AB^2=AO^2+BO^2，即8^2=4^2+BO^2，解得BO=√(8^2-4^2)=√(64-16)=√48=4√3cm。

4. 同理，在直角三角形AOD中，AD^2=AO^2+DO^2，即6^2=4^2+DO^2，解得DO=√(6^2-4^2)=√(36-16)=√20=2√5cm。

5. 因为AC=2OA=8cm，BD=2OD=6cm，所以菱形ABCD的面积S=AC×BD/2=8×6/2=24cm^2。

二、题目：已知菱形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，AB=10cm，∠ABC=60°，求菱形ABCD的面积。

解答：1. 由菱形的性质可知，对角线互相垂直平分，因此∠AOB=∠COD=90°。

2. 因为∠ABC=60°，所以∠OAB=∠OBC=(180°-60°)/2=60°。

3. 由菱形的性质可知，菱形ABCD的四条边相等，即AB=BC=CD=DA。

4. 因为∠OAB=∠OBC=60°，所以三角形OAB和OBC是等边三角形，即OA=OB=AB=10cm。

5. 根据勾股定理，在直角三角形OAB中，AB^2=AO^2+BO^2，即10^2=10^2+BO^2，解得BO=0。

6. 因为∠OAB=∠OBC=60°，所以三角形OAB和OBC是等边三角形，所以AC=2OA=20cm。

7. 根据勾股定理，在直角三角形AOD中，AD^2=AO^2+DO^2，即10^2=10^2+DO^2，解得DO=0。

菱形（B ）1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且E 为BC 中点，8cm AD =，则OE 的长为( ).A.8cmB.6cmC.4cmD.3cm2.如图，在菱形ABCD 中，DE AB ⊥于点E ，菱形ABCD 的面积为48，6DE =，则AD 的长为( )A.12B.8C.4D.23.如图，在菱形ABCD 中，对角线8cm AC =，6cm BD =，则菱形ABCD 的面积是( )2cm .A.24B.36C.48D.964.如图,已知菱形OABC 的顶点()()0,0,2,2O B ,若菱形绕点O 逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D 的坐标为( )A.()1,1-B.()1,1--C.D.(0,5.如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，连接AE ，AF ，EF .若菱形ABCD 的面积为8，则AEF 的面积为( )A.2B.3C.4D.56.如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上，120ABC ∠=︒，点()3,0A -，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD PE +的最小值是( )A.3B.5C.7.如图，菱形ABCD 的边长为2，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，则PE PF +的最小值是( )A.2 C.1.58.如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若:1:2BF CE =，EF =，则菱形ABCD 的边长是( )A.3B.4C.59.如图，菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，一个以点B 为顶点的60°角绕点B 旋转，这个角的两边分别与线段AD 的延长线及CD 的延长线交于点P 、Q ，设DP x =，DQ y =，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A. B. C. D.10.如图，四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，点E 是DA 中点，F 是对角线AC 上一点，且45DEF ∠=︒，则:AF FC 的值是( )A.3 1 C.1 D.211.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离.若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20cm AB =，则DAB ∠的度数是______.12.如图，菱形ABCD 的对角线16cm AC =，12cm BD =，DH AB ⊥，垂足为H ，则DH =_________cm.13.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，7BD =.若M ，N 分别是边AD ，BC 上的动点，且AM BN =，作ME BD ⊥，NF BD ⊥，垂足分别为E ，F ，则ME NF +的值为__________.14.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，AF 与DE 相交于点G ，则GF 的长等于___________.15.AC 是菱形ABCD 的对角线，60B ∠=︒，2AB =，60EAF ∠=︒，将EAF ∠绕点顶A 旋转，EAF ∠的两边分别与直线BC ，CD 交于点E ，F ，连接EF .（1）【感知】如图1，若E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，则CE CF +=_______；（2）【探究】如图2，若E 是线段BC 上任意一点，求CE CF +的长；（3）【应用】如图3，若E 是BC 延长线上一点，且EF BC ⊥，求AEF △的周长.答案以及解析1.答案：C 解析：四边形ABCD 是菱形，AO CO ∴=，8cm AB AD ==，E 为CB 的中点，∴OE 是ABC △的中位线，2BA OE ∴=，4cm OE ∴=.故选：C.2.答案：B解析：根据题意得：菱形的面积为48AB DE ⋅=，即648AB =，8AB ∴=，四边形ABCD 为菱形，8AD AB ∴==，故选：B.3.答案：A 解析：四边形ABCD 是菱形，对角线8cm AC =，6cm BD =，∴菱形ABCD 的面积2118624cm 22AC BD =⋅=⨯⨯=. 故选A.4.答案：B解析：由题意可知，菱形OABC 的对角线OB 在第一象限的角平分线上，又点B 的坐标是（2,2），∴点D 的坐标为（1,1）.由于菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，而360458÷=，因此旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置（1,1）.6087÷=……4，故把菱形绕点O 逆时针旋转60秒，相当于旋转了7周后，又旋转了4秒，则点D 落在第三象限，且与点（1,1）关于原点O 成中心对称，所以第60秒时，点D 的坐标为（-1，-1）.故选B.5.答案：B解析：如图，过点E 作EG CD ⊥于点G ，延长GE 交AB 的延长线于点H .//AB CD ，点E 为BC 的中点，EG EH ∴=.点F 为CD 的中点， 8ABCD S AB GH =⋅=菱形，1112222ABE SAB EH AB GH ∴=⋅=⋅=，1112222ADF S DF GH AB GH =⋅=⨯⋅=，111112222CEF S CF EG AB GH =⋅=⨯⋅=， 82213AEF ABE ADF CEF ABCD S S S S S ∴=---=---=菱形，故选B.6.答案：A解析：根据题意得，E 点关于x 轴的对称点是BC 的中点E '，连接DE '交AC 与点P ，此时PD PE +有最小值为DE '，四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，点(3,0)A -，3OA OC ∴==，60DBC ∠=︒，BCD ∴△是等边三角形，3DE OC '∴==，即PD PE +的最小值是3，故选：A.7.答案：A解析：如图，取AB 是中点T ，连接PT ，FT .四边形ABCD 是菱形，//CD AB ∴，CD AB =，DF CF =，AT TB =，DF AT ∴=，//DF AT ，∴四边形ADFT 是平行四边形，2AD FT ∴==，四边形ABCD 是菱形，AE DE =，AT T =，∴E ，T 关于AC 对称，PE PT ∴=，PE PF PT PF ∴+=+，2PF PT FT +≥=，2PE PF ∴+≥，PE PF ∴+的最小值为2.故选：A.8.答案：B解析：四边形ABCD 为菱形，E 是CD 的中点，//AB CD ∴，2BC CD CE ==.设BF a =，则2CE a =，4BC a ∴=.如图，过点C 作CM AB ⊥交AB 的延长线于点M ，则四边形CEFM 为矩形，2FM EC a ∴==，7CM EF ==.在Rt CBM △中，222CB BM CM =+，即222(4)(3)(7)a a =+，解得1a =（负值已舍去），4BC ∴=.9.答案：A解析：四边形ABCD 是菱形，60A ∠=︒，60ABD CBD ADB BDC ∴∠=∠=∠=∠=︒，120BDQ BDP ∴∠=∠=︒，60QBP ∠=︒，OBD PBC ∴∠=∠，//AP BC ，P PBC ∴∠=∠，QBD P ∴∠=∠，BDQ PDB ∴∽△△，DQ BD BD PD ∴==4xy ∴=，∴y 与x 的函数关系的图象是双曲线，故选A.10.答案：D 解析：四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=，30DAC ACD ∠∠∴==，120ADC ∠=.如图，取AC 的中点O ，连接OE ，则OE 是ACD △的中位线，12OE CD ∴=,//OE CD ,18060OED ADC ∠∠∴=-=,30AOE ACD ∠∠==,15OEF OED DEF ∠∠∠∴=-=.又15AFE DEF DAC ∠∠∠=-=，OEF AFE ∠∠∴=，1122OF OE CD AD ∴===.易知2cos303AC AD AD ==，32OA AD ∴=，312AF AD +∴=，312FC AC AF AD -∴=-=，:23AF FC ∴=+.11.答案：120°解析：连接AC ，则6020cm 3AC ==， 四边形ABCD 是菱形，20cm BC AB =∴=,AC BC AB =∴=，∴三角形ABC 是等边三角形，60B ∠=︒，120DAB ∴∠=︒故答案为：120°.12.答案：9.6解析：在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，16cm AC =，12cm BD =，18cm 2OA AC ∴==，16cm 2OB BD ==，在Rt AOB △中，()10cm AB ===，DH AB ⊥，∴菱形ABCD 的面积12AC BD AB DH =⋅=⋅， 即11612102DH ⨯⨯=⋅， 解得：9.6DH =，故答案为：9.6.13. 解析：连接AC 交BD 于点O ，则72OB OD ==，AC BD ⊥.在Rt AOB △中，4AB =，72BO =，AO ∴.在菱形ABCD 中，//AD BC ，CBD ADB ∴∠=∠.AM BN =，ME BD ⊥，NF BD ⊥，sin sin ME NF MD MDE BN NBF ∴+=∠+∠sin sin sin MD ADO AM ADO AD ADO=∠+∠=∠AO ==14. 解析：点E 为AB 的中点，1AE EB ∴==.如图，过点C 作AB 的垂线，垂足为点H .在菱形ABCD 中，//AD BC ，60CBH DAB ∴∠=∠=︒，112BH BC ∴==，CH ==EB BH ∴=.连接BF ，EF FC =，//FB CH ∴，12FB CH ==90FBE ∴∠=︒，AF ∴==连接BD ，则ABD △是等边三角形，DE AB ∴⊥，//GE FB ∴，∴点G 是AF 的中点，12GF AF ∴==15.答案：（1）2（2）2（3）解析：（1）四边形ABCD 是菱形，2AB =， 又E ，F 分别是边BC ，CD 的中点， 2CE CF AB ∴+==；（2）四边形ABCD 是菱形，AB BC ∴=，180B BCD ∠+∠=︒，60B ∴∠=︒，ABC ∴△是等边三角形，60ACB ACD BAC ∠=∠=∠=︒， AB AC ∴=，B ACD ∠=∠，60EAF ∠=︒，BAE CAF ∠=∠∴，ABE ACF ∴≅△△，BE CF ∴=，2CE CF CE BE BC ∴+=+==；（3）同（2）可得，ABE ACF ≅△△， AE AF ∴=，CE DF =，60EAF ∠=︒，AEF ∴△是等边三角形，AE AF EF ∴==，//AB FC ，60FCE B ∠=∠=︒，90CEF ∠=︒， 2CF CE ∴=，即2CD DF CE +=，22CE CE ∴+=，2CE =，4CF =，EF===，∴△的周长为AEF。

菱形中考题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D 作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E 在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF 的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________ cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= _________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．考点：菱形的性质；坐标与图形性质。

一、选择题1. 在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，若∠BAC=60°，则∠BEF的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且BE=2AF，若∠ABE=50°，则∠A的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°二、填空题3. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=10cm，BD=8cm，则菱形ABCD的周长为________cm。

4. 在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE=AF，若∠ABE=40°，则∠B的度数是________°。

三、解答题5. （15分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE=AF，∠ABE=50°。

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）求证：BE=EF；（3）若∠BAC=60°，求菱形ABCD的面积。

证明：（1）证明：连接AE、AF。

因为ABCD是菱形，所以AD=BC，AB=AD。

又因为E、F分别是AD、BC的中点，所以AE=ED，BF=FC。

由菱形的性质，对角线互相平分，所以OA=OC，OB=OD。

因此，四边形AEFD的对边平行且相等，所以四边形AEFD是平行四边形。

（2）证明：因为BE=AF，且四边形AEFD是平行四边形，所以AD=BF。

又因为ABCD是菱形，所以AD=BC。

所以BC=BF，即BC=AF。

又因为∠ABE=50°，所以∠ABF=180°-∠ABE-∠BAF=180°-50°-90°=40°。

所以∠ABF=∠BCF。

又因为AB=BC，所以三角形ABF与三角形BCF全等（AAS）。

所以BE=EF。

（3）求菱形ABCD的面积：由（2）知，三角形ABF与三角形BCF全等，所以AB=BC。

AC图5中考菱形专题 附参考答案1、（2012•泸州）如图，菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O ，若 AC=6，BD=4，则菱 形 ABCD 的周长是（ ） A ．24 B ．16 C ．4 D ．2DGO HB3 题图2、（2013 凉山州）如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以 AC 为边长的正 方形 ACEF 的周长为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．173、（2013•绵阳）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点 H ，且 DH 与 AC 交于 G ，则 GH =（）A ． 28 cm B ． 21 cm C ． 28 cm D ． 25 cm252015214、（2013•内江）已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M 、N 分别是边 BC 、 CD 的中点，P 是对角线 BD 上一点，则 PM+PN 的最小值= ．DCAB DAPC （5 题）BE E FC5、（2013• 淄博）如图，菱形纸片 ABCD 中，∠ A =60 °，折叠菱形纸片 ABCD ，使点 C 落在 DP （P 为 AB 中点）所在的直线上，得到经过点 D 的折痕 DE ．则∠DEC的大小为（A ）78°（B ）75°（C ）60°（D ）45° 6、（2013•黔西南州）如图 5 所示，菱形 ABCD 的边长为 4，且 AE ⊥ BC 于 E ， AF ⊥ CD 于 F ，∠B=60°，则菱形的面积为_________。

7、（2013，河北）．如图 4，菱形 ABCD 中，点 M ，N 在 AC 上，ME ⊥AD ， NF ⊥AB . 若 NF = NM = 2，ME = 3，则 AN =8、（2013•安徽）如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线AC 上的一个动点，点 M 、N 分别是边 AB 、BC 的中点，则 PM + PN 的最小值是___________．9、（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接△E F，则AEF的面积是．DAPCMBN第8题图10、（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.10题图11、（2013•遂宁）如图，已知四边形A BCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（△1）ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．12、（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H 分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．13、（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC 的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．14、（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（△1）求证：ABE≌△CDF；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．15、（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．16、（2013•乌鲁木齐）如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．17、（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．18、（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒１个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A O D和D A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记D D MN的面积为S,求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．（第18题图）cm B ． cm C ． cmD ． cmAC答案考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：根据菱形得出 AB=BC ，得出等边三角形 ABC ，求出 AC ，长，根据正方形的性质得出 AF=EF=EC=AC=4，求出即可． 解答：解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC ， ∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴AC=AB=4，∴正方形 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF=4×4=16， 故选 C ．（2013•绵阳）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点 H ，且DH 与 AC 交于 G ，则 GH =（）A ． 28 21 28 2525 20 15 21DGOH（2013•内江）已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M 、N 分别是边 BC 、CD 的中点，BP 是对角线 BD 上一点，则 PM+PN 的最小值= 5 ．10 题图考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：作 M 关于 BD 的对称点 Q ，连接 NQ ，交 BD 于 P ，连接 MP ，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC ，求出 OC 、OB ，根据勾股定理求出 BC 长，证出 MP+NP=QN=BC ，即可得出答案．解答：解：作 M 关于 BD 的对称点 Q ，连接 NQ ，交 BD 于 P ，连接 MP ，此时 MP+NP 的值最小，连 接 AC ，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∠QBP=∠MBP ， 即 Q 在 AB 上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，在△Rt BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．（2013•遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1△）ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.N A Dt∴MP=t=3∵Sin∠ADO==∴MP=(70-t)17题图（2013龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、分别以每秒１个单位的速度从点、同时出发，分别沿A O D 和D A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记D D MN的面积为S,求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．（第25题图）.(1)在菱形ABCD中，∵AC⊥BD∴AD=302+402=50.∴菱形ABCD的周长为200.·····························4分(2)过点M作MP⊥AD，垂足为点P.①当0＜t≤40∵Sin∠OAD=MP OD3==AM AD5351∴S=⨯DN•MP210t2························································································································6分②当40<t≤50时，∴MD=80-tMP AOMD AD452= - t 2 + 28t = - (t - 35)2 + 490 ··························································································8 分⎪⎪10 t ,0 < t ≤ 40则NF = ND • Sin ∠ODA = 30 ⨯ = = 24DF = ND • Cos ∠ODA = 30 ⨯ 30 = = 2 ····································································11 分 ∴FG = OF+ ON 12 + 12 5 1 + 5 tan ∠GOF == 1 +5 =∴ ∠DPK = ∠DPO = ∠DON = ∠FOG ··································································12 分∴PK = ···········································································································13 分∴存在两个点 P 到 OD 的距离都是 15( 5 + 1)∴ S ∆DMN = 1DN • MP2 25 5⎧ 3 2 ∴ S =⎨⎪- 2(t - 35)2 + 490,40 < t ≤ 50 ⎪⎩ 5当 0＜t ≤40 时，S 随 t 的增大而增大，当 t ＝40 时，最大值为 480.当 40＜t ≤50 时，S 随 t 的增大而减小，当 t ＝40 时，最大值为 480.综上所述，S 的最大值为 480. ····························································································· 9 分 （3）存在 2 个点 P ，使得∠DPO =∠DON .········································································ 10 分 方法一：过点 N 作 NF ⊥OD 于点 F ，40 12050 5，90= = 18.50 5∴OF =12，∴ tan ∠NOD =NF 24 OF 12作 ∠NOD 的平分线交 NF 于点 G ，过点 G 作 GH ⊥ON 于点 H . ∴ S ∆ONF 1= OF • NF = S2∆OGN + S ∆OFG 1 1 1 = OF • FG + ON • GH = (OF + ON ) • FG 2 2 2OF • NF 12 + 24 24= =24∴ GF 2 OF 12 1 + 5设 OD 中垂线与 OD 的交点为 K ，由对称性可知：1 12 2 ∴ DK 15 2tan ∠DPK == = PK PK 1 + 515( 5 + 1)2根据菱形的对称性可知，在线段 OD 的下方存在与点 P 关于 OD 轴对称的点 P ' .2.··························································14 分方法二：如图，作 ON 的垂直平分线，交 EF 于点 I ，连结 OI ，IN.过点 N 作 NG ⊥OD ，NH ⊥EF ,垂足分别为 G ，H. 当 t =30 时，DN =OD =30，易知△DNG ∽△DAO ，∴即DN NG DG= = ． DA AO OD 30 NG DG= = ． 50 40 30⎪⎪∴PE=PI+IE=15+155．····························································································13分∴存在两个点P，到OD的距离都是.∴NG=24,DG=18．·······································································································10分∵EF垂直平分OD，∴OE=ED＝15，EG=NH=3．······················································································11分设OI=R，EI=x,则在△Rt OEI中，有R2=152+x2①在△Rt NIH中，有R2=32+(24-x)2②⎧15x=2由①、②可得：⎨⎪R=155⎪⎩22根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P'也满足条件．15(5+1)2（2013△?常州）如图，在ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．（2013•南京）如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。

中考专题训练——菱形的判定和性质1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．参考答案：1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形；（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得BD＝8，设DE＝x，则DF＝x，所以AF2＝AD2+DF2＝16+x2，BF＝BD+DF＝8+x，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD，∵DE＝DF，∴四边形AECF是菱形；（2）解：AD⊥BD，AD＝4，BA＝BC＝4，∴BD＝＝＝8，设DE＝x，则DF＝x，∴AF2＝AD2+DF2＝16+x2，∵BF＝BD+DF＝8+x，∴AB2+AF2＝BF2，∴（4）2+16+x2＝（8+x）2，∴x＝2，∴DE＝DF＝2，∴AE＝＝＝2．∴BD和AE的长分别为8和2．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得：DE＝CE，DF＝FC，证明△CGE≌△CGF （ASA），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形DFCE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°的性质可得BH＝1，由勾股定理得：DH＝，根据△DHF是等腰直角三角形，可得DH＝FH＝，从而得结论．【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE＝EC，DF＝CF，∠EGC＝∠FGC＝90°，DG＝CG∵CD平分∠ACB，∴∠ECG＝∠FCG，∵CG＝CG，∴△CGE≌△CGF（ASA），∴GE＝GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是菱形；（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF＝∠DHB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝1，在Rt△DHB中，DH＝＝，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB＝45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH＝FH＝，∴BF＝BH+FH＝1+．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD ＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠CBD，然后求出∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，再根据等角对等边可得AB＝AD，再根据等腰三角形三线合一可得BO＝DO，然后利用“角边角”证明△AOD和△COB全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BC，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∴AB＝AD，设AC、BD相交于点O，又∵AC平分∠BAD，∴BO＝DO，AC⊥BD，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．【分析】（1）首先利用AAS证明△CDF≌△AED，进而得到AE＝CF，于是得到四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论；（2）首先利用勾股定理求出DE的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积．【解答】证明：（1）∵CF∥AB，∴∠DCF＝∠DAE，∵PQ垂直平分AC，∴CD＝AD，在△CDF和△AED中∵，∴△CDF≌△AED，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵PQ垂平分AC，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形AECF是菱形，∴△ADE是直角三角形，∵AD＝3，AE＝5，∴DE＝4，∴AC＝2AD＝6，EF＝2DE＝8，∴菱形AECF的面积为AC•EF＝24．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）只要证明△ECF，△ECB都是等边三角形，可得S菱形BCFE＝2•S△ECF；【解答】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝BEBE＝2DE，∴EF＝BC＝BE，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝BC，∴四边形BCFE是菱形．（2）∵EF∥BC，∴∠F+∠BCF＝180°，∵∠BCF＝120°，∴∠F＝60°，∵FE＝FC＝CB＝EF，∴△ECF，△ECB都是等边三角形，∴S菱形BCFE＝2•S△ECF＝2××22＝2．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3，∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝＝＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．【分析】（1）首先根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，进而可判定四边形AEDF是平行四边形，然后证明ED＝DF即可；（2）连接AD、EF，利用直角三角形的性质和菱形面积公式解答即可．【解答】（1）证明：∵E，D，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴ED＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）连接AD、EF，在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∠B＝30°，AB＝12，∴AD＝6，EF＝BC＝BD＝，菱形AEDF的面积＝．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．【分析】（1）运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO＝OC，只需要证明OE＝OF即可，用全等三角形得出；（2）菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形AOE可求AC、EF的长度．【解答】解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1＝∠2．在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（ASA）．∴OF＝OE，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形AECF是菱形，EF＝6，∴OE＝EF＝4．在Rt△AEO中，∵tan∠OAE＝＝，∴OA＝5，∴AC＝2AO＝8，∴S菱形AECF＝EF•AC＝×6×8＝24．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得AC＝6．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴S菱形ADCE＝＝＝18．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF＝CD＝DE，可证得结论；（2）过P作PG⊥BC于G，在Rt△PGC中可求得PG和CG的长，则可求得BG的长，在Rt△BPG中，由勾股定理可求得BP的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠EDF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CD＝CF，同理可得CD＝DE，∴CF＝DE，且CF∥DE，∴四边形CDEF为菱形；（2）解：如图，过P作PG⊥BC于G，∵AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，且四边形CDEF为菱形，∴CF＝EF＝CD＝AB＝2，∠ECF＝∠BCD＝∠A＝60°，∴△CEF为等边三角形，∴CE＝CF＝2，∴PC＝CE＝1，∴CG＝PC＝，PG＝PC＝，∴BG＝BC﹣CG＝3﹣＝，在Rt△BPG中，由勾股定理可得BP＝＝＝，即BP的值为．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE＝AB＝AE，DF＝AC ＝AF，再根据AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE＝AF＝DE＝DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，进而得到x2+2xy+y2＝49，再根据Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，得到x2+y2＝36，据此可得xy＝，进而得到菱形AEDF的面积S．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3，设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，∴x2+2xy+y2＝49，①∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，∴（y）2+（x）2＝32，即x2+y2＝36，②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝，∴菱形AEDF的面积S＝xy＝．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．【分析】（1）容易证三角形BCD为等边三角形，又DE＝AD＝BD，再证三角形DBE为等边三角形四边相等的四边形BCDE为菱形．（2）画出图形，证出BM+MN＝AM+MC＝AC＝6即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，∴BC＝AB，CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠BDC＝30°+30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵CO⊥AB，∴OD＝OB，∴DE＝BE，∵DE＝AD，∴CD＝BC＝DE＝BE，∴四边形BCDE为菱形；（2）解：作∠ABC的平分线交AC于N，再作MN⊥AB于N，如图所示：则MN＝MC＝BM，∠ABM＝∠A＝30°，∴AM＝BM，∵AC＝6，∴BM+MN＝AM+MC＝AC＝6；即两条分割线段长度的和为6．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）【分析】（1）由AE∥BC，DE∥AB，可证得四边形ABDE为平行四边形，又由AD是边BC上的中线，可得AE＝CD，即可证得四边形ADCE是平行四边形，继而证得结论；（2）由BC＝2AD，易得四边形ADCE是菱形，继而求得S四边形ADCE＝m2．【解答】证明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝CE；（2）∵BC＝2AD，BC＝2CD，∴AD＝CD，∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形，∵DE＝AB＝m，AC＝2AO＝2m，∴S四边形ADCE＝AC•DE＝m2．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形；（2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB．∴∠ABD＝∠EDB．∴EB＝ED．∴平行四边形BFDE是菱形；（2）解：∵ED∥BF，∠C＝90°，∴∠ADE＝90°．设BF＝x，∴DE＝BE＝x．∴AE＝8﹣x．在Rt△ADE中，AE2＝DE2+AD2∴（8﹣x）2＝x2+42解得x＝3，∴BF＝3．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？【分析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP＝∠EP A，得出AE＝EP，即可得出结论；（2）S菱形AEPQ＝EP•h，S平行四边形EFBQ＝EF•h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP＝EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四边形AEPQ为平行四边形，∴∠BAD＝∠EP A，∵AB＝AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EP A，∴EA＝EP，∴四边形AEPQ为菱形．（2）解：P为EF中点，即AP＝AD时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ∵四边形AEPQ为菱形，∴AD⊥EQ，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴EQ∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBQ为平行四边形．作EN⊥AB于N，如图所示：则S菱形AEPQ＝EP•EN＝EF•EN＝S四边形EFBQ．19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．【分析】（1）证明∠BAD＝∠F AE，根据全等三角形的判定推出△BAD≌△F AE，即可得出答案；（2）求出∠ABD＝∠GBF，证明AB＝AD，即可证出四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，得EM⊥AD，求出EM＝AE+AM＝2+2，再根据面积公式即可求出．【解答】（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠F AD＝∠DAE+∠F AD，即∠BAD＝∠F AE，∵AB＝AF，AD＝AE，∴△BAD≌△F AE（SAS），∴BD＝EF．（2）∵∠GHF＝∠BFG，∴∠GFH＝∠GBF，由（1）可知∠GFH＝∠ABD，∴∠ABD＝∠GBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠GBF，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，∵∠DAE＝90°．∴EM⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴EM⊥BF，∵AB＝AF，BF＝4，∴BM＝FM＝2，∵∠BAF＝90°，∴，∴，∴，∴EM＝AE+AM＝2+2，∴＝＝4．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAF＝∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF 得出∠AFB＝∠AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC＝∠ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．。

中考数学菱形复习专题练习一、单选题1．（2021八下·海曙期末）如图，在△ABC中，点E 、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB.下列说法中错误的是()A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90 º，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形2．（2021九上·浙江期中）如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．8 mm B．16mm C．8 mm D．4mm 3．（2021九上·越城期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止.点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．4．（2021九上·上城期中）如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）A．B．C．4D．3 5．（2021九上·温岭竞赛）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）A．1B．2C．D．6．菱形有一个内角是120，且较短的对角线长为6cm,则菱形的边长为().A．6cm B．2 cm C．6 cm D．12 cm 7．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．B．C．1D．8．如图，在ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（）个。

初三有关菱形的练习题1. 将图中的菱形 ABCD 进行如下操作：a) 将它沿着对角线 AC 折叠，让角 A 和角 C 重合，得到新的图形A'C'BD。

b) 然后，将边 A'C' 沿着对角线 A'D' 折叠，让角 A' 和角 D' 重合，得到完全重合的两个菱形 A'D'CD' 和 A'C'BD'。

请根据以上操作，回答以下问题：i) 边 AC 和边 BD 之间的夹角是多少度？ii) 边 AC 和边 A'D' 之间的夹角是多少度？iii) 请说明每一个折叠操作对原始菱形的对称性有何影响？2. 已知菱形 ABCD 的对角线 AC 的长度为 12 cm，以及菱形的周长为 30 cm。

求菱形的边长和面积。

3. 菱形 ABCD 的对角线 AC 的长度为 16 cm，且边 AB 和边 CD 的长度分别为 6 cm 和 8 cm。

将该菱形旋转 45 度，得到新的菱形A'B'C'D'。

请计算新菱形的周长和面积。

4. 在菱形 ABCD 中，已知边 AB 的长度为 10 cm，以及菱形的周长为 32 cm。

求菱形的对角线长度。

5. 用纸片折叠法，将一个边长为 6 cm 的正方形变成一个边长为 6 cm 的菱形。

请描述折叠步骤。

注意：1. 对于计算题，请给出详细的步骤和计算结果。

2. 对于图形题，请在回答中绘制清晰的图示，以便读者更好地理解问题。

以上为初三有关菱形的练习题，请思考并回答，如有不清楚处，请及时提出。

中考数学复习之菱形习题(含答案)中考数学复习之菱形习题(含答案)菱形是四边形的一种特殊形式，它具有两组对边相等且对角线相交于垂直平分点的性质。

在中考数学中，经常会出现与菱形相关的习题。

本篇文章将为大家提供一些常见的菱形习题和答案，希望能帮助大家更好地复习和理解菱形的性质。

习题一：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠BAD=60°，求∠CBD的度数。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，∠BAD=∠DAC=60°。

又因为BD是AC的垂直平分线，所以∠CBO=∠DBO=30°。

又∠OBA=∠OAB=30°，所以∠CBD=∠CBO-∠OBA=30°-30°=0°。

因此，∠CBD的度数为0°。

习题二：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ABC=45°，求∠AOB的度数。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，∠BOA=∠COD=90°。

又∠ABC=45°，所以∠OBC=∠OCD=45°。

根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角之和为180°，所以∠ACB=180°-45°-45°=90°。

因此，∠AOB=∠ABC+∠CBO+∠OBA=45°+45°+90°=180°。

因此，∠AOB的度数为180°。

习题三：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=6，BC=8，求菱形ABCD的面积。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，对角线AC和BD互为垂直平分线。

设E为AC和BD的交点，则BE=DE=AE=CE。

又知AB=6，BC=8，所以AE=3，EC=4。

根据勾股定理可知，AC的平方等于AE的平方加上EC的平方，即AC^2=AE^2+EC^2=3^2+4^2=9+16=25。