2012自贡市蜀光中学自主招生考试卷数学答案 2

2012年自贡市蜀光中学自主招生考试数 学 试 题（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项： 1、第Ⅰ卷为客观题（选择题），答案用2B 铅笔涂在机读卡相应位置，答在试卷上无效；2、第Ⅱ卷为主观题，答案应写在答题卷相应．．上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，答在试卷上或则答在错误的位置上无效。

3、试结束后，试卷、机读卡、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（每小题4分，共48分）1、已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为…………【 】 A. 0 B. 3 C. 33 D. 92、一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的41， 估计步 行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与 时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的 时间比一直步行提前了……………【 】A ．26分钟 Ｂ．24分钟 Ｃ．22分钟 D ．20分钟 3、已知△ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 90°，直角 ∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于 点E 、F ，给出以下四个结论：① AE = CF ；② EF = AP ； ③△EPF 是等腰直角三角形；④ S 四边形AEPF =12S △ABC ．当 ∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），上述结论中始终正确的有……………………………………【 】 A ．1 个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个4、2012年欧洲杯足球赛小组赛，德国、荷兰、葡萄牙、丹麦所在的B 组被称为“死亡之 组”。

每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时 两队各得1分。

小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛。

如果总积分相 同，还要按净胜球数排序。

德国队要保证出线，这个队至少要积……… 【 】 A.8分 B.7分 C.6分 D.5分5、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若∠B ＝60°，则bc ab ac +++的值为…………【 】 A. 21B.22 C. 1 D.2CPBEFA6、编号为①、②、③、④、⑤的五条赛艇，其速度依次为每小时1v 、2v 、3v 、4v 、5v 千米，且满足1v ＞2v ＞3v ＞4v ＞5v ＞0，其中，水v 为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）五条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③、④是逆流而上，⑤号艇顺流而下。

四川省自贡市2012年初中毕业生学业考试数学试卷第I卷（选择题，共36分）一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）1.|－3|的倒数是（）A.－3B.－13C.3 D.132.自贡市约330人口，用科学记数法表示这个数为（）A. 330×104B. 33×105C. 3.3×105D. 3.3×1063.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）4.下列计算正确的是（）A.B.6C.D.÷5.下列说法不正确的是（）A.选举中，人们通常最关心的数据是众数B.从1、2、3、4、5随即取一个数，取得奇数的可能性比较大C.数据3、5、4、1、－2的中位数是3D.某游艺活动的中奖率是60%，说明参加该活动10次就有6次会获奖6.若反比例函数1yx=的图像上有两点P1（1，y1）和P2（2，y2），那么（）A.y2＜y1＜0B. y1＜y2＜0C. y2>y1>0D. y1>y2>07.如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对8.如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13cm，高是12cm，则该圆锥形底面圆的面积是（）A.10πcm2B.25πcm2C.60πcm2D.65πcm29.如图，在A B C D中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为（）A.2和3B.3和2C.4和1D.1和410.一质点距原点1个单位的M点处向原点左方向跳动，第一次跳动到OM的中点M1处，第二次从M1跳到OM1的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M3处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（）O M3 M2M1MA .12nB .112n -C .11()2n +D .12n11.伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度原路返回学校，这一情境中，速度v 和时间t 的函数图象（不考虑图象端点情况）大致是（ ）A B C D12.如图①是一个几何体的主视图和左视图，同学们在探究它的俯视图时，画出了如图②的几个图形，其中可能是该几何体俯视图的共有A .3个B .4个 C.5个D .6个第II 卷（非选择题，共114分）二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13、函数11yx =+中自变量x 的取值范围是14、如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB =1，那么曲线CDEF 的长是 .主视 图左 视 图a b c d e f 图① 图②15、盒子里有3张分别写有整式x +1，x +2，3的卡片，现从中随机抽取两张，把卡片的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是 。

考点：圆锥的计算。 菁优网版权所有
B．25πcm2
解答：解：如图，圆锥的母线 AB=13cm，圆锥的高 AO=12cm，圆锥的底面半径 OB=r，
在 Rt△AOB 中，
r=
=
=5（cm），
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10个小题，满分30分）1．（3分）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（）A．一定是非零偶数B．等于零C．一定为奇数D．可能是奇数，也可能是偶数考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项．解答：解：a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2abc﹣2ab=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab），已知a+b+c为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，∴a+b﹣c也为奇数，则（a+b+c）（a+b﹣c）也为奇数，2（abc﹣ab）是偶数，∴a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab）一定是奇数，故选：C．点评：本题考查了因式分解的应用，把式子分解因式是解题关键．2．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A．﹣1 B．C．2D．考点：分式的化简求值．分析：由a+b+c=2，a2+b2+c2=3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac=；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．解答：解：由a+b+c=2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，将已知代入，得ab+bc+ac=；由a+b+c=2得：c﹣1=1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1=ab+1﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1=（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1=（c﹣1）（a﹣1），∴原式=++=====﹣．故选D．点评：本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．3．（3分）设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A．2B．3C．4D．0考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：分类讨论．分析：利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．解答：解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，当q=0时，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它们代入原方程的△中可知符合题意．当q=1时，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对．故本题选B．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．4．（3分）设函数y=﹣x2﹣2kx﹣3k2﹣4k﹣5的最大值为M，为使M最大，k=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：二次函数的最值．专题：计算题．分析：由于M是最大值，那么M=，即M=﹣2k2﹣4k﹣5，于是求k=﹣的值即可．解答：解：∵y=﹣x2﹣2kx+（﹣3k2﹣4k﹣5），∴M==∴M=﹣2k2﹣4k﹣5，又∵M最大，∴k=﹣=﹣=﹣1．故选A．点评：本题考查了函数的最值．注意y最大值=即可．5．（3分）若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（）A．2011 B．2010 C．2009 D．2008考点：因式分解的应用．专题：计算题；整体思想．分析：将3x2﹣x=1化简为3x2﹣x﹣1=0，整体代入9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008变形的式子3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010，计算即可求解．解答：解：∵3x2﹣x=1，即3x2﹣x﹣1=0，∴9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010=2010．故选B．点评：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．6．（3分）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（）A．4B．5C．6D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：应用题．分析：根据等腰三角形的性质，要使△AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现交点．解答：解：①作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；②以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；③以A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点．如图所示，显然这样的点有8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的定义，运用数形结合的思想进行解决，难度适中．7．（3分）如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（）A．11个B．12个C．13个D．14个考点：面积及等积变换．分析：由有六个面积为1的正方形组成的长方形，然后依据三角形的面积等于底乘以高，抓住底与高一个为2，一个为1，然后从一边开始，依次求解即可求得答案，小心别漏解．解答：解：∵如图是六个面积为1的正方形组成的长方形，∴以AB为边：△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，以AC为边：△ACG，以AD为边：△ADE，以AE为边：△AEF，以AF为边：△AFG，以BC为边：△BCF，以BD为边：△BDE，以BE为边：△BEF，以BF为边：△BFG，以CD为边：△CDF，以CE为边：△CEG．故以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有14个．故选D．点评：此题考查了三角形的面积问题．此题属于易错题，难度较大，解题的关键是注意依次数得，小心别漏解．8．（3分）锐角△ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，∠BAD+∠C=90°，则AD一定过△ABC 的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理．分析：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，根据三角形的内角和定理求出∠BAD+∠E=90°，推出∠C=∠E，根据三角形的外接圆的圆心的定义求出即可．解答：解：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，∴∠BAD+∠E=90°，∵∠C+∠BAD=90°，∴∠C=∠E，∴E在△ABC的外接圆上，∵∠ABE=90°，∴AE是直径，∴AD一定过△ABC的外心．故选C．点评：本题主要考查对三角形的外接圆与外心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠E=∠C是解此题的关键．9．（3分）有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3：5，则桶的容积为（）A．30升B．40升C．50升D．60升考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：首先设出桶的容积为x升，倒出两次后纯农药的容积为（x﹣20﹣）升，倒入两次水后水的容积为【20﹣（1﹣）×10+10】升，由农药与水的容积之比为3：5列出方程解答即可．解答：解：设桶的容积为x升，根据题意列方程得，（x﹣20﹣）：[20﹣（1﹣）×10+10]=3：5，整理得x2﹣48x+320=0，解得x1=40，x2=8（不合题意，舍去），答：桶的容积为40升．点评：解答此题需要计算农药与水占总容积的百分比，紧扣容积不变，再据题意，分别求得纯农药和水的容积，建立方程问题得解．10．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A．4B．5C．D．考点：正方形的性质；平行线之间的距离；勾股定理．分析：过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．解答：解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．∵AD=CD，∴△ADE≌△DCF，∴CF=DE=1．∵DF=2，∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故选B．点评：此题考查正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．难度中等．二、填空题（每小题6分，满分42分）11．（6分）如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于76．考点：专题：正方体相对两个面上的文字．专题：计算题．分析：根据相对的两个面上两数之和都相等列出等式，并整理出a﹣b，b﹣c，a﹣c，的值，然后把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca整理分解因式，然后再代入数据计算即可．解答：解：根据题意得，a+13=b+9，b+9=c+3，c+3=a+13，整理得a﹣b=﹣4，b﹣c=﹣6，a﹣c=﹣10，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，=×16+×36+×100，=8+18+50，=76．故答案为：76．点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，把多项式乘以2后因式分解是解题的关键．12．（6分）Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=﹣．考点：根与系数的关系；互余两角三角函数的关系．分析：根据锐角三角函数关系式，得sin2A+sin2B=1；根据一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，再进一步利用完全平方公式得到关于k的方程进行求解．解答：解：∵sinA和sinB是方程的两个根，∴sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sin2A+sin2B=1，∴2+2k=1，解得，k=﹣．故答案为：﹣．点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系以及锐角三角函数关系式．13．（6分）在△ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，，若，则BC=2．考点：三角形的重心；勾股定理．分析：根据中点这个条件，把CD延长至两倍于点F，连接AF，BF，则四边形ACBF为平行四边形，由ED=CD，CE=AB，得AB=CF，所以ACBF为矩形．再用勾股定理列式算出a，即可求出BC的长．解答：解：把CD延长至点F，使DF=CD．连接AF，BF．∵AD=DB，FD=DC，∴四边形ACBF为平行四边形，∵ED=CD，∴CE=CD，∵CE=AB，∴CD=AB，∴CD=AB，∴AB=CF，∴ACBF只能为矩形．设DE为a，则CE=2a，AD=3a，算出AE2=8a2，CE2=4a2，又因为AC=2，用勾股定理列式算出a，∴a=，∴AB=6×=2，∴BC==2．故答案为：2．点评：此题主要考查了重心的性质以及平行四边形的判定与矩形的判定和勾股定理的应用，根据已知得出正确的辅助线是解决问题的关键．14．（6分）方程的解为．考点：无理方程．分析：首先两边进行平方，然后移项合并同类项，再两边平方求解．解答：解：两边平方得：3x+2﹣2+3x﹣2=4移项得：2=6x﹣4两边平方得：36x2﹣16=36x2﹣48x+16解得：x=，检验：当x=时：原方程的左边=右边，∴x=是原方程的解．故答案为．点评：本题主要考查解无理方程，关键在于首先对方程两边分别平方已达到去根号的目的．15．（6分）在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．考点：多边形的对角线．专题：计算题．分析：根据n边形的对角线有n（n﹣3）条，将正八边形的边数代入可求出对角线的总数，而正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，由此可得出答案．解答：解：正八边形的对角线条数=×8×（8﹣3）=20，又∵正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，∴在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．故答案为：12．点评：本题考查多边形的对角线的知识，关键是掌握多边形的对角线与正多边形边数的关系n（n ﹣3），另外要知道正八边形的每条边均有2条对角线与之平行．16．（6分）若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有8个．考点：数的整除性．专题：新定义．分析：首先根据正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，可得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数），然后分别分析27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999是否符合奇异数的特点即可求得答案．解答：解：易得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．∴27=3×3×3=33，是奇异数（第一类）；42=2×3×7不是奇异数；69=3×23是奇异数（第二类），111=3×37是奇异数（第二类），125=53是奇异数（第一类），137是质数，不是奇异数，343=73是奇异数（第一类），899=900﹣1=（30﹣1）（30+1）=29×31是奇异数（第二类），3599=3600﹣1=（60﹣1）（60+1）=59×61是奇异数（第二类），7999=8000﹣1=203﹣1=（20﹣1）（202+20+1）=19×421是奇异数（第二类）．因此符合条件的奇异数有：27，69，111，125，343，899，3599，7999共8个．故答案为：8．点评：此题考查了学生的分析能力，考查了质数的性质与数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是找到奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．17．（6分）如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN 上的点，若AP+PB的最小值为厘米，则圆的半径r=2厘米．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．专题：数形结合．分析：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB，易得∠BOA′=90°，利用等腰直角三角形的性质可得半径的长．解答：解：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB．∴A′B=2，∵A是半圆的一个三等分点，B是的中点，∴∠BON=30°，∠A′0N=60°，∴△A′OB是等腰直角三角形，∴OA′=2．故答案为2．点评：考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点；作出整个圆的辅助性是解决本题的难点．三、解答题（每小题16分，满分48分）18．（16分）已知二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象如图所示．（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．（2）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．解答：解：（1）∵y=mx2+（m﹣3）x﹣3=（mx﹣3）（x+1），∴x1=﹣1，x2=，∴AB=﹣（﹣1）=4，即m=1；∴y=x2﹣2x﹣3，得A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，∵AC==，∵AM=CM，∴AM==，∴R=，S=π．（2）设PD与BC的交点为E，可求直线BC解析式为y=x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3）；当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，得﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣3（x﹣3），解得x=2或3，∴或（舍去），∴P（2，﹣3）；当S△PBE：S△BED=1：2时，同理可得P（，﹣），故存在P（2，﹣3）或P（，﹣）．点评：此题是二次函数的综合类题目，涉及到：二次函数解析式的确定、圆周角定理、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大．19．（16分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（m•n+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．考点：数的整除性．专题：计算题．分析：根据题意得到m+11=n+9，从（m+11）（n+9）+46的整除性得到m、n的值．解答：解：据题意m+11=n+9，且整除m•n+9m+11n+145，而m•n+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，故m+11，n+9都整除46，由此得①或②，在①时，得每人捐款25元，在②时，每人捐款47元，综上可知，每人捐款数为25元或47元．点评：此题考查了数的整除性，要通过逻辑推理得到正确答案，体现了竞赛题的一般特征．20．（16分）已知△ABC是圆O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长．考点：切线的性质．分析：利用切线的性质以及圆周角、弦切角、弧之间的关系证明直线平行和三角形相似分别求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，从而求出BC的值．解答：解：∵DE是圆O的切线，∴∠CDE=∠CBD=∠DAE．∴△ADE∽△DCE∴∴DE2=AE•EC∴DE2=（AC+EC）EC∵DE+EC=6∴DE=6﹣EC∴（6﹣EC）2=AC•EC+EC2∵∠CBD=∠DAC，∴∠CDE=∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∴∠CDE=∠BAD，BD=DC=3．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CDE=∠BCD．∴BC∥DE．∴△ABD∽△DCE，∴∴AB•EC=18∵AB：AC=3：2设AB=3x，AC=2x，EC=y，则有解得：∴AB=9，AC=6，EC=2∴DE=4∵BC∥DE．∴△AFC∽△ADE∴=∴∴FC=3可以证明△DFC∽△BFA∴∴FA=∴∴AD=6∴DF=∵DF•AF=BF•FC∴∴BF=∴BC==．故BC的长为．点评：本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定．综合性较强，难度较大．。