1极坐标知识讲解及典型例题

极坐标和参数方程的典型例题在数学中，极坐标和参数方程是研究平面曲线的重要工具。

极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点位置的坐标系统，而参数方程则是用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。

在本文中，我们将通过一些典型例题来探讨如何使用极坐标和参数方程解决问题。

例题一：极坐标下的圆首先让我们考虑一个非常简单的例子，即极坐标下的圆。

圆的极坐标方程为：$$ \\begin{cases} r = a \\\\ \\theta \\in [0, 2\\pi) \\end{cases} $$其中，r表示极径，a表示圆的半径，$\\theta$表示极角。

这个方程说明了圆上的每个点都满足极径等于半径a，并且极角可以在0到$2\\pi$之间取值。

例题二：参数方程下的抛物线接下来，我们考虑一个使用参数方程描述的曲线：抛物线。

抛物线的参数方程为：$$ \\begin{cases} x = at^2 \\\\ y = 2at \\end{cases} $$其中，a为常数，t为参数。

根据这个参数方程，我们可以看到x和y都是t的二次函数。

这个参数方程给出了抛物线上的每个点的坐标。

例题三：极坐标和参数方程的转换有时候，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。

下面的例题将展示如何将一个极坐标方程转换为参数方程。

考虑极坐标方程：$$ \\begin{cases} r = 2\\cos\\theta \\\\ \\theta \\in [0, \\pi] \\end{cases} $$我们可以使用三角恒等式来将这个极坐标方程转换为参数方程。

首先，我们注意到r是$\\theta$的函数，而x和y是r的函数。

根据极坐标和直角坐标之间的关系，我们有下面的关系式：$$ \\begin{cases} x = r\\cos\\theta \\\\ y = r\\sin\\theta \\end{cases} $$将极坐标方程中的r代入上述关系式，我们得到参数方程：$$ \\begin{cases} x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta) = 2\\cos^2(\\theta) \\\\y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta) = \\sin(2\\theta) \\end{cases} $$ 通过这个转换，我们将极坐标方程转换为了参数方程。

坐标系一、极坐标系与极坐标在平面内取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox 、一个长度单位、一个角 度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox 称为极轴．平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角 ． 二、点的极坐标和直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)，可以得出它们之间的关系：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.又可得到关系式：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 三、常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2rcos θ (0≤θ＜2π)圆心为(r ，π2)，半径为r 的圆ρ＝2rsin θ (0≤θ＜2π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a (－π2＜θ＜π2)过点(a ，π2)，与极轴平行的直线ρsinθ＝a (0＜θ＜π)例1：在极坐标系中，求经过点P 24,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭且与极轴所在直线垂直的直线方程．解：∵x ＝ρcos θ＝4cos 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－23，∴点P 的直角坐标为()－2，－23.∴过点P 且与x 轴垂直的直线方程为x ＝－2，即极坐标方程为ρcos θ＝－2.例2：求圆心为C 3,6⎛⎫⎪⎝⎭，半径为3的圆的极坐标方程．解：如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，则|OP |＝ρ，∠POA ＝θ－π6，|OA |＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |×cos ∠POA ，∴ρ＝6cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.例3：已知直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，试判断直线l 与解：将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝1＋4t 化为普通方程得y ＝1＋2x ，圆ρ＝22sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为2－15，小于圆的半径，所以直线与圆相交． 与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．2．由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性： 若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点Ο对称．例4：在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.解：将变换后的椭圆的方程x 29＋y 24＝1改写为x ′29＋y ′24＝1，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入上式得λ2x 29＋μ2y 24＝1，即23λ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 2＋22μ⎛⎫ ⎪⎝⎭y 2＝1.与x 2＋y 2＝1比较系数，得221312λμ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩故⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y ， 即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.本例条件变为“求圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 后的图形”解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y ∴⎩⎨⎧x ＝12x ′y ＝13y ′代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.∴经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 后圆x 2＋y 2＝1变为椭圆例5：设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为例6：通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆(x ＋1)29＋(y －1)24＝1变为中心在原点的单1．平移变换：在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为(x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点为P ′(x ′，y ′)，则有(x ，y )＋(h ，k )＝(x ′，y ′)，或表示成⎩⎪⎨⎪⎧x ＋h ＝x ′，y ＋k ＝y ′.2．伸缩变换：一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，y ＝y ′k >0所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当0<k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里，P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点).例7：进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0；(3)ρ＝1cos θ.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是________．解：ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝－31＝－3，θ＝－π3＋2k π.例9:在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方1.将点的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)即可．在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z)即可．2．极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(或除以)ρ等技巧.例10：(1)(设点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为_____________．（2）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ例11：在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，求线段AB 的例12：已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐例13：在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，求点2,6⎛⎫⎪到直线l 的距离．例14：已知直线l 经过点P 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．例15：已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标；(2)若直线l 与曲线C 相交弦长为23，例17：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2·(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.12(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为5，求a 的值．解：(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.所以⊙O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由ρ＝2a sin θ，得ρ2＝2aρsin θ.所以⊙O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ，即x 2＋(y －a )2＝a 2. (2)⊙O 1与⊙O 2的圆心距为12＋a 2＝5，解得a ＝±2.例19：极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝23，求点Q 的轨迹方程，并说明所求轨迹是解：设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0)则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，∴ρ0＝25ρ.∵ρ0＝2cos θ0.∴25ρ＝2cos θ.即ρ＝5cos θ它表示一个圆．例20：已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A 、B 两点，且|AB |＝6.解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1.A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)，ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－2cos θ1＋π＝31＋2cos θ1.|AB |＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪31－2cos θ1＋31＋2cos θ1＝⎪⎪⎪⎪61－4cos 2θ1，∴11－4cos 2θ1＝±1，∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2，θ＝π4或θ＝3π4.。

极坐标与参数方程一、基础知识与例题► 考向一 极坐标系与简单曲线的极坐标方程考向：求点的极坐标、曲线的极坐标方程，把直角坐标化为极坐标系、极坐标化为直角坐标．例1在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2. (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 2上的点到直线C 3：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2距离的最大值．解：(1)设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4.消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0)．(2)将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2.C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝3 22，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋3 22.► 考向二 简单曲线的参数方程考向：求曲线的参数方程，化参数方程为普通方程，参数方程的应用． 例2 已知圆(x －2cos θ)2＋(y ＋2cos 2θ－2)2＝1. (1)求圆心的轨迹C 的方程；(2)若存在过点P (0，a )的直线交轨迹C 于A ，B 两点，且|P A |，|AB |，|PB |构成等比数列，求a 的取值范围．解：(1)圆(x －2cos θ)2＋(y ＋2cos 2θ－2)2＝1的圆心(x ，y )的坐标为(2cos θ，2－2cos 2θ)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2－2cos 2θ，消去参数θ后可得轨迹C 的方程为y ＝4－x 2(－2≤x ≤2)．(2)设直线AB 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝a ＋t sin α(α为直线AB 的倾斜角，t 为参数)，代入y ＝4－x 2，得t 2cos 2α＋t sin α＋a －4＝0，显然cos α≠0，即α≠π2，设其两根为t 1，t 2.∵|PA |，|AB |，|PB |构成等比数列，即|AB |2＝|PA |·|PB |，又∵|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －4cos 2α，|AB |2＝|t 1－t 2|2＝sin 2αcos α－4a －4cos α＝sin 2α－4（a －4）cos 2αcos α， ∴sin 2α－4（a －4）cos 2αcos 4α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －4cos 2α， 即sin 2α＝[4(a －4)＋|a －4|]cos 2α，∴tan 2α＝4(a －4)＋|a －4|.由tan 2α≥0得a ≥4，又|PA |·|PB |＝|t 1t 2|≠0，∴a >4，tan 2α＝5(a －4)， 又设轨迹上的点M (－2，0)，N (2，0)，则tan 2α≤k 2MP ＝a 24，∴a 2－20a ＋80≥0，又a >4，∴a ≥10＋2 5或4<a ≤10－2 5.► 考向三 极坐标与参数方程的综合考向：极坐标方程与参数方程交汇考查，为坐标系与参数方程试题的基本考查方式． 例3 在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2 3cos θ－2sin θ，点A 的极坐标为(3，2π)，把极点作为平面直角坐标系的原点，极轴作为x 轴的正半轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(1)求圆C 在直角坐标系中的标准方程；(2)设P 为圆C 上任意一点，圆心C 为线段AB 的中点，求|P A |＋|PB |的最大值． 解：(1)∵ρ＝2 3cos θ－2sin θ，∴ρ2＝2 3ρcos θ－2ρsin θ.由于ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2－2 3x ＋2y ＝0.∴圆C 在直角坐标系中的标准方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝4. (2)∵点A 的极坐标为(3，2π)，∴点A 的直角坐标为(3cos 2π，3sin 2π)，即(3，0)． 圆心C (3，－1)为线段AB 的中点， 故点B 的直角坐标为(3，－2)．∵圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，P 为圆C 上任意一点，∴设点P 的坐标为(3＋2cos θ，－1＋2sin θ)，则|PA |＋|PB |＝（2cos θ）2＋（2sin θ－1）2＋（2cos θ）2＋（2sin θ＋1）2＝5＋4sin θ＋5－4sin θ＝ （5＋4sin θ＋5－4sin θ）2＝10＋2 25－16sin 2θ. 当sin θ＝0时，(|PA |＋|PB |)max ＝10＋10＝2 5. ∴|PA |＋|PB |的最大值为2 5.二、教师备用例题例1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A 、B 两点．(1)求|AB |的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，设点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2 2，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离．解：(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程，化简得 7t 2－12t －5＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝127，t 1t 2＝－57.所以|AB |＝（－3）2＋（－4）2|t 1－t 2|＝5 （t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝10 717.(2)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为(－2，2)，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为t 1＋t 22＝67.所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为|PM |＝（－3）2＋（－4）2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪67－0＝307.例2. 直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，直线l 与曲线C 的公共点为T .(1)求点T 的极坐标；(2)过点T 作直线l ′，l ′被曲线C 截得的线段长为2，求直线l ′的极坐标方程．解：(1)曲线C ：ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋32t ，y ＝12t代入上式并整理得t 2－4 3t ＋12＝0.解得t ＝2 3.所以点T 的坐标为(1，3)．其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(2)设直线l ′的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0.由(1)得曲线C 是以(2，0)为圆心的圆，且圆心到直线l ′的距离为 3. 则|3＋k |k 2＋1＝ 3. 解得k ＝0或k ＝ 3.直线l ′的方程为y ＝3或y ＝3x .其极坐标方程为ρsin θ＝3或θ＝π3(ρ∈R )．三、相关练习 1.已知椭圆的极坐标方程为，点为其右焦点，（Ⅰ）求曲线的普通方程；(Ⅱ).过点作倾斜角为的直线l 与曲线交于不同的两点．求的取值范围。

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾(一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0,y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y )为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2． 错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == (θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==)5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

极坐标及参数方程一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念：2．有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 3.极坐标与直角坐标的互化： (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式二、参数方程知识点（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为 )(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .（2）椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .（3）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.三、点到直线的距离公式、直线与圆、圆与圆位置关系 极坐标方程典型例题1.点()22-，的极坐标为 。

2.已知圆C ：22(1)(3)1x y ++-=，则圆心C 的极坐标为_______(0,02)ρθπ>≤<3.若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y = 5.极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆6.极点到直线()cos sin 3ρθθ+________ 。

7.在极坐标系中，点3(2,)2π到直线l ：3cos 4sin 3ρθρθ-=的距离为 .8.在极坐标系中，点π(1,)2P 到曲线π3:cos()242l ρθ+=上的点的最短距离为 ．9.已知直线4sin cos :=-θρθρl ，圆θρcos 4:=C ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.（相交或相切或相离？）10.在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a 的值。

极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换一、1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。

，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)2、直角坐标⇒极坐标 cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2、极坐标⇒直角坐标222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程1、过定点（x0，y0），倾角为α的直线： ααsin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数）（1）其中参数t 的几何意义：点P （x0，y0），点M 对应的参数为t ，则PM=|t|(2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。

极坐标知识讲解一、极坐标系定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单 位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．二、极坐标定义：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 三、极坐标与直角坐标的互化内容：把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，，有co s s i n x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 注：若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2017秋•天心区校级期末）点M，为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①，；②，；③，；④，．其中可以作为点M关于极点的对称点的坐标的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【解答】解：在极坐标系中，与点M，关于极点对称的点的坐标一是极径不变，极角互补，是：②，；另一种是极角不变，极径互为相反数，是③，；故选：C．2．（2017秋•南关区校级期末）在直角坐标系xOy中，点A（﹣2，2）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（）A．，B．（2，）C．，D．，【解答】解：根据题意，设极坐标系下，点A的极坐标为（ρ，θ），则有ρ==2，tanθ=﹣1，则有θ=，分析可得：点A的极坐标为（2，）；故选：B．3．（2018春•兴庆区校级期末）点M的直角坐标为（﹣，﹣1）化为极坐标为（）A．（2，）B．（2，）C．（2，）D．（2，）【解答】解：∵点M的直角坐标为（﹣，﹣1），∴ρ==2，再根据此点位于第三象限，且tanθ==，∴可取θ=，故选：B．4．（2018春•滦南县期末）点M的极坐标（1，π）化成直角坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）【解答】解：点M的极坐标（1，π）化成直角坐标为（cosπ，sinπ），即（﹣1，0）．故选：B．5．（2018春•伊通县期末）点P极坐标为（2，），则它的直角坐标是（）A．（1，﹣） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（﹣，1）【解答】解：根据题意，设P的直角坐标为（x，y）点P极坐标为（2，），则有，解可得，即P的直角坐标为（﹣，1）；故选：D．6．（2018春•新罗区校级期中）在极坐标系中，若点A（3，），B（﹣3，），则△AOB（O为极点）的面积为（）A．B．3 C．D．9【解答】解：∵在极坐标系中，点A（3，），B（﹣3，），O为极点，∴在平面直角坐标系中，A（，），B（﹣，﹣），O（0，0），∴=（﹣，﹣），=（，），||==3，||==3，cos＜，＞===﹣，∴sin＜，＞==，∴△AOB（O为极点）的面积为：＜，＞==．故选：C．7．（2018春•小店区校级期中）已知点P的直角坐标，，则它的一个极坐标为（）A．（4，）B．（4，）C．（﹣4，）D．（4，）【解答】解：根据题意，设P的一个极坐标为（ρ，θ）（0≤θ＜2π），点P的直角坐标，，即x=﹣2，y=﹣2，且P在第三象限；则ρ==4，tanθ==，且P在第三象限；则有θ=；则P的一个极坐标为（4，）；故选：B．8．（2018春•龙岩期中）点P极坐标为，，则它的直角坐标是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：点P极坐标为，，则它的直角坐标是（，1）．故选：D．9．（2017春•兴庆区校级期末）点M的直角坐标是，，则它的极坐标是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：=2，tanθ=，取θ=．∴极坐标为，．故选：A．10．（2016秋•西城区期末）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=【解答】解：∵点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1，故选：A．二．解答题（共5小题）11．写出下列各点的极坐标，如图所示．【解答】解：A（4，0），B，，C，，D，，E，，F，，G，．12．在极坐标系中，ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=π，则点M1（ρ1，θ2），M2（ρ2，θ2）的位置关系？【解答】解：∵ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=π，∴可得点M2（ρ2，θ2）即（﹣ρ1，π﹣θ2）与点M1（ρ1，θ2）的位置关系是关于极轴对称．13．在极坐标系中，作出下列各点：A（3，0）、B（﹣3，）、C（5，）、D（﹣2，π）、E（0，﹣）【解答】解：在极坐标系中，作出下列各点，如图所示：14．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标系分别为A（2，）、B（2，π）、C（2，）．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）根据极坐标与直角坐标的互化方法，A（2，）、B（2，π）、C （2，），直角坐标分别为A（1，），B（﹣2，0），C（1，﹣），所以AB=CB=AC，所以△ABC是等边三角形；（2）△ABC的底边为AC，高为2，面积S==3．15．在极坐标系中，作出下列各点：（1）A（2，），B（6，﹣120°），C（1，），D（4，﹣），E（4，0），F（2.5，180°）；（2）A（3，），B（3，），C（3，），D（3，π），E（3，），并说明这5个点有什么关系；（3）A（﹣2，），B（﹣1，），C（3，），D（4.5，），E（4.55，），并说明这5个点有什么关系．【解答】解：（1）如图（1）所示：（2）A、B、C、D、E这5个点都在以极点为圆心、半径等于3的圆上，如图（2）所示：（3）A、B、C、D、E这5个点都在直线θ=上，如图（3）所示：。

专题十四------极坐标与参数方程一、极坐标系的概念1、极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做_________，自极点O 引一条射线ox ,叫做________；再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.2、极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的__________，记为ρ；以极轴ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的________，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.【一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.】①特别地，当点M 在极点时，它的极坐标为(0，θ)()R θ∈.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.②如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)(0)ρθρ≥,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)xy 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ⎧+=⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下,由tan θ确定角时,要根据点M 所在的直角坐标象限来确定角的大小.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆圆心为(,0)r ,半径为r 的圆圆心为(,)2r π,半径为r 的圆过极点,倾斜角为α的直线过点(,0)a ,与极轴垂直的直线过点(,)2a π,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,)ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.典型例题：1、点A 的极坐标是⎪⎭⎫⎝⎛65,2π，则点A 的直角坐标是_______________.2、点A 的极坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π，则点A 的直角坐标是_______________.3、点M 的直角坐标是()3,1-，则点M 的极坐标是_______________.4、点M 的直角坐标是()2,32-，则点M 的极坐标是_______________.5、在极坐标系中，将下列曲线的极坐标化为直角坐标①:1C θρsin =②:2C 2=ρ③:3C 4cos(22π+=θρ6、圆半径为1，圆心的极坐标是()π,1，则这个圆的极坐标方程是_________________7、在直角坐标系中，将下列曲线的直角坐标化为极坐标①:1C 4=-y x ②:2C 5)2()1(22=++-y x ③:3C 191622=+y x 8、极坐标中ρ的应用（1）在直角坐标系xoy 中，曲线:1C 4)2(22=-+y x ，曲线:2C 16)4(22=-+y x ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.①求曲线21,C C 的极坐标方程；②射线3π=θ与1C 交于点A ，与2C 交于点B ，且A,B 点异于原点O ，求||AB 的长.（2）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的直角坐标方程为25)4()3(22=-+-y x ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.①求曲线C 的极坐标方程；②设:1l 6π=θ，:2l 3π=θ，若21,l l 与曲线C 分别交于异于原点O 的A ，B 两点，求AOB S ∆.二、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.例1：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换2:3x xy y ϕ'=⎧⎨'=⎩后的方程？(1)230x y +=22(2)1x y +=例2：在同一平面坐标系中，经过伸缩变换3:x xy yϕ'=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为了曲线22:99C x y '''+=，求变换前的曲线C 的方程？练习1、在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的直角坐标方程为122=+y x ，曲线1C 经过坐标变换⎩⎨⎧='='yy xx 2后得到的轨迹为曲线2C .①求曲线2C 的极坐标方程；②以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.射线6π=θ与1C 交于点A ，与2C 交于点B ，且A,B 点异于原点O ，求||AB 的长.三、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

极坐标知识讲解一、极坐标系定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单 位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．二、极坐标定义：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 三、极坐标与直角坐标的互化内容：把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，，有co s s i n x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 注：若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．典型例题一．解答题（共10小题）1．（2018•张掖一模）已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C 2的极坐标方程为，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点．（p ∈R ）（Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．【解答】解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2=16，即ρ=±4．∴A、B两点的极坐标为：，，，或，．（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，得到普通方程为x2﹣y2=8．将直线代入x2﹣y2=8，整理得．∴|MN|==．2．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x ﹣2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y ﹣2=0，圆心到直线的距离为：=＞2，所以，直线l与圆C相离．3．（2016春•阳高县校级期末）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值．【解答】解：（1）由，得，即，ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0，即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0为所求圆的普通方程，整理为圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，令x﹣2=，y﹣2=．得圆的参数方程为（α为参数）；（2）由（1）得：x+y=4+=4+2sin（），∴当sin（）=1时，x+y的最大值为6，当sin（）=﹣1时，x+y的最小值为2．故x+y的最大值和最小值分别是6和2．4．（2016春•赣州校级月考）已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为，定点，，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．直线经过点F1且平行于直线AF2．（Ⅰ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．【解答】解：（I）圆锥曲线C的极坐标方程为，即3ρ2+（ρsinθ）2=12，可得直角坐标方程：3x2+4y2=12，即=1．∴F1（﹣1，0），F2（1，0）．==．∴要求的直线方程为：y=（x+1）．（II）由（I）可得直线的参数方程为：（t为参数）．代入椭圆方程可得：5t2﹣4t﹣12=0，∴t1t2=﹣．∴|F1M|•|F1N|=|t1t2|=．5．（2015•临川区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：3ρ2=12ρcosθ﹣10（ρ＞0）．（1）求曲线C1的普通方程（2）曲线C2的方程为，设P、Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由3ρ2=12ρcosθ﹣10（ρ＞0），得3x2+3y2=12x﹣10，即．∴曲线C1的普通方程为：；（2）依题意可设Q（4cosθ，2sinθ），由（1）知圆C1的圆心坐标为（2，0），则==．∴当cosθ=时，．∴．6．（2015•德宏州校级三模）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点，对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C2交于点，．（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），，在曲线C1上，求的值．【解答】解：（I）∵曲线C1上的点，对应的参数ϕ=，∴，解得，∴曲线C1的直角坐标方程为：=1．∵曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点，．∴圆的直径2R==2，∴曲线C2的方程为（x﹣1）2+y2=1．（II）把代入曲线C1的直角坐标方程：=1．可得．∴=+===．7．（2015春•仙游县校级期末）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin （）=2．（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：+y2=4．…（2分）①t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；…（4分）②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（6分）（Ⅱ）直线l的普通方程为：x﹣y+4=0．…（8分）联立直线与曲线的方程，消y得+（x+4）2=4，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4﹣4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3又x1+x2=﹣，x1x2=，…（…（10分）故=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+4）（x2+4）=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．解得t2=3与t2＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…（12分）8．（2015秋•瓦房店市校级月考）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM 面积的最大值，并求此时M点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由，得，平方作和得曲线C的标准方程：（x﹣1）2+y2=1．由，得ρcosθ﹣ρsinθ=0，即ρcosθ﹣ρsinθ=0．∴直线l的直角坐标方程为：x﹣y=0；（Ⅱ）∵圆心（1，0）到直线l的距离为，则圆上的点M到直线的最大距离为（其中r为曲线C的半径），又．设M点的坐标为（x，y），则过M且与直线l垂直的直线l′的方程为：x+y﹣1=0，联立，解得：，或．经检验舍去．故当点M为，时，△ABM面积的最大值为：．9．（2015秋•合肥校级月考）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P作直线l交圆C于A，B两点．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）圆C的圆心的极坐标为C（，），∴x==1，y==1，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）点P的极坐标为（2，π），化为直角坐标P（﹣2，0）．当直线l与圆C相切于等D时，则|PD|2=|PC|2﹣r2=（﹣2﹣1）2+（0﹣1）2﹣=8．∴|PA|•|PB|=|PD|2=8．10．（2014•枣强县校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1为（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C1的交点为A，与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）设C1与y轴正半轴交点为D，当时，设直线BD与曲线C1的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．【解答】解：（1）由ρ=6cosφ，得ρ2=6ρcosφ，所以C2的直角坐标方程是x2+y2﹣6x=0由已知得C1的直角坐标方程是，当α=0时射线与曲线C1，C2交点的直角坐标为（a，0），（6，0），∵|AB|=4，∴a=2，C1的直角坐标方程是①（2）联立x2+y2﹣6x=0与y=x得B（3，3）或B（0，0），∵B不是极点，∴B（3，3）．又可得D（1，0），∴，∴BD的参数方程为（t为参数）②将②带入①得，设D，E点的参数是t1，t2，则，，．。

1．极坐标系(1)定义在平面内取定点O，叫做极点，引一条射线OX叫做极轴，再选定一个长度单位和角的正方向(通常以逆时针方向)，这样就建立了极坐标系；(2)点的极坐标点M在极坐标平面内，|OM|=ρ，∠MOX=θ，则点M的坐标为M(ρ，θ)，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角．当ρ＜0时，∠XOP=θ，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|=|ρ|，点M就是坐标为(ρ，θ)的点．由于(ρ，θ+2kπ)，(-ρ，θ+(2k+1)π)(k∈Z)都表示同一点，因此在极坐标平面上点与有序数对不是一一对应的．但如果限定ρ＞0，0≤θ＜2π或-π＜θ≤π，则除极点外就可以一一对应了；(3)对称点坐标点M(ρ，θ)关于极轴的对称点为M；(ρ，-θ)，点M(ρ，θ)关于极点的对称点为M。

(-ρ，θ)，点M(ρ，θ)关于过极点与极轴垂直的直线(极垂线)的对称点为M(-ρ，-θ)；(4)极坐标内两点的距离公式2．直角坐标与极坐标的互化(1)互化条件原点与极点重合，极轴与x轴正半轴重合，两个坐标系长度单位一致．(2)互化公式(3)互化公式所得到的圆锥曲线的方程例题在极坐标系中，点(ρ，0)与(-ρ，π-θ)的位置是 [ ]A．关于极轴所在直线对称；B．关于极点对称；D．重合．说明一般地，为了求出点(ρ，θ)满足一定条件的极坐标，可先写出它的极坐标的一般形式，再根据ρ和θ的条件确定k的值，从而得到所要求的坐标．【例4】已知点B，C，D的直角坐标为(2，-2)，(0，-15)，(-12，5)，求它的极坐标(ρ＞0，0＜θ＜2π)．[ ]A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线分析将方程化为直角坐标方程，即可判断曲线形状．因为给定的[ ]∴极坐标方程是ρ=1+cosθ(图形是心脏线)．说明通过上两例可看出，化极坐标方程为直角坐标方程有时较容易判断曲线形状，但如曲线是由动点旋转运动而产生的，则它的极坐标方程可能比直角坐标方程简单．解法2 由圆锥曲线的统一方程可知∴b2=a2-c2=132-122=52以下同上．说明显然解法2简便，直接根据ρ，θ的几何意义求出a和c．*【例8】求以抛物线y2=3x的焦点为极点，对称轴向右的方向为极轴的正方向时，抛物线的极坐标方程．说明本例作了特殊的要求，则不能用互化公式，利用圆锥曲线统一的极坐标方程不仅方程形式简单，而且几何意义明显，这种特殊的互化方法有广泛的应用，应予以特别注意．解ρ(0)=6即a+c=6ρ(π)=2即a-c=2【例10】点P在直线x+y=1上移动，在连接原点与点P的射线上取点Q，使|QP|·|OQ|=4，求点Q的轨迹方程(如图3-2)解 x+ y=1化成极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1即x′2+y′2=±(4x+4y)．故Q点轨迹方程为 x2+y2-4x-4y=0，和x2+y2+4x+4y=0．3．曲线的极坐标方程在极坐标系中，称方程F(ρ，o)=0是曲线C的极坐标方程，如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C上的点，而且C上每一个点的坐标中至少有一个坐标能够满足这个方程．4．求曲线的极坐标方程和直角坐标系中一样，在极坐标系中求曲线的极坐标方程的主要方法有直接法、转移法和参数法，每种方法的计算步骤与直角坐标系完全类似，只需把步骤中的直角坐标(x，y)改成极坐标(ρ，θ)就可以了．求曲线的极坐标方程，经常要用正、余弦定理三角形面积公式和有关三角知识．5．常见曲线的极坐标方程(1)经过极点倾斜角为α的直线方程为θ=α和θ=α+π；(2)与极轴平行并与极轴距离为a(a＞0)的直线方程为ρsinθ=±a；(3)与极轴垂直(含极轴所在直线)与极点距离为b(b＞0)的直线方程ρcosθ=±b；(4)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r；(5)圆心在O′(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0；当0＜e＜l时，方程表示椭圆，当e=1，θ≠2kπ时方程表示抛物线，*(7)等速螺线方程(二)极坐标·习题解法提要(1)极坐标系是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系，通常点的极坐标(ρ，θ)中，ρ取非负值，表示极点O到点A的距离，极角θ采用弧度制．必要时，ρ也可取负值．极坐标平面上同一点的极坐标有无数种表示法，即若(ρ，θ)是一个点的极坐标，则(ρ，2kπ+θ)，[-ρ，(2k+1)π+θ](k∈Z)都是此点的极坐标．(2)在极坐标系中，由于曲线上同一点有不同的坐标，故对于一条曲线的同一极坐标方程，点的坐标中有的满足该方程，有的则不一定满足；但曲线上点的极坐标中应至少有一个满足此曲线的这一方程．同一曲线的极坐标方程也可能不止一种形式．(3)由于极坐标是用长度和角度来表示的，故在求曲线的极坐标方程时，常构造三角形，利用三角形中的边角关系及三角函数的有关公式求出ρ和θ的关系式，即曲线的方程．求曲线的极坐标方程的基本方法有：①直接法：建立极坐标系，根据动点的运动规律，列出动点的极径ρ与极角θ间的关系式，化简整理得出极坐标方程ρ=f(θ)．同时应注意θ的取值范围．②代入法：若已知Q点的轨迹方程和动点P与Q点的相关关系，则可先求出P，Q的极坐标间的关系式，再将关系式代入Q点满足的极坐标方程中，求出P点的轨迹的极坐标方程．③先求曲线的普通方程，再转化为极坐标方程．(4)在同一平面内建立的一个极坐标系和一个直角坐标系，当极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合时，平面上任一点P的极坐标(ρ，θ)与直角坐标(x，y)之间存在下列关系：(5)常见曲线的极坐标方程：(i)直线①过极点、倾斜角为α的直线：θ=α(ρ∈R)②与极轴垂直的直线：ρcosθ=a③与极轴平行的直线：ρsinθ=a④倾斜角为α、极点到它的距离在d的直线：ρsin(α-θ)=d(ii)圆①圆心在极点、半径为a的圆：ρ=a②过极点、圆心为(a，0)、半径为|a|的圆：ρ=2acosθ④圆心为C(ρ0，θ0)，半径为r的圆：(iii)圆锥曲线的统一的极坐标方程其中e为离心率，p为焦点到对应准线的距离．①当0＜e＜1时，方程表示极点为左焦点，极轴所在直线为对称轴的椭圆；②当e=1时，方程表示极点为焦点，开口向右的抛物线；③当e＞1时，方程表示极点为右焦点，极轴所在直线为对称轴的双曲线．ρ＞0时，为右支；ρ＜0时，为左支．椭圆的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)是以左焦点F1为极点O，射线F1F2为极轴，依据椭圆的第二定义得来此时极点到椭圆的左准线是p,椭圆的任意点P（ρ，θ)满足ρ/(p+ρcosθ)=e--->ρ=ep+eρcosθ--->ρ(1-ecosθ)=ep--->ρ=ep/(1-ecosθ)(0<e<1)这就是椭圆的极坐标方程。