高二数学下册第二次模块学习终结性检测题2

绥德中学2021-2021学年高二数学下学期第二次阶段性测试试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，计60分；在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕1.集合{|ln(1)}A y y x ==-，{}2|40B x x =-≤，那么A B =〔 〕A. {|2}x x ≥-B. {|12}x x <<C. {|12}x x <≤D.{|22}x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】化简集合,A B ,再根据交集的概念进展运算可得. 【详解】因为函数ln(1)y x =-的值域为R 所以A R =, 又集合[2,2]B =-,所以[2,2]A B B ⋂==-. 应选:D【点睛】此题考察了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于根底题. 2.命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<，那么命题 P 的否认为〔 〕 A. ,(0,1)∀∈x y ，2x y +≥ B. ,(0,1)∀∉x y ，2x y +≥ C. 00,(0,1)∃∉x y ，002+≥x y D. 00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y【答案】D【分析】根据全称命题的否认是特称命题，可直接得出结果.【详解】命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<的否认为“00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y 〞． 应选D【点睛】此题主要考察全称命题的否认，只需改写量词与结论即可，属于根底题型.3.假设{}n a 是首项为1的等比数列，那么“869a a >〞是“23a >〞的〔〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由有2a q =，因为869a a >时，那么29q >，可得33q q ><-或，即“869a a >〞不能推出“23a >〞，由3q >可得869a a >，即“23a >〞能推出“869aa >〞，结合充分必要条件的判断即可得解.【详解】解：假设869a a >时，那么29q >，那么33q q ><-或，又2a q = 那么23a <-或者23a >；假设23a q =>时，那么6289a q a =>， 即“869a a >〞是“23a >〞的必要不充分条件，【点睛】此题考察充分条件、必要条件，考察推理论证才能.4.,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，命题:p 假设222a b c +>，那么ABC 的锐角三角形，命题:q 假设a b >，那么cos cos A B <.以下命题为真命题是〔 〕 A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D.()()p q ⌝∨⌝【答案】D 【解析】 【分析】先利用余弦定理判断命题p 的真假，然后利用余弦函数的单调性判断命题q 的真假，再逐项判断含逻辑联结词的复合命题的真假.【详解】因为222a b c +>，2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C >，所以C 为锐角，但角A ，B 不能确定，所以p 为假命题；假设a b >，那么A B >，因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以cos cos A B <，所以q 为真命题，所以p q ∧为假命题，()p q ∨⌝为假命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()()p q ⌝∨⌝为真命题. 应选：D ．【点睛】判断含逻辑联结词的复合命题的真假，首先可根据条件判断出原命题的真假，然后再根据逻辑联结词且、或者、非判断复合命题的真假.属于中档题.5.函数()13sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，那么()()9f f =〔 〕A.12B. 12-D.【解析】 【分析】利用函数()y f x =的解析式由内到外计算出()()9ff 的值.【详解】()13sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()139log 92f ∴==-， 因此，()()()92sin sin 33ff f ππ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭，应选D. 【点睛】此题考察分段函数值的计算，对于多层函数值的计算，需充分利用函数解析式，由内到外逐层计算，考察计算才能，属于根底题.6.设f(x)为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()372xf x x b =-+〔b 为常数〕，那么f(-2)=〔 〕 A. 6 B. -6 C. 4 D. -4【答案】A 【解析】∴f(x)为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()372xf x x b =-+，∵()0120f b =+=， ∴12b =-． ∴()371xf x x =--，∴()22(2)(3721)6f f -=-=--⨯-=．选A ．7.设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，那么有〔 〕A. 13()()(1)32f f f << B. 31(1)()()23f f f <<C. 13(1)()()32f f f <<D. 31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案. 【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选A.【点睛】此题考察利用函数的单调性、奇偶性比拟函数值的大小，考察利用知识解决问题的才能.8.函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[)0+∞，，那么实数m 的取值范围为〔 〕A. {}0-3，B. []-30，C. ][()--30∞⋃+∞，， D. {}03，【答案】A【解析】 【分析】 根据函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[)0+∞，，由[]()22(3)1230∆=-+-+=m m 求解即可.【详解】因为函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[)0+∞，， 所以[]()22(3)1230∆=-+-+=m m ， 所以()2(3)330+-+=m m ，解得0m =或者3m =-，所以实数m 的取值范围为{}0-3，. 应选：A【点睛】此题主要考察函数的值域的应用，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 9.二次函数()224f x x x =-- 在区间[]2,a - 上的最小值为5-，最大值为4，那么实数a的取值范围是〔 〕 A. ()2,1-B. (]2,4-C. []1,4D.[)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴与定义区间位置关系分析确定实数a 满足的条件. 【详解】因为()()()15244f f f =--==，，对称轴为1x =, 所以实数a 的取值范围是[]1,4,选C.【点睛】此题考察二次函数最值，考察根本分析求解才能，属根底题.10.(32)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 〔 〕A. ()0,1B. 2(0,)3C. 1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D.22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件可以得到()f x 为R 上的减函数，根据各自范围上为减函数以及分段点处的上下可得实数a 的取值范围.【详解】因为任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，所以对任意的12x x <，总有()()12f x f x >即()f x 为R 上的减函数，所以01320720a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2273a ≤<，应选D.【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段点也具有相应的上下分布，我们往往容易无视后者.11.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且()f x 的图象关于点(3,0)对称，当12x 时，3 ()2log (43)f x x x =++，那么1609()2f =〔〕A. 4-B. 4C. 5-D. 5【答案】C【分析】由()f x 的图象关于点(3,0)对称，那么()(6)0f x f x +-=，结合()(2)f x f x =-， 那么可得()(8)f x f x =+，即函数()f x 的周期为8，即有16099()()22f f =，又9()52f =-， 即可得解.【详解】解：因为()f x 的图象关于点(3,0)对称，所以()(6)0f x f x +-=.又()(2)f x f x =-，所以(2)(6)0f x f x -+-=，所以()(4)f x f x =-+，那么()(8)f x f x =+，即函数()f x 的周期为8，所以160999()(1008)()222f f f =+⨯=， 因为99()(6)022f f +-=，()393()()3log 9522f f =-=-+=-，所以1609()52f =-， 应选C.【点睛】此题考察函数的对称性与周期性，考察推理论证才能与抽象概括才能. 12.对任意实数,a b 定义运算“〞，,,,b a b ab a a b≥⎧=⎨<⎩，设2()(2)(4)f x x x =--，有以下四个结论： ①()f x 最大値为2；②()f x 有3个单调递减区间； ③()f x 在3[,1]2--是减函数； ④()f x 图象与直线y m =有四个交点，那么02m ≤<，其中正确结论有〔 〕 A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个【解析】 【分析】根据f x （）的解析式，作出f x （）的图象，根据图象判断每个选项是否正确.【详解】根据定义，作出f x （）的图象〔实线局部〕，可知当2x =±或者0时，f x （）获得最大值2，①正确；f x （）单调递减区间为[2,2],[0,2],[2,)--+∞，所以②正确；由图象可知，f x （）在3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，③错误；要使f x （）图象与直线y m =有四个交点，那么0m =，④不正确.故答案为C.【点睛】以新定义运算为背景，设计出函数性质与图象的综合问题，考察函数的最大值、单调性、图象综合性问题，重在考察学生的转化才能和作图才能，属于中档题.第II 卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，计20分〕13.{|1}A x y x ==-，{|1}B x x m =≤+，假设x A ∈是x B ∈的必要条件，那么m 范围是______. 【答案】(,0]-∞ 【解析】根据函数的定义域求出集合A ，由x A ∈是x B ∈的必要条件可得B A ⊆，结合集合的包含关系得出参数的范围.【详解】由{}{|1A x y x x ===≤，{|1}B x x m =≤+ 又∵x A ∈是x B ∈的必要条件，∴B A ⊆，∴11m +≤，解得0m ≤，即m 的取值范围是(,0]-∞， 故答案为(,0]-∞.【点睛】此题主要考察函数定义域的求法、考察数学中的等价转化才能、集合的包含关系，属于中档题.14.定义在R 上的函数()f x 满足()()6.f x f x +=当[)3,3x ∈-时，()()22,31,13x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，(1)(2)(3)(2018)(2019)f f f f f +++⋯++=_________．【答案】338 【解析】 【分析】确定函数是6T =的周期函数，计算一个周期的函数值和为1，再计算得到答案. 【详解】()()6f x f x +=故函数()f x 是6T =的周期函数.(1)(2)(3)(4)(5)(6)1210101f f f f f f +++++=+-+-+=故(1)(2)(3)(2018)(2019)3361(1)(2)(3)338f f f f f f f f +++⋯++=⨯+++= 故答案为338【点睛】此题考察了周期函数的计算，确定一个周期的函数和值是解题的关键. 15.给出以下结论：①命题“假设2340x x +-=，那么4x =〞的逆否命题“假设4x ≠，那么2340x x --≠〞；②“4x =〞是“2340x x --=〞的充分条件；③命题“假设0m >，那么方程20x x m +-=有实根〞的逆命题为真命题； ④命题“假设220m n +=，那么0m =且0n =〞的否命题是真命题. 其中错误的选项是__________.〔填序号〕 【答案】③ 【解析】 【分析】根据逆否命题的定义、充分条件的断定和四种命题的关系可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于①，根据逆否命题的定义可知：“假设2340x x +-=，那么4x =〞的逆否命题为“假设4x ≠，那么2340x x --≠〞， ①正确；对于②，当4x =时，234161240x x --=--=，充分性成立，②正确； 对于③，原命题的否命题为“假设0m ≤，那么方程20x x m +-=无实根〞；当104m -≤≤时，140m ∆=+≥，此时方程20x x m +-=有实根，那么否命题为假命题； 否命题与逆命题同真假，∴逆命题为假命题，③错误；对于④，原命题的逆命题为“假设0m =且0n =，那么220m n +=〞，可知逆命题为真命题；否命题与逆命题同真假，∴否命题为真命题，④正确. 故答案为：③.【点睛】此题考察四种命题的关系及真假性的判断、充分条件的断定等知识；关键是纯熟应用四种命题真假性的关系来进展命题真假的判断.16.函数1()x x e f x e a-=+为奇函数，那么a =____________.【答案】1 【解析】 【分析】根据奇函数定义()()f x f x -=-可构造方程求得结果.【详解】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即1111x x x x xxe e e e a ae e a-----==-+++， 1x x ae e a ∴+=+恒成立，1a .故答案为：1.【点睛】此题考察根据函数奇偶性求解参数值的问题；解决此类问题常有两种方法：①定义法；②特殊值法.三、解答题.〔本大题一一共6道题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=. 〔Ⅰ〕求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值.【答案】〔Ⅰ〕直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.〔Ⅱ〕2 【解析】 【分析】〔1〕求直线l 的普通方程，消去参数t 即可；求圆的直角坐标方程利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩互化即可.〔2〕根据直线所过定点，利用直线参数方程中t 的几何意义求解||||PA PB ⋅的值. 【详解】解：〔Ⅰ〕直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=. 〔Ⅱ〕联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222t -++---=，化简可得220t +-=. 那么12||||||2PA PB t t ⋅==.【点睛】〔1〕直角坐标和极坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩；〔2〕直线过定点P ，与圆锥曲线的交点为A B 、，利用直线参数方程中t 的几何意义求解：||||||AB PA PB 、，那么有12||||AB t t =-，12||||||PA PB t t =.18.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =+⎧⎨=-+⎩〔t 为参数〕，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ+=.〔1〕写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；〔2〕假设点Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的间隔 的最小值 【答案】〔1〕50x y --=，()2224x y ++=；〔2〕1. 【解析】〔1〕两式相减，消去t 后的方程就是直线l 的普通方程，利用转化公式222x y ρ=+，sin y ρθ= ，极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，然后写出点到直线的间隔 公式，转化为三角函数求最值.【详解】〔1〕直线l 的普通方程为：50x y --=，由线C 的直角坐标方程为：()2224x y ++=.〔2〕曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=-+⎩〔α为参数〕，点P 的直角坐标为()3,3--，中点32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，那么点M 到直线l 的间隔d =， 当cos 14πα⎛⎫⎪⎝⎭+=时，d的最小值为1， 所以PQ 中点M 到直线l 的间隔的最小值为1.【点睛】此题考察了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将间隔 的最值转化为三角函数问题，意在考察转化与化归的思想，以及计算求解的才能，属于根底题型.19.函数2()(21)3f x x a x =+--.〔1〕当[22]3a x =-∈，，时，求函数()f x 的值域； 〔2〕假设函数()f x 在[13]-，上的最大值为1，务实数a 的值. 【答案】(1) 21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) 13a =-或者1-.【解析】〔1〕利用二次函数，配方通过闭区间以及二次函数的对称轴求解函数最值即可. 〔2〕求出函数的对称轴，利用对称轴与求解的中点，比拟，求解函数的最大值，然后求解a 的值即可.【详解】〔1〕当2a =时，22321()3324f x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 又2[]3x ∈-，，所以321()min 24f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， max315f x f ==（）（），所以值域为21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 〔2〕对称轴为212a x -=-. ①当2112a --≤，即12a ≥-时， max 363f x f a ==+（）（）， 所以631a +=，即13a =-满足题意； ②当2112a -->，即12a <-时，max 121f x f a ==（）（﹣）﹣﹣，， 所以211a =﹣﹣，即1a =﹣满足题意. 综上可知13a =-或者1-.【点睛】此题考察二次函数的性质的应用，考察计算才能，考察分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20.某外语的一个社团有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的交流访问.求： 〔1〕在选派的3人中恰有2人会法语的概率；〔2〕求在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列.【答案】〔1〕47；〔2〕见解析. 【解析】 【分析】〔1〕利用组合的知识计算出根本领件总数和满足题意的根本领件数，根据古典概型概率公式求得结果；〔2〕确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列.【详解】〔1〕7名同学中，会法语的人数为5人，从7人中选派3人，一共有37C 种选法；其中恰有2人会法语一共有2152C C 种选法；∴选派的3人中恰有2人会法语的概率21523747C C p C ==. 〔2〕由题意可知：X 所有可能的取值为0,1,2,3，()34374035C P X C ===；()21433718135C C P X C ===；()12433712235C C P X C ===；()33371335C P X C ===；X ∴的分布列为：【点睛】此题考察古典概型概率问题的求解、超几何分布的分布列的求解问题；关键是可以利用组合的知识计算出根本领件个数和超几何分布中随机变量每个取值对应的概率，属于根底题型.21.新高考HY 后，国家只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上、下学期，物理、化学、生物、地理、历史、政治这六科那么以该的会考成绩为准.考生从中选择三科成绩，参加大学相关院系的录取.〔1〕假设英语等级考试成绩有一次为优，即可到达某211院校的录取要求.假设某个学生参加每次等级考试事件是HY 的，且该生英语等级考试成绩为优的概率都是13，求该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为优的概率；〔2〕据预测，要想报考该211院校的相关院系，会考的成绩至少在90分以上，才有可能被该校录取.假设该生在会考六科的成绩，考到90分以上概率都是13，设该生在会考时考到90分以上的科目数为ε，求ε的分布列及数学期望. 【答案】(1) 427(2) 分布列见解析；数学期望2 【解析】 【分析】(1)先用对立事件求得该生英语等级考试成绩不为优的概率为12133-=,再根据HY 事件的概率公式可得.(2)利用二项分布的概率公式可得分布列,利用期望公式计算可得. 【详解】〔1〕记该生“英语等级考试成绩为优〞为事件A ，概率为()13P A =，那么该生“英语等级考试成绩不为优〞为事件A ，概率为12()133P A =-=，那么该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为优的概率为2214()()()3327P P A P A P A ⎛⎫===⎪⎝⎭.〔2〕解法一 由题意知ε的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.那么0660612264(0)333729P C ε⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，151612192(1)C 33729P ε⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，242612240(2)C 33729P ε⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 333612160(3)C 33729P ε⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，42461260(4)C 33729P ε⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 51561212(5)C 33729P ε⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 666121(6)33729P C ε⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以随机变量ε的分布列为6419224016060121()01234562729729729729729729729E ε=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 解法二 依题意得1~6,3B ε⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以6612()33k kkP k C ε-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5,6k =.所以ε的分布列为1()623E ε=⨯=.【点睛】此题考察了对立事件的概率公式,互相HY 事件的概率公式,二项分布的分布列和期望公式,属于中档题.22.函数()()22f x ax a x lnx =-++，(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(Ⅱ)当0a >时，假设()f x 在区间[]1,e 上的最小值为-2，其中e 是自然对数的底数，务实数a 的取值范围；【答案】(1)2y =-.(2)1a ≥. 【解析】【详解】分析：〔1〕求出()'f x ，由 ()1f 的值可得切点坐标，由()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；〔2〕分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性求得函数最小值，令所求最小值等于2-，排除不合题意的a 的取值，即可求得到符合题意实数a 的取值范围. 详解：(Ⅰ)当1a =时，()()213,'23f x x x lnx f x x x=-+=-+， ()123f x x x=-+因为()()'10,12f f ==-， 所以切线方程是2y =-；(Ⅱ)函数()()22f x ax a x lnx =-++的定义域是()0,∞+当0a >时，()()()22211'22ax a x f x ax a x x-+-=-++=()()211(0)x ax x x --=>令()'0f x =得12x =或者1x a= 当11a≤时，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是12f ，满足条件，于是1a ≥ ②当11e a <≤，即11a e ≤<时，()f x 在[]1,e 上的最小1()f a， 即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递增 最小值()112f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，不合题意； ③当1e a >，即10a e<<时，()f x 在[]1,e 上单调递减， 所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()()12f e f <=-，不合题意. 综上所述有，1a ≥.点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：〔1〕求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()00,x f x 处的切线斜率〔当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =〕；〔2〕由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2021届高二下学期二阶考试理科数学试卷创作人：历恰面日期：2020年1月1日参考公式:一、选择题(每一小题5分,一共60分)1. 在两个变量与的回归模型中,分别选择了个不同的模型,它们的相关指数分别为:模型的相关指数为,模型的相关指数为,模型的相关指数为,模型的相关指数为.其中拟合效果最好的是( )A. 模型B. 模型C. 模型D. 模型4【答案】A【解析】解：两个变量与的回归模型中，相关指数越大那么拟合效果越好，应选A 2. 三个正态变量的概率密度函数)的图象如下图,那么( )A. B. C.D.【答案】D【解析】正态曲线曲线关于对称，且在处获得峰值，由图得，，故，应选D.3. 随机变量,假设,那么 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】点睛：正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原那么求概率问题时，要注意把给出的区间或者范围与正态变量的μ，σ进展比照联络，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.4. 随机变量,且,那么( )A. 6B. 8C. 18D. 20【答案】C【解析】5. 回归方程,那么该方程在样本处的残差为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】6. 由下表可以计算出变量的线性回方程为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.假如线性相关，那么直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.7. 某班组织文艺晚会, 准备从等个节目中选出个节目演出, 要求两个节目至少有一个被选中, 且同时被选中时, 它们的演出顺序不能相邻, 那么不同的演出顺序种数为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】只被选中一个时，有种；都被选中时，有种；一一共有1140种点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法〞；(2)元素相间的排列问题——“插空法〞；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法〞；(4)带有“含〞与“不含〞“至多〞“至少〞的排列组合问题——间接法.8. 现有个男生, 个女生和个教师一共六人站成一排照相,假设两端站男生, 个女生中有且仅有两人相邻,那么不同的站法种数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：第一步，2个男生站两端，有种站法；第二步，3个女生站中间，有种站法；第三步，教师站中间女生的左边或者右边，有种站法．据分步乘法计数原理，一共有种站法，选B．考点：排列组合．9. 不等式对任意实数恒成立, 那么实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，点睛：含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想.10. 同时抛两枚均匀的硬币次,设两枚硬币出现不同面的次数为,那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】抛一次出现不同面概率为，出现同面概率为，那么出现不同面次数符合二项分布11. 在二项式的展开式中,含项的系数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略项，再由特定项的特点求出值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.12. 某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为,那么椭圆的离心率的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】一共6种情况二、填空题(每一小题5分,一共20分)13. 甲、乙、丙三名大学生同时到一个用人单位应聘,他们能被选聘中的概率分别为且各自能否被选聘中是无关的,那么恰好有两人被选聘中的概率为______【答案】【解析】14. 为理解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关,对该班名学生进展了问卷调查,得到了如下列联表喜欢打篮球不喜欢打篮球合计男生女生合计那么至少有_____的把握认为喜欢打篮球与性别有关(请用百分数表示).【答案】【解析】那么至少有的把握认为喜欢打篮球与性别有关15. 设且,那么的最小值为_____.【答案】4【解析】试题分析：，当且仅当时等号成立，∴的最小值为．考点：根本不等式求最值．16. 假设二项式的展开式中只有第四项的二项式系数最大,且常数项为,那么_____.【答案】【解析】只有第四项的二项式系数最大，那么；第项为，即，那么时为常数项；；点睛：二项式系数最大项确实定方法①假如是偶数，那么中间一项(第项)的二项式系数最大；②假如是奇数，那么中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大.三、解答题(第17题10分,18至22题每一小题12分,一共60分)17. 函数.(1)求不等式的解集(2)设,证明: .【答案】〔1〕〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集〔2〕利用分析法证明不等式：，平方作差并因式分解可得结论试题解析：(1)①当时,原不等式可化为,解得;②当时,原不等式可化为,解得,此时原不等式无解;③当时,原不等式可化为,解得.综上, .〔2〕因为,所以,要证,只需证,即证,即证,即证,即证.因为,所以,所以成立,所以原不等式成立.名,其中种子选手名;乙协会的运发动名,其中种子选手名运发动中随机选择人参加比赛.(1)设为事件“选出的人中恰有名种子选手,且这名种子选手来自同一个协会〞求事件发生的概率;(2)设为选出的人中种子选手的人数,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】〔1〕〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕从这名运发动中随机选择人参加比赛有种方法，而事件A包含种方法，最后根据古典概型概率求法得概率〔2〕先确定随机变量取法为，再利用组合求出对应概率。

2019-2020学年高二年下学期第二次阶段考数学试卷2020-06-27一、单选题：每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则()A B =R（）A. {|01}A x x =<≤B. {|01}A x x =<<C. {|12}A x x =≤<D. {|12}A x x =<<【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合B 的补集，再求解()RAB 的结果.【详解】因为{|1}B x x =≤，所以R{|1}B x x =>，则(){|12}AB x x =<<R.故选D.【点睛】本题考查集合的补集、交集运算，难度较易.2.一物体做直线运动，其位移s (单位: m )与时间t (单位: s )的关系是25s t t =-，则该物体在3t s =时的瞬时速度是 A. 1m /s - B. 1m /s C. 2m /s D. 6m /s【答案】A 【解析】 【分析】先对s 求导，然后将3t =代入导数式，可得出该物体在3t s =时的瞬时速度． 【详解】对25s t t =-求导，得52s t '=-，35231/t s m s =∴=-⨯=-'，因此，该物体在3t s =时的瞬时速度为1/m s -，故选A ．【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．3.命题:p x R ∃∈，31x ≤-，则p ⌝为（） A. x R ∃∈，31x >-B. x R ∀∈，31x ≤-C. x R ∀∈，31x >-D. x R ∀∈，31x ≥-【答案】C 【解析】 【分析】含有一个量词命题的否定方法：改变量词，否定结论.【详解】量词改为：x R ∀∈，结论改为：31x >-，则x R ∀∈，31x >-. 故选C.【点睛】本题考查含一个量词命题的否定，难度较易.含一个量词命题的否定方法：改量词，否结论.4.独立性检验中,假设0H :运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下,计算得2K 的观测值7.236k ≈.下列结论正确的是（ ） 附：A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关C. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关D. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关 【答案】A 【解析】 【分析】根据临界值表找到犯错误的概率，即可对各选项结论的正误进行判断． 【详解】()2 6.6350.01P K ≥=，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选A ．【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，解题的关键就是利用临界值表找出犯错误的概率，考查分析能力，属于基础题．5.如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A. 38B.12C.58D.78【答案】C 【解析】 【分析】灯泡亮灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．【详解】由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的， 所以灯泡亮的概率为111111111222211152222822222+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯， 故选：C ．【点睛】本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查互斥事件有一个发生的概率，独立事件同时发生的概率，解决本题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，也可以利用对立事件来求，属于中档题． 6.函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案. 【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项， 而()ln ln f x x x x x -=--=-， 所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项， 故选C 项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.7.已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设ξ为取得红球的次数，则()2P ξ== A.425B.36125C.925D.54125【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出随机变量2~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用二项分布概率公式计算出()2P ξ=． 【详解】由题意知，1~3,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由二项分布的概率计算公式得()22323362=55125P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查二项分布概率的计算，关键是要弄清楚随机变量所服从的分布，同时也要理解独立重复试验概率的计算公式，着重考查了推理与运算能力，属于中等题． 8.“1a >”是“函数()ax n f x si x =-是增函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先由函数()sin f x ax x =-为增函数，转化为()0f x '≥恒成立，求出实数a 的取值范围，再利用实数a 的取值范围的包含关系得出两条件的充分必要关系．【详解】当函数()sin f x ax x =-为增函数，则()cos 0x a x f '=-≥在R 上恒成立， 则()max cos 1a x ≥=，因此，“1a >”是“函数()sin f x ax x =-为增函数”的充分不必要条件，故选A ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及参数的取值范围，一般要由两取值范围的包含关系来判断，具体如下： （1）A B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）AB ，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件；（3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件；（4）A B ⊄，则则“x A ∈”是“x B ∈”的既不充分也不必要条件．9.将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排方法共有 A. 24种 B. 30种C. 32种D. 36种【答案】B 【解析】【分析】利用间接法，即首先安排4人到三个地方工作的安排方法数N ，再求出当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时的安排方法数n ，于是得出答案N n -．【详解】先考虑安排4人到三个地方工作，先将4人分为三组，分组有24C 种，再将这三组安排到三个地方工作，则安排4人到三个地方工作的安排方法数为234336N C A ==种，当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、乙两名志愿者安排在同一个地方工作的安排方法数为336n A ==，因此，所求的不同安排方法数为36630N n -=-=种，故选B ．【点睛】本题考查排列组合综合问题的求解，当问题分类情况较多或问题中带有“至少”时，宜用间接法来考查，即在总体中减去不符合条件的方法数，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题．10.已知函数21()2,()f x x ax g x x=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f x B x g x ，使得直线AB 与两曲线()y f x =和()y g x =都相切，当实数a 取最小值时，12x x +=（ ）A.D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出函数()(),f x g x 在,A B 点的切线方程，再根据题意可得出4118x a x =-，构造函数4()8x h x x =-，求出()h x 的最小值即可求出1x ，从而得到12x x +.【详解】2()2,f x x ax =+∴ ()22f x x a '=+， ∴()1122f x x a '=+，又()21112f x x ax =+，过A 点切线方程为：()21122y x a x x =+-，①又1()g x x=-，∴21()g x x '=，即()2221g x x '=，又()221g x x =-， 因此过B 点的切线方程为：22212y x x x =-，② 由题意知①②都为直线AB ,1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 4118x a x =-，令4()8x h x x =-，332()122x x h x '-=-=， 令()0h x '=，x =(,0)x ∈-∞和时，()h x 单调递减，且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=，恒成立，)x ∈+∞时，()h x 单调递增，x ∴=时，()min h x ，1x ∴，则2212x x==12x x ∴+=故选：A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.二、多选题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，至少有2个选项符合题目要求.作出的选择中，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的知识决定格局，格局影响命运得2分，正确选项全部选出的得5分. 11.设离散型随机变量X 的分布列为.若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（） A. 0.1q =B. 2EX =， 1.4DX =C. 2EX =， 1.8DX =D. 5EY =，7.2DY =【答案】ACD 【解析】 【分析】先计算q 的值，然后考虑EX 、DX 的值，最后再计算EY 、DY 的值. 【详解】因为0.40.10.20.21q ++++=，所以0.1q =，故A 正确； 又00.110.420.130.240.22EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.2 1.8DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故C正确；因为21Y X =+，所以215EY EX =+=，47.2DY DX ==，故D 正确. 故选ACD.【点睛】随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量Y 与随机变量X 满足Y aX b =+，则EY aEX b =+，2DY a DX =. 12.函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ） A. 不等式()0>g x 的解集为1(,)e+∞B. 函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C. 若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，则(0,1)a ∈D. 若120x x >>时，总有221212()()()2m x x f x f x ->-恒成立，则1m【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，极值点，结合恒成立问题求参，对选项进行逐一分析即可.【详解】因为()ln f x x x =、'()()f x g x x=ln 1x x +=，则()2ln x g x x -'=， 令()0g x '>，可得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增； 令()0g x '<，可得()1,x ∈+∞，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，且()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：对A ，数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故A 正确；对B ，由上面分析可知，B 错误；对C ，若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，即()2F x xlnx ax =-有两个极值点，又()21F x lnx ax -'=+，要满足题意，则需210lnx ax -+=在()0,∞+有两根， 也即12lnx a x+=在()0,∞+有两根，也即直线2y a =与()y g x =的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故C 是错误；对D ，若120x x >>时，总有221212()()()2m x x f x f x ->-恒成立， 即2211122222m m x x lnx x x lnx ->-恒成立， 构造函数()22m g x x xlnx =-，则()()12g x g x >对任意的120x x >>恒成立，故()g x 在()0,∞+单调递增，则()10g x mx lnx '=--≥在()0,∞+恒成立， 也即1lnx m x+≤在区间()0,∞+恒成立，则()1max g x m =≤，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，极值点个数，恒成立问题求参数范围，属较难题.三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 13.已知随机变量()2~100,,(80100)0.4X N P Xσ<=，则P(X>120)=___________【答案】0.1 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出()()()112080801002P X P X P X >=<=-<≤，可得出答案．【详解】由于随机变量()2~100,X N σ，正态密度曲线的对称轴为直线100x =，所以，()()()112080801000.50.40.12P X P X P X >=<=-<≤=-=，故答案为0.1． 【点睛】本题考查正态分布概率的计算，解这类问题的关键就是要充分利用正态密度曲线的对称轴，利用对称性解题，考查计算能力，属于基础题．14.同宿舍的6个同学站成一排照相，其中甲只能站两端，乙和丙必须相邻，一共有_____种不同排法（用数字作答） 【答案】96 【解析】 【分析】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，然后排甲，甲只能在两端，有2种站法，利用分步乘法计数原理可求出答案.【详解】设甲乙丙之外三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，有2424A A 48=种，甲只能在两端，甲有2种站法，则共有48296⨯=种排法.【点睛】本题考查了排列组合，考查了相邻问题“捆绑法”的运用，属于基础题.15.已知命题{}22:540,0p A t t at a a =-+<≠，命题{}:42q B t t =-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】322a ≤≤ 【解析】 【分析】先分别求出集合A 与B ，再利用p 是q 的必要不充分条件，即可得解.【详解】{}()(){}22:540,040,0p A t t at a a t t a t a a =-+<≠=--<≠，当0a >时，{}4A t a t a =<<， 当0a <时，{}4A t a t a =<<，{}{}:4226q B t t t t =-<=<<，因为p 是q 的必要不充分条件， 当0a >时，2a ≤且46a ≥，解得322a ≤≤， 当0a <时，显然不满足p 是q 的必要不充分条件， 所以，实数a 的取值范围为322a ≤≤. 故答案为：322a ≤≤. 【点睛】本题主要考查利用必要不充分条件求参数的取值范围问题及集合包含关系的应用，其中涉及到一元二次不等式和绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题.16.已知函数32()4f x x ax =++恰有两个零点，则实数a 的值为___________【答案】3- 【解析】【分析】令()0f x =，得24a x x -=+，转化为直线y a =-与函数()()240g x x x x=+≠的图象有两个交点，于此可得出实数a 的值．【详解】令()324f x x ax =++，得24a x x -=+，构造函数()24g x x x =+，其中0x ≠， 问题转化为：当直线y a =-与函数()()240g x x x x=+≠的图象有两个交点，求实数a 的值．()333881x g x x x-=-='，令()0g x '=，得2x =，列表如下： x(),0-∞()0,22()2,+∞()g x ' +-+()g x极小值3作出图象如下图所示：结合图象可知，3a -=，因此，3a =-，故答案为3-．【点睛】本题考查函数的零点个数问题，由函数零点个数求参数的取值范围，求解方法有如下两种：（1）分类讨论法：利用导数研究函数的单调性与极值，借助图象列出有关参数的不等式组求解即可；（2）参变量分离法：令原函数为零，得()a g x =，将问题转化为直线y a =与函数()y g x =的图象，一般要利用导数研究函数()y g x =的单调性与极值，利用图象求解．17.52(1)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是____________(用数字作答) 【答案】80- 【解析】 【分析】将二项式()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭变形为5522x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出其展开式通项为()()62525522r k r r kk C x C x --⋅⋅-+⋅⋅-，再利用620520,r k r k N -=⎧⎪-=⎨⎪∈⎩，求出3r =，k 不存在，再将3r =代入可得出所求常数项．【详解】()5552221x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的通项为555522r krr k k xC x C x x x --⎛⎫⎛⎫⋅⋅-+⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()62525522rkr r kk C x C x --=⋅⋅-+⋅⋅-，令620520,r k r k N -=⎧⎪-=⎨⎪∈⎩，可得3r =，k 不存在， 因此，()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是()335280C ⋅-=-，故答案为80-．【点睛】本题考查二项式定理，考查指定项系数的求解，解这类问题一般是利用二项式定理将展开式表示为通项，利用指数求出参数，考查计算能力，属于中等题． 18.设函数()()e1xf x x =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．【答案】1(,)2-∞-【解析】 【分析】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m 的取值范围.【详解】由题意可知，()f x 在[]22-,上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值. ()e x f x x '=，当[]2,0x ∈-时，()0f x '≤，此时函数()f x 单调递减；当(]0,2x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增.()()00e 011f =-=-，即函数()f x 在[]22-,上的最小值为-1. 函数()g x mx =为直线，当0m =时，()0g x =，显然10-<不符合题意；当0m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 的最小值为()1g m =，则1m <-，与0m >矛盾；当0m <时，()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 的最小值为()22g m =，则12m ->，即12m <-，符合题意.故实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.四、解答题：本大题共5题，每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.在二项式nx ⎛⎝展开式中，所有的二项式系数和为256． （1）求展开式中的最大二项式系数； （2）求展开式中所有有理项中系数最小的项．【答案】（1）48C 70=；（2）21256x【解析】 【分析】（1）展开式中所有的二项式系数和012C C C C 2n nn n n n ++++=，可求出8n =，即二项式系数最大的项是第5项，即可求出答案；（2）由题可得84181C (1)()2rr r rr r T x --+=-，r 取值为0，4，8时，1r T +为有理项，分别求出对应项，即可得出答案. 【详解】解:（1）依题意得012C C C C 2256n n n n n n ++++==，所以8n =，因此二项式系数最大的项是第5项，所以最大二项式系数为48C 70=.（2）5884418811C (1)()C (1)()22r rr rrr r r rr T x x ---+=-=-(,8)r N r ∈≤，1r T +为有理项，则r 可取值为0，4，8.有理项为 8101T T x +==，3541358T T x +==，98121256T T x +==， 所求有理项的系数最小项为21256x .【点睛】二项式系数与项的系数的区别： 二项式系数是指012C ,C ,C ,,C n n n n n ；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分.20.某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题． (1)求甲选手能晋级的概率； (2)若乙选手每题能答对的概率都是34，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平． 【答案】（1）45；（2）乙选手比甲选手的答题水平高 【解析】 【分析】（1）解法一：分类讨论，事件“甲选手能晋级”包含“甲选手答对2道题”和“甲选手答对3道题”，然后利用概率加法公式求出所求事件的概率；解法二：计算出事件“甲选手能晋级”的对立事件“甲选手答对1道题”的概率，然后利用对立事件的概率公式可计算出答案；（2）乙选手答对的题目数量为X ，甲选手答对的数量为Y ，根据题意知3~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，随机变量Y 服从超几何分布，利用二项分布期望公式求出()E X ，再利用超几何分布概率公式列出随机变量Y 的分布列，并计算出()E Y ，比较()E X 和()E Y 的大小，然后可以下结论． 【详解】解法一：（1）记“甲选手答对i 道题”为事件i A ，1,2,3i =，“甲选手能晋级”为事件A ，则23A A A =．()()()()2134242323336645C C C P A P A A P A P A C C =⋃=+=+=；（2）设乙选手答对的题目数量为X ，则3~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()39344E X =⨯=， 设甲选手答对的数量为Y ，则Y 的可能取值为1,2,3，()124236115C C P Y C ===，()214236325C C P Y C ===，()3436135C P Y C ===， 故随机变量Y 的分布列为所以，()1311232555E Y =⨯+⨯+⨯=，则()()E X E Y >， 所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件A ，则()124236141155C C P A C =-=-=； （2）同解法二．【点睛】本题考查概率的加法公式、对立事件的概率、古典概型的概率计算以及随机变量及其分布列，在求随机分布列的问题，关键要弄清楚随机变量所服从的分布类型，然后根据相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 21.已知函数2()3ln .f x x x x =--(1)求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求()f x 在1[,3]2上的最大值与最小值． 【答案】（1）22y x =-+；（2）63ln3- 【解析】 【分析】（1）利用导数求出()1f '的值，作为切线的斜率，并计算出()1f ，再利用点斜式写出切线的方程；（2）利用导数分析函数()y f x =在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，并求出极值，再与端点值比较大小，即可得出函数()y f x =在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【详解】（1）()23ln f x x x x =--，()()2323210x x f x x x x x--∴=--=>，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为()12k f '==-， ()10f =，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()21y x =--，即22y x =-+；（2）()()()212323x x x x f x x x+---∴==，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 当13,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．所以，()min 3333ln 242f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，因为113ln 224f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()363ln3f =-， 所以，()2111363ln 663ln 0244f f e ⎛⎫-=->->⎪⎝⎭，则()132f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以，函数()y f x =在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为63ln3-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题．22.某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究.该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2).根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数y (颗)和温差x (0C )具有线性相关关系. (1)求绿豆种子出芽数y (颗)关于温差x (0C )的回归方程y bx a =+；(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为110C ,估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数.附：121()()()n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑，a y bx =-【答案】(1) 11942y x =+ (2) 5125颗. 【解析】【分析】（1）根据题中信息，作出温差()xC 与出芽数y （颗）之间数据表，计算出x 、y ，并将表格中的数据代入最小二乘法公式计算出b 和a ，即可得出回归直线方程；（2）将4月1日至7日的日平均温差代入回归直线方程，可得出100颗绿豆种子的发芽数，于是可计算出10000颗绿豆种子在一天内的发芽数．【详解】（1）依照最高(低)温度折线图和出芽数条形图可得如下数据表：故10x =，32y =，()()61(3)(9)(2)(6)25(1)(1)381377iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+-⨯-+⨯+⨯=∑，()622222221(3)(2)2(1)3128ii x x =-=-+-++-++=∑，所以()()()616217711ˆ284iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑， 所以119ˆˆ321042ay bx =-=-⨯=， 所以绿豆种子出芽数y (颗)关于温差x (C )的回归方程为11942y x =+； （2）因为4月1日至7日的日温差的平均值为11C ，所以4月7日的温差77116017()x C =⨯-=， 所以71192051751.25424y =⨯+==， 所以4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数约为5125颗.【点睛】本题主要考查回归分析及其应用等基础知识，解题的关键就是理解和应用最小二乘法公式，考査数据处理能力和运算求解能力，考查学生数学建模和应用意识，属于中等题． 23.已知函数(),(0,)xf x e ax x =-∈+∞，其中e 是自然对数的底数． (1)求()f x 的单调区间；(2)当0a =时若方程()22()x x f x m -=存在两个不同的根12,x x ，求证: 122x x <+< 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 求导，得出()xf x e a '=-，对实数a 分两种情况1a ≤和1a >讨论，结合导数的符号得出函数()y f x =的单调区间；（2）解法一：构造函数()()()()2222xg x x x f x x x e =-=-，()0,x ∈+∞，利用导数分析函数()y g x =的单调性，并构造函数()()()h x g x g x =-，利用导数分析该函数的单调性，再由()10h x h>=，可得出()()()112g x g x g x >=，由函数()g x 的单调性可证明12x x +<()()()12221111122xxg x x x e x x e =->-，得出2222x x -2112x x >-，通过因式分解得出122x x +>，可得出所成的结论；解法二：构造函数()()()()2222xg x x x f x x x e =-=-，()0,x ∈+∞，利用导数分析函数()y g x =的单调性，通过对等式变形得出转化为证不等式212121112x x x x x x e e ----<+，并构造函数()()1012t t e tH t t e -=->+，利用导数证明()0H t >，于是得出()()()()2211222211222222x x x x xx xx ----+-212x x -<，再通过因式分解以及基本不等式等手段可得出12x x +<【详解】（1）()x f x e ax =-，()x f x e a '∴=-，()0,x ∈+∞，当1a ≤时，则()0f x '>，所以，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+； 当1a >时，由()0f x '<，得0ln x a <<；由()0f x '>，得ln x a >． 所以，函数()f x 的单调递减区间为()0,ln a ，单调递增区间为()ln ,a +∞． 综上所述：当1a ≤时，函数()f x 的增区间为()0,∞+；当1a >时，函数()f x 的减区间为()0,ln a ，增区间为()ln ,a +∞； （2）证明：令()()()()2222xg x x x f x x x e =-=-，()0,x ∈+∞，则()()()()222222xxxg x x e x x e x e =-+-=-'，令()0g x '=，得x =；由()0g x '<，得02x；由()0g x '>，得x >所以，函数()y g x =在(上单调递减，在)+∞上单调递增，当02x <<时，()()220xg x x x e =-<；当[)2,x ∈+∞，()()220xg x x x e =-≥．不妨设12x x <，则(1x ∈，)22x ∈，且0gm <<．先证明12x x +<构造函数()()()(()22282xx h x g x g x x x ex x e =--=-++---，其中(x ∈，则()()()2262x xh x x ex e =+--'--，因为(x ∈，则260x -+-<，x xe e >，()()())((2262x x x xh x x e x e x x e x x e <-+---=--')(20xx x e =-<， 所以，函数()h x在(上单调递减，10x <<()10h x h>=，即()()11g x g x >，因为()()12g x g x =，所以，()()12g x g x >，22x <<1x <<()gx在上单调递增，所以，12x x>，即12x x +< 再证：122x x +>．因为1202x x <<<<，所以，21120x x -<，且12x x e e <，所以()()()12221111122xxg x x x e x x e =->-，()()12g x g x =，所以，()()2222221122x x x x e x x e ->-，即22221122x x x x ->-． 所以，()()22212121212220x x x x x x x x -+-=-+->，所以，122x x +>．综上所述，122x x <+< 解法二：（1）同解法一；（2）证明：令()()()()2222xg x x x f x x x e =-=-，()0,x ∈+∞，则()()()()222222xxxg x x e x x e x e =-+-=-'，令()0g x'=，得x =；由()0g x '<，得02x；由()0g x'>，得x >所以，函数()y g x=在(上单调递减，在)+∞上单调递增，当02x <<时，()()220xg x x x e =-<；当[)2,x ∈+∞，()()220xg x x x e =-≥．不妨设12x x<，则(1x∈，)22x∈，且0gm <<．由()()1221122222x x x x e m x x e m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，得1221122222x x m x x em x x e ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，由÷①②得：221121122222x x x x x x e e x x e--==-， 因为1202x x <<<<，所以，2211211222212x x x x x x e e x x e--==>-，21120x x -<，所以，22112222x x x x -<-，即()()121220x x x x -+-<，120x x -<，122x x ∴+>，由+-①②①②得，()()()()21212211222211222222x x x x x x x x e e e e x x x x ----=+-+-， 下面证明：2121212x x x x x x e e e e --<+，即证212121112x x x x x x e e ----<+， 构造函数()112t t e tH t e -=-+，[)0,t ∈+∞，则()()()()22212102121t t tt e eH t e e --=-=+'<+，所以，函数()H t 在()0,∞+上单调递减，当()0,t ∈+∞时，()()00H t H <=，即112t t e te -<+，所以，212121112x x x x x x e e ----<+． 所以()()()()()()()()2121221122211221222112212121222222222x x x x x x x x x x x x x x e e e e xx xx x x x x x x----+---==<+-+-+-+-． 因为120x x -<，21120x x -<，22220x x -<，所以，()()()2121212122222x x x x x x x x ⎡⎤+-+-<-+⎣⎦，即()2121242x x x x +-<，因为()212124x x x x+<，所以()()22121242x x x x ++-<，即()2128x x +<，所以，12x x +<综上所述，122x x <+<【点睛】本题考查函数单调性与导数、函数的零点、以及利用导数来证明函数不等式，对代数式变形、化简以及根据不等式结构构造新函数是本题的难点所在，在处理这类问题时，也要注意极值点偏移问题的处理方法，考查分类讨论思想以及函数方程思想，属于难题．。

卜人入州八九几市潮王学校民族2021--2021下学期第二次阶段性考试试卷高二数学〔文科〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)1.集合，，那么()．A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，选A.2.以下结论正确的选项是()①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系③回归关系是对具有函数关系的两个变量进展统计分析的一种方法④回归分析是对具有相关关系的两个变量进展统计分析的一种常用方法。

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【答案】C【解析】试题分析：此题是一个对概念进展考察的内容，根据相关关系的定义与回归分析的统计意义进展判断．解：①函数关系是一种确定性关系，这是一个正确的结论．②相关关系是一种非确定性关系，是一个正确的结论．③回归分析是对具有相关关系的两个变量进展统计分析的一种方法，所以③不对．与③比照，根据定义知④是正确的，故答案为C．点评：此题的考点是相关关系，对此题的正确判断需要对相关概念的纯熟掌握．3.不等式表示的平面区域在直线的〔〕A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方【答案】D【解析】令，原式左边等于-6，那么原点在不等式表示的区域内，不等式表示区域为图中阴影局部，在直线右下方,选D.4.假设，那么“〞是“方程表示双曲线〞的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】假设，那么，表示双曲线；假设方程表示双曲线，那么或者，解得或者那么“〞是“方程表示双曲线〞的充分不必要条件,选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“假设那么〞、“假设那么〞的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒〞为真，那么是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非3．集合法：假设⊆，那么是的充分条件或者是的必要条件；假设＝，那么是的充要条件．5.〔〕A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有二个大于60°【答案】B此题选择B选项.6.如下列图的程序框图，程序运行时，假设输入的,那么输出S的值是〔〕A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】初始值：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：输出,选C.点睛：算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择构造、循环构造、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.曲线在点处的切线方程是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于函数可知其导数为，那么可知在x=-1时的导数值为1，由点斜式方程可知结论为，选D.考点：导数几何意义点评：此题主要考察利用导数研究曲线上某点切线方程，解此题的关键是要对函数可以正确求导，此题是一道根底题．8.复数〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】,选A.9.假设函数，那么以下结论正确的选项是〔〕A.，在上是增函数B.，在上是减函数C.，是偶函数D.，是奇函数【答案】C【解析】试题分析：当时，是偶函数；∵，当时，函数在上是增函数，综上可知，答案选C．考点：函数的单调性、奇偶性．10.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为l与的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，那么该几何体的体积等于〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得此几何体是一个底面半径为1，高为的圆锥沿其对称轴切开后的一半那么体积为,选A.11.抛物线上的点到直线间隔的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】直线设抛物线的切线：，与抛物线方程联立、求解得切线：,选D.12.数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设〔〕，那么数列的前10项和等于〔〕A.55B.70C.85D.100【答案】C【解析】当时，；同理，当时，,选C.二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分)13.，那么，_________________．【答案】假设，那么，不全为0，那么不全为0〞14.回归直线的斜率估计值为1，样本点的中心为，那么回归直线的方程为：_________________【答案】【解析】设回归直线方程为；斜率估计值为1，那么；样本点中心为〔2,3〕，那么直线方程为点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.假设线性相关，那么直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.15.双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为那么双曲线的HY方程是____________________.【答案】【解析】顶点坐标为〔6,0〕，那么设双曲线HY方程为，；焦距与虚轴长之比为5:4，那么；又，那么，双曲线HY方程为16.在中，假设其面积，那么=_________________【答案】【解析】试题分析：,.考点：三角形的面积公式及余弦定理的变形.点评：由三角形的面积公式,再根据,直接可求出tanC的值，从而得到C.三、解答题(本大题一一共6小题，总分值是70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17.在添加剂的搭配使用中，为了找到最正确的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

模块综合检测(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ， 则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ， 则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列， 对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数， 又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确； 设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

2021年高二数学下学期第二次质检试题 文一、选择题（下列各小题都有四个选项，请把正确选项填涂在答题卡上，每个小题5分，满分60分）1.下列函数中，既是偶函数，又在上是单调减函数的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2.若{}{}2|22,|l o g (1)M x x N x y x =-≤≤==-，则=（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知命题；命题，则下列判断正确的是（ ）A ．是假命题B ．是真命题C ．是真命题D ．是真命题 4.设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．5..给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6.设命题 p ：函数在R 上为增函数；命题q ：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）7.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．8.函数，的值域为（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）9.下列函数中，满足的单调递增函数是（ ）A ．B ．C ．D ． 10.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是（ ）11.定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则的值为（ ）A.2B.1C.0D. 12.函数的所有零点的和等于（ ）(A) (B) (C) (D)二、填空题（本题满分20分，每小题5分，请把答案填写在答题纸上，试卷上填写无效）13..在极坐标系中，点到直线的距离为． 14.设函数若，则实数的值等于 ．15.给出下列三个命题：①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件；②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；③“a=0”是“函数f(x) =x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为．16.以双曲线：的左焦点为极点，轴正方向为极轴方向（长度单位不变）建立极坐标系，则双曲线的一条倾斜角为锐角的渐近线的极坐标方程是．三、解答题（本题要求在答题纸上相应位置作答，要有详细的解题过程）17.（本题满分10分）设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.（本题满分12分）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C2的方程为（1）求C1和C2的普通方程；（2）求C1和C2公共弦的垂直平分线的极坐标方程．19.（本题满分12分）已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线和曲线相交于两点，且，求直线的斜率.20.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，以平面直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为。

知识改变命运武威六中2011-2012学年高二下学期第二次模块学习终结性检测数学（理普）试题(本试卷共6页,大题3个,小题22个.答案要求写在答题卡上)一、选择题：（本大题共12题，每小题3分，共36分）. 1.点M 的直角坐标是（3,1-），则点M 的极坐标为（ ）.A.(2,3π) B.(2,3π-) C.(2,32π) D.(2,32ππ+k )，（Z k ∈）2.柱坐标（2，32π，1）对应的点的直角坐标是（ ）.A.(1,3,1-)B.(1,3,1-)C.(1,,1,3-)D.(1,1,3-) 3.曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（ ）. A.4)2(22=++y x B. 4)2(22=-+y x C. 4)2(22=+-y x D. 4)2(22=++y x4.曲线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 2152(t 为参数)与坐标轴的交点是( ). A.(0,52)、（21，0） B.(0, 51)、（21，0） C.(0, -4)、（8，0） D.(0, 95)、（8，0）5.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）. A.1=ρ B. θρcos = C. θρcos 1-= D. θρcos 1= 6.直线12+=x y 的参数方程是（ ）.A.⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数） C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 7.在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是（ ）A.⎩⎨⎧='='y y x x 4B. ⎩⎨⎧='='y y x x 42C.⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 421 D.⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 41 8.方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y tt x （t 为参数）表示的曲线是（ ）. A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分知识改变命运9.参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）.A.042=+-y xB. 042=-+y xC. 042=+-y x ]3,2[∈xD. 042=-+y x ]3,2[∈x10. 已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是 ( ). A.（3，4） B.1212(,)55-- C.(-3，-4) D.1212(,)5511.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线L ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）.A.34k <-B. 43-≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k 12.参数方程⎪⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（）.武威六中2011～2012学年度第二学期高二数学（理）模块学习终结性检测试卷答题卡一、选择题：（本大题共12题，每小题3分，共36分）二、填空题：(本大题共有4小题，每小题3分，共12分)13.已知随机变量X 服从正态分布),0(2σN 且(20)P X -≤≤0.4=则(2)P X >= ____ .知识改变命运14.椭圆)(sin 42cos 35为参数θθθ⎩⎨⎧+-=+=y x 的离心率为______________.15.设直线参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 23322（t 为参数），则它的斜截式方程为 _______________ .16.在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则|AB|= .三、解答题： (大题共6题,，共52分)17.(8分)把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： ⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=ty t x 431（t 为参数）18. (8分)在极坐标系中，已知圆C:θθρsin cos +=,直线)4cos(22:πθρ+=l ，求圆C上的点到直线l 的距离为d ，求d 的最值.19.(8分)调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表.能知识改变命运否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿性别与出生时间有关系呢?(其中(2K P20.(8分)求直线L ：⎩⎨⎧=+=ty tx 32（t 为参数）被双曲线122=-y x 截得的弦长|AB|.知识改变命运21.（10分）求以椭圆22416x y +=内一点A(1，－1)为中点的弦所在直线的方程.22.（10分）已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ，求y x S -=3的最值.薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

2019-2020年高二（下）第二次质检数学试卷（文科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N=．2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．3．执行如图的流程图，得到的结果是．4．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为．5．函数y=sinα（sinα﹣cosα）（α∈）的最大值为．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= ．8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•=．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c= ．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=3cos（2x+φ）的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f（x）的取值范围是．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）= ．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间）的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：利用倍角公式、两角和差公式可得：函数y=+，由于α∈，可得∈，因此取得最小值﹣1，y取得最大值．解答：解：函数y=sinα（sinα﹣cosα）==﹣sin2α=+，∵α∈，∴∈，∴∈，∴当2=﹣，即α=时，取得最小值﹣1，y取得最大值．故答案为：．点评：本题考查了倍角公式、两角和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为b＜c＜a ．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的性质进行判断范围即可．解答：解：50.5＞1，0＜0.75＜1，log0.32＜0，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴b＜c＜a，故答案为：b＜c＜a点评：本题主要考查指数幂和对数值的大小比较，比较基础．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= 2 ．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为 4 ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的判定定理，即可求得结论解答：解：∵函数f（x）=log2x+2x﹣6，∴f′（x）=2+＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∵f（）=﹣4＜0，f（3）=log23＞0，∴f（）•f（3）＜0，且函数f（x）=log2x+2x﹣6在区间（，3）上是连续的，故函数f（x）=log2x+2x﹣6的零点所在的区间为（，3），∴，解得：3＜k＜5，∴k=4，故答案为：4．点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•= 3 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知画出图形，得到各向量的关系，求出等边三角形的边长，利用数量积公式解答．解答：解：由已知得到如图因为△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，所以EF∥CD，并且EF=，所以BE=，AC=2，所以AD=，•=||||cosD===3；故答案为：3．点评：本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c= 4 ．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：，利用tanA=7tanB求得sinAcosB与cosAsinB的关系式，进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题，化简求得a，b和c的关系式，然后根据已知条件可直接求得c．解答：解：∵tanA=7tanB，∴=7•．∴sinAcosB=7sinBcosA，∴a•=7•b•，整理得8a2﹣8b2=6c2，①∵=3，②①②联立求得c=4，故答案为：4点评：本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是，则f（x）的取值范围是．考点：余弦函数的对称性；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：根据这两个函数的周期相同，求出ω值，即得函数f（x）的解析式，根据x∈，求出3sin（ωx﹣）的范围．解答：解：由题意得，这两个函数的周期相同，∴，∴ω=2．函数f（x）=3sin（ωx﹣）=3sin（2x﹣）．∵x∈，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，﹣≤3sin（ωx﹣）≤3，故f（x）的取值范围是，故答案为．点评：本题考查正弦函数、余弦函数的对称性，求正弦函数的值域，判断这两个函数的周期相同是解题的突破口．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）= 338 ．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由已知可得f（1）=1，f（2）=2，f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，根据函数的周期性可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2），代入可得答案．解答：解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵xx=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：338点评：本题考查的知识点是函数的周期性，数列求和，按周期分组求和是解答的关键．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是a＜4 ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则函数f（x）=，不为单调函数，即﹣1+a＞2a﹣5，综合讨论结果可得答案．解答：解：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则﹣1+a＞2a﹣5，解得：a＜4，∴2≤a＜4，综上所述：实数a的取值范围是a＜4，故答案为：a＜4点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）是古典概型，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．（2）是几何概型，求出方程有实根的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求解．解答：解：（1）设若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，则有3×2=6种结果，事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”．若方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4a2﹣4b2≥0，即a2﹣b2≥0，∵a≥0且b≥0．∴等价为a≥b．包含基本事件共5个：（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．∴事件A发生的概率为P=．（2）若a=1，则方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4﹣4b2≥0，即b2≤1，解得﹣1≤b≤1，∵0≤b≤3，∴0≤b≤1，则对应的概率P=．点评：本题主要考查概率的计算，要求熟练古典概型和几何概型的概率的计算，考查学生的运算和推理能力．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用二倍角公式及正弦定理可得b=2acosA，又，从而解得cosA=，可解得B，C 的值，即可得解cosC的值．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，即可解得cosA=，利用余弦定理可求b2+c2=a2，由勾股定理可求A，从而得解．解答：解：（1）∵B=2A．∴sinB=sin2A=2sinAcosA，∵，sinA＞0，∴可得b=2acosA，又，∴=2cosA，解得cosA=，A=，B=，C=∴cosC=0．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，∴解得：cosA==．整理可得：b2+c2=a2，故由勾股定理可得：A=，cosA=0．点评：本题主要考查了二倍角公式、三角形内角和定理及正弦定理、勾股定理的应用，属于基本知识的考查．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间﹣=﹣=．由题设可得，（1+x1）＞0，（1+x2）＞0，2（x2﹣x1）＞0，∴＞0，即t（x1）＞t（x2），故函数t（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数．根据复合函数的单调性可得f（x）=lgt（x）=log2在定义域（﹣1，1）上是减函数．（2）∵函数f（x）=2﹣3log2x，g（x）=log2x．∴函数==1﹣log2x+|1﹣2log2x|=，故M（x）在（0，]上为减函数，在（，+∞）上为增函数，故当x=时，M（x）取最小值．点评：本题主要考查函数的奇偶性的定义和判断方法，函数的单调性的判断和证明，复合函数的单调性，属于中档题．19．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．可得|OP|=80﹣r P，由此求得r P的解析式．（2）由|PQ|=r P+r Q，求得r Q= （0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r Q=80（﹣1﹣+），再利用二次函数的性质求得它的最大值．解答：解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80﹣r P，∴+r P=80，∴r P= （0＜θ＜）．（2）∵|PQ|=r P+r Q∴|OP|﹣|OQ|=﹣=r P+r Q，∴r Q= （0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），∴r Q=80•=80（﹣1﹣+），令m=∈（，1），r Q=80（﹣2m2+3m﹣1），∴m=时，有最大值10．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于基础题．20．定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，若A∩B=∅，试确定a的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数f（x）．考点：抽象函数及其应用；交集及其运算；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）在恒等式中，令m=1，n=0，代入即可得到f（0）的值；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，利用恒等式将f（x2）﹣f（x1）变形，再利用当x＞0时，0＜f（x）＜1，确定f（x2）﹣f（x1）的符号，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；（3）利用恒等式，将f（x2）•f（y2）＞f（1）等价转化为x2+y2＜1，将转化为ax﹣y+=0，从而将A∩B=∅问题转化为直线与圆面没有公共点问题，利用直线到圆心的距离大于半径，列出不等关系，求解即可求得a的取值范围；（4）根据题设的条件从所学的基本初等函数中，判断选择一个函数即可．解答：解：（1）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=1，n=0，则有f（1）=f（1）f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0，∴f（0）=1；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m+n=x2，m=x1，则有f（x2）=f（x1）f（x2﹣x1），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）f（x2﹣x1）﹣f（x1）=f（x1），∵x2﹣x1＞0，∴1＞f（x2﹣x1）＞0，为确定f（x2）﹣f（x1）的正负，只需考虑f（x1）的正负即可，∵f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=x，n=﹣x，则f（x）•f（﹣x）=1，∵x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，，又f（0）=1，综上可知，对于任意x1∈R，均有f（x1）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）在R上单调递减；（3）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴f（x2）•f（y2）=f（x2+y2），∴不等式f（x2）•f（y2）＞f（1），即f（x2+y2）＞f（1），∵函数f（x）在R上单调递减，∴x2+y2＜1，∴A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}表示圆面x2+y2＜1内的点，∵f（ax﹣y+）=1，且f（0）=1，∴，即，∴表示直线ax﹣y+=0上的点，∵A∩B=∅，∴直线与圆面x2+y2＜1无公共点，∴圆心（0，0）到直线ax﹣y+=0的距离为d=，解得﹣1≤a≤1，∴a的取值范围为﹣1≤a≤1；（4）．点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于函数知识的综合应用．属于中档题．温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

高二下学期数学测试卷二答案一、单选题1.设函数)(x f 的导数为)('x f ，且)1(2)('2xf x x f +=，则=)1('f （）A.0B.4C.2- D.2解析：)1(22)(''f x x f +=，令1=x 得2)1()1(22)1('''-=⇒+=f f f ，故选C 2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31510=S S ，则=515S S（）A.97B.43 C.32 D.31解析：由题意10155105,,S S S S S --成等比数列，又551032S S S -=-，所以9797943151551555151015=⇒=⇒=-=-S S S S S S S S S ，故选A3.已知数列{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3(6n a n n a a n n ，若{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.)6,3( B.)2,1( C.)3,1( D.)3,2(解析：由题意323)3(7132<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->>-a aa a a ，故选D 4.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同位置投中的概率分别为32,21,p ，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为83，则p 的值为（）A.41 B.31 C.32 D.43解析：恰好投中两次的概率为41833221)1(32211(321(21=⇒=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯p p p p 故选A5.欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有（）A.34种B.55种C.89种D.144种解析：按走两级的步数分六类：第一类：0步走两级的，有1010C 种不同走法；第二类：仅1步走两级的，有19C 种不同走法；第三类：仅2步走两级的，有28C 种不同走法；第四类：仅3步走两级的，有37C 种不同走法；第五类：仅4步走两级的，有46C 种不同走法；第六类：仅5步走两级的，有55C 种不同走法；根据分类加法计数原理一共有895546372819010=+++++C C C C C C 种不同走法，故选C6.已知数列{}n a 满足161=a ，n n a n a n )2(2)1(1+=++，则{}n a 的前100项和为（）A.102225⨯ B.103225⨯ C.104225⨯ D.105225⨯解析：122)2(2)1(11+⨯=+⇒+=+++n a n a a n a n n n n n ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 是以821=a 为首项，2为公比的等比数列，所以2212)1(2281++-⋅+=⇒=⨯=+n n n n nn a n a ，设其前n 项和为n S ，则25432)1(242322+⋅+++⨯+⨯+⨯=n n n S --------------------------------------------①32542)1(223222++⋅++⋅++⨯+⨯=n n n n n S -----------------------------------------②①—②得3144325432)1(21)21(222)1(22222+-++⋅+---+=⋅+-++++⨯=-n n n n n n n S 32+⋅=⇒n n n S ，所以1051031002252100⨯=⨯=S ，故选D7.已知19.0+=e a ，1029=b ，)9.0ln(3e c =，则c b a ,,的大小关系为（）A.b c a >> B.a b c >> C.c a b >> D.cb a >>解析：19.0+=ea ，29.0+=b ，39.0ln +=c 令)0(1)2()1()(≥--=+-+=x x e x e x f xx，易知0)(≥x f 恒成立，当且仅当0=x 时等号成立，所以0)0()9.0(=>f f ，即ba >令1ln )3(ln )2()(--=+-+=x x x x x g )10(≤<x ，易知0111)('<-=-=xx x x g ，)(x g 在]1,0(上递减，所以0)1()9.0(=>g g ，即c b >所以c b a >>，故选D8.若关于x 的不等式22322a ax x e x-≥-+恒成立，则a 的取值范围为（）A.],(e -∞ B.),[+∞e C.]1,(-∞ D.),1[+∞解：令322)(22-+-+=a ax x e x f x，则0)(≥x f 恒成立，a x e x f x222)('-+=，易知)('x f 在R 上递增，且-∞→x 时，-∞→)('x f ，+∞→x 时，+∞→)('x f ，所以)('x f 存在唯一零点0x ，即00x ea x +=----------------------------------------------------------①当),(0x x -∞∈时，0)('<x f ，)(x f 递减，当),(0+∞∈x x 时，0)('>x f ，)(x f 递增，所以0322)()(20200min 0≥-+-+==a ax x e x f x f x ----------------------------------------②将①代入②得00320200≥⇒≥-+x e ex x ，所以100≥+=x e a x ，即a 的取值范围为),1[+∞，故选D二、多选题9.已知数列{}n a ，下列结论正确的有（）A.若21=a ，11++=+n a a n n ，则21120=aB.若11=a ，231+=+n n a a ，则534=aC.若13+=nn S ，则数列{}n a 为等比数列D.若11=a ，nn n a a a +=+221，则515=a 解析：（1）2)202(19220322)()()(19202312120+⨯+=++++=-++-+-+= a a a a a a a a 211=，A 正确；)1(312311+=+⇒+=++n n n n a a a a ，所以{}1+n a 是以211=+a 首项，3为公比的等比数列，所以53321434=⇒⨯=+a a ，B 正确；当2≥n 时，1--=n n n S S a 11321313--⨯=--+=n n n，又1=n 时，311==S a ，所以⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,41n n a n n ，所以{}n a 不为等比数列，C 错误；2112212211+=+=⇒+=++n n n n n n n a a a a a a a ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以111=a 为首项，21为公差的等差数列，所以3132141155=⇒=⨯+=a a ，D 错误；故选AB 10.某社区派出E D C B A ,,,,五名志愿者到甲乙丙丁四个路口协助交通工作，每名志愿者只能到一个路口工作，则下列说法中正确的是（）A.若每个路口至少分派1名志愿者，有不同的分派方案共240种B.若丙路口不安排志愿者，其余三个路口至少安排一个志愿者，有不同的分派方案共180种C.若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者A 必须到甲路口，有不同分派方案共60种D.若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者B A ,不安排到甲路口，有不同分派方案共126种解析：每个路口至少分派1名志愿者，有2404425=A C 种不同的分派方案，A 正确；丙路口不安排志愿者，其余三个路口至少安排一个志愿者，有15033222224153335=+A A C C C A C 种不同的分派方案，B 错误；若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者A 必须到甲路口，有6033143324=+A C A C 种不同的分派方案，C 正确；若每个路口至少派1名志愿者，且志愿者B A ,不安排到甲路口，有1263323332413=+A C A C C 种不同的分派方案，D 正确；故选ACD 11.已知函数2)3()(-=x x x f ，若)()()(c f b f a f ==，其中c b a >>，则（）A.21<<c B.2>+c b C.6=++c b a D.40<<abc 解析：)3)(1(3)3(3)3()(2'--=-+-=x x x x x x f ，当),3()1,(+∞-∞∈ x 时，0)('>x f )(x f 递增，当)3,1(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减，4)1(=f ，0)3(=f ，所以)(x f 图像如图所示，令t c f b f a f ===)()()(，则40<<t ，4310<<<<<<c b c ，A 错误；又))()(()(c x b x a x t x f ---=-即))()(()3(2c x b x a x t x x ---=--即tx x x -+-9623abc x ca bc ab x c b a x -+++++-=)()(23，对照系数得6=++c b a ，C 正确；)4,0(∈=t abc ，D 正确；因为)4,3(∈a ，所以)3,2(6∈-=+a c b ，B 正确故选BCD12.已知函数x e x f x-=)(和x x x g ln )(-=，存在直线m y =与两条曲线)(x f y =和=y )(x g 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标分别为321,,x x x ，则（）A.1>m B.23ln x x = C.21ln x x = D.2312x x x =+解析：1)('-=xe xf ，)0(111)('>-=-=x xx x x g ，当)0,(-∞∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减，当),0(+∞∈x 时，0)('>x f ，)(x f递增；当)1,0(∈x 时，0)('<x g ，)(x g 递减，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，)(x g 递增；且1)()(min min ==x g x f ，)(x f 和)(x g 图像如图所示曲线)(x f y =和=y )(x g 共有三个不同的交点，所以1>m ，A 正确；由)(ln )()()(22222223x x x x e g e e x ex f x g x g =-=-===，又22x e x ≠，所以23x e x =，B错误；由)(ln ln ln )()()(22ln 222212x f x e x x x g x f x f x =-=-===，又22ln x x ≠，所以21ln x x =，C 正确；2222312ln 2x x m m x ex x x x =++-=+=+，D 正确故选ACD 三、填空题13.已知7个人排成一排拍照，其中甲乙丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为解析：将甲、丁捆在一起与甲乙丙丁之外的3个人排列有4422A A 种不同排法，再将乙丙插空有4个空可以插，有24A 种插法，所以一共有4422A A 57624=A 种不同排法14.若过点),1(m P 有3条直线与函数xxe x f =)(的图像相切，则实数m 的取值范围为解析：设切点为),(000xe x x ，则xe x xf )1()('+=，切线方程为)()1(00000x x e x e x y x x -+=-其过点),1(m P ，所以000)1()1()1(020000x x x e x x m x e x ex m ++-=⇒-+=-有三个不同的根令xe x x xf )1()(2++-=，则xe x x x x xf )2)(1()1()(2'+--=++-=，所以当)2,(--∞∈x 和),1(+∞∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减，当)1,2(-∈x 时，0)('>x f ，)(x f 递增，25)2(ef -=-，e f =)1(，-∞→x 时，0)(→x f ，+∞→x 时，-∞→)(x f ，所以)(x f 图像如图所示，所以实数m 的取值范围为)0,5(2e -15.数列{}n a 满足231=a ，121+-=+n n n a a a ，则2321111a a a +++ 的整数部分为解析：由0)1(12121≥-=-⇒+-=++n n n n n n a a a a a a ，所以{}n a 不减，所以21637324>=>a a 又nn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a 111)1(111)1(111121--=-=-⇒-=-⇒+-=+++111111---=⇒+n n n a a a ，所以)2,1(1121111111242412321∈--=---=+++a a a a a a 所以2321111a a a +++ 的整数部分为116.已知1>a ，若对于任意的),31[+∞∈x ，不等式a aex x x x ln 13ln 31+≤+-恒成立，则a 的最小值为解析：x x x ae ae x x a ae x x x ln 13ln 31ln 13ln 31+≤+⇔+≤+-，设)1(ln 1)(≥+=x x xx f 则)()3(x ae f x f ≤，又0111)(22'≥-=+-=xx x x x f ，所以)(x f 在),1[+∞上递增当),31[+∞∈x 且1>a 时，13≥x ，1≥x ae ，所以x xe x a ae x 33≥⇒≤对),31[+∞∈x 恒成立，令31(3)(≥=x e x x g x ，xe x x g )1(3)('-=，当)1,31[∈x 时，0)('>x g ，)(x g 递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，)(x g 递减，所以e g x g 3)1()(max ==，所以a 的最小值为e3四、解答题17.（1）6个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个，有多少种不同的方法？（2）6个不同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个，有多少种不同的方法？解析：（1）（隔板法）6个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个，有1025=C 种不同的方法（2）2223214116++=++=++=，先分组再分配，分3类：第一类：三个盒子分别放1个，1个，4个，有903346=A C 种不同的方法第二类：三个盒子分别放1个，2个，3个，有36033332516=A C C C 种不同的方法第三类：三个盒子分别放2个，2个，2个，有90222426=C C C 种不同的方法所以一共有5409036090=++种不同的方法18.已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（2）在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？解析：（1）总分不小于7分有三种情况，分三类：第一类：2个红球，3个白球，有3624C C 种不同的取法第二类：3个红球，2个白球，有2634C C 种不同的取法第三类：4个红球，1个白球，有1644C C 种不同的取法所以总分不小于7分的取法有3624C C +2634C C +1644C C 186=种（2）当总分为8时，取出的是3个红球，2个白球，有2634C C 种不同取法，将它们排排成一排，仅有两个红球相邻，有232322A A A 种不同的排法，根据分步乘法计数原理一共有2634C C 232322A A A 4320=种不同的排法19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足623532+=+S a a （1）若数列{}n S 为递减数列，求1a 的取值范围（2）若11=a ，在数列{}n a 的第n 项与第1+n 项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n 项，形成新数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求95T 解析：（1）设{}n a 公差为d ，则26105)2(2)(3111-=⇒++=+++d d a d a d a 所以n a n n n na S n )1()2(2)1(121++-=-⨯-+=，因为{}n S 为递减数列，所以2232111<⇒<+a a ，即1a 的取值范围为)2,(-∞（2）若11=a ，则32)2()1(1+-=-⨯-+=n n a n ，根据题意{}n b 为第一组为1,1，其和为11+a ；第二组为12,2,1-，其和为1221222-+=++a a ；第三组为2102,2,2,3-，……，其和为1233-+a ，第n 组为1102,,2,2,32-+-n k ，其和为12-+n n a 其中前n 组有2)3(321+=+++++n n n n 项，当12=n 时，9021512=⨯所以8421)]12()12()12()12[(123213122195++++-+-+-+-+++++= a a a a T805015]1221)21(2[)2(2121311312=+---+-⨯⨯+⨯=20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ，6341+=++n n n S a a （1）求数列{}n a 的通项公式（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n a n n n )1(2的前n 项和nT 解析：（1）因为6341+=++n n n S a a ，所以634112+=++++n n n S a a ，两式作差得n n n n n n a a a a a a 43432112=⇒=-+++++，所以{}n a 的奇数项和偶数项分别是以4为公比的等比数列，所以当n 为奇数时，nn n a a 241211=⨯=-+；当n 为偶数时，nn n a a 24122=⨯=-所以nn a 2=（2）2)1(121[22)1(2)1(21+⋅+-⋅=⋅++=++n n n n n n n n n a n n n 所以]2)1(121231221221211[21422+⋅+-⋅++⨯-⨯+⨯-⨯=n n n n n T nn n n 2)1(11]2)1(121[21⋅+-=⋅+-=+21.已知函数xa x x x f +=ln )(，2ln ln 2)(---=x x xe x g x（1）若直线x y =是曲线)(x f y =的一条切线，求a 的值（2）若对于任意的),0(1+∞∈x ，都存在),0(2+∞∈x ，使得)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围解析：（1）设直线x y =与曲线)(x f y =切于都能ln ,(0000x ax x x +，2'1ln )(x a x x f -+=所以切线方程为))(1(ln ln 0200000x x x ax x a x x y --+=--所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-+0)1(ln ln 11ln 2000000200x a x x x a x x x a x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==20ea e x （2）)0)(12(111)1(2)('>-+=--+=x xe xx x e x x g x x，设)0(12)(>-=x xe x h x 易知)(x h 在),0(+∞上递增，且0121)41(41<-=e h ，012)1(>-=e h ，所以)(x h 在),0(+∞上存在唯一零点)1,41(0∈x ，即00121200x e ex x x =⇒=00ln 2ln x x -=+⇒，当),0(0x x ∈时，0)(<x h ，即0)('<x g ，)(x g 递减，当),(0+∞∈x x 时，0)(>x h ，即0)('>x g ，)(x g 递增，所以12ln 2ln 12ln ln 2)()(0000min 0=-+=---==x x ex x g x g x 所以对任意),0(+∞∈x ，1ln )(≥+=xax x x f 即x x x a ln 2-≥恒成立，设x x x x F ln )(2-=，则x x x x F --=ln 21)('，当)1,0(∈x 时，01>-x ，0ln 2<x x ，所以0)('>x F ，)(x F 递增，当),1(+∞∈x 时，01<-x ，0ln 2>x x ，所以0)('<x F ，)(x F 递减，所以1)1()(max ==F x F ，所以实数a 的取值范围为),1[+∞22.已知函数22)1()2()(++-=x a e x x f x（1）若0=a ①求)(x f 的极值②设))(()(n m n f m f ≠=，证明：3<+n m （2）证明：当e a ≥时，)(x f 有唯一的极小值点0x ，且203)(23e x f e -<<-解析：（1）①若0=a ，则xe x xf 2)2()(-=，xx xe x e x ex f 222')32()2(2)(-=-+=当23,(-∞∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减，当),23(+∞∈x 时，0)('>x f ，)(x f 递增，所以当23=x 时，)(x f 有极小值32123(e f -=，无极大值②由①知)(x f 在)23,(-∞上递减，),23(+∞上递增，因为)()(n f m f =，不妨设n m <<23，设)23)(3()()(>--=x x f x f x F ，则xx ex e x x f x f x F ---+-=-+=32''')3)3(2()32()3()()(0))(32(32>--=-x x e e x ，所以)(x F 在),23(+∞上递增，所以0)23()(=>F n F ，即)3()(n f n f ->，又)()(n f m f =，所以)3()(n f m f ->由n m <<23知233,23<-<n m ，而)(x f 在23,(-∞上递减，所以33<+⇒-<n m n m （2）证明：当e a ≥时，)1(2)32()(2'++-=x a ex x f x，设)()('x f x g =，则a e x x g x 2)44()(2'+-=，设)()('x g x h =，则x e x x h 2')12(4)(-=，当21,(-∞∈x 时，0)('<x h ，)(x h 递减，当),21(+∞∈x 时，0)('>x h ，)(x h 递增，022)21()(≥-=>e a h x h 即0)('≥x g ，所以)()('x f x g =在R 上递增，又044)21('>-≥-=-ee e af ，05)1(2'<-=-e f ，所以)('x f 在R 上存在唯一零点0x ，即0)1(2)32(0200=++-x a e x x 1)32(0200+--=⇒x e x a x ，当),(0x x -∞∈时，0)('<x f ，)(x f 递减，当),(0+∞∈x x 时，0)('>x f ，)(x f 递增，所以)(x f 有唯一的极小值点0x ，且)1,21(0--∈x =++---=++-=200202020200)1(1)32()2()1()2()(00x x e x ex x a ex x f x x x 02020)2123(x e x x +--=设)1,21(,2123()(22--∈+--=x e x x x x ϕ，则0]165)41[(2)(22'<---=x e x x ϕ，所以)(x ϕ在)1,21(--上递减，又e 23)21(-=-ϕ，23)1(e -=-ϕ，所以203)(23ex f e -<<-。

2019学年高二数学下学期第二次质量调研考试试题 文一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．合情推理就是正确的推理B ．合情推理就是归纳推理C ．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D ．类比推理是从特殊到特殊的推理过程 2．已知i 为虚数单位，复数21z i=+，则z z -等于（） A. 2 B. 2i C. 2i - D. 03．若椭圆经过点，随椭圆的离心率=( )A. B. C. D.4．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与ax ＋y类比，则有ax ＋y＝a x ＋a yD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz )5．一段“三段论”推理是这样的：对于函数)(x f ，如果0)('=x f ，那么0x x =是 函数)(x f 的极值点。

因为函数3)(x x f =满足0)('=x f ，所以x = 0是函数3)(x x f =的极值点。

以上推理中( )A.小前提错误B.大前提错误C.推理形式错误D.结论正确6.一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（ ）A ．0B ．2C ．12+D 1 7．下列说法正确．．的是( ) A ．“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件；B ．设有一个回归直线方程为ˆ2 1.5yx =-，则变量x 每增加一个单位，ˆy平均减少1.5个单位；C ．若[],0,1a b ∈，则不等式2214a b +<成立的概率是4π； D ．已知空间直线,,a b c ，若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ．8.南宋时期的数学家赛九韶独立发现的计箕三龟形面积 的“三斜求积术”与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余四约之，为实，自乘于上， 以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。

智才艺州攀枝花市创界学校章丘区第四二零二零—二零二壹高二数学下学期第二次教学质量检测试题〔含解析〕一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1.复数z 满足(1＋2i )z ＝－3＋4i ，那么|z |＝〔〕B.5【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出. 【详解】∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ， ∴|1＋2i|·|z |＝|－3＋4i|，那么|z |应选：C.【点睛】此题主要考察的是复数的四那么运算，以及复数模的求法，是根底题. 2.假设(1,,2)a λ=，(2,1,2)b =-，(1,4,4)c =，且a ，b，c 一共面，那么λ=〔〕A.1B.-1C.1或者2D.±1【答案】A 【解析】 【分析】向量a ，b ，c 一共面，存在实数,m n 使得c ma nb =+，坐标代入即可得出λ。

【详解】向量a ，b ，c 一共面，∴存在实数,m n 使得c ma nb =+，124422m n m n m n λ=+⎧⎪∴=-⎨⎪=+⎩，解得1λ= 应选：A【点睛】此题考察空间一共面向量根本定理，属于根底题。

3.正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是1CC ，11D B 的中点，那么EF 与1AB 所成角的大小为〔〕 A.30 B.60︒C.90︒D.120︒【答案】C 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出EF 与1AB 所成角的大小.【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD z 轴，建立如下空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，那么()0,2,1E，()1,1,2F ,()2,0,0A ,()12,2,2B ,()1,1,1EF =-,()10,2,2AB =,设EF 与1AB 所成角为α，那么11cos 0EF AB EF AB α⋅==⋅,所以90α=︒，所以EF 与1AB 所成角的大小为90︒.应选：C.【点睛】此题考察异面直线所成角的求法，属于中档题. 4.如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,那么OG 等于〔〕A111333OA OB OC ++ B.111234OA OB OC ++ C.111244OA OB OC ++ D.111446OA OB OC ++ 【答案】C 【解析】 【分析】因为在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,12OEOA AD =+,即可求得答案. 【详解】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点应选:C.【点睛】此题主要考察了向量的线性运算,解题关键是掌握向量根底知识和数形结合,考察了分析才能和空间想象才能,属于根底题. 5.设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如下列图，那么导函数()f x '的图象可能是〔〕A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 先根据函数()f x 的图像判断单调性，从而得到导函数的政府情况，最后可得答案.【详解】解：原函数的单调性是：当0x <时，单调递增，当0x >时，单调性变化依次为增、减、增，故当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()f x '的符号变化依次为“+、-、+〞.应选：C.【点睛】此题主要考察函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于根底题. 6.在正方形1111ABCD A B C D -中，棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，那么直线EF 与平面11AA D D所成角的余弦值为〔〕5 25630 【答案】D 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的根本关系求出余弦值． 【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，那么()2,1,0E，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--，平面11AA D D 的法向量()0,1,0n =，设直线EF 与平面11AA D D 所成角为θ，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，那么||1sin ||||6EF n EF n θ===．所以cos θ==∴直线EF 与平面11AA D D ．应选：D ．【点睛】此题考察线面角的正弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系，考察运算求解才能，考察数形结合思想，属于中档题． 7.函数()()ln f x x x ax =-有且仅有一个极值点，那么实数a 的取值范围是〔〕A.12a= B.0a ≤C.0a ≤或者12a=D.0a <【答案】B 【解析】 【分析】求函数的导数，结合函数在〔0，+∞〕内有且仅有一个极值点，研究函数的单调性、极值，利用函数大致形状进展求解即可． 【详解】()()ln f x x x ax =-,(0,)x ∈+∞,()ln 21f x x ax '∴=-+,函数()()ln f x x x ax =-有且仅有一个极值点,ln 210x ax ∴-+=在(0,)x ∈+∞上只有一个根，即ln 12x ax +=只有一个正根，即ln 12x a x+=只有一个正根， 令ln 1x y x+=，那么由2ln 0xy x-'==可得1x =， 当01x <<时，0y '>，当1x <时，0y '<，故ln 1x y x+=在(0,1)上递增，在(1,)+∞递减， 当1x =时，函数的极大值也是函数的最大值为1，(1,)x ∈+∞时，ln 10x y x+=>， 当0x →时，y →-∞所以当21a =或者20a ≤时，2y a =与ln 1x y x+=图象只有一个交点， 即方程ln 12x a x +=只有一个根， 故12a =或者0a ≤，当12a =时，()ln 10f x x x '=-+=，可得1x =，且()0f x '≤，1x =不是函数极值点，故舍去.所以0a ≤ 应选：B【点睛】此题主要考察了利用导数判断函数的单调性，极值，利用函数图象的交点判断方程的根，属于中档题.8.函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设()0a f =，()22b f ln =，()1c ef =，那么a 、b 、c 的大小关系是()A.c b a >>B.a b c >>C.c a b >>D.b c a >>【答案】A【解析】 【分析】 构造函数()()x g x e f x =，根据()g x 的单调性得出结论．【详解】解：令()()x g x e f x =，那么()[()()]0x g x e f x f x '=+'>，()g x ∴在R 上单调递增，又021ln <<，()()()021g g ln g ∴<<，即()()()0221f f ln ef <<，即c b a >> 应选：A ．【点睛】此题考察了导数与函数的单调性，考察函数单调性的应用，属于中档题．二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．在每一小题给出的四个选项里面，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分． 9.下面是关于复数21iz =-+〔i 〕 A.||2z =B.22z i =C.z 的一共轭复数为1i +D.z 的虚部为1-【答案】BD 【解析】 【分析】 把21iz=-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的根本知识进展判断即可. 【详解】解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确；z 的一共轭复数为1i -+，C 错误； z 的虚部为1-，D 正确.应选：BD.【点睛】此题主要考察复数除法的根本运算、复数的根本概念，属于根底题. 10.假设函数()y f x =的导函数的图像如下列图，给出以下判断：①函数()y f x =在区间1(3,)2--内单调递增；②当2x =-时，函数()y f x =有极小值；③函数()y f x =在区间(2,2)-内单调递增；④当3x =时，函数()y f x =有极小值.那么上述判断中正确的选项是〔〕 A.①② B.②③C.③④D.③【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的导数与原函数的图象之间的关系，即可得到函数的单调性与极值，得到答案. 【详解】由题意，根据函数()y f x =的导函数的图像可得：①函数()y f x =在区间(3,2)--内单调递减，在区间(2,2)-上单调递增，所以不正确；②当2x =-时，()20f '-=，且函数()y f x =在(,2)-∞-单调递减，在(2,2)-上单调递增，所以2x =-时，函数()y f x =有极小值，所以是正确的；③当(2,2)-时，()0f x '>，所以函数()y f x =在区间(2,2)-内单调递增是正确的；④当3x =时，不是函数的极值点，所以函数()y f x =有极小值是不正确的，应选B.【点睛】此题主要考察了导函数的图象与原函数的性质之间的关系，其中熟记导函数与原函数之间的关系正确作出断定是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题. 11.将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成0120的二面角，直角边AB =AC =下面说法正确的选项是〔〕 A.平面ABC ⊥平面ACD B.四面体D ABC -的C.二面角A BC D --D.BC 与平面ACD所成角的正弦值是14【答案】D 【解析】 沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,8,4,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得BC=过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,那么AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DFBC ⋅=⋅,可得7BC =ABC 与平面ACD 不垂直,A 错;②由于111(84sin120)42332D ABCA BCD BCD V V S AD --∆==⋅=⨯⨯=B 错;③易知AFD∠为二面角A BC D --的平面角,tan 7AD AFD DF ∠===,C 错;④BC 与平面ACD 所成的角是BCD ∠,sin 6021sin BD BCD BC ⋅∠==,选.D 点晴:此题主要考察的是平面垂直的断定，锥的体体积，平面和平面所成的角及直线与平面所成的角.求体积经常用等体积转化法，二面角可由线面关系得到二面角的平面角转到三角形中求解.线面角的关键是找到斜线上一点向面的垂线是关键，斜线和其在面内的射影所成的角为线面角.12.假设实数m 的取值使函数()f x 在定义域上有两个极值点，那么叫做函数()f x 具有“凹凸趋向性〞，()f x '是函数()f x 的导数，且()2ln mf x x x'=-，当函数()f x 具有“凹凸趋向性〞时，m 的取值范围是〔〕A.2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.2,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭C.2,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.21,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭〕 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为2ln m x x =在()0,∞+上有2个不同的实数根，令()2ln g x x x =，()()21ln g x x '=+，根据函数的单调性求出()gx 的范围，从而求出m 的取值范围.【详解】解：()2ln 2ln m m x xf x x x x-'=-=，()0x >， 假设函数()f x 具有“凹凸趋向性〞时，那么2ln m x x =在()0,∞+上有2个不同的实数根，令()2ln gx x x =，()()21ln g x x '=+，令()0g x '>，解得1x e>， 令()0g x '<，解得10x e<<， ∴()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()gx 的最小值是12g e e⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当x 越趋近于0时，()gx 也x 越趋近于0，故20em -<<. 应选：B.【点睛】考察了函数的单调性，最值问题，考察导数的应用，属于中档题.三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.复数13z i =-，212z i =+，假设2z 表示2z 的一共轭复数，那么复数12z i z ⋅的模长等于_____.【解析】【分析】 根据一共轭复数的定义，结合复数的乘法，除法运算法那么化简12z i z ⋅，再结合复数的模长公式，即得解. 【详解】复数123)31(31)(12)5511212(12)(12)5z i i i i i i i i i i i i z ⋅-+++-+=====-+---+（由模长公式：12||z i z ⋅=【点睛】此题考察的一共轭复数，复数的四那么运算，复数的模长等知识，考察了学生数学运算的才能，属于根底题.14.如图，045的二面角的棱上有两点,A B ，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，2AB =，AC =4BD =，那么CD =_______.【解析】【详解】由AB ⊥AC ，BD ⊥AB ，即AB •BD =0，AB •AC =0，＜AC ，BD ＞=45°， ∵CD CA AB BD =++，∴222222135CD CA AB BD CA AB BD CA BD cos =++=+++︒， 24162244514cos =++-⨯⨯⨯︒=，∴14CD =15.4位学生和1位教师站成一排照相，假设教师站中间，男生甲不站最左端，男生乙不站最右端，那么不同排法的种数是_____．【答案】14【解析】【分析】需要分两类，第一类，男生甲在最右端，第二类，男生甲不在最右端，根据分类计数原理可得出结论.【详解】解：第一类，男生甲在最右端，其别人全排，故有336A =种，第二类，男生甲不在最右端，男生甲有两种选择，男生乙也有两种选择，其余2人任意排，故有1122228A A A =种，根据分类计数原理可得，一共有6814+=种.故答案为:14.【点睛】此题考察分类计数原理，关键是分类，属于根底题.16.假设函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，那么实数k 的取值范围______.【答案】【解析】【分析】解：解：因为f 〔x 〕定义域为〔0，+∞〕，又f′(x)=4x -1x ，由f'〔x 〕=0，得x=1/2．当x∈〔0，1/2〕时，f'〔x 〕＜0，当x∈〔1/2，+∞〕时，f'〔x 〕＞0据题意，k-1＜1/2＜k+1k-1≥0，解得1≤k＜3/2.【详解】请在此输入详解！四、解答题：此题一共6小题，一共一共70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．17.复数1z mi =+〔i 是虚数单位，m R ∈〕，且(3)z i ⋅+为纯虚数〔z 是z 的一共轭复数〕． 〔1〕设复数121m iz i +=-，求1z ；〔2〕设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕12z =；〔2〕13a > 【解析】【分析】(1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；〔2〕由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解. 【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-. 又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-.〔1〕13251122i z i i -+==---，∴1z =；〔2〕∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-， 又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >． 【点睛】假设Z 是复平面内表示复数za bi =+(),ab ∈R 的点，那么①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．18.函数()2ln f x x x =.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)经过点(0,2)-作函数()f x 图像的切线，求该切线的方程；【答案】〔1〕单增区间：1(,),e +∞单减区间：1(0)e，； 〔2〕22y x =-.【解析】【分析】〔1〕对函数求导，分析导函数正负得到函数得单调性；〔2〕设切点坐标，利用切点处得导函数值和两点坐标两种形式表示切线斜率，求出切点坐标，从而得到切线得方程.【详解】(1)函数()2ln f x x x =，'()2ln 2(0)f x x x =+>，令'()0f x >，得到单增区间1(,),e+∞ 令'()0f x <，得到单减区间1(0,),e〔2〕设切点的坐标为000(,2ln )x x x ，切线斜率为00'()2ln 2k f x x ==+ 另一方面0002ln (2)0x x k x --=-， 从而有00002ln (2)2ln 20x x x x --=+- 化简得：01x =从而切点坐标为(10)，，切线方程为：22y x =-.【点睛】此题考察了导数在函数单调性，切线方程种的应用，考察了学生综合分析，数学运算的才能，属于中档题.19.如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠=︒．〔1〕求证：AC FB ⊥；〔2〕求二面角E FB C --的大小．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕23πθ=． 【解析】【详解】试题分析：〔1〕证明：由题意得AD DC ⊥，AD DF ⊥⇒AD ⊥平面CDEF ⇒AD FC ⊥， 又DC FC ⊥⇒FC ⊥平面ABCD ⇒FC AC ⊥，再由勾股定理得222AC BC AB +=⇒AC BC ⊥⇒AC ⊥平面FCB ；〔2〕以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如下列图的空间直角坐标系，平面EFB 的法向量(1,0,1)n =，平面FCB 的法向量为(2,2,0)=-AC ⇒cos n AC n AC θ⋅=⋅1(2)2001222⨯-+⨯+⨯=⋅12=-⇒23πθ=． 试题解析：〔1〕证明：由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD FC ⊥，∵四边形CDEF 为正方形，∴DCFC ⊥， 由， ∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC AC ⊥，又∵四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =， ∴22AC =22BC =222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，由BC FC C ⋂=，∴AC ⊥平面FCB ．〔2〕由〔1〕知AD ，DC ，DE 所在的直线互相垂直，故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如下列图的空间直角坐标系，可得(0,0,0)D ，(0,2,2)F ，(2,4,0)B ，(0,0,2)E ，(0,2,0)C ，(2,0,0)A ， 由〔1〕知平面FCB 的法向量为(2,2,0)=-AC ， ∴(0,2,0)EF =，(2,2,2)FB =-，设平面EFB 的法向量为(,,)nx y z =， 那么有0,{0,n EF n FB ⋅=⋅=即20,{2220,y x y z =+-=即0,{0y x y z ，=+-= 令1z =，那么(1,0,1)n =，设二面角E FB C --的大小为θ，cos n AC n AC θ⋅=⋅222=⋅12=-， ∵[]0,θπ∈，∴23πθ=． 考点：1、线面垂直；2、二面角.20.函数()x f x e ax =-，a R ∈，e 是自然对数的底数.(1)假设函数()f x 在2x =处获得极值，求a 的值及()f x 的极值.(2)求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值.【答案】〔1〕2a e =，极值2(2)=f e -；〔2〕当1a ≤时，min ()(0)1f x f ==； 当1a e <<时，min ()(ln )ln f x f a a a a ==-； 当a e ≥时，min ()(1)f x f e a ==-.【解析】【分析】 〔1〕对函数()f x 求导，将原函数的极值转化为导函数的零点，求解a 的值及()f x 的极值；〔2〕分类讨论，研究导函数的单调性，进而研究函数的最小值.【详解】(1)由于'()x f x e a =-，函数()f x 在2x =处获得极值 因此：22'(2)=0f e a a e =-∴=经检验，2ae =时()f x 在2x =处获得极值，成立. ()f x 的极值为2(2)=f e -.(2)当0a ≤时，f (x )在R 上单调递增，因此f (x )在[0,1]上单调递增，min ()(0)1f x f == 当0a >时，f (x )在(,ln )a -∞单调递减，(ln ,)a +∞单调递增〔i 〕1ln a ≤即a e ≥时，()f x ∴在[0,1]单调递减，min ()(1)f x f e a ∴==-〔ii 〕0ln 1a <<即1a e <<时，()f x ∴在[0,ln )a 上单调递减，(ln ,1]a 单调递增，min ()(ln )ln f x f a a a a ∴==-〔iii 〕ln 0≤a 即01a <≤时，因此f (x )在[0,1]上单调递增，min ()(0)1f x f ==【点睛】此题考察导数在函数极值、最值中的综合应用，考察了学生的综合分析才能，分类讨论思想，转化与划归，数学运算才能，属于较难题.21.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，2PB PD AB ===，PA PC =，AC 与BD 相交于点O ．()1求证：PO ⊥底面ABCD ；()2求直线PB 与平面PCD 所成的角θ的值；()3求平面PCD 与平面PAB 所成钝二面角ϕ的余弦值．【答案】()1证明见解析；()2arcsin 7；()317-. 【解析】【分析】()1根据三线合一得出PO AC ⊥,PO BD ⊥,故而PO ⊥底面ABCD ，得出结论；()2以O 为原点，以OB ,OD ,OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，求出PB 与平面PCD 的法向量n ，那么cos ,n PB <>即为所求；()3求出平面PAB 的法向量即可，代入向量夹角公式计算即可.【详解】解：()1证明：因为ABCD 为菱形， 所以O 为AC ，BD 的中点.因为PB PD =，PA PC =，所以PO AC ⊥,PO BD ⊥.所以PO ⊥底面ABCD . ()2因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，建立如下列图空间直角坐标系，又60ABC ∠=︒，得1OA =，OB =1OP =，∴()0,0,1P，)B ，()0,1,0C，()D ，()0,1,0A -,∴()0,1,1PA =--，()3,0,1PB =-，()0,1,1PC =-,()1PD =--． 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，030n PC y z n PD z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩， 令1x =，可得(1n =． 23772n PBn PB PB n ⋅===⋅⋅cos ＜，＞． ∴直线PB 与平面PCD 所成的角θ的值是arcsin 7． ()3又()011PA =--，，．设设平面PAB 的法向量为()m a b c ，，=． 030m PA b c m PB a c ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令1a =，可得(13m =-，． cos 13177m n n m m n ⋅+-===⋅⨯＜，＞． 所以平面PCD 与平面PAB 所成钝二面角ϕ的余弦值17-． 【点睛】此题考察面面垂直的断定，空间向量的应用及线面角，面面角的计算，属于中档题.22.函数21()ln (1),2f x a x x a x a R =+-+∈. 〔1〕当1a =时，求函数()y f x =的图像在1x =处的切线方程； 〔2〕讨论函数()f x 的单调性；〔3〕假设对任意的(,)x e ∈+∞都有()0f x >成立，求a 的取值范围.【答案】(1)32y =-(2)答案见解析；(3)222(1)e e a e -≤-. 【解析】试题分析：()1当1a =时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出曲线()y f x =在1x =处的切线方程；()2求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调性；()3根据函数的单调性求出函数的最小值，即实数a 的取值范围．解析：〔1〕()221'x x f x x-+= ()()3'10,12f f ==-， 所求切线方程为32y =-. 〔2〕()()()()211'x a x ax x a f x x x-++--== 当1a =时，()f x 在()0,+∞递增 当0a ≤时，()f x 在()0,1递减，()1,+∞递增当01a <<时，()f x 在()0,a 递增，(),1a 递减，()1,+∞递增 当1a >时，()f x 在()0,1递增，()1,a 递减，(),a +∞递增. 〔3〕由()0f x >得()21ln 2x x a x x -<- 注意到1ln ,'x y x x y x-=-=，于是ln y x x =-在()0,1递减，()1,+∞递增，最小值为0 所以(),x e ∀∈+∞，ln 0x x ->于是只要考虑(),x e ∀∈+∞，212ln x x a x x-<- 设()212ln x x g x x x-=-，()()()()21122ln 2'ln x x x g x x x -+-=- 注意到()()222ln ,'x hx x x h x x -=+-=，于是()22ln h x x x =+-在(),e +∞递增 所以()g x 在(),e +∞递增于是()()2221e e a g e e -≤=-.。

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹下学期高二年级第二次阶段性考试理科数学一、选择题：〔每一小题5分，总分值是60分〕1.复数A.B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，应选D．考点：复数的运算．2.以下说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，HY差也变为原来的倍；②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位；③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，假设位于区域的概率为0.4，那么位于区域⑤利用统计量来判断“两个事件的关系〞时，算出的值越大，判断“与有关〞的把握就越大其中正确的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】逐一考察所给的说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，HY差也变为原来的倍，原说法错误；②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，原说法正确；③线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，原说法错误；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，假设位于区域的概率为0.4，那么位于区域内的概率为0.5，原说法错误；⑤利用统计量来判断“两个事件的关系〞时，算出的值越大，判断“与有关〞的把握就越大，原说法正确.此题选择B选项.3.的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】因为定积分，结合定积分的几何意义可知圆心为〔1,1〕，半径为1的四分之一个圆的面积减去得到，即为，选A.4.设定义在上的函数的导函数为，且满足，，假设，那么A. B.C. D.与的大小不能确定【答案】C【解析】解析：由题设可知函数的图像关于直线成轴对称，且当是增函数，当时是减函数，因为，且，所以，应选答案C。

5.书架上有三本数学书和两本语文书，某同学两次分别从书架各取一本书，取后不放回，假设第一次从书架取出一本数学书记为事件，第二次从书架取出一本数学书记为事件，那么A.B. C. D.【答案】C【解析】第一次从书架取出一本数学书有种方法，其中第二次从书架取出一本数学书有种方法，据此可得，所求概率值为.此题选择C选项.6.如图，一个树形图根据以下规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，那么第11行的实心圆点的个数是A.21B.34C.55D.89【答案】C【解析】根据1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，知：第1行的实心圆点的个数是0；第2行的实心圆点的个数是1；第3行的实心圆点的个数是1=0+1；第4行的实心圆点的个数是2=1+1；第5行的实心圆点的个数是3=1+2；第6行的实心圆点的个数是5=2+3；第7行的实心圆点的个数是8=3+5；第8行的实心圆点的个数是13=5+8；第9行的实心圆点的个数是21=8+13；第10行的实心圆点的个数是34=13+21；第11行的实心圆点的个数是55=21+34.此题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或者用累加法、累乘法、迭代法求通项．7.假设的展开式中没有常数项，那么的可能取值是A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】由题意可得(x+x−3)n的展开式中没有常数项，且没有x−1项，且没有x−2项。

模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(1＋i)16－(1－i)16＝() A ．－256B ．256i C ．0 D ．256解析：(1＋i)16－(1－i)16＝[(1＋i)2]8－[(1－i)2]8＝(2i)8－(－2i)8＝0. 答案：C2．已知函数f (x )＝ln x －x ，则函数f (x )的单调递减区间是() A ．(－∞，1) B ．(0，1)C ．(－∞，0)，(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝1x －1＝1－xx，x >0.令f ′(x )<0，解得x >1.答案：D3．设f (x )＝10x＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e. 答案：B4．若函数f (x )满足f (x )＝e xln x ＋3xf ′(1)－1，则f ′(1)＝() A ．－e 2B ．－e3C ．－eD ．e解析：由已知可得f ′(x )＝e xln x ＋exx＋3f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝0＋e ＋3f ′(1)，解得f ′(1)＝－e2.答案：A5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10B ．14C ．13D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.答案：D8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．答案：D10．证明不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即 k 2＋k ≤k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝ k 2＋3k ＋2≤k 2＋3k ＋2＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1时验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43 C ．2D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2， 设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0， 所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|0－2＝43.答案：B12．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值X 围为()A ．(－1，2) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D ．(－2，1) 解析：因为f (x )是奇函数，所以不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )，即xf ′(x )＋f (x )<0，即F ′(x )<0.当x ∈(－∞，0]时，函数F (x )单调递减；由于F (x )＝xf (x )为偶函数，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增．所以F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)， 即3>|2x －1|，解得－1<x <2. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. 答案：514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A ­BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A ­BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A ­BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝____________.解析：f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1.又f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，所以a ＝3.答案：316．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫π0π－x 2d x ＝π24.解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c <3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z |＝1，则由|z －i|≤|z |＋|－i|＝2，可得|z －i|的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫π0π－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3. －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数， 所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2）， 因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1， 所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)， 所以复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，只需证明1a b＋2＋1b a＋2≤23， 只需证明b a ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证(a －b )2≥0，这显然成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23.(2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，所以2a ≤b ＋2，2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4， 这与a ＋b >4矛盾，所以af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ex ＋2(x 2－3)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数y ＝f (x )的极值． 解：(1)函数f (x )＝e x ＋2(x 2－3)，则f ′(x )＝ex ＋2(x 2＋2x －3)＝ex ＋2(x ＋3)(x －1)，故f ′(0)＝－3e 2，又f (0)＝－3e 2，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＋3e 2＝－3e 2(x －0)，即3e 2x ＋y ＋3e 2＝0.(2)令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－3， 如下表：↗↘↗所以当x ＝－3时，函数取极大值，极大值为f (－3)＝e ，当x ＝1时，函数取极小值，极小值为f (1)＝－2e 3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值，最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3图象的下方．解：(1)由f (x )＝12x 2＋ln x 有f ′(x )＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )>0，所以f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.f (x )min ＝f (1)＝12.(2)设F (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x，当x ∈[1，＋∞)时，F ′(x )<0，且F (1)＝－16<0故x ∈[1，＋∞)时F (x )<0，所以12x 2＋ln x <23x 3，得证．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )； (3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋（1－a ）x －ax＝（x ＋1）（x －a ）x.若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则令f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－ [12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln(a －x )]＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )．所以g ′(x )＝2－a a ＋x －aa －x ＝2x2x 2－a 2.当0<x <a 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，a )上是减函数． 而g (0)＝0，所以g (x )<g (0)＝0.故当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )．(3)由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点， 故a >0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )<0. 不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<a <x 2，所以0<a －x 1<a . 由(2)得f (2a －x 1)<f (x 1)＝0＝f (x 2)， 从而x 2>2a －x 1，于是x 1＋x 22>a .由(1)知，f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式． 解：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1. 所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1， 当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1， 所以a k ＋1＝2（k ＋2）（k ＋1），所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2（k ＋1）k ＋2＝2（k ＋1）（k ＋1）＋1.所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立． 由S n ＝n 2a n ，得2n n ＋1＝n 2a n ，所以a n ＝2n （n ＋1）.。

实验高中2021级高二下学期第二次阶段性考试数学试题第一卷〔选择题一共52分〕一、选择题〔此题包括13小题，每一小题4分，一共52分.其中1-12为单项选择，11-13为多项选择，选对一个得2分，错选或者不选得0分〕.1.在曲线32y x x =+-的切线中，与直线41x y -=平行的切线方程是〔 〕 A. 40x y -= B. 440x y --=C. 220x y --=D. 40x y -=或者440x y --=【答案】D 【解析】试题分析：先求导函数，然后设切点为〔a ，b 〕，根据在P 点处的切线平行于直线y=4x-1建立等式，解之即可求出a ，得到切点坐标，从而求出所求解：曲线y=x 3+x-2求导可得 y′=3x 2+1,设切点为〔a ，b 〕那么 3a 2+1=4，解得 a=1或者a=-1,切点为〔1，0〕或者〔-1，-4〕,与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0,故答案为D考点：导数研究曲线上某点切线方程点评：此题主要考察了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线平行的应用，属于中档题．2.函数()32()12f x x =-+的极值点是〔 〕A. 1x =B. 0x =C. 1x =或者-1或者0D. 1x =-【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，然后得到函数的单调区间，由此断定极值点。

【详解】函数的导数为2222()3(1)26(1)f x x x x x '=-⨯=-； 令()0f x '=，解得：11x =-， 20x =，x =31，令()0f x '>，解得：0x >，函数的单调增区间为(0,)+∞； 令()0f x '<，解得：0x <，函数的单调减区间为(,0)-∞； 所以当0x =时，函数取极小值。

故答案选B【点睛】此题主要考察函数的极值与导数之间的关系，纯熟掌握复合函数的导数公式是解决此题的关键。