数学史上一个大恩怨的真相

数学史上一桩丑闻，实则是知识产权保护和自私的对决本文转载自【吴国平数学教育】并得到授权添加原创标志！相对于一元三次方程，大家对一元二次方程更为熟悉，而且人类早早就掌握了一元二次方程的解法。

如在大约公元前480年，中国人已经会使用配方法求得了一元二次方程的正根，中国数学家还在方程的研究中应用了内插法；在公元前2000年左右，古巴比伦的数学家也学会了解一元二次方程，不过在当时古巴比伦人并不接受负数这一概念，所以负根是总是被忽略掉。

在其他文明历史中，像古希腊、古印度、阿拉伯等也都提到了一元二次方程的解法。

直到1615年，法国数学家韦达在其著作《论方程的识别与订正》中完整的给出了根与系数的关系。

一元三次方程的发展并没有像一元二次方程这么一帆风顺，甚至经历一段“狗血”的剧情。

为什么“三次”和“二次”就相差“一”，解法会差那么多呢？为了能更好帮助大家理解一元三次方程，我们先熟悉其概念：只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程。

一元三次方程的标准形式是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。

经过多年的发展，解一元三次方程常见的方法有两种：卡尔丹公式法与盛金公式法。

两种公式法都可以用来解一元三次方程，但盛金公式法出现较晚，不过用盛金公式去解题比用卡尔丹公式更为直观，效率更高。

卡尔丹公式作为最早、最完整的解一元三次方程的一般求解方法，在数学历史发展过程中占据重要的地位，同样也充满着戏剧性的色彩。

提到卡尔丹公式的由来，我们先认识两位人物：冯塔纳（也叫塔塔里亚或塔尔塔里亚）和卡尔丹（也叫卡丹或卡尔达诺）。

出身于意大利的冯塔纳家境贫寒，少年丧父，自然家里没有什么经济基础供他读书。

在1512年，只有13岁的冯塔纳在一次战乱中被一法国士兵用刀砍伤脸部，头部口舌多处受伤。

冯塔纳虽然侥幸捡回一条命，却造成口吃的后遗症，于是一些人就送给他“塔塔里亚”的绰号，意大利语就是“口吃者”的意思。

三次数学危机——长达⼀个世纪的关于数学基础问题上的争论悖论的产⽣科学的发展今天，超模君⼜“⼿痒”想要码字了，奈何⼀时找不到话题，正在⽆⽐纠结时，⼩天⼀语惊醒梦中最近评论区不是有好多要求超模君介绍什么什么的吗？难道你忘了？⼈：最近评论区不是有好多要求超模君介绍什么什么的吗？是的，这位 Z（⼩朋友？），你被翻牌了！数学史上的三次⼤危机吧。

那超模君今天来讲讲数学史上的三次⼤危机1、⽆理数的发现希伯索斯发现边长为1的正⽅形的对⾓线在公元前580～568年间，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯长度（根号2）既不是整数，也不能⽤整数之⽐来表⽰。

（传送门）这不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条（万物皆为数），也冲击了当时希腊⼈的传统见解。

当时希腊数学家们对此深感不安，希伯索斯还因此遭到沉⾈⾝亡的惩处。

⽆理数的发现以及芝诺悖论（传送门）引发了第⼀次数学危机。

过了两百年，希腊数学家欧多克斯和阿契塔斯两⼈给出了“两个数的⽐相等”的新定义，建⽴起⼀套完整的⽐例论，其中巧妙避开了⽆理数这⼀“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的⼀些结论，缓解了这次数学危机。

然⽽，“世界万物皆为整数或整数⽐”的错误并没有解决，欧多克斯只是借助⼏何⽅法，直接避免⽆理数的出现。

直到1872年，德国数学家对⽆理数作出了严格的定义，⽆理数本质被彻底搞清，⽆理数在数才真正彻底、圆满地解决了第⼀次数学危机。

学中合法地位的确⽴，才真正彻底、圆满地解决了第⼀次数学危机2、贝克莱悖论⼗七世纪后期，⽜顿、莱布尼茨创⽴微积分学，成为解决众多问题的重要⽽有⼒的⼯具，并在实际应⽤中获得了巨⼤成功。

然⽽，微积分学产⽣伊始，迎来的并⾮全是掌声，在当时它还遭到了许多⼈的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建⽴在⽆穷⼩分析之上，⽽⽆穷⼩后来证明是包含逻辑⽭盾的。

原来，在1734年，英国哲学家乔治·贝克莱出版了名为《分析学家或者向⼀个不信神数学家的进⾔》的⼀本书。

在这本书中，贝克莱对⽜顿的理论进⾏了攻击，指出求x2的导数时，会出现如下⽭盾：依靠双重错误得到了不科学却正确的结果。

数学中推翻前人的例子
在数学中，推翻前人的例子有很多。

以下是一些著名的例子：
1. 罗素悖论：由英国哲学家和逻辑学家伯特兰·罗素提出的悖论，表明自指的命题（即包含它自身的命题）会导致矛盾。

这个悖论在20世纪初引发了数学和逻辑学的大规模变革，推动了公理化方法的普及，对数学和哲学都产生了深远的影响。

2. 哥德尔不完备定理：由奥地利数学家哥德尔提出的定理，表明任何足够复杂的数学系统都存在一些无法被证明或证伪的命题。

这个定理彻底颠覆了人们对数学系统的完美性和一致性的传统看法，对数学和逻辑学产生了深远的影响。

3. 非欧几何的创立：在19世纪末和20世纪初，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约等人在研究三维欧几里得几何时发现，去掉欧几里得公设中的第五公设（即平行公设），可以推导出一种新的几何学——非欧几何。

这个发现打破了欧几里得几何的唯一性和自洽性的传统观念，开创了数学的新领域。

4. 微积分严格化：在19世纪和20世纪初，数学家们开始对微积分的基础进行严格的公理化研究，提出了许多新的数学概念和方法，如极限、连续、导数、积分等，推动了微积分理论的发展和完善。

这些成果不仅解决了微积分在物理、工程和其他领域的应用问题，还对现代数学的发展产生了深远的影响。

5. 布尔巴基学派的崛起：在20世纪前半期，法国数学家布尔巴基等人开始致力于将全部数学建立在公理体系上，他们建立了一套新的数学体系，被称为布尔巴基学派或结构主义学派。

这个学派的成果不仅改变了人们对数学的认识和理解方式，还对整个现代数学产生了深远的影响。

罗素悖论的由来
一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。

”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。

因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。

但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。

如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。

由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。

这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。

这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。

1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。

到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。

就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。

于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。

此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。

中外数学家的数学小故事数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。

今天小编在这给大家整理了数学小故事大全，接下来随着小编一起来看看吧!数学小故事(一)1933年1月，希特勒一上台，就发布第一号法令，把犹太人比作“恶魔”，叫嚣着要粉碎“恶魔的权利”.不久，哥廷根大学接到命令，要学校辞退所有从事教育工作的纯犹太血统的人.在被驱赶的学者中，有一名妇女叫爱米·诺德(A.E.Noether 1882—1935)，她是这所大学的教授，时年5l岁.她主持的讲座被迫停止，就连微薄的薪金也被取消.这位学术上很有造诣的女性，面对困境，却心地坦然，因为她一生都是在逆境中度过的.诺德生长在犹太籍数学教授的家庭里，从小就喜欢数学.1903年，21岁的诺德考进哥廷根大学，在那里，她听了克莱因、希尔伯特、闽可夫斯基等人的课，与数学解下了不解之缘.她学生时代就发表了几篇高质量的论文，25岁便成了世界上屈指可数的女数学博士.诺德在微分不等式、环和理想子群等的研究方面做出了杰出的贡献.但由于当时妇女地位低下，她连讲师都评不上，在大数学家希尔伯特的强烈支持下，诺德才由希尔伯特的“私人讲师”成为哥廷根大学第一名女讲师.接下来，由于她科研成果显着，又是在希尔伯特的推荐下，取得了“编外副教授”的资格，虽然她比起很多“教授”更有实力.诺德热爱数学教育事业，善于启发学生思考.她终生未婚，却有许许多多“孩子”.她与学生交往密切，和蔼可亲，人们亲切地把她周围的学生称为“诺德的孩子们”.我国代数学家曾炯之就是诺德“孩子”们中的一个.在希特勒的淫威下，诺德被迫离开哥廷根大学，去了美国工作.在美国，她同样受到学生们的尊敬和爱戴，同样有她的“孩子们”.1934年9月，美国设立了以诺德命名的博士后奖学金.不幸的是，诺德在美国工作不到两年，便死于外科手术，终年53岁.她的逝世，令很多数学同僚无限悲痛.爱因斯坦在《纽约时报》发表悼文说：“根据现在的权威数学家们的判断，诺德女士是自妇女受高等教育以来最重要的富于创造性数学天才.”数学小故事(二)八岁的高斯发现了数学定理。

关于数学的恐怖故事：从前有棵树，叫高数，树上挂了很多人关于数学的恐怖故事：从前有棵树，叫高数，树上挂了很多人来源：经管之家论坛（ID：bbspingguorg-weixin）编辑：学妹来源：经管之家论坛（ID：bbspingguorg-weixin），综合自网络、P.Linux’s blog很久很久以前，在拉格朗日照耀下，有几座城：分别是常微分方城和偏微分方城这两座兄弟城，还有数理方城、随机过城。

从这几座城里流出了几条溪，比较著名的有：柯溪、数学分溪、泛函分溪、回归分溪、时间序列分溪等。

其中某几条溪和支流汇聚在一起，形成了解析几河、微分几河、黎曼几河三条大河。

河边有座古老的海森堡，里面生活着亥霍母子，穿着德布罗衣、卢瑟服、门捷列服，这样就不会被开尔蚊骚扰、被河里的薛定鳄咬伤。

城堡门口两边摆放着牛墩和道尔墩，出去便是鲍林。

鲍林里面的树非常多：有高等代树、抽象代树、线性代树、实变函树、复变函树、数值代树等，还有长满了傅立叶，开满了范德花的级树...人们专门在这些树边放了许多的盖（概）桶、高桶，这是用来放尸体的，因为，挂在上面的人，太多了，太多了...这些人死后就葬在微积坟，坟的后面是一片广阔的麦克劳林，林子里有一只费马，它喜欢在柯溪喝水，溪里撒着用高丝做成的ε- 网，有时可以捕捉到二次剩鱼。

后来，芬斯勒几河改道，几河不能同调，工程师李群不得不微分流形，调河分溪。

几河分溪以后，水量大涨，建了个测渡也没有效果，还是挂了很多人，连非交换代树都挂满了，不得不弄到动力系桶里扔掉。

有些人不想挂在树上，索性投入了数值逼井（近）。

结果投井的人发现井下生活着线性回龟和非线性回龟两种龟：前一种最为常见的是简单线性回龟和多元线性回龟，它们都喜欢吃最小二橙。

柯溪经过不等市，渐近县和极县，这里房子的屋顶都是用伽罗瓦盖的，人们的主食是无穷小粮。

极县旁有一座道观叫线性无观，线性无观里有很多道士叫做多项士，道长比较二，也叫二项士。

《数学恩仇录：数学家的十大论战》，(美)哈尔·赫尔曼著，范伟译，复旦大学出版社2009年6月版，28.00元。

我想，第一个发现无理数的那个古希腊人是人类献给数学的第一个生命。

他是毕达哥拉斯(中国人称之为“勾股定理”的“毕达哥拉斯定理”就是以他命名)的弟子，他发现当两条直角边的长度为1时，斜边的长度(今天我们都知道那是2的平方根)不能用两个整数的比来表示。

这违反了毕达哥拉斯学派的信念，于是他被他的同学们淹死在海里。

我们经常会忘记，数学史是以如此血腥的故事作为开端的。

我们总是像英国数学家伯特兰·罗素那样认为，“公正地看，数学里不仅有很多真理，而且有着极致的美。

这种美冷峻如雕塑，它不迎合我们天性中的任何弱点，也没有绘画和音乐那样的华丽外表；但它极纯净，能够向我们展示只有最伟大的艺术才具有的完美”。

这样的数学，难道会有勾心斗角、欺压迫害？《数学恩仇录》的作者、美国作家哈尔·赫尔曼就曾经这样说过：“比起政治和宗教，甚至自然科学，数学很少有人类情感的参与。

在数学里，怎会有争端？”错了。

大错特错了。

在这里，我们需要复习一遍一句与毕达哥拉斯定理同样正确的名言：有人的地方就有江湖。

数学家们无疑是天才，但是天才也不能免俗啊。

当一个天才与另一个天才冤家路窄狭路相逢头碰头地站在对立两端的时候，一场闪现着智慧之美与人性之暗的恶斗就不可避免了。

《数学恩仇录》(这个典型的汉语词组来自译者的手笔，原文题目直译过来的话是“数学的大争论”)以“数学家的十大论战”为副标题。

这十场厮杀里，既有不分胜负打个平手，也有明里败了一着，暗里功力更深，不过最令人浩叹的，却是两败俱伤，连数学本身也没有得到一丝好处。

套用武侠小说的说法，“牛顿vs莱布尼茨”就是类似于东邪西毒华山论剑这样的顶尖高手之间的过招。

这是代表了人类最高智慧水平的两个头脑：《天才引导的历程》的作者、美国数学史学家威廉·邓纳姆说，“不论牛顿住在哪里，哪里就是世界的数学中心”；同样的，也只有莱布尼茨这样的人物才配得上做牛顿的对手，“数学王子”高斯认为莱布尼茨在数学上拥有最高的才智。

数学史上的一则“冤案”人类专门早就把握了一元二次方程的解法，然而对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。

古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，然而他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决专门形式的三次方程，对一样形式的三次方程就不适用了。

在十六世纪的欧洲，随着数学的进展，一元三次方程也有了固定的求解方法。

在专门多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这明显是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。

那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺第一发觉的呢？历史事实并不是如此。

数学史上最早发觉一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳（NiccoloFontana）。

冯塔纳出身贫寒，青年丧父，家中也没有条件供他念书，然而他通过困难的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。

由于冯塔纳患有“口吃”症，因此当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”（Tartaglia），也确实是意大利语中“结巴”的意思。

后来的专门多数学书中，都直截了当用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。

通过多年的探究和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一样形式的求根方法。

那个成就，使他在几次公布的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。

然而冯塔纳不情愿将他的那个重要发觉公之于世。

当时的另一位意大利数学家兼大夫卡尔丹诺，对冯塔纳的发觉专门感爱好。

他几次诚恳地登门请教，期望获得冯塔纳的求根公式。

但是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。

尽管卡尔丹诺多次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖要领”。

后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。

冯塔纳认为卡尔丹诺专门难破解他的“咒语”，但是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，专门快就完全破译了冯塔纳的隐秘。

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

数学史上一个大恩怨的真相
方舟子
【期刊名称】《教师博览》
【年(卷),期】2006(000)012
【摘要】数学史上著名的一个大恩怨许多人在中学学解方程时都听老师讲过的。

故事说，文艺复兴时期意大利数学家塔塔利亚发现了三次方程的解法．秘而不宣。

一位叫卡当的骗子把解法骗到了手，公布出来．并宣称是他自己发现的。

塔塔利亚一气之下向卡当挑战比赛解方程，大获全胜，因为塔塔利亚教他时留了一招。

不过至今这些公式还被称作卡当公式．而塔塔利亚连名字都没有留下来，塔塔利亚只是一个外号．意大利语意思是“结巴”。

网上广为流传的一篇《数学和数学家的故事》长文就是这么介绍的。

【总页数】2页(P52-53)
【作者】方舟子
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
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中国社会科学报/2016年/7月/19日/第005版科学与人文关于微积分的恩恩怨怨(下)中国科学院大学苏湛尽管牛顿和莱布尼兹最终为争夺微积分的发明优先权而闹得不欢而散，并留下了直到今天双方支持者仍各执一词的千古公案，但在开始的时候，两位数学家并不完全是相互敌对的，反倒颇有几分惺惺相惜之意。

关于发明权的最初争议牛顿早在1676年就知道莱布尼兹的工作，但此时的他并没有表现出任何对优先权问题的担心或竞争心理。

直到1687年以前，他都没有公开发表任何关于流数术的论文或专著，哪怕是在1684年莱布尼兹抢先发表了论文以后。

反倒是在1687年，他首次在《自然哲学之数学原理》第一版中透露出关于流数术的一鳞半爪时，特意在下方注释道：十年前在我与最权威的几何学家G.G.莱布尼兹进行的后来被中断的系列通信中，我展示了我提出的定义最大和最小的方法……阁下回信说他也在研究这样一种方法，他的方法除了用词及其众所周知的形式以外，和我的几乎没有什么不同。

牛顿在这段话中用“最权威的”来形容莱布尼兹，并尊称其为“阁下”，对与莱布尼兹英雄所见略同的得意之情跃然纸上。

不过牛顿本人的态度并不能代表他的全部英国同胞。

曾作为牛顿微积分思想启发者之一的老一代数学家沃利斯就对此很不以为然。

作为一位狂热的不列颠沙文主义者，沃利斯一生热衷于证明不列颠民族相对于其他民族在智力上的优越性。

随着“莱布尼兹微积分”在欧洲大陆声望日隆，而牛顿更早的工作却迟迟不见发表，本应属于英国数学家的学术荣誉眼见着正被德国人“窃取”殆尽，这怎能不让充满民族自尊心的老数学家焦虑？为此，沃利斯不但多次以师长和朋友的身份致信牛顿，措辞颇有些严厉地敦促牛顿尽快发表关于流数术的论文；而且身体力行，在自己的著作中不断为牛顿及其流数术摇旗呐喊。

特别是在1695年出版的著作中，在谈到牛顿流数术与莱布尼兹微积分的内在一致性时，老数学家意味深长地提及，1676年牛顿发给包括他在内的几位英国数学家介绍流数术的两封最初的信件，“也被（几乎一字不易地）传递给了莱布尼兹，他（牛顿）在信中向莱布尼兹讲解了他在十多年前就已经发明的方法”——这是关于莱布尼兹剽窃牛顿成果的第一次暗示。