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概率论与数理统计(选修) 简易教案一、教学目标1. 了解概率论与数理统计的基本概念和原理。
2. 掌握基本的概率计算和统计方法。
3. 能够应用概率论与数理统计解决实际问题。
二、教学内容1. 概率论的基本概念：随机事件、样本空间、概率公式。
2. 条件概率和独立性：条件概率的定义和计算、独立事件的概率计算。
3. 概率分布：离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率分布。
4. 统计学基本概念：总体、样本、参数、统计量。
5. 描述性统计分析：频数、频率、图表、均值、方差等。
三、教学方法1. 讲授法：讲解概率论与数理统计的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：通过实际案例讲解概率计算和统计分析的应用。
3. 练习法：学生通过练习题巩固所学知识和技能。
四、教学准备1. 教材或教学资源：概率论与数理统计教材或相关教学资源。
2. 投影仪或白板：用于展示案例和讲解。
3. 练习题：准备相关的练习题供学生练习。
五、教学过程1. 导入：引入概率论与数理统计的概念和重要性。
2. 讲解：讲解概率论与数理统计的基本概念、原理和方法。
3. 案例分析：通过实际案例讲解概率计算和统计分析的应用。
4. 练习：学生进行练习题，巩固所学知识和技能。
5. 总结：对本节课的内容进行总结和回顾。
六、教学评估1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确率和解题思路。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的合作和交流能力。
七、扩展活动1. 研究项目：学生可以自主选择一个感兴趣的概率论与数理统计相关的研究项目，进行深入研究和分析。
2. 数据分析竞赛：组织学生参加数据分析竞赛，应用所学的概率论与数理统计知识解决实际问题。
八、教学反思1. 教师应在教学过程中不断反思和调整教学方法，以提高教学效果。
2. 教师应关注学生的学习反馈，及时解决学生遇到的问题。
九、教学资源1. 教材或教学资源：提供概率论与数理统计的教材或相关教学资源，供学生自主学习和参考。
概率论及数理统计课程设计一、设计目的本次课程设计旨在让学生通过独立完成一个概率论及数理统计的实际问题，深入了解概率和统计学的基本理论、方法和应用。
二、设计要求2.1 课程要求1.独立完成一个概率论或数理统计的实际问题。
2.对问题进行系统分析、建模和求解，并对结果进行解释和评价。
3.撰写题目研究的报告，包括题目来源、问题描述、分析方法、结果分析和总结等部分。
2.2 设计内容1.选择一个实际问题，可涉及生活、工作、科学或社会等领域。
2.对问题进行分析和建模，包括问题的假设、目标、变量、参数等。
3.对数据进行采集和处理，包括数据的类型、总体分布特征、样本分布特征等。
4.进行相关的数理统计分析和概率计算，包括描述统计分析、参数估计、假设检验、回归分析等。
5.对结果进行总结和评价，包括结果的可靠性、应用价值等。
三、设计实施3.1 设计流程1.确定问题：学生自主选择一个实际问题进行研究。
2.分析问题：明确问题的假设、目标等，进行问题分析和建模。
3.数据采集：收集数据，并进行数据处理和初步分析。
4.数理统计分析：进行描述统计分析、参数估计、假设检验、回归分析等多种分析方法。
5.结果总结：对分析结果进行总结和评价。
3.2 设计要点1.题目的选择要具有实际意义，并能够体现概率论和数理统计的理论和应用。
2.数据的收集和处理要合理、完整、准确，符合统计分析的要求。
3.分析方法要适当，充分体现概率论和数理统计的基本理论、方法和应用。
4.结果的总结和评价要清晰、准确、客观，体现分析结果的有效性和应用价值。
四、设计评价4.1 评分要点1.问题选择的质量和实际意义。
2.数据处理和分析方法的有效性和准确性。
3.求解结果的可靠性和应用价值。
4.报告的客观性和准确性，以及语言表达和文献引用等方面的要求。
4.2 评分标准本课程设计的评分将按照如下标准进行：分数评价90-100优秀，分析全面深入，结果可靠，报告准确详尽，符合要求。
80-89 良好，分析全面，结果较为可靠，报告语言表达清晰，各项要求均符合。
概率论与数理统计教学设计背景与目的概率论与数理统计课程是大学数学系列课程之一，是数学、统计学、应用数学等学科中的基础课程之一。
本课程涉及的知识点非常广泛，包括概率的基本概念、随机变量及其分布、数理统计中的参数估计和假设检验等，是大学生在数学和统计学中打开思维、拓展眼界的重要课程之一。
本文旨在针对概率论与数理统计课程进行教学设计，从内容、方法、评估几个方面，以创新的教学方式和评估方法，引导学生深入理解和应用概率论与数理统计知识，帮助学生掌握基本的数理统计计算和应用方法。
内容与方法课程内容本课程主要分为三部分：概率论、随机变量与分布、数理统计。
在第一部分概率论中，包括概率的基本概念、事件、概率的运算规则和概率分布，以及周期、伯努利实验、条件概率等知识点。
在第二部分随机变量与分布中，主要学习随机变量的定义、连续分部函数、正态分布、中心极限定理等知识点。
第三部分数理统计主要涵盖参数估计、假设检验、方差分析等各种统计方法。
教学方法1.针对不同知识点选择不同教学方法。
例如，对于概率的定义和概率的运算，可以使用演示法和案例分析法。
对于参数估计和假设检验等复杂内容，可以采用数学公式的推导和分析方法，以及案例实践与模拟操作。
2.强调互动教学。
教师不应该只是在黑板上讲授理论知识，应该让学生在学习的同时，积极表达自己、发表疑问，并与其他学生相互交流讨论。
3.多元化教学。
学生的学习方式有差异，因此需要采用多种教学手段，如PPT、视频、实例操作、小组讨论等。
评估方法教学评估作为教学的关键环节，与教学内容和教学方法密不可分。
本课程的评估方法主要分为两个方面：考试和实践项目。
考试考试是本课程最常用的评估方式之一。
考试内容覆盖了课程中的基本知识点，并且考试难度要适中，既要考查学生的记忆力，又要考查学生的理解、分析和应用能力。
实践项目除了考试以外，实践项目也是评估学生学习成果的重要方式。
教学过程中通过实践项目来培养学生的数据分析能力和解决实际问题的能力，同时也增加学生学习概率论与数理统计课程的兴趣和动力。
概率论与数理统计教学设计概率论与数理统计是一门重要的数学课程，对于理工科学生来说尤为重要。
本教学设计旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本知识和方法，培养其数理思维和解决问题的能力。
一、教学目标：1.了解概率论和数理统计的基本概念和理论知识。
2.能够运用概率论和数理统计的方法解决实际问题。
3.培养学生的数理思维和解决问题的能力。
二、教学内容：1.概率论基础(1)概率的定义和性质(2)事件的概率(3)条件概率和独立事件(4)全概率公式和贝叶斯公式2.随机变量(1)随机变量的定义(2)离散型随机变量和连续型随机变量(3)随机变量的分布函数和密度函数(4)期望、方差和协方差3.概率分布(1)二项分布、泊松分布和正态分布(2)中心极限定理(3)抽样分布和样本均值的分布4.统计推断(1)点估计和区间估计(2)假设检验(3)方差分析和回归分析三、教学方法：1.理论课程采用教师讲授和学生互动交流的形式。
2.实践课程采用案例分析和计算练习的方式，帮助学生掌握概率论和数理统计的应用方法。
四、教学评估：1.理论课程采用笔试或者口头测试的方式进行考核。
2.实践课程采用作业、实验报告、小组讨论等方式进行考核。
五、教学资源：教师教材：《概率论与数理统计》参考书：《概率论与数理统计教程》教学工具：计算机、投影仪等六、教学时间：本课程共分为16周，每周授课2次，共32课时。
其中理论课程占22课时，实践课程占10课时。
七、教学安排：第1-2周：概率论基础第3-4周：随机变量和概率分布第5-6周：统计推断第7-8周：二项分布、泊松分布和正态分布第9-10周：中心极限定理和抽样分布第11-12周：点估计和区间估计第13-14周：假设检验第15-16周：方差分析和回归分析八、教学效果：通过本门课程的学习，学生将掌握概率论和数理统计的基本理论和方法，能够运用所学知识解决实际问题，提高数理思维和解决问题的能力。
同时，学生也将增强对数理学科的兴趣和信心，为未来的学习和工作奠定坚实的基础。
国家精品课概率论与数理统计教案国家精品课“概率论与数理统计”教案一、课程概述课程名称：概率论与数理统计授课人：XXX授课对象：本科生课程时长：48学时二、教学目标1. 知识目标：掌握概率论与数理统计的基本概念、原理和方法，理解其在实际问题中的应用。
2. 能力目标：培养学生运用概率论与数理统计知识解决实际问题的能力，提高其逻辑思维和创新能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对概率论与数理统计的兴趣，增强其科学素养，为其今后学习、工作打下坚实基础。
三、教学内容与要求1. 概率论基础：介绍概率的基本概念、条件概率、独立性等，要求学生掌握概率的计算和实际应用。
2. 随机变量及其分布：介绍随机变量及其分布函数，常见的随机变量分布类型，以及随机变量的数字特征等。
3. 数理统计基础：介绍数理统计的基本概念、参数估计和假设检验等，要求学生掌握参数估计和假设检验的方法。
4. 回归分析与方差分析：介绍一元线性回归分析、多元线性回归分析和方差分析等，要求学生掌握相关分析和回归分析的方法。
5. 课程实践：组织学生进行实际问题的概率论与数理统计应用，提高其解决实际问题的能力。
四、教学方法与手段1. 理论教学：采用讲授法、讨论法等教学方法，帮助学生理解概率论与数理统计的基本概念和原理。
2. 实验教学：通过实验课程和课程实践，让学生亲自动手操作，加深对理论知识的理解。
3. 教学手段：采用多媒体教学、在线学习等手段，丰富课程内容的表现形式，提高学生的学习兴趣。
五、教学评价与反馈1. 作业评价：布置适量的作业，及时批改和反馈，了解学生对课程内容的掌握情况。
2. 测验与考试：定期进行测验和考试，检查学生的学习成果，促使其巩固所学知识。
概率论与数理统计教案-随机事件与概率一、教学目标1. 理解随机事件的定义及其分类。
2. 掌握概率的基本性质和计算方法。
3. 能够运用概率论解决实际问题。
二、教学内容1. 随机事件的定义与分类1.1 随机事件的定义1.2 随机事件的分类1.3 事件的运算2. 概率的基本性质2.1 概率的定义2.2 概率的取值范围2.3 概率的基本性质3. 概率的计算方法3.1 古典概型3.2 条件概率3.3 独立事件的概率3.4 互斥事件的概率4. 随机事件的排列与组合4.1 排列的定义与计算4.2 组合的定义与计算5. 概率论在实际问题中的应用5.1 概率论在社会科学中的应用5.2 概率论在自然科学中的应用三、教学方法1. 讲授法：讲解随机事件的定义、分类及概率的基本性质。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用概率论解决。
3. 互动教学法：提问、讨论，提高学生对知识点的理解和掌握。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 计算器、黑板、粉笔等教学工具。
3. 实际问题案例库。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对随机事件定义、分类和概率基本性质的理解。
2. 课后作业：布置有关概率计算和方法的应用题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：让学生选择一个实际问题，运用概率论进行分析，评价其应用能力。
4. 期末考试：设置有关概率论与数理统计的综合题，全面评估学生学习效果。
六、教学内容6. 大数定律与中心极限定理6.1 大数定律6.2 中心极限定理7. 随机变量及其分布7.1 随机变量的概念7.2 离散型随机变量7.3 连续型随机变量7.4 随机变量分布函数8. 随机变量的数字特征8.1 数学期望8.2 方差8.3 协方差与相关系数9. 抽样分布与抽样误差9.1 抽样分布的概念9.2 抽样误差的估计9.3 抽样方案的设计10. 估计量的性质与假设检验10.1 估计量的性质10.2 假设检验的基本概念10.3 常用的假设检验方法七、教学方法1. 讲授法：讲解大数定律、中心极限定理、随机变量及其分布等概念。
概率论与数理统计教案【篇一：概率论与数理统计教案】《概率论与数理统计》课程教案第一章随机事件及其概率一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,；(3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5) 理解条件概率、全概率公式、bayes 公式及其意义。
理解事件的独立性。
二．本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率 2学时第三节等可能概型（古典概型） 2 学时第四节条件概率第五节事件的独立性 2 学时三．本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算；3）概率的性质；4）条件概率，全概率公式和bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四．教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；2）注意让学生理解事件a?b,a?b,a?b,a?b,ab??,a…的具体含义，理解事件的互斥关系；3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；五．思考题和习题思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？2. 怎样理解互斥事件和逆事件？3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二．本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时三．本章教学内容的重点和难点a) 随机变量的定义、分布函数及性质；b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)；四．教学过程中应注意的问题a) 注意分布函数f(x)?p{x?x}的特殊值及左连续性概念的理解； b)构成离散随机变量x的分布律的条件，它与分布函数f(x)之间的关系；c) 构成连续随机变量x的密度函数的条件，它与分布函数f(x)之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数f(x)关于x处处连续，且p(x?x)?0，其中x为任意实数，同时说明了p(a)?0不能推导a??。
《概率论与数理统计》教案第一章：概率论的基本概念1.1 随机现象与样本空间1.2 事件及其运算1.3 概率的定义与性质1.4 条件概率与独立性第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的概念2.2 离散型随机变量的概率分布2.3 连续型随机变量的概率密度2.4 随机变量函数的分布第三章：多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量的联合分布3.2 边缘分布与条件分布3.3 随机变量的独立性3.4 多维随机变量函数的分布第四章：大数定律与中心极限定理4.1 大数定律4.2 中心极限定理4.3 样本均值的分布4.4 样本方差的估计第五章：数理统计的基本概念5.1 统计量与抽样分布5.2 参数估计与点估计5.3 置信区间与置信水平5.4 假设检验与p值第六章：参数估计6.1 总体参数与样本参数6.2 估计量的性质6.3 最大似然估计6.4 点估计与区间估计第七章：假设检验7.1 假设检验的基本概念7.2 检验的错误与功效7.3 常用检验方法7.4 似然比检验与正态分布检验第八章：回归分析8.1 线性回归模型8.2 回归参数的估计8.3 回归模型的检验与诊断8.4 多元线性回归分析第九章：方差分析9.1 方差分析的基本概念9.2 单因素方差分析9.3 多因素方差分析9.4 协方差分析与重复测量方差分析第十章：时间序列分析10.1 时间序列的基本概念10.2 平稳性检验与时间序列模型10.3 自回归模型与移动平均模型10.4 指数平滑模型与状态空间模型第十一章：非参数统计11.1 非参数统计的基本概念11.2 非参数检验方法11.3 非参数回归分析11.4 非参数时间序列分析第十二章：生存分析12.1 生存分析的基本概念12.2 生存函数与生存曲线12.3 生存分析的统计方法12.4 生存分析的应用实例第十三章：贝叶斯统计13.1 贝叶斯统计的基本原理13.2 贝叶斯参数估计13.3 贝叶斯假设检验13.4 贝叶斯回归分析第十四章：多变量分析14.1 多变量数据分析的基本概念14.2 多元散点图与主成分分析14.3 因子分析与聚类分析14.4 判别分析与典型相关分析第十五章：统计软件与应用15.1 统计软件的基本使用方法15.2 R语言与Python在统计分析中的应用15.3 统计软件的实际操作案例15.4 统计分析在实际领域的应用重点和难点解析本《概率论与数理统计》教案涵盖了概率论的基本概念、随机变量及其分布、多维随机变量、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、回归分析、方差分析、时间序列分析、非参数统计、生存分析、贝叶斯统计、多变量分析以及统计软件与应用等多个方面。
《概率论与数理统计》课程教案第一章 随机事件及其概率一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念;(2) 掌握随机事件之间的关系与运算,；(3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算；(4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5) 理解条件概率、全概率公式、Bayes 公式及其意义。
理解事件的独立性。
二．本章的教学内容及学时分配第一节 随机事件及事件之间的关系第二节 频率与概率 2学时第三节 等可能概型（古典概型） 2 学时第四节 条件概率第五节 事件的独立性 2 学时三．本章教学内容的重点和难点1） 随机事件及随机事件之间的关系；2） 古典概型及概率计算；3）概率的性质；4）条件概率，全概率公式和Bayes 公式5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四．教学过程中应注意的问题1） 使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；2） 注意让学生理解事件,,,,,A B A B A B A B AB A ⊂⋃⋂-=Φ…的具体含义，理解事件的互斥关系；3） 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；4） 古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；5） 讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；五．思考题和习题思考题：1. 集合的并运算⋃和差运算－是否存在消去律？2. 怎样理解互斥事件和逆事件？3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章 随机变量及其分布一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二．本章的教学内容及学时分配第一节 随机变量第二节 第二节 离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节 常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时第四节 随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节 连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时第六节 常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时三．本章教学内容的重点和难点a) 随机变量的定义、分布函数及性质；b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)；四．教学过程中应注意的问题a) 注意分布函数(){}F x P X x =<的特殊值及左连续性概念的理解；b) 构成离散随机变量X 的分布律的条件，它与分布函数()F x 之间的关系；c) 构成连续随机变量X 的密度函数的条件，它与分布函数()F x 之间的关系；d) 连续型随机变量的分布函数()F x 关于x 处处连续，且()0P X x ==，其中x 为任意实数，同时说明了()0P A =不能推导A =Φ。
成绩评定表课程设计任务书摘要21世纪信息技术迅猛发展，给人类的生产生活带来了深远的影响，无疑我们已经身处在一个信息化时代，信息的发展快慢在一定程度上决定了我国的发展，因此我国需要大量的信息人才，信息人才的培养至关重要，对此我们调查了某学校信息学院的学生汇编成绩，利用概率论与数理统计的知识对其进行系统的分析，为学校培养高素质的信息人才提供依据，概率论与数理统计作为数学中一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的作用，现实生活中国存在着许多偶然现象，但这些偶然并不是没有规律的，概率论与数理统计将这蕴含在其中的规律找出，方便了人们的生产生活。
而假设检验和方差分析本在这门学科中有着不可小视的重要性。
本文就是利用了假设检验和方差分析来对学生成绩进行分析，首先对学生汇编成绩的分布进行假设，其次利用皮尔逊2 对所得的分步进行检验，结合Matlab 数据处理软件与Excel数据处理软件求出想要得到的结果，最后用单因素的方差分析判断学生汇编课设等级对学生汇编成绩的影响，从而得到学生实际操作能力跟理论结合的情况。
关键词：假设检验；单因素方差分析；Matlab；Excel；目录1 设计目的 (1)2 设计问题 (1)3 设计原理 (2)4 设计程序 (5)4.1 问题一的解决 (5)4.1.1 做出直方图 (5)4.1.2 做假设检验 (6)4.1.3 检验原假设 (8)4.2 问题二的解决 (10)4.2.1 计算平方和 (10)4.2.2 比较F值和临界值 (11)5 结果分析 (12)6 设计总结 (12)致谢 (13)参考文献 (14)某校学生汇编语言成绩单因素方差分析1 设计目的为了更好的了解概率论与数理统计的知识，熟练掌握概率论与数理统计在实际问题上的应用，并将所学的知识结合Matlab软件和Excel数据处理软件对数据的处理解决实际问题。
本设计是利用假设检验、方差分析等对学生的汇编成绩进行分析，并利用Matlab软件和Excel数据处理软件进行求解。
2 设计问题21世纪信息技术迅猛发展，给人类的生产生活带来了深远的影响，无疑我们已经身处在一个信息化时代，信息的发展快慢在一定程度上决定了我国的发展，因此我国需要大量的信息人才，信息人才的培养至关重要，为此我们调查了某大学信息学院学生的汇编成绩，并对其进行分析，要求如下：1、分析汇编成α）；2、为了查看学生动手操作绩与学生人数之间的关系（取显著性水平05=.0能力与理论结合的情况，分析汇编课程设计对汇编成绩之间的影响。
表2.1 不同学生课设等级下的学生汇编成绩表Array（注：等级越高课设成绩越好）3 设计原理首先用Excel 做出该组数据的直方图，由图大致分析一下两者之间的关系，认为其大致服从正态分布，设总体X 服从N ),(2σμ，其中μ和σ>0都是未知参数，样本观测值为n x x x .....21，似然函数∏=--=ni x i eL 12)(2221),(σμσπσμ取对数得∑=----=ni i x n n L 122)(21ln )2ln(2),(ln μσσπσμ对μ及σ求偏导数，并让他们等于零，得0)(1ln 12=-=∂∂∑=ni ixL μσμ0)(1ln 123=--=∂∂∑=n i i n x L σμσμ借此方程组得μ及σ的最大释然估计值分别是x x n ni i ==∑=∧11μ，~12)(1σσ=-=∑=∧n i i x x n 。
接着将x 以及~σ算出，然后在计算X 落在各个子区间内的概率)...3,2,1(l i p i =。
为了检验原假设0H ，即检验理论分布与统计分布是否符合，我们把偏差)...2,1(l i p f i i =-的加权平方和作为理论分布与统计分布之间的差异度： ∑=-=li i ii p fc Q 12)(，其中i c 为各个偏差i i p f -的权，如果取ii p nc =，则当∞→n 时，统计量Q 的分布趋于自由度为1--=r l k 的2χ分布，其中l 十分不自取间的个数，r 是理论分布中需要利用样本观测值估计的未知参数的个数。
通常把统计量Q 记作2χ，即∑=-=li i i i p p f n 122)(χ为了便于计算，上式可以写成∑=-=li i i i np np m n 122)(χ。
{对于给定的显著性水平α，查表可知2χ的临界值)1(2--r l αχ，使αχχα=-->)]1([22r l P .如果由实验数据计算得到的统计量2χ的内测之大于)1(2--r l αχ，则在显著性水平α下拒绝原假设0H ；否则，接受0H .应当指出，利用2χ你和检验准则检验关于总体分布假设时，要求样本容量n 样本观测值落在各个子区间的频数i m 都相当大，一般要求50≥n ，而()l i m i ,...2,15=≥，如果某些字区间内的频数太小，则应适当地把响铃的两个或几个子区间合并起来，使得合并后得到的子区间内的频数足够大。
当然，这是必须相应地减少统计量2χ分布的自由度。
对于单因素方差分析，我们设因素A 有l 个水平,....,21l A A A 在水平i A 下的总体i X 服从正态分布N ),(2σμi ，l i ,...2,1=，在水平i A 下进行i n 次试验，l i ,...2,1=；假定所有的实验都是独立的，设得到的样本观测值ij x ，如下表：因为在水平i A 下的样本ij X 与总体分布i X 服从相同的分布，所以有ij X ~N ),(2σμ，l i...2,1=，记μμα-=i i ，要检验的原假设是0:210====l H ααα ，设第i 组样本的样本均值为),...2,1(l i x i =，即∑==in j ij ii x n x 11。
于是，总的样本均值∑∑∑=====li i i l i n i ij x n n x n x i 11111∑∑==-=li n j ij T ix x S 112)(,把T S 分解，得到∑∑∑===+=-+-=l i e A n j i ij li i i T S S x x x x n S i11212)()(，由于A S 和e S 独立，现在考虑统计量).,1(~)/()1/(l n l F l n S l S F e A ----=对于给定的显著性水平α，查表可知的临界值),1(l n l F --α，如果有样本观测值计算得到的统计量F 的观测值大于),1(l n l F --α，则在显著性水平α下拒绝原假设0H ，如果统计量F 的观测值不大于),1(l n l F --α，则接受原假设0H ，即认为因素A 的不同水平对总体无显著影响。
4 设计程序4.1 问题一的解决4.1.1 做出直方图用Excel 做出各成绩段学生人数分布直方图，如下：图4.1.1 各成绩段学生人数分布直方图由上图可以看出学生成绩以及各成绩段中的学习人数大体上成正态分布。
4.1.2 做假设检验要求检验的原假设是：0H ：X ~N ),(2σμ已知x =∧μ，~12)(1σσ=-=∑=∧n i i x x n ，250=n ，把各个分数段的中点值取作i x ，计算参数μ 及σ 的最大释然估计值。
将数据输入到Excel 中利用公式，得到9.69==∧x μ，5.10)(112≈-=∑=∧ni i x x n σ，如下图图4.1.2图4.1.3 图4.1.4 图4.1.5表4.1.1 Excel 图注4.1.3 检验原假设现在检验原假设：)5.10,9.69(~:20N X HX 的概率密度5.220)9.69(225.101)(--=x ex f π注意到正态区间是),(+∞-∞，所以第一个区间应扩大为),95(+∞，最后一个区间应扩大为)45,(-∞，运用公式()⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=<<σμφσμφ1221x x x X x P ，通过查询正态分布表可以算出X 落在各个分数段的概率i p （i =1，2,3,…），得到的数据如下表：再利用皮尔逊2χ拟合检验准则来检验假设是否成立，已知∑=-=li i iinp np m 122)(χ由此得705.02≈χ因为合并后子空间的个数10=l ，利用观测值估计的参数个数2=r ，所以自由度71210=--=k对于给定的05.0=α，查表可知1.14)7()(205.02==χχαk因为)7(205.02χχ<，所以接受原假设0H ，即可认为学生成绩服从正态分布)5.10,9.69(2N 。
用Matlab 画出其图像，输入如下：x=40:1:100;y=exp(-(x-69.9).^2/220.5)/10.5*(2*pi)^0.5; plot(x,y,'b') 输出图像如下：40506070809010000.050.10.150.20.25图6 学生成绩正态分布图所以学生汇编成绩服从X ~N )5.10,9.69(2的正态分布4.2 问题二的解决研究学生汇编课设等级对汇编成绩的影响，我们用单因素方差分析来解决。
4.2.1 计算平方和根据总偏差平方和公式 ∑∑==-=l i n j ijT ix xS 112)( 、组间平方和公式∑=-=li i i A x x n S 12)( 、误差平方和公式A T e S S S -=，用Matlab 将其总偏差平方和T S ，组间平方和A S ，以及误差平方和e S 的观测值算出，如下：x=[67,63,55,47,79,64,81,70,80,87,86,78,93,80,88,89]; a=[67,63,55,47]; b=[79,64,81,70]; c=[80,87,86,78];d=[93,80,88,89];f1=sum((x(1,:)-mean(x)).^2);f2=(sum((mean(a)-mean(x))^2)+sum((mean(b)-mean(x))^2)+sum((mean(c)-mean (x))^2)+sum((mean(d)-mean(x))^2))*4; st=f1 sa=f2 se=f1-f2 输出： st =2.5999e+003 sa =2.0272e+003 se = 572.7500因此可知9.2599=T S ，2.2027=A S ，75.572=e S 4.2.2 比较F 值和临界值根据公式)/()1/(l n S l S F e A --=，得到151.1812/75.5723/188.2027≈=F根据计算结果，写出单因素试验的方差分析如下：由于151.18)12,3(01.0≈>F F 所以学生汇编课设等级对学生汇编成绩有着显著影响。
