第8讲 辅助圆进阶(教师版)

初中数学联赛体系第8讲 四点共圆2【例1】如图，已知锐角三角形ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高线'CC 及其延长线交于N M 、，以AC 为直径的圆与AC 边的高线'BB 及其延长线交于Q P 、，求证：Q P N M 、、、四点共圆.【证明1】：设BC 上的高为'AA ，△ABC 的垂心为H ，则'A 在以AB 为直径的圆上，从而HN MH HA AH ⋅=⋅'.同理 HQ PH HA AH ⋅=⋅' 于是 HQ PH HN MH ⋅=⋅. 故Q P N M 、、、四点共圆.【证明2】：在Rt △ABM 和Rt △ACP 中，AB AC AM ⋅='2，AC AB AP ⋅='2. 又△'ABB ∽△'ACC ，有AC AB AB AC ⋅=⋅''.于是22AP AM =，即AP AM =. 但N M 、关于AB 对称，Q P 、关于AC 对称，故AN AM =，AQ AP =. 因此，Q P N M 、、、在以A 为圆心的圆上.也可由HQ PH HC CH HB BH HN MH ⋅=⋅=⋅=⋅''推出Q P N M 、、、. 【证明3】：连接PM BN AQ AP AM AN 、、、、、.因为AB 为直径，AB CM ⊥，所以AM AN =.同理AQ AP =. 在Rt △'ACC 中，因为ACAC A 'cos =，所以A AC AC cos '⋅=.在Rt △ABN 中，由射影定理，得A AB AC AN cos 2⋅=. 同理A AB AB cos '⋅=.所以在Rt △APC 中，A AC AB AC AB AP cos '2⋅=⋅=. 所以22AP AN =.所以AP AN =.即Q P N M 、、、四点在以点A 为圆心，AM 为半径的圆上.【例2】如图，已知O 是锐角三角形ABC 的外接圆圆心，CF BE 、为BC AC 、边上的高，自垂足F E 、分别作AC AB 、的垂线，垂足为H G 、，FH EG 、相交于K . （1）试证明：O K A 、、三点共线. （2）若KO AK =，求A ∠.【解析】：（1）因AC BE ⊥，AB CF ⊥，有︒=∠=∠90BEC BFC ，故C E F B 、、、四 点共圆.同理H G F E 、、、四点共圆，H K G A 、、、四点共圆.连EF GH AO AK 、、、，则BCE GFE GEF GHK GAK ∠-︒=∠-︒=∠=∠=∠9090，又BCE AOB ∠=∠2，故BCE BAO ∠-︒=∠90，有BAO GAK ∠=∠，可知AK 与AO 重合.（2）设△ABC 外接圆半径为R ，则2RKO AK ==.连结EF GH 、，则 ACB AFE AHG AKG ∠=∠=∠=∠，过O 作AB OP ⊥，垂足P ，则ACB AOP ∠=∠，于是ACB R AOP AO AP AB ∠=∠==sin 2sin 22，所以.cos 2sin cos sin cos sin sin 22BAC R ACB BACAB ACB BAC AE ACB AG AKG AC AK ∠=∠∠=∠∠⋅=∠=∠=所以，BAC R R ∠=2cos 22，可得41cos 2=∠BAC .又△ABC 为锐角三角形，所以21cos =∠BAC ，可得︒=∠60BAC .即为所求.【例3】如图，△ABC 中，AC AB =，F 为BC 上一点，CF BF 、的中垂线分别交AC AB 、于点E D 、，F 关于直线DE 的对称点为'F .若'F 在AB 的中垂线上，试证：''BF DE CF +=.【证明】：辅助线如图所示，令EF 交CF 于点O ， 由中垂线定理知DF BD =，F A F B '='，EC EF =.因为AC AB =，所以ACB DFB ABC ∠=∠=∠，AC DF // 同理，AB EF //因此，四边形ADFE 为平行四边形，故FEC DFE BAC ∠=∠=∠ 又点F 与E 关于DE 对称，则EC EF E F DB DF F D =='=='，. ① DAE E F D DFE ∠='∠=∠. F DE DEF EF F '∠=∠='∠22. 故E A F D 、、、'四点共圆，有 EA F DA F '∠='∠.所以，EC F DB F '∠='∠ ② 由式①、②得△F BD '与△F CE '相似. 所以，CE F BA F '∠='∠，且EFBDCE BD F C F B ==''. ③ 又△BDF 与△EFC 相似，故 FCBFEF BD =. ④ 由式③、④知CFBFF C F B =''. 因此，F F '平分C F B '∠.由CA F BA F '∠='∠得B C A F 、、、'四点共圆. 所以，CE F BA F CB F AB F '∠='∠='∠='∠.【例4】如图，在等腰△ABC 中，D 是底边BC 上一点，P 是AD 上一点，且△CPD 、△BPD 的外接圆分别交AB AC 、于点F E 、，I 是△ABC 的内心.求证：当PF PE PD ⋅=2时，四边形BIPC 内接于圆.【证明】：如图，过点P分别作ABPTCAPSBCPR⊥⊥⊥，，，垂足分别为TSR、、.由题设可知EPDC、、、和FPDB、、、分别四点共圆.所以，PFTPESPDR∠=∠=∠.故Rt△PDR与Rt△PES、Rt△PFT相似.于是，PTPFPSPEPRPD==.由于PFPEPD⋅=2，则PTPSPR⋅=2.连结RTRS、易知TPRB、、、和SPRC、、、分别四点共圆.所以，RPSACBABCRPT∠=∠-︒=∠-︒=∠180180，PSRPCRPBTPRT∠=∠∠=∠，由于PTPSPR⋅=2，即PRPTPSPR=，则△PRS与△PTR相似.因此，PSRPRT∠=∠.从而，PCRPBT∠=∠.又IBAPBIPBT∠+∠=∠，ICBPCIPCR∠+∠=∠.连结CI，由于ACAB=，I是△ABC的内心，则ICAICBIBCIBA∠=∠=∠=∠.所以，PCIPBI∠=∠.因此，四边形BIPC内接于圆.【例5】如图，△ABC是锐角三角形，以AB为直径的圆交AC于点D，交边AB上的高CH 所在直线于点FE、.以AC为直径的半圆交BD的延长线于点G，联结GF交以AB为直径的圆于点P.求证：PGPE=.注：射影定理、四点共圆. 【例6】（2011年德国奥林匹克数学）如图，设AD 是△ABC 的高线，以BC 为直径与点A 同侧的半圆分别交AD AC AB 、、于点X E F 、、，△DEX 的外接圆与BC 交于点L (与点D 不重合)，△DFX 的外接圆与BC 交于点N (与点D 不重合).证明：CL BN .【例7】正方形ABCD 中，P 为CD 上任一点.连AP 、DP ，AT ⊥AP 于T ，BS ⊥AP 于S ，延长DS 、CT 交于点K ，求证：∠DKC+∠APB =90°，AK ⊥BK .【证明】：如图，分别延长BS ，AT 交AD ，BC 于点N M 、，连PN PM 、. BCK ADK DKC ∠+∠=∠，以及D P S M 、、、共圆，C N T P 、、、共圆，M PA ADK ∠=∠， NPB BCK ∠=∠，得PN PM APB DKC ⊥⇔︒=∠+∠90.易知△ABM ≌△DAP ，PD AM =，PC MD =.同理，CN DP =，△MDP ≌△PCN ，故︒=∠+∠90NPC MPD ，故PN PM ⊥，因此∠DKC+∠APB =90°.又由SBT SAT APB SKT ∠=∠=∠-︒=∠90，得S T B K A 、、、、共圆，于是 .BK AK ⊥【例8】（2010年中国数学奥林匹克题）两圆1Γ、2Γ交于点B A 、，过点B 的一条直线分别交圆1Γ、2Γ于点D C 、，过点B 的另一条直线分别交1Γ、2Γ于点F E 、，直线CF 分别交圆1Γ、2Γ于点Q P 、.设N M 、分别是弧PB ，弧QB 的中点.若EF CD =，求证：N M F C 、、、四点共圆.【证明】：如图，圆1Γ与圆2Γ相交于BA，，而EFCD，为过点B的两条割线，则由推论3知AB平分CBF∠.联结FNCM、，因M是弧PB的中点，则知CM是BCF∠的平分线.同理，FN是CFB∠的平分线.在△FCB中，FNCMBA，，三线共点于其内心，设内心为I.在圆1Γ，2Γ中，由圆幂定理，有IFNIIBAIIBAIIMCI⋅=⋅⋅=⋅，于是，有IFNIIMCI⋅=⋅.故由圆幂定理的逆定理知NMFC，，，四点共圆.【例8】（2007年东南数学竞赛试题，陶平生供题）如图，直角三角形ABC中，D是斜边AB 的中点，ABM B⊥，M D交AC于N；MC的延长线交AB于E.证明：BCEDBN∠=∠.【课后强化训练】A 组1、如图，圆21O O 、相交于点B A 、，P 是BA 延长线上一点，割线PCD 交圆1O 于D C 、，割线PEF 交圆2O 于F E 、.求证：F E D C 、、、四点共圆.【证明】：由题意知C D B A 、、、四点共圆，则有PD PC PB PA ⋅=⋅.又E F B A 、、、四点共圆，则有PF PE PB PA ⋅=⋅.所以PF PE PD PC ⋅=⋅，即 F E D C 、、、四点共圆.2、在正△ABC 中，E D 、分别是AC BC 、上的点，且BC BD 31=，AC CE 31=，联结BE AD 、交于点F .求证：AD CF ⊥.【证明】：如图，过点A 作BC AG ⊥于点G ，联结FG ，则BC BG 21=， 易知，△ABD 与△BCE .则DBF CBE BAD ∠=∠=∠. 从而，△ABD 与△D B ADFD BD BFD '=⇒，即 922BC BD FD AD ==⋅.又))((BD BC BD BG DC DG --=⋅23113121BC ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= FD AD BC ⋅==92.于是，C G F A 、、、四点共圆故︒=∠=∠90AGC AFC AD CF ⊥⇒.3、设AB 为定☉O 中的定弦，作☉O 的弦n n D C D C D C ，，， 2211，对于其中每个i （1=i ，2，...，n ），i i D C 都被AB 平分于i M ，过i i D C 分别作☉O 的切线，两切线交于点P ，求证：n P P P ，，， 21共圆.【证明】：如图，对于每个i （1=i ，2，...，n ），连结i i OD OC ，， ∵i i D C 均被AB 平分于M ∴B M AM M D M C i i i i i i ⋅=⋅. 又i i i i D P C P ，分别切☉O 于i i D C ，. ∴i i i D P C O ，，，四点共圆，且i OP 过i M ， ∴i i i i i i i OM M P M D M C ⋅=⋅， 故B M A M P M OM i i i i i ⋅=⋅ 所以i P 和B A O ，，共圆.而B A O ，，为定点，所以i P 在△ABO 的外接圆上，即n P P P ，，， 21这n 点共圆. 与多点共圆问题的对偶问题是多圆共点，证明多圆共点问题的方法主要有以下两个：（1）先证其中两圆相交（或相切）于某点，然后证明此点在其他圆上，即把圆共点的问题转化为共圆问题.（2）找出某一定点，然后证明该点在诸所设圆上（这定点一般为图形中的特殊点）.4、已知AB 是☉O 的直径，D C 、是圆周上异于点B A 、且在AB 同侧的两点，分别过点D C 、作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：D M C E 、、、四点共圆.5、由圆O 外一点A 引圆O 的两条切线AT AS 、，T S 、为切点，过点A 引圆O 的任一割线APQ 交ST 于R .若M 为PQ 的中点，则AM AR AQ AP ⋅=⋅.【证明1】：如图，连OM OS OA 、、，由M 为PQ 中点，可知PQ OM ⊥，由AT AS 、为圆O 的切线，可知AQ ST ⊥，有R N O M 、、、四点共圆，于是AQ AP AS AO AN AM AR ⋅==⋅=⋅2， 所以AM AR AQ AP ⋅=⋅. 【证明2】：如图，连OA SM OS OM 、、、.由M 为PQ 的中点，可知PQ OM ⊥， 由AS 为圆O 的切线，可知AS OS ⊥，有S A O M 、、、四点共圆，于是SOA SMA ∠=∠.由AT AS 、为圆O 的切线，可知AQ ST ⊥，可知RSA SOA ∠=∠， 有SMA RSA ∠=∠，于是△RSA 与△SMA 相似，得AM AR AS ⋅=2. 显然AQ AP AS ⋅=2，可知AM AR AQ AP ⋅=⋅.6、在△ABC 中，A ∠、B ∠的平分线BE AD 、交于点P .若APB ABD E S S Δ2=四边形.求证：︒=∠90ACB .【证明】：如图，过P 作AP GH ⊥，分别交AB AC 、于H G 、，联结CP GB GD GH 、、、，易知△APG 与△APH 全等，有HP GP =. 于是，APH APG S S △△=， ①BPH BPG S S △△= ② ②①+得APB BPG APG S S S △△△=+，两边同加APB S △得APB ABG S S △△= 又APB ABDE S S △四边形2=，则ABDE ABG S S 四边形△=.上式两边同减ABE S △得EBD EBG S S △△=因此，BE GD //故APE GPE PGD ∠-︒=∠=90DCP ACB BAC ABC BAP ABP ∠=∠=∠+∠-︒=∠+∠-︒=21)(2190)(90于是，G P D C 、、、四点共圆. 则︒=∠=∠90APG ACB . 7、半圆☉O 是直径AB 是等腰Rt △ABC 的斜边，点P 是射线BA 上、PQ 切半圆☉O 于点Q ，BPQ ∠的平分线交BC AC 、于点F E 、.求证：222EF BF AE =+.如图，连接QB QA 、交PF 于点Y X 、，联结QF QE 、.易知8、在圆心为O 的圆外有一点P ，设弦AB 垂直于直线OP ，若直线PA 与该圆的交点为C ，直线OP 和BC 相交于点D ，求证：2OA OP OD =⋅.B'交以AC边为直径的圆于已知锐角△ABC，以AB为直径画圆与AC边交于B'点，连接BP、两点，以AC边为直径的圆与AB边交于C'点，连接CQC'交以AB为直径的圆于M，两点，求证：QN、、四点共圆.M、NPB 组1、如图，已知△ABC 为非等边锐角三角形，Q P 、为边AB 、BC 的中点，H 为垂线，延长QH PH 、与外接圆☉O 交于点N M 、.证明：N M Q P 、、、四点共圆.2、已知锐角△ABC 中，AC AB >，CG BF AD ，，是高，AD 的延长线与△ABC 的外接圆交于点E ，GF 与BC 延长线交于点H .求证：△AEH 的外接圆经过BC 的中点.【证明】：如图，作点B 关于点D 的对称点K ，连AK .由条件知，CD BD >，故K 在CH （或延长线）上.于是CFH ABC K ∠=∠=∠ ，故△FCH ∽△KCA ，于是CB CD CA CF CK CH ⋅=⋅=⋅.设BC 中点为J ，易知J 在BD 上，于是DJ BJ BD BC BK CK 222=-=-=.又 BJ BC 2=，代入前式，得BJ CD DJ CH ⋅=⋅.于是DJ BJ CD CH =，从而DJBDCD DH =，故DE AD BD CD DJ DH ⋅=⋅=⋅.因此H E J A ，，，在一个圆上.3、如图，AB 是☉O 的一条弦，向两端分别延长AB 至P 和Q .过Q P 、分别作☉O 的两切线切☉O 于N M 、，连MN .（1）若QB PA =，求证：MN 平分AB ； （2）若MN 平分AB ，求证：QB PA =.【证明1】：如图：（1）若QB PA =，则QA PB =，由切割线定理，得22QN QB QA PB PA PM =⋅=⋅=，所以QN PM =.连ON OM OQ OP 、、、，则PM OM ⊥，QN ON ⊥，且OM ON =，所以Rt △POM ≌Rt △QON ，所以QON POM ∠=∠.取AB 中点K ，连OK KM KN 、、，则AB OK ⊥，所以K O M P 、、、四点共圆.所以P O M P K M∠=∠.又︒=∠=∠90ONQ QKO 得到K O N Q 、、、四点共圆，所以QON QKN ∠=∠.所以QKN PKM ∠=∠.所以N K M 、、三点共线，而K 为AB 的中点，所以MN 平分AB . （2）若MN 平分AB ，则MN 交AB 于中点K ，于是K O M P 、、、四点共圆.所以P O M P KM ∠=∠.又K O N Q 、、、四点共圆，所以QON QKN ∠=∠.又PKM QKN ∠=∠，所以QON POM ∠=∠.而OQ OM =，所以Rt △POM ≌Rt △QON .所以OQ OP =.又PQ OK ⊥，所以K 为PQ 中点.所以QB PA =. 【证明2】：如图，连BM BN AN AM 、、、，则MN 平分NBM MB BN MAN AM AN S S AB BMN AMN ∠⋅⋅=∠⋅⋅⇔=⇔sin 21sin 21ΔΔAMBMBN AN BM BN AM AN =⇔⋅=⋅⇔. 而NAQ QNB ∠=∠，所以△QNA ∽△QBN ，所以NQAQBN AN =. 同理，由△PMA ∽△PBM ，得PMPBAM BM =. 所以PA PB PB BQ AQ AQ PM PB NQ AQ PM PB NQ AQ AM BM BN AN ⋅=⋅⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔=⇔=2222BQ PA PAAB BQ AB PA PA PB BQ BQ AQ PA PB BQ AQ =⇔=⇔-=-⇔=⇔. 4、（2007年东南数学竞赛试题，边红平供题）在△ABC 中，AC AB >，内切圆☉I 与AB CA BC 、、分别切于点F E D 、、，M 是边BC 的中点，BC AH ⊥于点H ，BAC ∠的平分线AI 分别与直线DF DE 、交于点L K 、.证明：K H L M 、、、四点共圆.【证明】：如图，连接KH ML BK DI BI 、、、、，连接CL 并延长交边AB 于点N . 因为CE CD 、都是☉I 的切线，所以，CE CD =.由BDK EDC ACB ABC BAC ABI BAI BIK ∠=∠=∠-︒=∠+∠=∠+∠=∠)180(21)(21.知I D K B 、、、四点共圆.于是，︒=∠=∠90BDI BKI . 故AK BK ⊥. 同理，AL CL ⊥.因为AL 是BAC ∠的角平分线，所以，L 是CN 的中点. 由︒=∠=∠90BHA BKA .得A H K B 、、、四点共圆. 于是，M LK BAK M HK ∠=∠=∠. 从而，K H L M 、、、四点共圆.。

初中数学圆的进阶篇教案1. 让学生掌握圆的基本性质，如圆的周长、直径、半径等；2. 引导学生理解圆的方程，并能运用圆的方程解决实际问题；3. 培养学生的空间想象能力，能熟练画出各种类型的圆；4. 提高学生解决实际问题的能力，能够运用圆的相关知识解决生活中的问题。

二、教学内容1. 圆的周长和直径：介绍圆的周长公式C=2πr和直径公式D=2r，引导学生理解圆周率π的概念；2. 圆的方程：推导圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²，让学生掌握圆心坐标(a,b)和半径r的关系；3. 圆的性质：讲解圆的对称性、相交弦定理、圆周角定理等，引导学生运用性质解决实际问题；4. 圆的画法：教授圆的画法，包括圆规画圆、量角器画圆等，培养学生的空间想象能力；5. 实际问题：选取生活中的实际问题，让学生运用圆的知识解决问题。

三、教学过程1. 导入：通过讲解圆的起源和应用，激发学生的兴趣，引出本节课的主题；2. 基本性质：介绍圆的周长和直径，讲解圆周率π的概念，让学生理解圆的基本性质；3. 圆的方程：推导圆的标准方程，让学生掌握圆心坐标和半径的关系；4. 圆的性质：讲解圆的对称性、相交弦定理、圆周角定理等，并通过实例让学生运用性质解决实际问题；5. 圆的画法：教授圆的画法，让学生动手实践，培养空间想象能力；6. 实际问题：选取生活中的实际问题，让学生运用圆的知识解决问题；7. 总结：对本节课的知识进行总结，强调重点和难点；8. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

四、教学策略1. 采用直观演示法，让学生通过观察、实践，掌握圆的性质和画法；2. 运用例题讲解，让学生学会运用圆的知识解决实际问题；3. 采用分组讨论法，引导学生相互交流、合作，提高解决问题的能力；4. 利用多媒体辅助教学，增加课堂趣味性，提高学生的学习兴趣。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识的掌握程度；3. 实际问题解决能力：通过课后实践，评估学生在生活中的实际问题解决能力。

初中辅助圆模型教案教学目标：1. 理解辅助圆的概念和作用；2. 学会运用辅助圆模型解决初中数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 辅助圆的概念和作用；2. 辅助圆模型的运用方法和技巧。

教学难点：1. 辅助圆模型的运用方法和技巧；2. 解决实际问题时，如何正确选择辅助圆模型。

教学准备：1. 教师准备相关例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的相关知识，如圆的性质、圆的周长和面积等；2. 提问：同学们，你们知道什么是辅助圆吗？辅助圆在解题中有何作用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解辅助圆的概念：辅助圆是指在解题过程中，为了方便分析和解决问题而构造的圆；2. 讲解辅助圆的作用：辅助圆可以帮助我们发现题目中的隐含条件，从而解决问题；3. 讲解辅助圆模型的运用方法和技巧：a. 当题目中出现四点共圆的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；b. 当题目中出现动点到定点等于定长的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；c. 当题目中出现直角所对的是直径的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；d. 当题目中出现定弦对定角的情况时，可以考虑使用辅助圆模型。

三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题1：四点共圆的问题；2. 讲解例题2：动点到定点等于定长的问题；3. 讲解例题3：直角所对的是直径的问题；4. 讲解例题4：定弦对定角的问题。

四、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题1：四点共圆的问题；2. 布置练习题2：动点到定点等于定长的问题；3. 布置练习题3：直角所对的是直径的问题；4. 布置练习题4：定弦对定角的问题。

五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结辅助圆的概念和作用；2. 让学生分享自己在解题中运用辅助圆模型的经验和感受；3. 教师进行课堂小结，强调辅助圆模型在解题中的应用价值和技巧。

教学延伸：1. 引导学生进一步学习辅助圆模型的拓展应用；2. 鼓励学生参加数学竞赛和相关活动，提高解题能力。

第08讲圆的基本概念模块导航模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三教材习题学解题模块四核心考点精准练模块五小试牛刀过关测学习目标『1、 掌握圆的基本概念；2、 掌握点与圆的位置关系；3、 掌握三角形的外接圆概念；4、 掌握圆的确定条件；。

＞模块一思维导图串知识04点与圆的位置关系。

＞模块二基础知识全梳理-----------------------------1 .圆的定义1.在一个平面内，线段Q4绕它固定的一个端点。

旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫圆.这个固定的端点。

叫做圆心，线段Q4叫做半径.以。

点为圆心的圆记作。

0,读作圆0.注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面"o（2） “圆上的点"指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。

（3） 确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。

2 •点和圆的位置关系点和圆的点到圆心的距离与半径的关系图示注意：(1)利用d 与,的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以位置关系文字语言符号语言点在圆内圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内点P 在圆内0』V尸点在圆上圆内各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上点F 在圆上= r点在圆外圆内各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外点F 在圆外＞ Y确定d 与,的数量关系。

(2) 符号读作“等价于”，它表示从符号的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。

(3) 弦、弧、圆心角1.连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍.2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A 6为端点的弧记作金，读作弧AB.在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧.3. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.4. 从圆心到弦的距离叫做弦心距.5. 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.6. 顶点在圆心的角叫做圆心角.名称概念注意图示弦连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦AC "直径是圆中最长的弦不一定是直径C (py直径经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径AB V但弦不一定是直径弧、半圆、劣孤、优弧圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。

最值系列之辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【2017四川德阳】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O 的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC 交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF 即可．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？考虑BE=CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB=90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆．连接OC，与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．【2016安徽中考】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．【寻找定边】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．【寻找定边与直角】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，=-==．AE AM EM22（2019苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．【例题】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．【2017山东威海】如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．【分析】由∠PAB=∠ACP，可得∠APC=120°，后同上例题．【2019南京中考】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．当BC为直径时，BC取到最大值，考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．【2019武汉中考】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C 从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）．再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径．E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。

漫画释义知识互联网8浮力——船球模型模块一: 液面升降问题夯实基础【例1】如图所示, 大杯中盛有液体, 装有密度均匀小球的小杯漂浮在液面上, 如果将小球取出并投入液体中, 液体的液面一定( )A. 上升B. 下降C. 不变D. 下降或不变【答案】D【例2】水槽中放一个小铁盒, 铁盒中放少许细线和一个铝块, 铁盒漂浮在水面. 现用细线把铝块拴在铁盒下面, 铁盒仍漂浮在水面, 如图所示; 讨论此时水槽中的水位以及铁盒浸入水中的体积, 说法正确的是( )A. 水槽中水位不变, 铁盒浸入水中的体积变大B. 水槽中水位下降, 铁盒浸入水中的体积不变C. 水槽中水位上升, 铁盒浸入水中的体积不变D. 水槽中水位不变, 铁盒浸入水中的体积变小【答案】D模块二: 船球模型之测量密度模型一、测密度模型1、测质量模型(漂浮法)①mg=ρ液gS1(H2-H1) 条件: 外容器需直上直下②mg=ρ液gS2(h2-h1) 条件: 内容器需直上直下S22、测体积模型①排水法: V球=(H4-H3) S1②悬挂法: V球=(h3-h4) S2夯实基础【例3】有一底面积为S的圆柱形容器中装有适量的水, 有一平底小试管漂浮在水中, 此时液面的高度为H₁, 将一物块系在平底试管底部, 一起漂浮于水中, 此时液面高度为H₂, 剪断细线, 物块沉底, 此时液面高度为H₃, 则物块密度ρ=________________.【答案】 2131--H HH H ρ水【例4】 如图所示, 若h ₁、h ₂、h ₃已知, 大容器中装的液体是水, 已知小容器底面积S ₁, 则物块的密度为ρ=_____________________.【答案】 1323--h hh h ρ水【例5】 小华家里有一个金属球, 不知道是用何种金属制成的, 因此她决定用学过的物理知识测出金属球的密度. 由于身边没有测量质量的工具, 因此她找来了圆柱形容器、刻度尺和一个塑料小碗. 把圆柱形容器放在水平桌面上并在其中装入适量的水, 让塑料小碗漂浮在水面上, 此时容器内的水深为18cm. 当把金属球放入容器内的水中时, 容器内的水深为19.5cm, 如图甲所示. 现将金属球取出后放入塑料小碗中静止时, 如图乙所示. 乙图中的水面比甲图中的水面高3cm. 已知: 容器的内部底面积为400cm 2. 则金属球的密度是 kg/m 3.【答案】 3×103【例6】 圆柱形容器中装有适量的水, 将一只装有配重的薄壁长烧杯放入圆柱形容器的水中, 烧杯静止时容器中水的深度 H 1为20cm , 如图甲所示. 将金属块 A 吊在烧杯底部, 烧杯静止时露出水面的高度 h 1为 5cm , 容器中水的深度H 2为35cm , 如图乙所示. 将金属块A 放在烧杯中, 烧杯静止时露出水面的高度h 2为1cm , 如图丙所示. 已知圆柱形容器底面积为烧杯底面积的2倍. 则金属块A 的密度为________kg/m 3.【答案】 37.510⨯【例7】 如图所示, 柱形容器中装有密度为ρ1=1.2g/cm 3的某种液体, 将一金属块放入底面积为S =100cm 2的长方体塑料盒中, 塑料盒竖直漂浮在液面上, 且液体不会溢出容器, 其浸入液体的深度为h 1=20cm. 若把金属块从塑料盒中取出, 用细线系在塑料盒的下方, 放入该液体中, 塑料盒竖直漂浮在液面上, 且金属块不接触容器底, 塑料盒浸入液体的深度为h 2=15cm. 剪断细线, 金属块沉到容器底部, 塑料盒仍竖直漂浮在液面上, 其浸入液体的深度为h 3=10cm. 则金属块的密度ρ2= g/cm 3.【答案】 2.4【例8】 小明用装有适量水的薄壁小试管、螺母和细线制成一个测量小石块密度的装置. 将此装置放入水中静止时, 试管露出水面的高度h 1为5cm, 如图甲所示; 在试管中轻轻放入小石块, 此装置在水中静止时, 试管露出水面的高度h 2为2cm, 如图乙所示. 已知小石块放入试管前后, 试管中的液面差h 3为2cm. 则石块的密度为kg/m 3.【答案】 3×103液体压强变化量 F p g h S ρ∆∆=∆=浮液① 投球: 液体对槽底 1Np S ∆=能力提升h 2h 1甲 乙h 3模块三: 船球模型之液体压强变化量模型② 剪绳: 液体对槽底 56211()g h h S N p S S ρ-∆==液【例9】 如图所示, 在底面积为S 的圆柱形水池底部有一个金属球(球与池底没有密合) , 圆柱型的水槽漂浮在池内的水面上, 此时水槽受到的浮力为F 1. 若把金属球从水中捞出并放在水槽中漂浮在水池中, 此时水槽受到的浮力为F 2, 捞起金属球前、后水池底受到水的压强变化量为p , 水的密度为ρ水. 根据上述条件可以求出 ( )A. 金属球受的重力为F 2 –F 1–pSB. 金属球被捞起前受的浮力为F 2 –F 1C. 金属球被捞起前、后水槽底受水的压力减小了pSD. 金属球被捞起前、后水槽排开水的体积增大了gF F 水ρ12- 【答案】 D【例10】 如图所示, 将一个木块投入装有液体的水槽中, 处于漂浮状态, 现用大小为4N 的力竖直向下压, 此时液体对水槽底部压强增大了400Pa . 又找来一个金属块用细线挂在木块的下面, 这时液面深度为20cm ; 剪断细线, 金属块下沉, 稳定后液面深度降低为16cm , 金属块对水槽底部压力大小为3.2N, 求: 剪断后, 液体对水槽底部压强减少了多少? 液体密度为多少? (10N/kg g =)能力提升【答案】 320Pa ; 330.810kg/m ⨯【例11】 一冰块内冰封一合金物体, 将其放入盛有适量水, 底面积为2100cm 的烧杯内, 正好悬浮在水中, 此时烧杯内的水对烧杯底的压强增加了460Pa ; 当冰完全熔化后, 水对烧杯底的压强又变化了44Pa . 忽略烧杯内水的体积所受温度的影响, 当冰完全熔化后, 烧杯底对合金物体的支持力是 N. (冰的密度为30.9g /cm , 取10N /kg g =) .【答案】 0.44【例12】 如图所示, 底面积为200cm 2的容器底部有一固定轻质弹簧, 弹簧上方连有一边长为10cm 的正方体木块A, 当容器中水深为20cm 时, 木块A 有25的体积浸在水中, 此时弹簧恰好处于自然状态, 没有发生形变. 向容器内缓慢加水, 当弹簧伸长了1cm 时停止加水, 此时弹簧对木块拉力为1N. 加水前后容器底部受到水的压强变化了 Pa. (不计弹簧受到的浮力, g 取10N/kg)【答案】 200 【例13】 如图所示, 将挂在弹簧测力计下端高为8cm 、横截面积为100cm 2的柱形物块缓慢放入底面积为500cm 2的圆柱形容器内的水中. 当物块直立静止时, 物块浸入水中深度为2cm, 弹簧测力计的示数为8N, 水对容器底部的压强为1.2×103Pa. 现向容器中加水, 当弹簧测力计的示数为5N 时, 注入水的质量为m , 水对容器底部的压强为p , 柱形物块受到的浮力为F . 已知弹簧测力计的称量范围为0~10N, 刻度盘上0~10N 刻度线之间的长度为10cm. 若g 取10N/kg, 则下列说法中正确的是( ) A. 柱形物块所受重力大小为8N B. 柱形物块受到的浮力F 大小为3N C. 水对容器底部的压强p 为1.8×103Pa D. 向容器中注入水的质量m 为3.0kg【答案】 C能力提升模块四: 含有弹簧的浮力问题A【例14】 实验桌上有如图所示的下列器材, 请你利用这些器材, 测出小金属块的密度． 写出实验步骤（用字母表示测出的物理量, 水的密度用ρ水表示）及金属块的密度表达式．实验步骤：(1) 让小容器漂浮在水槽中的水面上, 量出这时水面到槽边沿的距离h 1.(2) 量出 , 量出这时水面到槽上边沿的距离h 2. (3) 将金属块从小容器中取出用细线系住没入槽内水中, 量出这时水面到槽上边沿的距 离h 3. 金属块密度的表达式 ρ金属 =【答案】 (2) 将小金属块放入漂浮在水面上的小容器内(3)1213h h h h ρ--水【例15】 爱好科技的小刚自己制作了一条小木船, 船上带有金属船锚, 船舷上表明了三种情况的排水量.(1) 将锚放在船舱里, 当船静止在水槽中时观察对应的排水量为1m ;(2) 用细线拴住船锚, 悬挂在船下方的水中且完全浸没, 观察对应的排水量为2m , 此时水槽中的水面将 ; (选填“升高”、“降低”或“不变”) .(3) 把细线放得更长些, 直至线松了, 锚沉在盆底, 记下此时对应的排水量为3m 于是利用这些排水量测出了船锚的密度. 则锚的密度ρ= .【答案】 不变;1312m m m m --ρ水【例16】 实验桌上有如下器材: 细长平底试管一支(已知底面积为S )、小汤匙一个、抹布一块、刻度尺一把、大水槽一个(水槽的深度大于平底试管的高度)、足量的水、足量的细沙子、天平及配套砝码. 要求从实验桌上选择适当的器材, 设计一个实验证明: 在同种液体中,能力提升刻度尺 装有适量水的圆柱形水槽 小容器 小金属块 细线模块五: 实验固体所受的浮力大小跟排开液体的体积成正比. 要求: 写出主要的实验步骤并设计记录实验数据的表格.【答案】(1) 把天平放在水平桌面上, 调节天平平衡; (有此项给1分, 没有扣1分).(2) 用刻度尺测出试管的长度L并记录;(3) 用药匙取适量的细沙装入试管, 用天平测出细沙和试管的总质量m1; 再将试管放入盛有水的水槽中, 使试管竖直漂浮在水面上静止, 用刻度尺测出试管露出水面的高度h1; 将m1、h1记录在表格内.(4) 用抹布擦干试管, 用药匙再取适量的细沙装入试管, 用天平测出细沙和试管的总质量m2; 再将试管放入盛有水的水槽中, 使试管竖直漂浮在水面上静止, 用刻度尺测出试管露出水面的高度h2; 将m2、h2记录在表格内.(5) 仿照步骤(4)再做4次实验, 测出细沙和试管的总质量m3、m4、m5、m6; 测出每次试管露出水面的高度h3、h4、h5、h6, 并将数值记录在表格内.(6) 计算出每次试管浸入水中的深度(L-h)和排开水的体积V排=(L-h)S; 将数据记录在表管内.(7) 根据物体漂浮时F浮＝G物=m g, 可知试管每次漂浮时所受的浮力F浮.(8) 分析F浮和试管排开水的体积V排确定两者的关系.S＝【拓1】 如图所示, 在盛有某种液体的圆柱形容器内放有一木块A, 在木块的下方用轻质细线悬挂一体积与之相同的金属块B, 金属块B 浸没在液体内, 而木块漂浮在液面上, 液面正好与容器口相齐. 某瞬间细线突然断开, 待稳定后液面下降了h 1; 然后取出金 属块B, 液面又下降了h 2; 最后取出木块A, 液面又下降了h 3. 则木块A 与金属块B 的密度之比为 .【答案】213h h h (模块二: 船球模型之测量密度模型)【拓2】 一个底面积为50 cm 2的烧杯装有某种液体, 将一个木块放入烧杯的液体中, 木块静止时液体深h 1=10cm, 如图甲所示; 把一个小石块放在木块上, 液体深h 2=16cm, 如图乙所示; 若将小石块放入液体中, 液体深h 3=12cm, 如图丙所示, 石块对杯底的压力F=1.6N. 则小石块的密度ρ石为 kg/m 3.(g 取10N/kg)【答案】 2.4×103 (模块二: 船球模型之测量密度模型)【拓3】 一根轻质小弹簧原长10厘米, 两端分别连接在容器底部和物体A 上, 将水逐渐注入容器, 当物体的一半浸入水中时, 弹簧长12cm, 如图(a) 所示. 把水倒出, 改用密度为 0.8×103kg/m 3的油注入容器, 当物体A 全部浸入油中时, 弹簧长15cm, 如图(b) 所示. 前后两种情况下物体受到的浮力之比为_________; 物体A 的密度为_________kg/m 3.【答案】 5:8 0.3×103 (模块三: 含有弹簧的浮力问题)思维拓展训练 (选讲)【练1】 船上载着许多钢材, 此时甲板离水面的高度为1h ; 把这些钢材都放在水中用绳悬挂于船下, 此时甲板离水面的高度为2h , 则1h 与2h 相比较 ( )A. 12h h =B. 12h h <C. 12h h >D. 无法比较【答案】 C【练2】 如图所示, 将物块投入漂浮于水面的小烧杯中, 小烧杯杯底距液面高度h 1为25cm; 将物块取出后系在烧杯底并静止后, 小烧杯杯底距液面高度变为h 2大小为20 cm; 剪断细绳后物块掉入杯底, 此时小烧杯底距水面距离变为h 3大小为5cm; 则物块的密度为 .【答案】 4×103kg/m 3【练3】 小芳同学在实验室测量某种液体的密度. 实验桌上的器材有: 一把刻度尺、一个厚底平底试管(试管壁厚度不计) 和一个装有适量水的水槽.⑴ 她的测量步骤如下:① 将厚底平底试管放入水槽内水中, 试管竖直漂浮在水面上. 用刻度尺测出试管底到水槽中水面的高度h 1, 如图甲所示;② 将适量的待测液体倒入试管中, 试管仍能竖直漂浮在水面上. 用刻度尺测出试管底到水槽中水面的高度h 2和试管内液柱的高度h 3, 如图乙所示.⑵ 请你帮助小芳写出计算待测液体密度的表达式ρ液＝液液V m ＝⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.【答案】 213h h h ρ-水【练4】 如图所示, 质量为540g 的凹形铝槽, 放入底面积为100cm 2的圆柱形容器中的液体中, 铝槽浮在液面上, 槽口恰好与液面相平, 这时液面上升了 2.7cm. 若使铝槽沉入液体中, 则沉入前后液体对容器底部的压强变化△p ＝ Pa. 实战演练(已知ρ铝＝2.7×103 kg/m3 , g＝10N/kg)【答案】140【练5】如图所示, 用质量不计、长度为10cm的弹簧将正方体物块下表面与底面积为150cm2的圆柱形容器底部相连, 正方体物块竖直立于圆柱形容器内, 且不与容器壁接触, 弹簧的长度缩短为2cm; 现向容器内部倒入水, 当物块有1/5的体积露出水面时, 弹簧的长度又恢复到原长; 现继续向容器内倒入0.2kg的水后(水不溢出), 容器底部所受水的压强为__________Pa. 已知: 弹簧的长度每改变1cm时, 所受力的变化量为1N, 取g=10N/kg.【答案】2000怀丙和尚捞铁牛公元前287年, 秦国在今永济县蒲州架设了一座浮桥, 为黄河上有史以来最早的浮桥. 到唐开元十二年（公元724年）两岸各铸造了四个大铁牛, 用以索制连舰千艘的铁链, 稳定河桥. 此后, 两岸交通便利, 商贾往来频繁, 潞盐秦运远销的车辆络绎不绝. 故历史上盛赞说：“天下有三桥, 蒲津是第一. ”宋时有一年, 蒲津桥被百年不遇的特大洪水冲毁. 入地丈余的八大铁牛不仅被拉出了地面, 还被拖到水中. 秦晋交通中断, 行旅受阻. 可是, 怎样才能把这几千斤的笨重铁牛捞上来呢？宋朝官吏无计可施, 便贴出榜文, 招募人材. 只要谁能把大铁牛捞上来, 赏黄金万两.相传河北正定有个出身贫苦家庭的和尚, 名叫怀丙, 既乐于助人, 且聪明多智. 当他看到榜文, 便急忙赶到蒲津渡. 到了河边, 他找了两只船, 将船上装满沙土, 把一根大木头搁在两只船上, 成为“廾”字式样. 然后用一根很粗的绳索, 一头绑在大木头两端, 一头拴住铁牛. 之后, 把船上沙土御掉. 随着沙土的减少, 船逐渐浮高, 铁牛便一步一步地被拉了上来.捞出了铁牛, 修复了浮桥, 两岸人民欢聚桥上, 祝贺怀丙和尚. 同时, 两岸的官府各派差役找怀丙和尚领赏. 可是, 桥头、桥上都不见怀丙和尚的踪影. 欢庆的人们纷纷奔上桥头, 准备分头去找, 却发现铁牛上贴着一张纸条, 上写道：“不为黄金万两, 单求民众方便”. 宋王闻知此事后, 大开皇恩, “诏赐炳紫衣”以示嘉奖.。

第八讲圆的有关概念一、圆的相关概念1、圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”⊙“，读作”圆O“．O（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．二、圆的基本性质（图十四） （图十五） （图十六）1、 圆的对称性：（1）圆是中心对称图形：将圆绕圆心旋转180º能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（2）圆是轴对称图形：经圆心任意画一条直线，并沿直线将圆对折，直线两旁的部分能够完成重合，所以圆是轴对称图形。

每一条直径所在的的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。

（圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线）2、垂径定理及其推论（1） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图十四，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥AB,垂足为E,则AE=EB, ⌒AD = ⌒DB ，⌒AC = ⌒BC 。

（2） 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。