口奥题库数论

最新上外附中⼝奥14套题附答案⼝奥⼀1．计算：222＋333＋444＋555＋666=2．甲、⼄两地相距80千⽶，汽车⾏完全程要1.6⼩时，⽽步⾏要16⼩时，某⼈乘车从甲地出发去⼄地，⾏了1.15⼩时后汽车出了故障，他改为步⾏继续前进。

问：他到达⽬的地总共⽤了多少⼩时？3．如图：正⽅形ABCD的边长为12厘⽶，P是AB边上的任意⼀点，M、N、I、H分别是BC、AD上的三等分点（即BM=MN=NC），E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分⾯积是多少平⽅厘⽶。

P4．252、140、308三个数共有多少个不同的公约数？答案：（1）444×5=2220（2）解：汽车的速度是步⾏的16÷1.6=10(1.6－1.15)×10＋1.15=5.65(⼩时)（3）48平⽅厘⽶（4）6个。

解：（252、140和308）=28=22×7，28的约数的个数即为所求，有（2＋1）×（1＋1）=6个1.计算：1－2＋3－4＋5－……－1994＋1995=2.某船在静⽔中的速度是每⼩时20千⽶，它从上游甲地开往⼄地共⽤了6⼩时，⽔流速度每⼩时4千⽶，问从⼄地返回甲地需要多少时间？3.在三⾓形ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知三⾓形ABC的⾯积是18平⽅厘⽶，那么四边形AEDC的⾯积等于多少平⽅厘⽶？AE4.有⼀个⾃然数，⽤它分别去除25、38、43，三个余数之和为18，这个⾃然数是⼏？答案：（1）998；（2）（20＋4）×6÷（20－4）=9（⼩时）；（3）12平⽅厘⽶；(4) 解：所求数显然⼩于26，⼜由18÷3=6可知，所求数⼤于6。

（25＋38＋43）－18=88，88是所求数的整倍数，推知所求数是8、11或22。

经验算，只有11符合条件1.计算:0.75＋9.75＋99.75＋999.75＋1=2.甲、⼄两名运动员在环⾏跑道上从同⼀地点同时背向⽽⾏跑，出发后30分钟两⼈第⼀次相遇。

口奥一1．计算：222＋333＋444＋555＋666=2．甲、乙两地相距80千米，汽车行完全程要1.6小时，而步行要16小时，某人乘车从甲地出发去乙地，行了1.15小时后汽车出了故障，他改为步行继续前进。

问：他到达目的地总共用了多少小时？3．如图：正方形ABCD的边长为12厘米，P是AB边上的任意一点，M、N、I、H分别是BC、AD上的三等分点（即BM=MN=NC），E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分面积是多少平方厘米。

P4．252、140、308三个数共有多少个不同的公约数？答案：（1）444×5=2220（2）解：汽车的速度是步行的16÷1.6=10(1.6－1.15)×10＋1.15=5.65(小时)（3）48平方厘米（4）6个。

解：（252、140和308）=28=22×7，28的约数的个数即为所求，有（2＋1）×（1＋1）=6个1.计算：1－2＋3－4＋5－……－1994＋1995=2.某船在静水中的速度是每小时20千米，它从上游甲地开往乙地共用了6小时，水流速度每小时4千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？3.在三角形ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知三角形ABC的面积是18平方厘米，那么四边形AEDC的面积等于多少平方厘米？AE4.有一个自然数，用它分别去除25、38、43，三个余数之和为18，这个自然数是几？答案：（1）998；（2）（20＋4）×6÷（20－4）=9（小时）；（3）12平方厘米；(4) 解：所求数显然小于26，又由18÷3=6可知，所求数大于6。

（25＋38＋43）－18=88，88是所求数的整倍数，推知所求数是8、11或22。

经验算，只有11符合条件1.计算:0.75＋9.75＋99.75＋999.75＋1=2.甲、乙两名运动员在环行跑道上从同一地点同时背向而行跑，出发后30分钟两人第一次相遇。

在USACO比赛中，数论相关题目一直是考察的热点之一。

数论作为数学的一个重要分支，涉及整数的性质和关系，常常能够运用到算法设计和问题求解中。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨USACO比赛中的数论相关题目，帮助你更深入地理解这一主题。

1. 简单级别：在USACO比赛的入门级题目中，通常会涉及一些基本的数论知识，比如素数、最大公约数、最小公倍数等。

给定两个整数，要求求它们的最大公约数或最小公倍数；或者判断一个数是否为素数等。

这些题目往往需要运用到基本的数论算法，比如欧几里得算法求最大公约数、筛法求素数等。

2. 中等级别：在中等级别的USACO比赛题目中，数论相关的内容会更加复杂和深刻。

可能涉及到模运算、同余方程、欧拉函数、费马小定理等知识点。

题目可能会要求实现一些高级的数论算法，比如快速幂算法、扩展欧几里得算法等。

这些题目往往需要更深入的数论知识和算法功底，能够更好地理解和运用复杂的数论知识。

3. 高级级别：在USACO比赛的高级题目中，数论相关的内容往往会与其他算法知识结合，考察的角度也更加灵活多样。

题目可能会涉及到数论与图论、动态规划、贪心算法等内容的结合，难度较大。

此时，除了对数论知识的深刻理解外，还需要具备较强的问题建模能力和算法设计能力。

总结回顾：通过以上的分析，我们可以看到，USACO比赛中的数论相关题目，涵盖了不同难度级别的内容，从简单的基本算法到复杂的高级问题解决方案，都需要对数论知识有较为全面、深刻的理解。

在备战USACO比赛时，我们要加强对数论知识的学习和掌握，尤其要注重基础知识的打牢和算法能力的提升。

个人观点和理解：我个人认为，数论是一门非常有趣和有挑战性的数学分支，在USACO 比赛中能够有机会运用数论知识解决实际问题，对于提高自己的数学建模能力和算法设计能力都是非常有益的。

我会在备战USACO比赛的过程中，加强对数论相关知识的学习和实践，努力提高自己的数论解题能力。

通过以上分析和讨论，我们对USACO比赛中的数论相关题目有了更全面、深刻的理解。

五年级奥数疑难题集（2）——数论1、有若干个自然数，平均值是10，若从这些数中去掉最大的一个，则余下的平均值是9，若去掉最小的一个，则余下的平均值是11。

问：这些数最多有几个；这些数中最大的数最大能是几？解：10；19。

提示：设共有n个数,其中最小的为a,最大的为b,其余(n-2)个数的和为c,则a+b+c=10n,a+c=9(n-1),b+c=11(n-1),可得a=11-n,b=9+n,由于a,b,n都是自然数,所以n ≤10,b≤19.2、在小于100的自然数中，与2,3都互质且是合数的数有多少个？解：9。

与2,3都互质且是合数的数，必须是至少2个大于3的质数的乘积。

有5×5；5×7；5×11；5×13；5×17；5×19；7×7；7×11；7×13，共9个。

3、11个连续自然数的和是110，最大数与最小数的乘积是多少？解：75/。

中间数是110÷11=10，所求乘积为（10-5）（10+5）=754有一类数，它们既是7的倍数又是8的倍数，并且加上9是质数，这类数中最小的是几？解：224，提示按k=1,2,3……，检验(56k+9)是否为质数。

5把1000拆成两个自然数的和，一个是7的倍数，另一个是11的倍数。

如果要求这两个自然数中一个尽量大，一个尽量小，那么这两个自然数分别是？解：979和21。

要求一个数尽量大，所以三位数中最大的11的倍数为979，则另一个为1000-979=21。

6某校一年级招收新生，如果每班编40人，不足4个班；如每班编45人，不足3个班；如果3个班把它编完，则每班人数一样多，那么一年级招的新生最多为多少人？解：132人。

一年级新生多于40×3=120人；少于45×3=135人，最多为44×3=132人。

7在黑板上任意写一个自然数，然后用于这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次操作。

口奥五1. 计算：98＋998＋9998＋99998=甲、乙两名运动员在环行跑道上从同一地点同时背向而跑，已知甲运动员跑一圈要80分钟。

如果在出发后30分钟两人第一次相遇。

问：乙运动员跑一圈要多少分钟？如图：一个长方形被分成4个不同得三角形，如果绿色三角形得面积就是原长方形面积得15 ，黄色三角形面积就是15平方厘米，那么原长方形得面积就是多少平方厘米？4. “L”型（右上图），共有种不同得取法？答案（1） 111092；（2） 甲得速度就是乙得速度：30÷（80－30）=0、6倍乙跑一圈：80×0、6=48(分钟)（3） 15÷(0、5－0、2)=50(平方厘米)（4） 解:在2×2得正方形中,有4种取法。

4×4得方格棋盘中共有3×3=9个2×2得正方形。

所以不同得取法共有：3×3×4=36（种）口奥七1. 计算：17、48×37－174、8×1、9＋1、748×820=双休日,学生们到郊外去玩。

甲买了5只面包，乙买了同样得面包4只，当午餐用。

不料丙也参加午餐，但没有买面包，三人就均分着吃。

丙按买价拿出钱来，她给甲1元5角，给乙1元2角。

问：她这样算对不对，为什么？长方体得表面积就是74平方厘米，其中一个底面得面积就是10平方厘米，底面得周长就是9厘米。

这个长方体得体积就是多少立方厘米？甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都就是2。

甲、乙两数之与就是478，那么甲、乙、丙三数之与就是多少？答案：（1）原式=1748；（2）单价：（12＋15）×3÷（5＋4）=9（角）应给甲：9×5－（15＋12）=18（角）=1元8角应给乙：（15＋12）－18=9（角）所以，丙算得不对，应给甲1元8角，给乙9角。

侧面积：74－10×2=54（平方厘米）高：54÷9=6（厘米）长方体体积：10×6=60（立方厘米）714或517或489。

小学五年级奥数数论试题及答案
在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少?
考点：数的整除特征.
分析：设补上的三个数字组成三位数是abc，由这个七位数能被2，5整除，说明c=0;由这个七位数能被3整除知
1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除;再由这
个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;最后由所组成的七位数应该最小，因而取a+b=3，a-b=1，从而a=2，
b=1.进而解答即可;
解答：解：设补上的三个数字组成三位数是abc，由这个七位数能被2，5整除，说明c=0;
由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除;
由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能
被11整除;
由所组成的七位数应该最小，因而取a+b=3，a-b=1，从而a=2，
b=1.
所以这个最小七位数是1992210.
[注]学生通常的解法是：根据这个七位数分别能被2，3，5，11
整除的条件，这个七位数必定是2，3，5，11的公倍数，而2，3，5，11的最小公倍数是2×3×5×11=330.
这样，1992000÷330=6036…120，所以符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数，即1992000+(330-120)=1992210.
点评：解答此题应结合题意，根据能被2、3、5、11整除的数的特征实行分析，进而得出结论.。

数论竞赛题数论竞赛题是在数学竞赛中常见的一类题型，主要考察学生在数论领域的理解和运用能力。

数论是研究整数性质及其运算规律的数学分支，涉及到诸多定理和性质。

以下是一个典型的数论竞赛题目，供参考。

题目：证明对于任意正整数 n，都存在一个正整数 k，使得 n(n+1)(n+2)(n+3) 可以被 24 整除。

解法：我们可以通过数学归纳法来证明这一命题。

首先，观察到 24 可以分解为 3 × 2^3。

我们分两种情况进行讨论：情况一：n 是 4 的倍数。

设 n=4k，其中 k 是一个正整数。

则有：n(n+1)(n+2)(n+3) = 4k(4k+1)(4k+2)(4k+3)= 4 × k × (4k+1) × 2 × (2k+1) × 3 × (2k+2) 。

我们发现此时，n(n+1)(n+2)(n+3) 能够被 24 整除。

情况二：n 不是 4 的倍数。

设 n=4k+r，其中 k 是一个正整数，r 是余数，r=1,2 或 3。

则有：n(n+1)(n+2)(n+3) = (4k+r)(4k+r+1)(4k+r+2)(4k+r+3)我们观察到，至少存在一个连续的四个数中，必然包含一个数能被 2 整除，一个数能被 4 整除，一个数能被 3 整除，因而有 2×4×3=24，即可以被 24 整除。

综上所述，对于任意的正整数 n，都存在一个正整数 k，使得 n(n+1)(n+2)(n+3) 能够被 24 整除。

证毕。

数论竞赛题通常涉及到数的整除性质、奇偶性、模运算等概念，要求学生具备较强的逻辑推理和数学证明能力。

通过解决这类题目，学生可以加深对数论相关概念和方法的理解，培养思考和解决问题的能力。

小升初口奥练习题目2016.4.191-下面的数的总和是012 (49)123 (50)484950 (97)495051 (98)2.图中的数据分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是：________ O4.筐里有96个苹果.如果不一次全部拿出，也不一个一个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多也不少，有—种不同的拿法。

答案：(1)共有50x50=2500个数，这些数的平均数是49.所以总和是49x2500=122500(2)设：这个三角形面积为A.则12x15= (2x5) x (2xA),A=9(3)兔速20-h60=1/3千米份,兔跑完全程所用的时间5.2手1/3=15.6分钟，15.6=1 + 2 + 3+ 4 + 5+0.615・6分钟分六段跑完，中间兔子玩了5次每次15分钟，共玩了15x5=75 分钟兔子跑完全程实际需要15.6 + 75=90.6分乌龟跑完全程实际需要5.2十3/60=104分钟因此，兔子比乌龟先到达终点.比乌电快104-90.6=13.4分钟(4)因为96=2*3, (5 + 1) x (1 + 1) =12 除去1 和96 还有10 个约数厶3. 4、6、8. 12. 16、24. 32. 48有10种不同分法。

1.2003s5 X200455X200555积的尾数是（）。

2.玲玲和芳芳住同•柝楼，玲玲住3楼，芳芳住6楼，玲玲到家要走30级台阶，芳芳到家要走（）级台阶。

3.数N是一个大于9而小于17的数。

6, 10和N的平均数只能是（）o A. 8 B. 12 C. 10 D.144.数一数，图中共冇（）个三角形。

5.屮有桌了若于张,乙有椅子若干把，如果乙川全部椅了换阿相同数最的桌了，那么需要补给屮320元；如果乙不补钱，就会少换H5张桌了。

已知3张桌了比5耙椅了的价钱少48元，则乙原冇椅了（）耙。

答•提示1.02.75 提示：30^(3-l)X(6-l)=75(级)3. C 提示：因为9<N<17,所以25<N+6+10<33,于是三个数大于斗而小于11,因此答案为C。

奥数题讲解数论问题所用知识不超过小学5年级，题目难度5颗星。

a,b,c,d都是个位数，由它们组成的四位数abcd和两位数ab、cd满.足(ab+cd) *(ab+cd)=abcd。

请问满.足条件的四位数abcd共有多少个?答案: 3个。

辅导办法:将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答,由家长进行讲解。

讲解思路:这种类型的题目,关键是要寻找ab和cd的关系,再根据关系寻找满足条件的数。

步骤1:先思考第一个问题,ab+cd的范围是什么?这个问题很简单, 由于ab+cd的平方是四位数,而32*32=1024 ,99*99=9801,因此ab+cd在32到99之间。

步骤2:再思考第二个问题,db和cd满足什么关系?由题意，(ab+cd) *(ab+cd) =100*ab+cd,化简有(ab+cd)*(ab+cd-l)=99*ab 因此，(ab+cd) *(ab+cd-1)是99的倍数。

步骤3:再思考第二个问题,ab+cd可能的取值是多少?由于99=3*3*11,而(ab+cd)和(ab+cd-1)不可能同时是9的倍数,因此只可能有3种情况,结合步骤1中ab+cd的范围讨论。

情况一：ab+cd是9的倍数,ab+cd-1是11的倍数,此时只有ab+cd 是45才满足条件;情况二:ab+cd是11的倍数,ab+cd-1是9的倍数,此时只有ab+cd是55才满足条件;情况三:ab+cd或ab+cd-1是99的倍数,此时只有xb+cd是99才满足条件。

步骤4:综合上述几个问题,代入验证，45*45=2025=(20+25)*(20+25)55*55=3025= (30+25)*(30+25)99*99=9801= (98+1) *(98+1),都满足条件,所以满足条件的数是3个。