诱导公式五、六【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

(2)因为α的终边与单位圆交于点 A，A 点的纵坐标为4，所以 sin α＝4.
5
5
因为 0＜α＜π2，所以 cos α＝35，
故ssiinnαπ2＋－πα＋ ＋ccoossπ2π＋－ββ＝－cosisnαα－－sicnosββ＝－3545－＋1511323＝47.
[方法技巧] 诱导公式综合应用要“三看”
∴cossinπ＋αcαoscβo＋s－3sβin－π2＋3sαinsαinsiβn β
＝－sicnosαcαocsosβ＋β－3c3ossinααsisninββ＝－t1a－n α3＋tan3tαatnanβ β
＝－1－－3×2 2－＋23
2 2×
＝ 2
2 11 .
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．小明在解“已知角 α 终边上一点 P(－4,3)，求ccooss1π212＋π－ααsinsin－92ππ－＋αα的
所以
tan(π－α)＝－tan
α＝－csoins
α＝ α
3.
答案：A
2．若 cosα＋π6＝45，则 sinα－π3＝
()
4 A.5
B．35
C．－35
D．－45
解析：∵cosα＋π6＝45，∴sinα－π3＝sinα＋π6－π2＝－cosα＋π6＝
－45. 答案：D
3．已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是
B．cos 5° D．2sin 5°
()
4．计算：sin211°＋sin279°＝________. 解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1. 答案：1
题型一 利用诱导公式化简求值 [学透用活]

x
y
在题中横线上。
y
-x
sin(π-α)=
cos(π-α)=
tan(π-α)= －

x
3

tan

( 2)tan
4
4
y
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan -1
P′(-x,y)
π-a
α 与π-α关于y轴对称
+(°-°)(°+°)
(2)证明:左边=


(1)解:原式=
( +)( +)


(°+°)+(°+°)

=
=
=
-°°
|°-°|
-
=
=-tan °-°
如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象
限角，所以sin(π+a)=-sina
思考2：如果α为锐角，你能得到什么结论？
a

-
2

cos( -)=sin
2
c
α
b

sin ( ) cos
2
思考3：若α为一个任意给定的角，那么 的终边与
角

2
的终边有什么关系？
2k ( k Z ), - , 的三角函数值，等于角
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时
原函数值的符号。
即：
函数名不变，符号看象限！
“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可
以通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的

sin( - ) sin cos( - ) - cos tan( - ) - tan
sin( - ) cos
2
cos( - ) sin
2
sin(
)
cos
2
cos( ) - sin
2
口诀：奇变偶不变，符号看象限
高中数学人教A版(必20修19第)必一修册第 《一 诱册 导《 公 式5.3》课诱件导公式》课件
-
2
-sin
-
=
sin 4
- sin
2
- tan
-
cos
sin
-
-
sin
sin
2
cos
高中数学人教A版(必20修19第)必一修册第 《一 诱册 导《 公 式5.3》课诱件导公式》课件
高中数学人教A版(必20修19第)必一修册第 《一 诱册 导《 公 式5.3》课诱件导公式》课件
我们再来研究角 与 - 的三角函数值之
间的关系
r 1
sin y cos x
sin(- ) - y
tan y
x
cos(- ) x
tan(- ) - y - y
xx
-
公式三
sin(- ) - sin
cos(- ) cos
tan(- ) - tan
高中数学人教A版必修第一册《诱导公 式》课 件
3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于y轴对称
4.角 +α与α的终边 有何位置关系?
终边关于原点对称
思 考2
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请 同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个 点的坐标是什么?
点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y) 点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y) 点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)

y
的终边
y
P1 ( x, y )
的终边
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
终边关于原点对称
的终边 y
P( x, y ) P3 ( x, y )
P( x, y )
O
的终边
x
x
O
的终边
1
= sin 180° + 30° = −sin30° = − 2 ．
故选：B
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练2】sin
1
89π
6
=（
）
1
A． 2
B．− 2
C．
3
2
D．−
【答案】A
【解析】sin
故选：A．
89π
6
= sin 15π −
π
6
π
1
= sin 6 = 2 ．
3
2
作出与的终边关于直线 = 对称的角的终边, 并指出该角的大小.
= cos155° = cos 90° + 65° = −sin65°，
故选：D．
D．−sin65°
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练1】sin −1230° =（
1
A． 2
1
B．− 2
）．
C．
3
2
D．−
3
2
【答案】B
【解析】sin −1230° = sin −360° × 4 + 210° = sin210°
诱导公式一~四
公式一
( + ) =

量不含分母,必须有分母时分母中尽量不含根式等.
【变式训练 2】 已知 sin(3π+α)=2sin
(-)-

+

则(+)+(-)=
解析:∵sin(3π+α)=2sin
.


+ ,
∴-sin α=-2cos α,即 sin α=2cos α.
-

)

C.
D.- 二、诱导公式六1.以-α代替公式五中的α,你会得到什么公式?
提示:sin

+


=cos(-α)=cos α,cos( +α)=sin(-α)=-sin α.

2.诱导公式六
sin
cos

+



+


=cos α
=-sin α
3.sin 165°等于(
)
A.-sin 15° B.cos 15°
【变式训练 3】 求证:
-
证明:∵右边=


-
(+)
= - =
=
=
--
+ -
+
∴原等式成立.
-(+)


·(-)- + - -






-
=cos

+
=sin





+
=
,




+ =± ,





- =sin + =± .

cosπ2－α＝ac. 根据上述结论，你有什么猜想？ 答 sinπ2－α＝cos α；cosπ2－α＝sin α.
思考2 如图，已知角α终边OP与单位圆交点坐标为（x,y）,如何做出
2 的终边?设其终边OP5 与单位圆交点为P5 ，写出P5坐标.并视察两个终
边的对称性.
y
2
的终边
y
x
(y, x )
思考 2 根据π2＋α＝π－π2－α，利用诱导公式四和诱导公式五你 能得到什么结论？ 答 sinπ2＋α＝sinπ－π2－α ＝sinπ2－α＝cos α， cosπ2＋α＝cosπ－π2－α＝－cosπ2－α ＝－sin α， ∴sinπ2＋α＝cos α，cosπ2＋α＝－sin α.
思考3 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？ sin32π－α＝－cos α，cos32π－α＝－sin α，
例 2： 已知 sinπ6＋α＝ 33，求 cosα－π3的值. 解 ∵cosα－π3＝cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α
＝sinπ6＋α＝
3 3.
当堂测·查疑缺 1.已知 sinα－π6＝13，则 cosα＋π3的值为( D )
A.－2 3 3
23 B. 3
1 C.3
D.－13
解析 cosα＋π3＝cosπ2＋α－π6
探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
例 1 已知 cosα＋π6＝35，求 sinα＋23π的值. 解 ∵α＋23π＝α＋π6＋π2， ∴sin(α＋23π)＝sinα＋π6＋π2＝cosα＋π6＝35.
反思与感悟 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通 已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α 与π3－α， π4－α 与π4＋α 等互余角关系的识别和应用.

(3)化简：sin32π＋α＝________. 答案 (1)C (2)A (3)－cosα
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
核心素养形成
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
题型一 利用诱导公式五、六求值 例1 已知cos2π＋α＝13，求值： sinπ2c＋osαπc＋osαπ2－α＋sinπ－sinαπc＋osα32π＋α.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做
(1)已知sin52π＋α＝51，那么cosα＝(
)
A．－25
B．－15
1
2
C.5
D.5
(2)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cosπ2－α的值为(
)
A．－45
3 B.5
4 C.5
D．－35
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
名，而后一套公式必须变名．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
[跟踪训练2] (1)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290° 的值等于________；
(2)化简：sinπt－anα3sπi－n3α2π－α＋ssiinn322ππ＋－ααccooss2απ－＋72απ.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
核心概念掌握
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
【知识导学】 知识点 诱导公式五、六

1
1
LOGO
y P (x ,y )
1 1 1
1
α
O
y P (x ,y )
1 1 1
P4(x4,y4)
α
x
P2(x2,y2)
180°＋α∈(180°,270°)
O
α
x
O
x
P3(x3,y3)
360°－α∈(270°,360°)
－α
180°－α∈(90°,180°)
问题4：(1)作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什
tan(α+2kπ)=tanα k∈Z
sin cos 1

sin
( k , k Z )
tan
2
cos
2
2
研究思路：利用单位圆，从角的数量关系→坐标间的关系→三角函数函数值
的关系得到了公式（一）.
引 入
LOGO
问题3：能否再把0°～ 360°间的角的三角函数求值，化为我们熟悉
cosα=x cos(-α)=x
y
y
tan- tan
作用：
x
x
公式三
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
y P (x,y)
1
O
α
-α x
P3(x,-y)
将负角化为正角
函数名不变，符号看象限
把α看成锐角时的符号
探究新知
LOGO
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
sin - α cosα
2
π
cos - α sinα

Ox
α的终边先关于直线y=x对称，再关于 P7(x7,y7)
原点对称就得到3π/2-α的终边
x7=-x5=-y1 , y7=- y5= -x1
sinα=y1
s i n
3π 2
α
y7
公式七
sin 3π α -cosα 2
cosα=x1
cos
3π 2
α
x7
cos 3π α -sinα 2
负化正，大化小，化到用锐公角式一再查表
锐角的三角 用公式 0~2π的角的 随堂练习：
函数
二或四 三角函数 P191 1 2
课堂探究——利用诱导公式化简
例2 化简：cos(180 α)sin(α 360) tan(α 180)cos(180 α)
随堂练习： P191 3
课堂探究——诱导公式（五~八）
2.在应用平方关系时，一定要先 确定α的终边位置是否确定，若不 确定，应分类讨论. 3.应用正切公式时，还应看tanα是 否有意义.
随堂练习： P184 1 2
方法小结——利用同角三角函数的基本关系化简与证明
(1)从左到右推导或从右到左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
sinα=y1 sin(-α)=y3 sin(-α)=-sinα
cosα=x1 cos(-α)=x3
tanα y1 x1
tan- α y3
x3
cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα
y P1(x1,y1)
α O -α x
P3(x3,y3)
课堂探究——诱导公式探究
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z) P4(x4,y4) π-α y P1(x1,y1)

明目标、知重点
思考3 公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋ α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关 系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？ 答 2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同 名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记 为“函数名不变，符号看象限”！
明目标、知重点
tan(2π－θ)sin(－2π－θ)cos(6π－θ)
跟踪训练 2 化简：
.
cos(θ－π)sin(5π＋θ)
tan(－θ)·sin(－θ)·cos(－θ) 解 原式＝
cos(π－θ)·sin(π＋θ)
(－tan θ)·(－sin θ)·cos ＝
(－cos θ)·(－sin θ)
答 2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(3)tan(－855°).
1 π 1 (1)cos 225°； 例如，sin(－390°)＝－ ，cos － ＝ ， tan(π＋α)＝tan α. 2 3 2 答 sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，
解 sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]
＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，
cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]
＝cos(180°＋α)＝－cos α，
－cos α·sin α
所以，原式＝
＝1.
sin α·(－cos α)
明目标、知重点
反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角 的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.
π π 角－α的终边与单位圆的交 点为P2(x， －y). ＝cos π－ －α －sin －α 跟踪训练1 求下列三角函 数值.

第 诱五 导章 公式一5.【3 新诱教导材公】式人（教一A）版-高【中新数教学材必】修人第教一A版册（课2件0191 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第 诱五 导章 公式一5.【3 新诱教导材公】式人（教一A）版-高【中新数教学材必】修人第教一A版册（课2件0191 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)
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第 诱五 导章 公式一5.【3 新诱教导材公】式人（教一A）版-高【中新数教学材必】修人第教一A版册（课2件0191 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT) 第 诱五 导章 公式一5.【3 新诱教导材公】式人（教一A）版-高【中新数教学材必】修人第教一A版册（课2件0191 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共67张 PPT)

( − ) = −
负化正
−与的终边关于轴对称
大化小
(锐角)
+ 与的终边关于原点对称
+ 与的终边相同
公式三 ( − ) = −
( + ) = −
( + ) =
( − ) =
(−) = − .
新知探索
活动3：作1 关于轴的对称点4 ，则以4 为终边的角为π − ，此时角与角
π − 的三角函数值之间有什么关系？

此时，我们易得：1 (1 , 1 )，4 (4 , 4 ) = (−1 , 1 ).
根据三角函数的定义，得：
1
2




−



=


新知探索
活动5：作5 关于轴的对称点6 ，又能得到什么结论呢？

如图，以6 为终边的角都是与角 + 终边相同
2

的角，即 = 2 + ( + )( ∈ ).因此，只要探
2

究角 + 与的三角函数值之间的关系即可.
2




+



4sin =
sin
0，即
cos
= 4sin，所以cos =
1
，
4
所以cos + 2021 = cos + + 1010 × 2 = cos( +
1
) = −cos = − ；
4
故选：A.
【方法技巧与总结】
（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之
（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进