18年高考数学考试大纲解读专题09数列文180108218

数列热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下：∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k∈N *)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列，∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，∴不存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立.热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d>1时，记c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .(1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)解 由d>1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【对点训练】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S 2n .(1)证明 由条件，对任意n∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1， 即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2， 所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列. 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝32(3n －1).热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N *). (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f(x)的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2. 所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n(n －1)＝n 2－3n. (2)函数f(x)＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法. 【例3－2】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)设公差为d ，由题意得： ⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n. (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝32n(n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1，∴当n≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A 级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n 项和等概念，一般不会单独考查； (2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C 级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n 项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用． (4)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题． (5)求数列的通项公式及其前n 项和的基本的几种方法． (6)数列与函数、不等式的综合问题.试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题． 【重点、难点剖析】1．等差、等比数列的通项公式等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1qn －1＝a m qn －m.2．等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列的前n 项和为S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d .特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)． (2)等比数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1，特别地，若q ≠1，设a ＝a 11－q ，则S n ＝a －aq n.3．等差数列、等比数列常用性质(1)若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ；(2)在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其中S n 为前n 项的和(n ∈N *).4．数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n 个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列；(3)裂项法：求{a n }的前n 项和时，若能将a n 拆分为a n ＝b n －b n ＋1，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝b 1－b n ＋1； (4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对S 1，S 2，S 3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n ，然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于S n 不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求S n .例如对于数列{a n }：a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a n＋2＝a n ＋1－a n ，可证其满足a n ＋6＝a n ，在求和时，依次6项求和，再求S n .5．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式、递推公式或前n 项和公式. 【题型示例】题型1、等差、等比数列中基本量的计算【例1】(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(a 4＋a 5)－(a 4＋a 3)＝8， ∴d ＝4，故选C.【2017江苏，9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【变式探究】【2016年高考北京文数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.. 【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-，∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．【举一反三】 (2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【变式探究】(1)(2014·全国大纲卷)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3(2)(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．【命题意图】(1)本题主要考查等比数列的性质、对数的运算．(2)本题主要考查等差数列的性质，意在考查考生灵活应用等差数列的性质解决问题的能力． 【答案】(1)C (2)8【解析】(1)lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4，故选C. (2)∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，其前n 项和最大．【变式探究】设数列{a n }是公差不为0的等差数列，S n 为其前n 项的和，满足：a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项的和S n ；(2)设数列{b n }满足b n ＝2a n ，其前n 项的和为T n ，当n 为何值时，有T n ＞512.【规律方法】求等差、等比数列通项与前n 项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n 项和公式的选择．【变式探究】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{}1＋S n 是公比为2的等比数列． (1)证明：{a n }是等比数列，并求其通项；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为T n ，当n 为何值时，有T n ≤2 012? 【解析】(1)证明 由题意，得1＋S n 1＋S n －1＝2(n ≥2)，即1＋S n ＝4(1＋S n －1)，同理，得1＋S n ＋1＝4(1＋S n )． 两式相减，得S n ＋1－S n ＝4(S n －S n －1)， 即a n ＋1＝4a n ，a n ＋1a n＝4(n ≥2)． 又a 1＝3，所以{a n }是首项为3，公比为4的等比数列，所以a n ＝3·4n －1＝3·22n －2.(2)解 由(1)得a n ＝3·22n －2，所以b n ＝log 2(3·22n －2)＝log 23＋2(n －1)，所以{b n }是首项为log 23，公差为2的等差数列，前n 项和为T n ＝n log 23＋n (n －1)，于是由n 2＜n log 23＋n (n －1)≤2 012，得n ＜ 2 012，又n ∈N *，所以1≤n ≤44，即n ＝1,2,3，…，44时，T n ≤2 012.题型2、与等差、等比数列有关的最值问题【例2】【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4n =时，12n a a a 取得最大值6264=.【举一反三】 (2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000，即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210， 所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10. 【规律方法】上述两种求A n 最值的方法都是运用函数思想．法一是直接研究子数列{a 2n }．法二是研究A n ＝19(19n ＋2－2n ＋1)的单调性求其最值． 【变式探究】已知等差数列{a n }的首项a 1≠0，公差d ≠0，由{a n }的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝2，b 3＝6. (1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的值； (3)求A n ＝S n －2 012n 9的最小值．＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4n－13＋2n .(3)由S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4n－13＋2n ，得A n ＝S n －2 012n 9＝19(4n －2 006n －1)，若存在n ∈N *，使得A n ≤A n ＋1，且A n ≤A n －1，则A n 的值最小．于是由⎩⎪⎨⎪⎧194n－2 006n －1≤19[4n ＋1－ 2 006n ＋1－1]，194n－2 006n －1≤19[4n －1－ 2 006n －1－1]，解得2 0063≤4n ≤4×2 0063(n ∈N *)，取n ＝5，(A n )min ＝2 9839.题型三、数列求和问题【例3】【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.令nn nb c a =, 则212n nn c +=，12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++, 又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++, 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 【举一反三】【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.令nn nb c a =, 则212n nn c +=，12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++, 又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++, 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 【变式探究】【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1, a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++．【答案】（Ⅰ）21n a n =- ；（Ⅱ）312n -.【变式探究】【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析（3）下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=. ②若C 是D 的子集，则22C CDC C CD S S S S S S +=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令U E CD =ð，U F D C =ð则E ≠∅，F ≠∅，EF =∅.于是C E C D S S S =+，D F CD S S S =+，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-， 从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤，故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+，即21C C D D S S S +≥+.综合①②③得，2C C D D S S S +≥.【举一反三】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－1，当n ≥3，n ∈N *时，a n n －1－a n －1n －2＝3n －n －.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在k ∈N *，使得n ≥k 时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4对任意实数λ∈[0,1]恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．解得，n ≤1或n ≥5.∴满足条件的k 存在，k 的最小值为5.【规律方法】数列通项公式的还原方法比较多样，可以构造特殊数列，也可以立足于运算、归纳，最后补充证明．【变式探究】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n<74.。

【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A 级要求、了解数列、数列的项、通项公式、前n 项和等概念、一般不会单独考查； (2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列、要求都是C 级、熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n 项求和公式、性质等知识、理解其推导过程、并且能够灵活应用． (4)通过适当的代数变形后、转化为等差数列或等比数列的问题． (5)求数列的通项公式及其前n 项和的基本的几种方法． (6)数列与函数、不等式的综合问题.试题类型可能是填空题、以考查单一性知识为主、同时在解答题中经常与不等式综合考查、构成压轴题． 【重点、难点剖析】1．等差、等比数列的通项公式等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝a m qn －m.2．等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列的前n 项和为S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d .特别地、当d ≠0时、S n 是关于n 的二次函数、且常数项为0、即可设S n ＝an 2＋bn (a 、b 为常数)． (2)等比数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1，特别地、若q ≠1、设a ＝a 11－q 、则S n ＝a －aq n.3．等差数列、等比数列常用性质(1)若序号m ＋n ＝p ＋q 、在等差数列中、则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的、若序号m ＋n ＝2p 、则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中、则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的、若序号m ＋n ＝2p 、则a m ·a n ＝a 2p ；(2)在等差数列{a n }中、S k 、S 2k －S k 、S 3k －S 2k 、…成等差数列、其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和、且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中、当q ≠－1或k 不为偶数时S k 、S 2k －S k 、S 3k －S 2k 、…成等比数列、其中S n 为前n 项的和(n∈N*).4．数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组、使之转化为n个等差数列或等比数列、然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于{a n·b n}的前n项和、其中{a n}是等差数列、{b n}是等比数列；(3)裂项法：求{a n}的前n项和时、若能将a n拆分为a n＝b n－b n＋1、则a1＋a2＋…＋a n＝b1－b n＋1；(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时、若有公因式可提、并且剩余的项的和容易求出、那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对S1、S2、S3、…的计算进行归纳分析、寻求规律、猜想出S n、然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于S n不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和、然后再求S n.例如对于数列{a n}：a1＝1、a2＝3、a3＝2、a n＋2＝a n＋1－a n、可证其满足a n＋6＝a n、在求和时、依次6项求和、再求S n.5．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长、反映的事物背景陌生、知识涉及面广、因此要解好应用题、首先应当提高阅读理解能力、将普通语言转化为数学语言或数学符号、实际问题转化为数学问题、然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题、其中、等比数列涉及的范围比较广、如经济上涉及利润、成本、效益的增减、解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n}、利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.【题型示例】题型1、等差、等比数列中基本量的计算【例1】(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24、S6＝48、则{a n}的公差为( )A．1 B．2C．4 D．8(a 4＋a 5)－(a 4＋a 3)＝8、 ∴d ＝4、故选C.【2017江苏、9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时、显然不符合题意；当1q ≠时、3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩、解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩、则7812324a =⨯=. 【变式探究】【2016年高考北京文数】已知{}n a 为等差数列、n S 为其前n 项和、若16a =、350a a +=、则6=S _______.. 【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列、∴35420a a a +==、40a =、4136a a d -==-、2d =-、∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=、故填：6．【举一反三】 (2015·江苏、11)设数列{a n }满足a 1＝1、且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)、则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【变式探究】(1)(2014·全国大纲卷)等比数列{a n }中、a 4＝2、a 5＝5、则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3(2)(2014·北京)若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0、a7＋a10<0、则当n＝________时、{a n}的前n项和最大．【命题意图】(1)本题主要考查等比数列的性质、对数的运算．(2)本题主要考查等差数列的性质、意在考查考生灵活应用等差数列的性质解决问题的能力．【答案】(1)C (2)8【解析】(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4、故选C.(2)∵数列{a n}是等差数列、且a7＋a8＋a9＝3a8>0、∴a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0、∴a9<0、∴当n＝8时、其前n项和最大．【变式探究】设数列{a n}是公差不为0的等差数列、S n为其前n项的和、满足：a22＋a23＝a24＋a25、S7＝7.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项的和S n；(2)设数列{b n}满足b n＝2a n、其前n项的和为T n、当n为何值时、有T n＞512.【规律方法】求等差、等比数列通项与前n 项和、除直接代入公式外、就是用基本量法、要注意对通项公式与前n 项和公式的选择．【变式探究】 已知数列{a n }的前n 项和为S n 、a 1＝3、{}1＋S n 是公比为2的等比数列． (1)证明：{a n }是等比数列、并求其通项；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n 、其前n 项和为T n 、当n 为何值时、有T n ≤2 012? 【解析】(1)证明 由题意、得1＋S n 1＋S n －1＝2(n ≥2)、即1＋S n ＝4(1＋S n －1)、同理、得1＋S n ＋1＝4(1＋S n )． 两式相减、得S n ＋1－S n ＝4(S n －S n －1)、 即a n ＋1＝4a n 、a n ＋1a n＝4(n ≥2)． 又a 1＝3、所以{a n }是首项为3、公比为4的等比数列、所以a n ＝3·4n －1＝3·22n －2.(2)解 由(1)得a n ＝3·22n －2、所以b n ＝log 2(3·22n －2)＝log 23＋2(n －1)、所以{b n }是首项为log 23、公差为2的等差数列、前n 项和为T n ＝n log 23＋n (n －1)、于是由n 2＜n log 23＋n (n －1)≤2 012、得n ＜ 2 012、又n ∈N *、所以1≤n ≤44、即n ＝1,2,3、…、44时、T n ≤2 012.题型2、与等差、等比数列有关的最值问题【例2】【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠、由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩、解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118(22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=、于是当3n =或4n =时、12n a a a 取得最大值6264=.【举一反三】 (2015·四川、16)设数列{a n }(n ＝1、2、3、…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1、且a 1、a 2＋1、a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n 、求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．(2)由(1)得1a n ＝12n 、所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000、得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000、即2n＞1 000、因为29＝512＜1 000＜1 024＝210、 所以n ≥10、于是、使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.【规律方法】上述两种求A n 最值的方法都是运用函数思想．法一是直接研究子数列{a 2n }．法二是研究A n ＝19(19n ＋2－2n ＋1)的单调性求其最值．【变式探究】已知等差数列{a n }的首项a 1≠0、公差d ≠0、由{a n }的部分项组成的数列ab 1、ab 2、…、ab n 、…为等比数列、其中b 1＝1、b 2＝2、b 3＝6. (1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n 、求S n 的值； (3)求A n ＝S n －2 012n9的最小值．＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4n－13＋2n .(3)由S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4n－13＋2n 、得A n ＝S n －2 012n 9＝19(4n －2 006n －1)、若存在n ∈N *、使得A n ≤A n ＋1、且A n ≤A n －1、则A n 的值最小． 于是由⎩⎪⎨⎪⎧194n－2 006n －1≤19[4n ＋1－2 006n ＋1－1]，194n －2 006n －1≤19[4n －1－2 006n －1－1]，解得2 0063≤4n ≤4×2 0063(n ∈N *)、取n ＝5、(A n )min ＝2 9839.题型三、数列求和问题【例3】【2017山东、文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.令nn nb c a =, 则212n nn c +=、 因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++, 又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++, 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 【举一反三】【2017山东、文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.令nn nb c a =, 则212n nn c +=、 因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++, 又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++, 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 【变式探究】【2017北京、文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1, a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++．【答案】（Ⅰ）21n a n =- ；（Ⅱ）312n -.【变式探究】【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T 、若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，、定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时、1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列、且当{}=2,4T 时、=30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤、若{}1,2,k T ⊆…，、求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析（3）下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集、则2C CD C D D D D S S S S S S S +=+≥+=. ②若C 是D 的子集、则22C C DC C CD S S S S S S +=+=≥. ③若D 不是C 的子集、且C 不是D 的子集.令U E C D =ð、U F D C =ð则E ≠∅、F ≠∅、EF =∅. 于是C E C D S S S =+、D F C D S S S =+、进而由C D S S ≥、得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数、l 为F 中的最大数、则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知、1E k S a +<、于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=、所以1l k -<、即l k ≤.又k l ≠、故1l k ≤-、 从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤、 故21E F S S ≥+、所以2()1C CD D C D S S S S -≥-+、 即21C C D D S S S +≥+.综合①②③得、2C C D D S S S +≥.【举一反三】 已知数列{a n }满足a 1＝1、a 2＝－1、当n ≥3、n ∈N *时、a n n －1－a n －1n －2＝3n －n －.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *、使得n ≥k 时、不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4对任意实数λ∈[0,1]恒成立？若存在、求出k 的最小值；若不存在、请说明理由．解得、n ≤1或n ≥5.∴满足条件的k 存在、k 的最小值为5.【规律方法】数列通项公式的还原方法比较多样、可以构造特殊数列、也可以立足于运算、归纳、最后补充证明．【变式探究】设数列{a n }的前n 项和为S n 、已知a 1＝1、2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23、n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n 、有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.。

1．等比数列{a n }的公比为－12 ,那么a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6的值是( )A ．－2B ．－12C.12D ．2【答案】A 【解析】由题意可知a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5－12a 1＋a 3＋a 5＝－2.2．数列{a n }是等差数列 ,且a 7－2a 4＝6 ,a 3＝2 ,那么公差d ＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．8D ．16【答案】B 【解析】法一：由题意得a 3＝2 ,a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝6 ,解得d ＝4 ,应选B. 法二：在公差为d 的等差数列{a n }中 ,a m ＝a n ＋(m －n )d (m ,n ∈N *)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 7－2a 4＝a 1＋6d －2a 1＋3d ＝6a 3＝a 1＋2d ＝2解得⎩⎨⎧a 1＝－6d ＝4.3．等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,假设S 3 ,S 9 ,S 6成等差数列 ,那么q 3等于( ) A ．－12B ．1C ．－12或1D ．－1或124．数列{a n } ,{b n }满足a 1＝b 1＝3 ,a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3 ,n ∈N *.假设数列{c n }满足c n ＝ba n ,那么c 2 016＝( ) A ．92 015B ．272 015C ．92 016D ．272 016【答案】D 【解析】由条件知{a n }是首||项为3 ,公差为3的等差数列．数列{b n }是首||项为3 ,公比为3的等比数列 ,∴a n ＝3n ,b n ＝3n.又c n ＝ba n ＝33n,∴c 2 016＝33×2 016＝272 016,应选D.5．设S n ,T n 分别是等差数列{a n } ,{b n }的前n 项和 ,假设S n T n ＝n 2n ＋1(n ∈N *) ,那么a 5b 6＝( )A.513 B ．919 C.1123D.923【答案】D 【解析】根据等差数列的前n 项和公式及S n T n ＝n2n ＋1(n ∈N *) ,可设S n ＝kn 2,T n ＝kn (2n ＋1) ,又当n ≥2时 ,a n ＝S n －S n －1＝k (2n －1) ,b n ＝T n －T n －1＝k (4n －1) ,所以a 5b 6＝923,应选D.6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2＝10 ,S 5＝55 ,那么过点P (n ,a n )和Q (n ＋2 ,a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因为S 2＝2a 1＋d ＝10 ,S 5＝52(a 1＋a 5)＝5(a 1＋2d )＝55 ,所以d ＝4 ,所以k PQ ＝a n ＋2－a n n ＋2－n ＝2d2＝d ＝4 ,应选A.7．数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *) ,且a 2＋a 4＋a 6＝9 ,那么log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.158．如图4­1所示的数阵中 ,每行、每列的三个数均成等差数列 ,如果数阵中所有数之和等于63 ,那么a 52＝( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 41a 42a 43a 51a 52a 53a61a 62a63图4­1A ．2B ．8C ．7D ．4【答案】C 【解析】第|一行三数成等差数列 ,由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42 ,同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52 ,第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62 ,又每列也成等差数列 ,所以对于第二列 ,有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52 ,所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63 ,所以a 52＝7 ,应选C. 9．设数列{a n }满足：a 1＝1 ,a 2＝3 ,且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1 ,那么a 20的值是( ) A.215 B ．225C.235D.245【答案】D 【解析】由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ,又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5 ,所以数列{na n }为首||项为1 ,公差为5的等差数列 ,那么20a 20＝1＋19×5 ,解得a 20＝245,应选D. 10．数列{a n }的前n 项和为S n ,假设S n ＝2a n －4(n ∈N *) ,那么a n ＝( )A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －211．数列{a n }满足a 1＝1 ,且当n ≥2时 ,a n ＝n －1na n －1 ,那么a 5＝( ) A.15 B ．16 C ．5D ．6【答案】A 【解析】因为a 1＝1 ,且当n ≥2时 ,a n ＝n －1n a n －1 ,那么a n a n －1＝n －1n ,所以a 5＝a 5a 4·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ,即a 5＝45×34×23×12×1＝15.应选A.12.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为( )A.n ＋12n ＋2 B.34－n ＋12n ＋2C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2 【答案】C 【解析】∵1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 , ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.13．在等差数列{a n }中 ,a 1＝－2 012 ,其前n 项和为S n ,假设S 2 0122 012－S 1010＝2 002 ,那么S 2 014的值等于( )A ．2 011B ．－2 012C ．2 014D ．－2 013【答案】C 【解析】等差数列中 , S n ＝na 1＋n n －12d ,S n n ＝a 1＋(n －1)d2 ,即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首||项为a 1＝－2 012 ,公差为d 2的等差数列．因为S 2 0122 012－S 1010＝2 002 ,所以(2 012－10)d 2＝2 002 ,d2＝1 ,所以S 2 014＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]＝2 014 ,选C.14．数列{a n}满足a1＝1 ,且对任意的m ,n∈N*都有a m＋n＝a m＋a n＋mn ,那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a2 014等于( )A.4 0282 015B．4 0242 013C.4 0182 012D.2 0102 01115．函数y＝log a(x－1)＋3(a>0 ,a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n}的第二项与第三项 ,假设b n＝1a n a n＋1,数列{b n}的前n项和为T n ,那么T10等于( )A.911B.1011C.811D.1211【答案】B 【解析】y＝log a(x－1)＋3恒过定点(2,3) , 即a2＝2 ,a3＝3 ,又{a n}为等差数列 ,∴a n＝n ,∴b n＝1n n＋1,∴T10＝1－111＝1011,应选B.16．数列{a n}中 ,a1＝－60 ,a n＋1＝a n＋3 ,那么|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( ) A．445 B．765C．1 080 D．3 10517．设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝1 ,{S n ＋na n }为常数列 ,那么a n ＝( ) A.13n －1B ．2nn ＋1C.6n ＋1n ＋2D.5－2n 3【答案】B 【解析】由题意知 ,S n ＋na n ＝2 ,当n ≥2时 ,(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1 , 从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1 ,有a n ＝2n n ＋1 ,当n ＝1时上式成立 ,所以a n ＝2n n ＋1.应选B.18．中|国古代数学著作?算法统宗?中有这样一个问题： "三百七十八里关 ,初行健步不为难 ,次日脚痛减一半 ,六朝才得到其关 ,要见次日行里数 ,请公仔细算相还．〞其意思为：有一个人走378里路 ,第|一天健步行走 ,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半 ,走了6天后到达目的地 ,请问第二天走了( ) A ．192里 B ．96里 C ．48里D ．24里【答案】B 【解析】由题意 ,知每天所走路程形成以a 1为首||项 ,公比为12的等比数列 ,那么a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378 ,解得a 1＝192 ,那么a 2＝96 ,即第二天走了96里．应选B. 19．数列{a n }满足a 1＝1 ,a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *) ,那么S 2 016＝__________. 【答案】3×21 008－3【解析】∵数列{a n }满足a 1＝1 ,a n ＋1·a n ＝2n① ,∴n ＝1时 ,a 2＝2 ,n ≥2时 ,a n ·a n －1＝2n －1② ,∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2 ,∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列 ,∴S 2 016＝1－21 0081－2＋2×1－21 0081－2＝3×21 008－3.20．设数列{a n }的前n 项和为S n ,假设S 2＝4 ,a n ＋1＝2S n ＋1 ,n ∈N *,那么a 1＝__________ ,S 5＝__________. 【答案】1 12121．在公差为d 的等差数列{a n }中 ,a 1＝10 ,且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ,a n ；(2)假设d ＜0 ,求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2,即d 2－3dd ＝－1或d ＝4. 所以a n ＝－n ＋11 ,n ∈N *或a n ＝4n ＋6 ,n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0 ,由(1)得d ＝－1 ,a n ＝－n ＋11 ,那么当n ≤11时 , |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时 ,|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－a 13－…－a 11＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 11＋a n )＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述 ,|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n n ≤11 12n 2－212n ＋110 n ≥12.22．设数列{a n }(n ＝1,2,3 ,…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1 ,且a 1 ,a 2＋1 ,a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ,求T n .23．数列{a n }是等比数列 ,其前n 项和是S n ,且S n ＝t ·3n －2t ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 1311＋S n (n ∈N *) ,求数列{a n b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时 ,a 1＝S 1＝t ·3－2t ＋1＝t ＋1. 当n ≥2时 ,a n ＝S n －S n －1＝t ·3n－t ·3n －1＝2t ·3n －1.∵数列{a n }是等比数列 ,∴a n a n －1＝2t ·3n －12t ·3n －2＝3(n ≥2) ,∴a 2a 1＝2t ·3t ＋1＝3 ,∴t ＝1 ,a 1＝2 , ∴a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知 ,S n ＝3n －1 ,∴1＋S n ＝3n,∴11＋S n ＝13n ,b n ＝log1311＋S n＝n , ∴a n b n ＝2n ×3n －1,T n ＝2＋4×3＋6×32＋…＋2n ×3n －1 ,①3T n ＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2n ×3n,② ①－②得 ,－2T n ＝2＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－2n ×3n＝2＋2×31－3n －11－3－2n ×3n,∴T n ＝12＋2n －13n2.24．等差数列{a n }中 ,a 2＝4 ,a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n －2＋n ,求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．25．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)(n ∈N *)． (1)求a n ；(2)假设b n ＝2n·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)＝a 2n ＋2a n －3 , ∴当n ≥2时 ,4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3 , 两式相减得 ,4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1 ,化简得 ,(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0 , ∵{a n }是正项数列 ,∴a n ＋a n －1≠0 ,∴a n －a n －1－2＝0 ,对任意n ≥2 ,n ∈N *都有a n －a n －1＝2 , 又由4S 1＝a 21＋2a 1－3得 ,a 21－2a 1－3＝0 , 解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去) ,∴{a n }是首||项为3 ,公差为2的等差数列 , ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)由及(1)知 ,b n ＝(2n ＋1)·2n ,T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ,①2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1,②②－①得 ,T n ＝－3×21－2(22＋23＋24＋ (2))＋(2n ＋1)·2n ＋1＝－6－2×41－2n －11－2＋(2n ＋1)·2n ＋1＝2＋(2n －1)·2n ＋1.26．假设数列{a n }的前n 项和为S n ,点(a n ,S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设c 1＝0 ,且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝log 12a n .求证：对任意正整数n ≥2 ,总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34.。

【2021年 (高|考 )考纲解读】 (高|考 )对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A 级||要求 ,了解数列、数列的项、通项公式、前n 项和等概念 ,一般不会单独考查； (2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列 ,要求都是C 级|| ,熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n 项求和公式、性质等知识 ,理解其推导过程 ,并且能够灵活应用． (4)通过适当的代数变形后 ,转化为等差数列或等比数列的问题． (5)求数列的通项公式及其前n 项和的根本的几种方法． (6)数列与函数、不等式的综合问题.试题类型可能是填空题 ,以考查单一性知识为主 ,同时在解答题中经常与不等式综合考查 ,构成压轴题． 【重点、难点剖析】1．等差、等比数列的通项公式等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝a m qn －m.2．等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列的前n 项和为S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d .特别地 ,当d ≠0时 ,S n 是关于n 的二次函数 ,且常数项为0 ,即可设S n ＝an 2＋bn (a ,b 为常数)． (2)等比数列的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1 a 11－qn1－q ＝a 1－a n q1－qq ≠1特别地 ,假设q ≠1 ,设a ＝a 11－q, 那么S n ＝a －aq n.3．等差数列、等比数列常用性质(1)假设序号m ＋n ＝p ＋q ,在等差数列中 ,那么有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的 ,假设序号m ＋n ＝2p ,那么a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中 ,那么有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的 ,假设序号m ＋n ＝2p ,那么a m ·a n ＝a 2p ；(2)在等差数列{a n }中 ,S k ,S 2k －S k ,S 3k －S 2k ,…成等差数列 ,其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和 ,且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中 ,当q ≠－1或k 不为偶数时S k ,S 2k －S k ,S 3k －S 2k ,…成等比数列 ,其中S n为前n 项的和(n ∈N *). 4．数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组 ,使之转化为n 个等差数列或等比数列 ,然后应用公式求和； (2)错位相减法：适用于{a n ·b n }的前n 项和 ,其中{a n }是等差数列 ,{b n }是等比数列；(3)裂项法：求{a n }的前n 项和时 ,假设能将a n 拆分为a n ＝b n －b n ＋1 ,那么a 1＋a 2＋…＋a n ＝b 1－b n ＋1； (4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时 ,假设有公因式可提 ,并且剩余的项的和容易求出 ,那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易无视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对S 1 ,S 2 ,S 3 ,…的计算进行归纳分析 ,寻求规律 ,猜想出S n ,然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于S n 不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和 ,然后再求S n .例如对于数列{a n }：a 1＝1 ,a 2＝3 ,a 3＝2 ,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,可证其满足a n ＋6＝a n ,在求和时 ,依次6项求和 ,再求S n . 5．数列的应用题(1)应用问题一般文字表达较长 ,反映的事物背景陌生 ,知识涉及面广 ,因此要解好应用题 ,首||先应当提高阅读理解能力 ,将普通语言转化为数学语言或数学符号 ,实际问题转化为数学问题 ,然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题 ,其中 ,等比数列涉及的范围比较广 ,如经济上涉及利润、本钱、效益的增减 ,解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n } ,利用该数列的通项公式、递推公式或前n 项和公式.【题型例如】题型1、等差、等比数列中根本量的计算【例1】(2021· (高|考 )全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．假设a 4＋a 5＝24 ,S 6＝48 ,那么{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8(a 4＋a 5)－(a 4＋a 3)＝8 , ∴d ＝4 ,应选C.【2021江苏 ,9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,3676344S S ==,,那么8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时 ,显然不符合题意；当1q ≠时 ,3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ,解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ,那么7812324a =⨯=. 【变式探究】【2021年 (高|考 )北京文数】{}n a 为等差数列 ,n S 为其前n 项和 ,假设16a = ,350a a += ,那么6=S _______.. 【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列 ,∴35420a a a +== ,40a = ,4136a a d -==- ,2d =- ,∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-= ,故填：6．【举一反三】 (2021·江苏 ,11)设数列{a n }满足a 1＝1 ,且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *) ,那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【变式探究】(1)(2021·全国大纲卷)等比数列{a n }中 ,a 4＝2 ,a 5＝5 ,那么数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2021·北京)假设等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0 ,a 7＋a 10<0 ,那么当n ＝________时 ,{a n }的前n 项和最||大．【命题意图】(1)此题主要考查等比数列的性质、对数的运算．(2)此题主要考查等差数列的性质 ,意在考查考生灵活应用等差数列的性质解决问题的能力． 【答案】(1)C(2)8【解析】(1)lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4 ,应选C. (2)∵数列{a n }是等差数列 ,且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0 ,∴a 8a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0 ,∴a 9<0 ,∴当n ＝8时 ,其前n 项和最||大．【变式探究】设数列{a n }是公差不为0的等差数列 ,S n 为其前n 项的和 ,满足：a 22＋a 23＝a 24＋a 25 ,S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项的和S n ；(2)设数列{b n }满足b n ＝2a n ,其前n 项的和为T n ,当n 为何值时 ,有T n ＞512.【规律方法】求等差、等比数列通项与前n 项和 ,除直接代入公式外 ,就是用根本量法 ,要注意对通项公式与前n 项和公式的选择．【变式探究】 数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝3 ,{}1＋S n 是公比为2的等比数列． (1)证明：{a n }是等比数列 ,并求其通项；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ,其前n 项和为T n ,当n 为何值时 ,有T n ≤2 012? 【解析】(1)证明 由题意 ,得1＋S n 1＋S n －1＝2(n ≥2) ,即1＋S n ＝4(1＋S n －1) ,同理 ,得1＋S n ＋1＝4(1＋S n )． 两式相减 ,得S n ＋1－S n ＝4(S n －S n －1) , 即a n ＋1＝4a n ,a n ＋1a n＝4(n ≥2)． 又a 1＝3 ,所以{a n }是首||项为3 ,公比为4的等比数列 ,所以a n ＝3·4n －1＝3·22n －2.(2)解 由(1)得a n ＝3·22n －2,所以b n ＝log 2(3·22n －2)＝log 23＋2(n －1) ,所以{b n }是首||项为log 23 ,公差为2的等差数列 ,前n 项和为T n ＝n log 23＋n (n －1) ,于是由n 2＜n log 23＋n (n －1)≤2 012 ,得n ＜ 2 012 ,又n ∈N *,所以1≤n ≤44 ,即n ＝1,2,3 ,… ,44时 ,T n ≤2 012.题型2、与等差、等比数列有关的最||值问题【例2】【2021 (高|考 )新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1 +a 3 =10,a 2 +a 4 =5,那么a 1a 2 …a n 的最||大值为． 【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠ ,由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ,解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯= ,于是当3n =或4n =时 ,12n a a a 取得最||大值6264=.【举一反三】(2021·四川 ,16)设数列{a n }(n ＝1 ,2 ,3 ,…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1 ,且a 1 ,a 2＋1 ,a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ,求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最||小值．(2)由(1)得1a n ＝12n ,所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000 ,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000 ,即2n＞1 000 ,因为29＝512＜1 000＜1 024＝210, 所以n ≥10 ,于是 ,使|T n －1|＜11 000成立的n 的最||小值为10.【规律方法】上述两种求A n 最||值的方法都是运用函数思想．法一是直接研究子数列{a 2n }．法二是研究A n ＝19(19n ＋2－2n ＋1)的单调性求其最||值． 【变式探究】等差数列{a n }的首||项a 1≠0 ,公差d ≠0 ,由{a n }的局部项组成的数列ab 1 ,ab 2 ,… ,ab n ,…为等比数列 ,其中b 1＝1 ,b 2＝2 ,b 3＝6. (1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)假设数列{b n }的前n 项和为S n ,求S n 的值； (3)求A n ＝S n －2 012n9的最||小值．＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －13＋2n .(3)由S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4n－13＋2n ,得A n ＝S n －2 012n 9＝19(4n －2 006n －1) ,假设存在n ∈N *,使得A n ≤A n ＋1 ,且A n ≤A n －1 ,那么A n 的值最||小． 于是由⎩⎪⎨⎪⎧194n－2 006n －1≤19[4n ＋1－2 006n ＋1－1]194n－2 006n －1≤19[4n －1－2 006n －1－1]解得2 0063≤4n ≤4×2 0063(n ∈N *) ,取n ＝5 ,(A n )min ＝2 9839.题型三、数列求和问题【例3】【2021山东 ,文19】 (本小题总分值12分 ){a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】 (Ⅰ )2n n a =. (Ⅱ )2552n nn T +=-. 令nn nb c a =, 那么212n nn c += , 因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++, 又234113572121222222n nn n n T +-+=+++++, 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 【举一反三】【2021山东 ,文19】 (本小题总分值12分 ){a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】 (Ⅰ )2n n a =. (Ⅱ )2552n nn T +=-. 令nn nb c a =, 那么212n nn c +=,因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++, 又234113572121222222n nn n n T +-+=+++++, 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++-⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 【变式探究】【2021北京 ,文15】等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1 =b 1 =1, a 2 +a 4 =10,b 2b 4 =a 5． (Ⅰ )求{}n a 的通项公式； (Ⅱ )求和：13521n b b b b -++++．【答案】 (Ⅰ )21n a n =- ； (Ⅱ )312n -.【变式探究】【2021 (高|考 )江苏卷】 (本小题总分值16分 )记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ,假设T =∅,定义0T S =;假设{}12,,k T t t t =…， ,定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时 ,1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列 ,且当{}=2,4T 时 ,=30T S .(1 )求数列{}n a 的通项公式；(2 )对任意正整数()1100k k ≤≤ ,假设{}1,2,k T ⊆…，,求证：1T k S a +<； (3 )设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.【答案】 (1 )13n n a -= (2 )详见解析 (3 )详见解析 (3 )下面分三种情况证明. ①假设D 是C 的子集 ,那么2C C DC D D D D S S S S S S S +=+≥+=. ②假设C 是D 的子集 ,那么22C CDC C CD S S S S S S +=+=≥.③假设D 不是C 的子集 ,且C 不是D 的子集. 令UE CD = ,UF DC =那么E ≠∅ ,F ≠∅ ,E F =∅.于是C E CD S S S =+ ,D F CD S S S =+ ,进而由C D S S ≥ ,得E F S S ≥.设k 是E 中的最||大数 ,l 为F 中的最||大数 ,那么1,1,k l k l ≥≥≠.由 (2 )知 ,1E k S a +< ,于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<= ,所以1l k -< ,即l k ≤. 又k l ≠ ,故1l k ≤- , 从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤ ,故21E F S S ≥+ ,所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+ ,即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得 ,2C C DD S S S +≥.【举一反三】 数列{a n }满足a 1＝1 ,a 2＝－1 ,当n ≥3 ,n ∈N *时 ,a n n －1－a n －1n －2＝3n －1n －2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *,使得n ≥k 时 ,不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4对任意实数λ∈[0,1]恒成立 ?假设存在 ,求出k 的最||小值；假设不存在 ,请说明理由． 解得 ,n ≤1或n ≥5.∴满足条件的k 存在 ,k 的最||小值为5.【规律方法】数列通项公式的复原方法比较多样 ,可以构造特殊数列 ,也可以立足于运算、归纳 ,最||后补充证明．【变式探究】设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1 ,2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23 ,n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ,有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.。

核心考点解读——数列考纲解读里的I，II的含义如下：I：对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.II：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)1．（2017高考新课标I，理4）记错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和．若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的公差为A．1 B．2C．4 D．82．（2017高考新课标Ⅲ，理9）等差数列错误！未找到引用源。

的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则错误！未找到引用源。

前6项的和为A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．3 D．83．（2017高考新课标II，理15）等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

____________．4．(2016高考新课标I，理3)已知等差数列错误！未找到引用源。

前9项的和为27，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A．100 B．99 C．98 D．975．(2016高考新课标II，理17)错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前n项和，且错误！未找到引用源。

记错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

表示不超过x的最大整数，如错误！未找到引用源。

.（Ⅰ）求错误！未找到引用源。

；（Ⅱ）求数列错误！未找到引用源。

的前1000项和.6．(2016高考新课标III，理17)已知数列错误！未找到引用源。

的前n项和错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

．（I）证明错误！未找到引用源。

是等比数列，并求其通项公式；（II）若错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

2018年高考考试说明（新课标全国卷）——数学（理）Ⅰ．考试性质和目标一、考试性质普通高等学校招生全国统一考试，是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，对考生德、智、体全面衡量，择优录取，因此，新课程高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的灵活度．二、考试目标根据教育部考试中心《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准试验版）》（以下简称《大纲》），结合海南省基础教育的实际情况，制定了《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科·课程标准实验版）（供海南省使用）》（以下简称《说明》）的数学科部分。

制定《说明》既要有利于数学新课程的改革，又要发挥数学作为基础学科的作用；既要重视考查考生对中学数学知识的掌握程度，又要注意考查考生进入高等学校继续学习的潜能；既要符合《普通高中数学课程标准（实验）》和《普通高中课程方案（实验）》的要求，符合教育部考试中心《大纲》的要求，符合《海南省2018年普通高校招生考试改革指导方案》和海南省普通高中课程改革实验的实际情况，又要利用高考命题的导向功能，推动新课程的课堂教学改革。

（一）考核目标一、知识目标知识是指《标准》所规定的必修课程、选修系列2和选修系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能.对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次．（1）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它.这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.（2）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等.（3）掌握：要求能够对所列的知识内容能够推导证明，利用所学知识对问题能够进行分析、研究、讨论，并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.各部分知识的整体要求与定位参照《标准》相应模块的有关说明，依照《大纲》制定.2、能力目标能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.（1）空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.（2）抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.（3）推理论证能力：根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力．推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.（4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.（5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.（6）应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.（7）创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.（二）命题基本原则数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构．对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活．因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有。

2018高考数学考试大纲第一篇：2018高考数学考试大纲Ⅰ.考核目标与要求一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明.对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它.这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等.2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等.3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等.二、能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换;对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志.2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性;概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论.抽象概括能力是对具体的、生动的实例,经过分析提炼,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.3.推理论证能力：推理是思维的基本形式之一,它由前提和结论两部分组成;论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理,也包括合情推理;论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行证明.中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.4.运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.5.数据处理能力：会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并做出判断.数据处理能力主要是指针对研究对象的特殊性，选择合理的收集数据的方法，根据问题的具体情况，选择合适的统计方法整理数据，并构建模型对数据进行分析、推断,获得结论.6.应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题;能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,构造数学模型,并加以解决.7.创新意识：能发现问题、提出问题,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法,选择有效的方法和手段分析信息,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”,是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高,显示出的创新意识也就越强.三、个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野,认识数学的科学价值和人文价值,崇尚数学的理性精神,形成审慎的思维习惯,体会数学的美学意义.要求考生克服紧张情绪,以平和的心态参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的科学态度解答试题,树立战胜困难的信心,体现锲而不舍的精神.四、考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系,包括各部分知识的纵向联系和横向联系,要善于从本质上抓住这些联系,进而通过分类、梳理、综合,构建数学试卷的框架结构.1.对数学基础知识的考查,既要全面又要突出重点.对于支撑学科知识体系的重点内容,要占有较大的比例,构成数学试卷的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性,不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题,在知识网络的交汇点处设计试题,使对数学基础知识的考查达到必要的深度.2.对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查,考查时必须要与数学知识相结合,通过对数学知识的考查,反映考生对数学思想方法的掌握程度.3.对数学能力的考查,强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用统一的数学观点组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力,从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.对能力的考查要全面,强调综合性、应用性,并要切合考生实际.对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷,是考查的重点,强调其科学性、严谨性、抽象性;对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上;对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查,考查以代数运算为主;对数据处理能力的考查主要是考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力.4.对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活,背景公平,控制难度”的原则,试题设计要切合中学数学教学的实际和考生的年龄特点,并结合实践经验,使数学应用问题的难度符合考生的水平.5.对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境,构造有一定深度和广度的数学问题时,要注重问题的多样化,体现思维的发散性;精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题;也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题.数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查,展现数学的科学价值和人文价值,同时兼顾试题的基础性、综合性和应用性,重视试题间的层次性,合理调控综合程度,坚持多角度、多层次的考查,努力实现全面考查综合数学素养的要求.第二篇：2018年高考数学考试大纲解读2018年高考数学考试大纲解读按校长室要求，本组在3月13号下午对2018年高考数学考试大纲做了分析与讨论，并由袁海峰做主讲。

专题09 数列（十二）数列1．数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.2．等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念.（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.与2017年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“两小或一大”的格局呈现.如果是以“两小”（选择题或填空题）的形式呈现，一般是一道较容易的题，一道中等难度的题，较易的题主要以等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质与求和公式为主来考查；中等难度的题主要以数列的递推关系、结合数列的通项、性质以及其他相关知识为主来考查.如果是以“一大”（解答题）的形式呈现，主要考查从数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项，前n项和，有时与参数的求解，数列不等式的证明等加以综合.试题难度中等.考向一等差数列及其前n项和样题1 若等差数列{}n a 满足递推关系1n n a a n +=-+，则5a =A ．92B ．94C ．114D ．134 【答案】B样题2 已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a ⋅=，416S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=⋅. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数m ，n （m n ≠），使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >．由2315a a =，416S =，得()()1112154616a d a d a d +⎧+=+=⎪⎨⎪⎩， 解得112a d ==⎧⎨⎩或172a d ==-⎧⎨⎩（舍去）．所以21n a n =-．（2）①因为11b a =，111n n n n b b a a ++-=⋅，所以111b a ==， ()()1111111212122121n n n n b b a a n n n n ++⎛⎫-===- ⎪-+-+⎝⎭，即2111123b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，32111235b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，…，111122321n n b b n n -⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭（2n ≥）， 累加得1111122121n n b b n n -⎛⎫-=-= ⎪--⎝⎭， 所以111321212121n n n n b b n n n ---=+=+=---， 11b =也符合上式， 故3221n n b n -=-，*n ∈N ．考向二 等比数列及其前n 项和样题3中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了A ．96里B ．48里C ．192 里D ．24里【答案】A样题4已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，125n n n S S a +=++.（1）证明：{}5n a +是等比数列；（2）若5128n S n +>，求n 的最小值.【解析】（1）因为125n n n S S a +=++，所以125n n a a +=+， 所以15210255n n n n a a a a +++==++，而156a +=， 所以{}5n a +是以6为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得156232n n n a -+=⨯=⨯，325n n a =⨯-，∴()23322225n n S n =⨯++++-=()21235626512nn n n ⨯-⨯-=⨯---，由5626128n n S n +=⨯->，得6723n >， 因为5467223>>，所以5128n S n +>时，n 的最小值为5. 考向三 数列的综合应用样题5等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n +D ．(1)2n n - 【答案】A样题6 已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2{}n b 的前n 项和n S ． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2215a a a =，即()2114d d +=+， 解得2d =或0d =（舍去），所以21n a n =-.（2）由21n a n =-，可得()()()()()1141111121212121n n n n n n n n a a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭， 当n 为偶数时，111111112113355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当n 为奇数时，1n -为偶数，于是 1111111122113355721212121n n S n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 样题7 （2017山东文科）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且121236,a a a a a +==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）{}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和S n ，已知211n n n S b b ++=，求数列{}n nb a 的前n 项和n T ．。

18年高考数学前言：数学是高中阶段学生必修的科目之一，也是高考中最重要的科目之一。

高考数学涵盖了各个知识点和考题类型，考查学生的基础知识理解和解题能力。

本文将为大家详细介绍18年高考数学，包括考试内容、考点分析和备考建议等。

一、考试内容概述：18年高考数学，主要考查的内容分为三个模块：理数、文数和理综。

其中，理数占总分的65%，文数占总分的15%，理综占总分的20%。

在理数模块中涵盖了数与代数、函数与二次函数、三角函数与指数对数、平面向量、解析几何、概率与统计等知识点。

在文数模块中，则主要考察的是解题技巧和阅读素材的理解能力。

理综模块则结合了理化、物理等知识点，考察学生的分析和综合能力。

二、考点分析：1. 数与代数：主要考查整式、方程与不等式、数列与数学归纳法等基础知识。

例如，通过解方程的应用题，考察学生对方程的理解和运用能力。

2. 函数与二次函数：重点考查函数的性质、图像与应用问题等。

例如，要求学生绘制函数的图像并根据图像回答问题。

3. 三角函数与指数对数：考察学生对三角函数的基本概念、性质和应用的理解。

例如，要求计算三角函数的值或应用三角函数求解实际问题。

4. 平面向量：主要考查平面向量的性质和应用，以及向量的运算和共线、垂直等关系。

例如，给出几个向量，要求判断它们的共线性或垂直性。

5. 解析几何：考察学生对平面几何的基本概念、性质和应用的理解。

例如，给出一道解析几何题，让学生求解几何问题。

6. 概率与统计：重点考查概率和统计的基本概念、计算方法和应用。

例如，通过概率与统计题目，考察学生对概率和统计的理解和计算能力。

三、备考建议：1. 了解考试要求：详细了解18年高考数学考试的内容、题型和难易程度，合理调整备考重点。

2. 理论知识复习：熟悉数学的各个知识点和概念，掌握基本的运算方法和解题技巧。

3. 练习题型：通过做大量的真题和模拟题，熟悉各种题型的出题规律和解题思路，提高解题速度和准确率。

4. 针对薄弱环节进行强化训练：针对自己的薄弱知识点，找到相关的练习题集进行针对性的强化训练，加深对知识点的理解。

1．已知等比数列{a n }的公比为－12，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6的值是( )A ．－2B ．－12C.12D ．2【答案】A 【解析】由题意可知a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5－12a 1＋a 3＋a 5＝－2.2．已知数列{a n }是等差数列，且a 7－2a 4＝6，a 3＝2，则公差d ＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．8D ．16【答案】B 【解析】法一：由题意得a 3＝2，a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝6，解得d ＝4，故选B. 法二：在公差为d 的等差数列{a n }中，a m ＝a n ＋(m －n )d (m ，n ∈N *)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 7－2a 4＝a 1＋6d －a 1＋3d ＝6，a 3＝a 1＋2d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6，d ＝4.3．已知等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3等于( ) A ．－12B ．1C ．－12或1D ．－1或124．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *.若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 016＝( ) A ．92 015B ．272 015C ．92 016D ．272 016【答案】D 【解析】由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列．数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n ，b n ＝3n .又c n ＝ba n ＝33n ，∴c 2 016＝33×2 016＝272 016，故选D.5．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若S n T n ＝n2n ＋1(n ∈N *)，则a 5b 6＝( )A.513 B ．919 C.1123D.923【答案】D 【解析】根据等差数列的前n 项和公式及S n T n ＝n2n ＋1(n ∈N *)，可设S n ＝kn 2，T n ＝kn (2n ＋1)，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝k (2n －1)，b n ＝T n －T n －1＝k (4n －1)，所以a 5b 6＝923，故选D.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝52(a 1＋a 5)＝5(a 1＋2d )＝55，所以d ＝4，所以k PQ ＝a n ＋2－a n n ＋2－n ＝2d2＝d ＝4，故选A.7．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.158．如图4­1所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 41 a 42 a 43a 51 a 52 a 53a61a 62 a 63图4­1A ．2B ．8C ．7D ．4【答案】C 【解析】第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C. 9．设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( ) A.215 B ．225C.235D.245【答案】D 【解析】由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }为首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －211．数列{a n }满足a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝n －1na n －1，则a 5＝( ) A.15 B ．16 C ．5D ．6【答案】A 【解析】因为a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝n －1n a n －1，则a n a n －1＝n －1n ，所以a 5＝a 5a 4·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1·a 1，即a 5＝45×34×23×12×1＝15.故选A.12.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋2－1的值为( )A.n ＋1n ＋ B.34－n ＋1n ＋C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2【答案】C 【解析】∵1n ＋2－1＝1n 2＋2n ＝1n n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.13．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 2 0122 012－S 1010＝2 002，则S 2 014的值等于( )A ．2 011B ．－2 012C ．2 014D ．－2 013【答案】C 【解析】等差数列中， S n ＝na 1＋n n －2d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d2，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1＝－2 012，公差为d 2的等差数列．因为S 2 0122 012－S 1010＝2 002，所以(2 012－10)d 2＝2 002，d2＝1，所以S 2 014＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1] ＝2 014，选C.14．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 014等于( )A.4 0282 015 B ．4 0242 013 C.4 0182 012D.2 0102 01115．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0，a ≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于( )A.911B.1011C.811 D.1211【答案】B 【解析】y ＝log a (x －1)＋3恒过定点(2,3)， 即a 2＝2，a 3＝3，又{a n }为等差数列， ∴a n ＝n ，∴b n ＝1nn ＋，∴T 10＝1－111＝1011，故选B.16．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1 080D ．3 10517．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1B ．2nn ＋C.6n ＋n ＋D.5－2n 3【答案】B 【解析】由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， 从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，有a n ＝2n n ＋，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2nn ＋.故选B.18．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．192里 B ．96里 C ．48里D ．24里【答案】B 【解析】由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.19．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝__________. 【答案】3×21 008－3【解析】∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n①，∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1②，∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2 016＝1－21 0081－2＋－21 0081－2＝3×21 008－3.20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝__________，S 5＝__________. 【答案】1 12121．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4. 所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则当n ≤11时， |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－a 13－…－a 11＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 11＋a n )＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.22．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .23．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和是S n ，且S n ＝t ·3n－2t ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 1311＋S n (n ∈N *)，求数列{a n b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝t ·3－2t ＋1＝t ＋1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝t ·3n－t ·3n －1＝2t ·3n －1.∵数列{a n }是等比数列，∴a n a n －1＝2t ·3n －12t ·3n －2＝3(n ≥2)，∴a 2a 1＝2t ·3t ＋1＝3，∴t ＝1，a 1＝2， ∴a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，S n ＝3n －1，∴1＋S n ＝3n，∴11＋S n ＝13n ，b n ＝log1311＋S n＝n ， ∴a n b n ＝2n ×3n －1，T n ＝2＋4×3＋6×32＋…＋2n ×3n －1，①3T n ＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2n ×3n，② ①－②得，－2T n ＝2＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－2n ×3n＝2＋2×－3n －11－3－2n ×3n，∴T n ＝12＋n －n2.24．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．25．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足：4S n＝(a n－1)(a n＋3)(n∈N*)．(1)求a n；(2)若b n＝2n·a n，求数列{b n}的前n项和T n.解：(1)∵4S n＝(a n－1)(a n＋3)＝a2n＋2a n－3，∴当n≥2时，4S n－1＝a2n－1＋2a n－1－3，两式相减得，4a n＝a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1，化简得，(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0，∵{a n}是正项数列，∴a n＋a n－1≠0，∴a n－a n－1－2＝0，对任意n≥2，n∈N*都有a n－a n－1＝2，又由4S1＝a21＋2a1－3得，a21－2a1－3＝0，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)，∴{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，∴a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(2)由已知及(1)知，b n＝(2n＋1)·2n，T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，②②－①得，T n ＝－3×21－2(22＋23＋24＋ (2))＋(2n ＋1)·2n ＋1＝－6－2×－2n －11－2＋(2n ＋1)·2n ＋1＝2＋(2n －1)·2n ＋1.26．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝log 12a n .求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34.11。