2022高三统考数学文北师大版一轮：第八章第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

直线倾斜角与斜率，直线方程(教案)A一、知识梳理：（阅读必修2第82-99页内容）1．倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。

规定：当直线与l 轴平行或重合时，它的倾斜角为错误！未找到引用源。

2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。

注：直线的倾斜角与斜率的关系可以利用正切函数的图象帮助解决；3、过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

4、直线的方向向量：错误！未找到引用源。

=（1，k ），k 是直线的斜率；5、直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

确定直线方直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

二、题型探究[探究一] 直线的倾斜角与斜率例1：．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+ 【解】：∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。

例2：（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是（ ）①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【解析】解：两平行线间的距离为211|13|=+-=d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o30，1l 的倾斜角为o 45，所以直线m 的倾斜角等于00754530=+o 或00153045=-o 。

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程授课提示：对应学生用书第150页[基础梳理］1．直线的倾斜角(1）定义:(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π）．2条件公式直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tan__θ直线过点A(x1，y1），B（x2，y2) 且x1≠x2k＝y1－y2 x1－x23.条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在4。

直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）y－y1＝k(x－x1）不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1,y1），(x2，y2)错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)不含直线x＝x1（x1＝x2)和直线y＝y1（y1＝y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!＋错误!＝1(a≠0，b≠0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0）平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1,y1),(x2，y2）,线段P1,P2的中点M的坐标为（x，y)，则错误!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点(1）倾斜角α的范围是［0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图像为：(2）当倾斜角为90˚时,直线垂直于x轴，斜率不存在．2．直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0。

[四基自测]1．（基础点：根据两点求斜率）过点M（－2，m)，N(m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为(）A．1B．4C．1或3 D.1或4答案:A2．（基础点:直线的倾斜角与斜率的关系）直线x＋错误!y＋1＝0的倾斜角是()A.错误!B．错误!C。

授课主题直线的倾斜角、斜率与直线的方程教学目标1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系． 4．掌握两点间的距离公式．教学内容1． 平面直角坐标系中的基本公式(1)两点间的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2． 直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)倾斜角的范围：[0°，180°)． 3． 直线的斜率(1)定义：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．若直线的倾斜角为θ (θ≠π2)，则k ＝tan_θ.4． 直线方程的形式及适用条件名称 几何条件 方程 局限性 点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为ky －y 0＝k (x －x 0)不含垂直于x 轴的直线斜截式斜率为k ，纵截距为by ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1≠x 2，y 1≠y 2) y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (x 2≠x 1，y 2≠y 1) 不包括垂直于坐标轴的直线 截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0)x a ＋y b ＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0平面直角坐标系内的直线都适用题型一 直线的倾斜角与斜率例1、直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．方法点拨：数形结合，由斜率公式求得k P A ，k PB . 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1．求直线倾斜角或斜率的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)． 2．先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直线的斜率．见典例．【冲关针对训练】已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．答案 －23≤m ≤12解析 如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k P A ＝－2，k l ＝－1m ，∴－1m ≤－2或－1m ≥32，解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.题型二 直线方程的求法又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4. 此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)设所求直线l 的方程为y －1＝k (x －2)． 则可得A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)，∴截距之和为2k －1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋2 2. 此时－2k ＝－1k ⇒k ＝－22.故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0. 方法技巧与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．2．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 【冲关针对训练】已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解 (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B (0,1－k )， 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.1.(2017·大庆模拟)两直线x m －y n ＝a 与x n －ym＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )答案 B解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.2．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( ) A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2答案 D解析 ∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.3．(2018·江西南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°答案 A解析 由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，2为半径的圆的一部分，如图所示． 由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB＝12×|2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A.4．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．答案 5解析 易知A (0,0)，B (1,3)，且P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时取“＝”)．一、选择题1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 D解析 直线斜率为－33，即tan α＝－33，0≤α<π，∴α＝5π6，故选D. 2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( )A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°答案 B解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3 C.2π3 D.3π4答案 DA ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C. 9．(2017·烟台期末)直线mx ＋n2y －1＝0在y 轴上的截距是－1，且它的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝－2B ．m ＝3，n ＝2C ．m ＝3，n ＝－2D ．m ＝－3，n ＝2答案 A解析 根据题意，设直线mx ＋n2y －1＝0为直线l ，另一直线的方程为3x －y －33＝0， 变形可得y ＝3(x －3)，其斜率k ＝3，则其倾斜角为60°，而直线l 的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的倾斜角为120°，且斜率k ＝tan120°＝－3，又由l 在y 轴上的截距是－1， 则其方程为y ＝－3x －1；又由其一般式方程为mx ＋n2y －1＝0，分析可得m ＝－3，n ＝－2.故选A.10．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3答案 C解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值．而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2. 故m 2＋n 2的最小值为4.故选C. 二、填空题11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－73，－13解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－13. 12．(2018·石家庄期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．答案 x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ，直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，把A (－3,4)代入，得－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为x 9＋y3＝1，整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为x －4＋y16＝1，整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 14．在下列叙述中：1112 ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.方法与技巧1． 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2． 求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．3． 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法． 失误与防范1． 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2． 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3． 利用一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0求它的方向向量为(－B ，A )不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的．1． 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D 解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.13。

第八章平面解析几何[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源 [五年考情][重点关注]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．3．从命题思路上看：(1)直线方程与其他知识相结合．(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．[导学心语]1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的．4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问题、X 围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行时，它的倾斜角为0°.②倾斜角的X 围为0°≤α<180°. (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式 名称 方程适用X 围点斜式y －y 0＝k (x －x 0)不含直线x ＝x 0斜截式y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2) 截距式 x a ＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°B [直线的斜率为k ＝tan α＝3， 又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]3．(2014·某某高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0D [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.]4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________.【导学号：66482370】1或－2 [令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.]5．(2017·某某模拟)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程为________．3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0 [当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －y a＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.]直线的倾斜角和斜率(1)直线x －y cos θ＋1＝0(θ∈R )的倾斜角α的取值X 围是________．(2)(2017·某某模拟)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值X 围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13[(1)当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ＝0，直线为x ＋1＝0，其倾斜角为π2.当θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线l 的斜率为tan α＝1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l 的倾斜角的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上，α的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.(2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－－3＝－5，k PB ＝0－23－－3＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.][规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的X 围是[0，π)，斜率的取值X 围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值X 围．2．第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的X 围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.[变式训练1] (1)(2017·某某质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值X 围是(－3,3)，则其斜率k 的取值X 围是( )【导学号：66482371】A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值X 围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k.令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.]求直线的方程(1)过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程为________．(2)若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．(1)4x ＋3y －13＝0 [设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.](2)法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2). 2分 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 5分若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a＝1， 因为直线l 过点M (3,2)，所以3a ＋2a＝1，8分所以a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 12分法二：易知M (3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3). 2分令y ＝0，得x ＝3－2k；令x ＝0，得y ＝2－3k . 5分所以3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23. 8分所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. 12分[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．[变式训练2] 求过点A (－1，－3)且倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍的直线方程．[解] 由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，2分 则所求直线的倾斜角为2α. 5分 ∵tan α＝3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 8分 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 12分直线方程的综合应用已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． [解] (1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，3分 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 5分 (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，7分所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4.10分当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，上式等号成立．所以当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 12分[规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA |＋|OB |与|MA |2＋|MB |2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．[变式训练3] 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2，2分∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)．易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ，5分 则S四边形OBAC＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，10分∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小. 12分[思想与方法]1．求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．[易错与防X]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的X 围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时，易忽视判定B 是否为0.当B ＝0时，k 不存A B .在；当B≠0时，k＝－。

⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。

平面解析几何[2017高考导航]知识点直线的方程两直线的位置关系考纲下载知识点圆的方程直线、圆的位置关系考纲下载了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知知识点双曲线道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知抛物线道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）•圆锥曲线的理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应简单应用用.第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源1.直线的倾斜角⑴定义：兀轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与兀轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__________⑵倾斜角的范围为[0,兀）2.直线的斜率（1）定义：_条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan S倾斜角是90°的直线没有斜率.（2）过两点的直线的斜率公式经过两点刃），P2（X2,力）（兀1工兀2）的直线的斜率公式为X2— Xj Xj—X23.直线方程1・辨明四个易误点(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.(2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围.(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式.(4)由一般式Ax+Bj+C=O确定斜率k时易忽视判断B是4 否为0,当B=0时，疋不存在；当BH0时，k=-~.2.求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围, 必要时要分类讨论.(2)待定系数法，具体步骤为：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组);③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程.双基自测F3则直线1-已知直线Z经过点卩（一2, 5），且斜率为-iZ的方程为(A )A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3j-14=0D.4x-3j+14=03解析：y—5=—才(兀+2),艮卩3x+ 4y—14= 0.3 Tl2,经过两点A(4, 2j+l), B(2, —3)的直线的倾斜角为,则 y=( B)A. -1 D. 2解析：tan 苧=业呈严=字=卄2,因此y+2=一1，J=—3-B. -3C. 03.（2016•烟台模拟）如果AC<0, BC<0,那么直线Ax+By + C=0不通过（C ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由题意知直线的斜率氐=_容<0,直线在y轴上的截c距^=-->0,故选C.15[0° , 45° ]U[135° , 180° )例JI (1)直线 2xcos a —y — 3= 0( a G斜角的变化范围是(B )esi兀 A.— L6■兀C.—— L4兀3 -兀~2 ■ "JT-6 ' 3 ._兀兀_L4， 3」 ~ JI ■ 2 n3(2)过原点引直线木使/与连接4(1, 1)和B(l, —1)两点间 的线段相交，则直线/斜率的范围为m ，倾斜角的范围为名师导悟以例说法考点一直线的倾斜角与斜率Be[解析]⑴直线2xcos a —j —3=0的斜率k=2cos Q •由于 "JI JI2 V3]•设直线的倾斜角为伏则有tan ^e[l ，V3].由于〃丘[0,⑵如图所示，直线/的斜率k^[-l 9 1]. 倾斜角 «e[0° , 45° ]U[135° ,180° ).,因此吃=2cos a G [1,,—,所以~^cosJI ),所以〃丘4’ 3,即倾斜角的变化范围trJT JIa(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤①求出斜率A:=tan a的取值范围.②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角。