23．3 相似三角形
23．3.1 相似三角形
1．知道相似三角形的概念．
2．能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角．
3．会根据概念判断两个三角形相似,能说出相似三角形的相似比,由相似比求出未知的边长．
4．掌握利用“平行于三角形一边的直线,和其它两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似．
重点
掌握相似三角形的定义、表示法,并能根据定义判断两个三角形是否相似．
难点
熟练找出对应元素,在此基础上根据定义求线段长或角的度数．
一、情境引入
复习:什么是相似图形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？
二、探究新知
教师展示多媒体,从复习引入,引导学生进行探究．
1．相似三角形的有关概念
由复习中引入,如果两个多边形的对应边成比例,对应角都相等,那么这两个多边形相似．
三角形是最简单的多边形．由此可以说什么样的两个三角形相似？
如果两个三角形的三条边都成比例,三个角对应相等,那么这两个三角形相似,如在△ABC 与△A′B′C′中,∠A ＝A′,∠B ＝B′,∠C ＝C′,AB A′B′＝BC B′C′＝AC A′C′
,那么△ABC 与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符号,读作“相似于”,这样两个三角形相似就读作“△ABC 相似于△A′B′C′”．
由于∠A ＝∠A′,∠B ＝∠B′,∠C＝∠C′,所以点A 与点A′是对应顶点,点B 与点B′是对应顶点,点C 与点C′是对应顶点,书写相似时,通常把对应顶点写在对应位置上,以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记AB A′B′＝BC B′C′＝AC A′C′
＝k,那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比,相似比就是它们的对应边的比,它有顺序关系．如
△ABC∽△A′B′C′,它的相似比为k,即指AB A′B′
＝k,那么△A′B′C′与△ABC 的相似比应是A′B′AB
,就不是k 了,应为多少呢？同学们想一想． 如果△ABC∽△A′B′C′,相似比k ＝1,你会发现什么呢？AB A′B′＝BC B′C′＝AC A′C′
＝1,所以可得AB ＝A′B′,BC ＝B′C′,AC ＝A′C′,因此这两个三角形不仅形状相同,而且大小也相同,这样的三角形称之为全等三角形,全等三角形是相似三角形的特例．试问:①全等
的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？
教师利用多媒体展示问题,引导学生探究问题,学生归纳总结,教师点评．
2．在△ABC 中,点D 是AB 上任意一点,过点D 作DE∥BC ,交AC 边于点E,那么△ADE与△ABC 是否相似？
教师引导分析:
判断它们是否相似,由①对应角是否相等,②对应边是否成比例去考虑．能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①,而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线
段成比例的基本事实,推得AE AC ＝DE BC ,通过度量发现DE BC ＝AD AB
,所以可以判断出△ADE 与△ABC 相似．
思考 (1)你能否通过演绎推理证明你的猜想？
(2)若是DE∥BC ,DE 与BA,CA 的延长线交于点E,D,那么△ADE 与△ABC 还会相似吗？试试看,如果相似写出它们对应边的比例式．
学生归纳总结:
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．
教师再展示例题,可由学生自主完成,点名上台展示,教师点评．
例1 如图,在△ABC 中,点D 是边AB 的三等分点,DE∥BC ,DE ＝5,求BC 的长．
解:∵DE∥BC ,
∴△ADE ∽△ABC,
∴DE BC ＝AD AB ＝13
, ∴BC ＝3DE ＝15.
三、练习巩固
第1题可由学生自主完成,第2题教师适当点拨,小组讨论后完成,上台展示,教师点评．
1．如图,DE ∥BC.
(1)如果AD ＝2,DB ＝3,求DE∶BC 的值；
(2)如果AD ＝8,DB ＝12,AC ＝15,DE ＝7,求AE 和BC 的长．
2．如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,点E 是边AD 的中点,连接BE 交AC 于点F,BE 的延长线交CD 的延长线于点G.
(1)求证:GE GB ＝AE BC
； (2)若GE ＝2,BF ＝3,求线段EF 的长．
四、小结与作业
小结
你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？
布置作业
从教材相应练习和“习题23.3”中选取．
本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入三角形相似的概念,表示方法及判定方法,通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理,即平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似,并通过例题练习运用新知,深化理解．。
