无向图的连接链表并求每个顶点的度

邻接表普里姆算法时间复杂度邻接表普里姆算法是一种用于解决最小生成树问题的算法。

在该算法中，我们需要给定一个带权无向图，然后找出一个包含所有顶点且边权值之和最小的树。

它的时间复杂度是多少呢？让我们来探讨一下。

邻接表是一种常用的图的表示方法。

在邻接表中，每个顶点都对应一个链表，链表中存储了与该顶点相邻的顶点的信息。

而普里姆算法就是利用邻接表来实现的。

普里姆算法的基本思想是从一个顶点开始，逐步选择与当前树连接的具有最小权值的边的顶点，直到所有的顶点都被加入到树中。

具体步骤如下：1. 初始化一个空的树和一个空的边集合。

2. 随机选择一个顶点作为起始顶点，并将其加入到树中。

3. 将与起始顶点相邻的边加入到边集合中。

4. 从边集合中选择权值最小的边，并将其连接的顶点加入到树中。

5. 将该边从边集合中移除。

6. 重复步骤4和步骤5，直到所有的顶点都被加入到树中。

那么，这个算法的时间复杂度是多少呢？让我们来分析一下。

初始化树和边集合的时间复杂度是O(1)。

然后，在每一次选择最小权值边的过程中，我们需要遍历整个边集合，找到权值最小的边。

对于一个包含V个顶点的图，边集合中最多有V-1条边，因为最小生成树是一个包含V-1条边的树。

所以，遍历边集合的时间复杂度是O(V-1)。

接下来，将连接的顶点加入到树中的操作需要遍历邻接表中的链表，找到与当前顶点相邻的顶点。

对于一个包含V个顶点的图，邻接表中最多有V个链表，每个链表中最多有V-1个顶点。

所以，遍历邻接表的时间复杂度是O(V^2)。

重复步骤4和步骤5，直到所有的顶点都被加入到树中。

由于每次选择最小权值边时，边集合中的边都会减少一条，所以重复的次数最多为V-1次。

因此，重复步骤4和步骤5的时间复杂度是O(V-1)。

邻接表普里姆算法的时间复杂度可以表示为：O(1) + O(V-1) + O(V^2) + O(V-1)其中，O(1)表示初始化的时间复杂度，O(V-1)表示选择最小权值边的时间复杂度，O(V^2)表示遍历邻接表的时间复杂度，O(V-1)表示重复步骤4和步骤5的时间复杂度。

无向图顶点的度数图论是计算机科学中的一个重要分支，它是一种用来进行可视化处理的数据结构。

在图论中，无向图是一种重要的抽象，它由节点和边组成，可以用来表示特定的系统或场景。

无向图中的每个节点都有一个属性叫顶点的度数，该度数表明该节点的接近程度。

顶点的度数定义为图中与该顶点相连的边的数量，即该顶点的出度和入度之和。

在无向图中，每个顶点的入度等于它的出度，因此顶点的度数可以用其出度来表示。

例如，如果一个节点有3条指向它的边，那么它的度数就是3。

顶点的度数是一个重要的概念，因为它可以用来表示在网络中的影响力，即一个顶点与自己连接的顶点越多，它的影响力越大。

因此，在网络分析中，顶点度数也被称为中心性，它可以用来评估网络结构中的节点在整体网络中的重要性。

除了顶点的度数，图论中还有其他概念，比如图的连通性，它表示一个图中任意两个顶点之间是否存在一条路径。

如果图中任意两个顶点之间都存在一条路径，那么该图就是连通的。

此外，图的路径长度也是一个重要的概念，它表示从一个顶点到另一个顶点的最短路径的距离。

无向图的应用非常广泛，它可以用来模拟和分析社会网络、社会组织、信息传播等复杂系统。

例如，借助无向图，可以研究社会网络中的影响力是如何流动的，以及个人是如何影响社会网络的。

此外，无向图还可以用来模拟和分析物理网络，例如电路、物流系统等，以识别其中的优势和不足，从而改进其设计。

总之，无向图是计算机科学中一个重要的抽象，它的应用广泛，可以用来模拟和分析各种复杂的系统。

在无向图中，每个节点都有一个重要的属性顶点的度数，它可以用来衡量节点在整个图中的影响力和重要性。

因此，顶点的度数是图论中一个重要的概念，也是实际应用中的一个经常被用到的概念。

数据结构笔试复习⼀选择题1．下述哪⼀条是顺序存储结构的优点？（）A．存储密度⼤ B．插⼊运算⽅便 C．删除运算⽅便 D．可⽅便地⽤于各种逻辑结构的存储表⽰2.数据结构在计算机内存中的表⽰是指( ）。

A. 数据的物理结构B. 数据结构C. 数据的逻辑结构D. 数据元素之间的关系3．下⾯关于线性表的叙述中，错误的是哪⼀个？（）A．线性表采⽤顺序存储，必须占⽤⼀⽚连续的存储单元。

B．线性表采⽤顺序存储，便于进⾏插⼊和删除操作。

C．线性表采⽤链接存储，不必占⽤⼀⽚连续的存储单元。

D．线性表采⽤链接存储，便于插⼊和删除操作。

4.若线性表最常⽤的操作是存取第i个元素及其前驱的值，则采⽤( ）存储⽅式节省时间。

A. 单链表B. 双向链表C. 循环链表D. 顺序表5．线性表是具有n 个（）的有限序列（n>0）。

A．表元素 B．字符 C．数据元素 D．数据项 E．信息项6．若某线性表最常⽤的操作是存取任⼀指定序号的元素和在最后进⾏插⼊和删除运算，则利⽤（）存储⽅式最节省时间。

A．顺序表 B．双链表 C．带头结点的双循环链表 D．单循环链表7．某线性表中最常⽤的操作是在最后⼀个元素之后插⼊⼀个元素和删除第⼀个元素，则采⽤（）存储⽅式最节省运算时间。

A．单链表 B．仅有头指针的单循环链表 C．双链表 D．仅有尾指针的单循环链表8．设⼀个链表最常⽤的操作是在末尾插⼊结点和删除尾结点，则选⽤( )最节省时间。

A. 单链表B.单循环链表C. 带尾指针的单循环链表D.带头结点的双循环链表9．若某表最常⽤的操作是在最后⼀个结点之后插⼊⼀个结点或删除最后⼀个结点。

则采⽤（）存储⽅式最节省运算时间。

A．单链表 B．双链表 C．单循环链表 D．带头结点的双循环链表10. 链表不具有的特点是（）A．插⼊、删除不需要移动元素 B．可随机访问任⼀元素C．不必事先估计存储空间 D．所需空间与线性长度成正⽐11、3个结点可构成_____棵不同形态的⼆叉树。

图的连通度问题研究1．图的连通度的定义图要么是连通的，要么是不连通的。

但对于任意连通图来说，它们的连通程度也可能是不同的。

为了精确地体现连通的程度，下面将引入两个概念：边连通度和顶点连通度。

设G = (V, E)是一个n阶图。

如果G是完全图K n，那么我们定义它的顶点连通度为κ(K n) = n– 1否则，定义它的顶点连通度为κ(G) = min{|U| : G v-u是非连通的}即最小顶点数，删除这些顶点便是非连通图。

图G的边连通度定义为从图G中删除边而使G非连通的最小边数，用λ(G)表示。

这里的图G=(V, E)代表无向图或有向图，且没有自环和重边。

下面将主要讨论无向图的边连通度，有向图的边连通度和顶点连通图可以以此类推。

2．无向图的边连通度在无向图G中，令顶点v的度数deg(v)表示与顶点v相连的边的数目。

无向图G的最小度δ(G)定义为：δ(G) = min{deg(v) | v属于G}。

考虑有向图G中，v 的入度表示为in-deg(v)，v的出度表示为out-deg(v)，相应的最小度为：δ(G) = min{in-deg(v), out-deg(v)| v属于G}。

在整篇文章中，图的点数用n表示，边数用m表示。

另u和v表示图G中的一对不相同的点。

定义λ(u, v)表示从图G中删除最少的边，使得u和v之间不存在任何路径。

在有向图G中，λ(u, v)表示从G中删除最少的弧(有向边)，使得不存在任何从u到v的有向路径。

注意到，在无向图中，有λ(u, v) =λ(v, u)，在有向图中却不符合这个等式。

显然，λ(u, v)就是图中u和v的最小割。

求两点之间的最小割，根据最大流最小割定理，可以用最大流算法求解：令u为网络的源点，v为网络的汇点，每条边的容量为1，u到v的最大流便是u和v之间的最小割。

预流推进算法可以在O(nm)时间复杂度下求出最大流。

另外，每条边的容量都为1，可以用Hoproft算法在)O的时间复杂度下求出单位容量网络的最大流。

专题十一：图论算法基础对于图论算法，NOIP初赛不要求会实现算法，但手工操作还是要会的，复赛是要求会代码实现的。

什么是图一个图是一个序偶<V, E>,记为G =<V, E> 。

V 为顶点集, E 为V 中结点之间的边的集合。

自环：一条边的两个端点是相同的。

重边：两个端点之间有两条以上的边，称他们是重边。

简单图：没有自环和重边的图。

无向边：边是双向的。

有向边：单向边，有箭头。

无向图：只有无向边的图。

有向图：只有有向边的图。

混合图：既有无向边又有有向边。

顶点的度：无向图中，一个顶点相连的边数称为该顶点的度；有向图中，从一个顶点出发的边数称为该顶点得出度；到达该顶点的边数称为它的入度。

图论基本定理：著名的握手定理。

无向图中结点度数的总和等于边数的两倍。

有向图中结点入度的和等于出度的和等于边数。

通路：给定图G中结点和边交替出现的一个序列：v0 e1 v1 e2 v2 …ek vk，若每条边ei的两端点是vi-1 和vi ，那么称该序列是从v0到vk的一条通路。

基本通路(路径)：没有重复出现的结点的通路。

图的连通性：若一张无向图的任意两个结点之间都存在通路，那么称该图是连通的。

连通分量：图中连通的顶点与边的集合。

权和网：在图的边给出相关的数，成为权。

权可以表示一个顶点到另一个顶点的距离，耗费等。

带权图一般成为网。

最短路径：对于一张不带权的无向图来说，从s到t的最短路径就是所有从s到t的通路中长度最短的那一条(可能不唯一)，通路上的边数称为路径的长度。

完全图：任何两个顶点之间都有边（弧）相连称为完全图。

稀疏图、稠密图：边（弧）很少的图称为稀疏图，反之为稠密图。

图的存储：邻接矩阵在邻接矩阵表示中，除了存放顶点本身信息外，还用一个矩阵表示各个顶点之间的关系。

若（i,j）∈E(G)或〈i,j〉∈E(G),则矩阵中第i行第j列元素值为1，否则为0 。

例如, 下面为两个无向图和有向图对应的邻接矩阵。

1. 首先将如下图所示的无向图给出英存储结构的邻接链表表示，然后写出对其分别进行深度，广度优先遍历的结果。

答•深度优先遍历序列：125967384宽度优先遍历序列：123456789注：（1）邻接表不唯一，这里顶点的邻接点按升序排列（2） 在邻接表确泄后，深度优先和宽度优先遍历序列唯一 （3） 这里的遍历，均从顶点1开始 2. 给出图G ：画岀G 的邻接表表示图:3. 在什么情况下，Prim 算法与Kruskual 算法生成不同的MST?答.在有相同权值边时生成不同的MST,在这种情况下，用Prim 或Kruska 1也会生成不 同的应用丿 画出G 的深度优先生成树和广度优先生成树。

(1).HST4・已知一个无向图如下图所示，要求分别用Prim和Kruskal算法生成最小树(假设以①为起点，试画出构适过程)。

答.Prim算法构造最小生成树的步骤如24题所示，为节省篇幅，这里仅用Kruskal算法, 构造最小生成树过程如下：(下图也可选(2, 4)代替(3, 4), (5, 6〉代替⑴5))5.G=(V,E)是一个带有权的连通图，则：(1). ifi回答什么是G的最小生成树：(2). G为下图所示,请找出G的所有最小生成树。

答.(1)最小生成树的左义见上而26题(2)最小生成树有两棵。

邙艮于篇幅，下而的生成树只给岀顶点集合和边集合，边以三元组(Vi,Vj,W)形式)，其中 W代表权值。

V (G) ={1, 2, 3, 4, 5} E1(G) = {(4, 5, 2), (2, 5, 4), (2, 3, 5), (1, 2,7) }：E2(G)={(4, 5, 2), (2, 4, 4), (2, 3, 5), (b 2、7) }6.请看下边的无向加权图。

(1).写出它的邻接矩阵。

(2).按Prim算法求其最小生成树, 并给出构造最小生成树过程中辅助数组的各分量值。

辅助数组各分量值：7.已知世界六大城市为：（Pe）、纽约（N）、巴黎（Pa）.伦敦（L）、东京仃）.墨西哥（M）, 下表给泄了这六大城市之间的交通里程：世界六大城市交通里程表（单位:百公里）（1） .画岀这六大城市的交通网络图；（2） .画出该图的邻接表表示法；（3） .画岀该图按权值递增的顺序来构造的最小（代价）生成树.8.已知顶点1-6和输入边与权值的序列（如右图所示）：每行三个数表示一条边的两个端点和貝权值，共11行。