专训1 求反比例函数解析式的六种方法

求反比例函数解析式的策略确定反比例函数的解析式是反比例函数这部分内容要考查的一个重要知识点﹒那么应该怎样确定反比例函数的解析式呢？因为反比例函数的解析式xk y =中，只有一个待定系数，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因而一般只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，代入xk y =中即可求出k 值，从而确定反比例函数的解析式﹒但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析﹒下面以例说明求反比例函数解析式的策略.一、 根据反比例函数的图象上点的坐标确定例1 （广西桂林）已知反比例函数x k y =的图象经过点（-1，2）那么反比例函数xk y =可确定为___. 解：∵反比例函数xk y =的图象经过点（-1，2）， ∴12-=k ，∴2-=k ﹒故填x y 2-=﹒ 二、 根据反比例函数的性质确定例2 （江苏苏州）已知（x 1,y 1），(x 2,y 2)为反比例函数xk y =图象上的点，当x 1＜x 2＜0时,y 1＜y 2,则k 的一个值可为 （只需写出符号条件的一个．．k 的值）﹒解：由反比例函数的性质，可知k ＜0﹒因此只要符合k ＜0即可，如k= －1，或k=－2三、 根据面积确定例3 如图，∆Rt ABO 的顶点A 是双曲线xk y =与直线)1(++-=k x y 在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，且23=∆ABO S ﹒ （1）求这两个函数的解析式； （2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和△AOC 的面积﹒解：（1）设点A 的坐标为（x ，y ），则 AB OB S ABO ⋅=∆21=y x ⋅21=xy 21 ∵点A 在双曲线xk y =上，∴k xy =﹒ ∴ABO S ∆=k 21=23﹒∴k =3，3±=k ﹒ 又∵双曲线在二、四象限，所以3-=k ﹒∴双曲线的函数解析式为xy 3-=，直线的函数解析式为2--=x y ﹒ （2）略﹒四、根据反比例函数与一次函数图象的交点确定O C BA y x例 4 （天津）已知一次函数m x y +=与反比例函数x m y 1+=（1-≠m ）的图象在第一象限内的交点为P （0x ，3）﹒（1）求0x 的值﹒（2）求一次函数和反比例函数的解析式﹒解：将P （0x ，3）代入m x y +=和xm y 1+=，得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.13,300x m m x 解得⎩⎨⎧==.2,10m x 所以一次函数的解析式为1+=x y ，反比例函数的解析式为xy 3=﹒ 五、 先确定已知函数是反比例函数，然后再求解析式﹒例5 （山东济南）某蓄电池的电压为定值，如图表示的是该蓄电池电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系图象﹒请你写出它的函数解析式是___.解：由物理学中电压U 、电流I 与电阻R 的关系可知U=IR ﹒又由已知条件知电压U 为定值，所以电流I 与电阻R 成反比例函数关系﹒将A （9，4）代入U=IR ，得U=36﹒ ∴R I 36=﹒。

反比例函数如何快速解题技巧(一)反比例函数如何快速解题引言反比例函数是高中数学中的一个重要概念，它是指两个量之间的关系呈现出一种倒数的关系。

在解题过程中，我们可以运用一些技巧来快速解题。

技巧一：求解比例常数对于反比例函数y = k/x （k为常数），我们可以通过已知的点的坐标来求解比例常数k。

假设已知的点为(x1, y1)和(x2, y2)，则可以将这两个点的坐标代入反比例函数中，得到两个等式：y1 = k/x1和 y2 = k/x2。

我们可以通过将这两个等式相除，得到x1/x2 = y2/y1，进而可以求解比例常数k。

技巧二：绘制反比例函数的图像绘制反比例函数的图像有助于我们更直观地理解和解题。

对于反比例函数y = k/x，我们可以画出一个含有坐标轴的直角坐标系，然后选取一些x的取值并代入函数中，求得对应的y值，然后将这些点连成光滑的曲线。

通过观察图像的形态，我们可以判断出函数的特点，进而进行解题。

技巧三：反比例函数的性质反比例函数有一些特殊的性质，我们在解题过程中可以充分利用这些性质来快速解决问题。

一些常见的性质包括：1.极限：当x趋近于无穷大或无穷小时，反比例函数的取值趋近于0。

2.单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的，当x增大时，函数值减小。

3.对称性：反比例函数关于原点对称，即f(x) = -f(-x)。

4.渐近线：反比例函数的图像有两条直线，即x轴和y轴的渐近线。

技巧四：利用反比例函数解实际问题反比例函数在解决实际问题时有着广泛的应用，如工程学、物理学等领域。

在解题过程中，我们需要将实际问题转化为反比例函数的形式，然后通过计算和推理得出最终答案。

例如，在物理学中，我们可以利用反比例函数来计算电阻和电流之间的关系。

结论通过使用以上的技巧，我们可以更快速地解题和理解反比例函数的特性。

反比例函数是高中数学中的一个重要内容，掌握这些技巧将有助于我们更好地应用于实际问题的解决。

希望读者能够在学习和应用中取得进步！。

求反比例函数解析式的六种方法名师点金：求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．利用反比例函数的定义求解析式1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数解析式．利用反比例函数的性质求解析式2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的解析式．利用反比例函数的图象求解析式3．【2017·广安】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6.(1)求函数y＝mx和y＝kx＋b的解析式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝m x的图象上一点P ，使得S △POC ＝9. (第3题)利用待定系数法求解析式4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，⎝⎛⎭⎫2，12，求y 与x 的函数解析式．利用图形的面积求解析式5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝k x上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求点B 所在双曲线对应的函数解析式．(第5题)利用实际问题中的数量关系求解析式6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．(1)求运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间的函数关系式．(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？答案1．解：由反比例函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10＝－1，m ＋3≠0，∴m ＝3. ∴此反比例函数的解析式为y ＝6x. 易错点拨：该题容易忽略m ＋3≠0这一条件，得出m ＝±3的错误结论．2．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －9＝－1，n ＋3＞0. 解得n ＝2(n ＝－4舍去)．∴此函数的解析式是y ＝5x.3.解：(1)把点A(4，2)的坐标代入反比例函数y ＝m x，可得m ＝8， ∴反比例函数解析式为y ＝8x. ∵OB ＝6，∴B(0，－6)．把点A(4，2)，B(0，－6)的坐标代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6， ∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C(3，0)，∴CO ＝3，设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a＝9， 解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6. 4．解：∵y 1与x 成正比例，∴设y 1＝k 1x(k 1≠0)．∵y 2与x 成反比例，∴设y 2＝k 2x(k 2≠0)． 由y ＝y 1＋y 2，得y ＝k 1x ＋k 2x. 又∵y ＝k 1x ＋k 2x的图象经过(1，2)和⎝⎛⎭⎫2，12两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 1＋k 2，12＝2k 1＋k 22.解此方程组得⎩⎨⎧k 1＝－13，k 2＝73.∴y 与x 的函数解析式是y ＝－13x ＋73x. 5．解：如图，延长BA 交y 轴于点E ，由题意可知S 矩形ADOE ＝1， S 矩形OCBE ＝k.∵S 矩形ABCD ＝6，∴k －1＝6.∴k ＝7.∴点B 所在双曲线对应的函数解析式是y ＝7x. (第5题)6．解：(1)由已知得vt ＝300.∴t 与v 之间的函数关系式为t ＝300v(v ＞0)． (2)运了一半物资后还剩300×⎝⎛⎭⎫1－12＝150(t )， 150÷2＝75(t /h )．因此剩下的物资要在2 h 之内运到江边，运输速度至少为75 t /h .。

求反比例函数解析式的类型与方法反比例函数是一次函数之后一个重要的曲线函数，求其解析式是该章的重要内容．本文介绍几种求反比例函数鹪析式的类型与方法．一、已知待定解析式是反比例函数，求此解析式例1 已知y ＝(m 2－4)x 23m m x --是反比例函数，求这个反比例函数．点拨 此函数解析式是待定系数与指数的解析式，因是反比例函数．可对照y ＝kx －1，用恒等式的意义建立方程，求出待定系数m ．解析∵y ＝(m 2－4)x 23m m x --是反比例函数，∴ 223140m m m ⎧--=-⎪⎨-≠⎪⎩由①，得m ＝2，m ＝－1，由②，得m ≠±2，∴m ＝－1．∴这个反比例函数是y ＝－3x． 注 反比例函数的定义式有三种形式：y ＝k x，xy ＝k ，y ＝kx －1．用y ＝kx －1类比，建立关于指数的方程，求出待定系数，是解决此类型解析式的方法．二、已知双曲线经过某几个点．求其解析式例2 如图1，在平面直角坐标系的第一象限中有一个5×5的方形网格，每个小正方形的边长皆为1个单位长，反比例函数y ＝k x的图象的一个分支刚好经过四个格点（小正方形的顶点），求k 的值．点拨 由图可知双曲线经过四个格点之间的关系；又因每个格点的坐标之积相等，因此，可用方程组求出格点的坐标．解析 设从左到右的格点坐标分别为(m ，n)，（m ＋1，n －3），（m ＋2，n －4），(m ＋5，n －5)．①②于是，得()()()()1355mn m n mn m n ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩解得16m n =⎧⎨=⎩∴k ＝mn ＝6．注 当已知双曲线所经过点的坐标时，可用xy ＝k 建立关于的坐标方程（组），先求出点的坐标，再求其解析式．三、已知图形的面积，求反比例函数的解析式此类型试题要充分利用反比例函数的比例系数k 的几何意义来建立数量关系，反比例系数k 的几何意义，如图2．过反比例函数图象上一点，向x 、y 轴作垂线，垂线段与坐标轴围成的矩形的面积等于k ；过反比例函数图象上一点，向x 或y 轴作垂线，连结这一点与原点所成的线段与垂线段、坐标轴围成的三角形的面积为12k ． 例3 如图3，A 是反比例函数y ＝k x图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点b ，点P 在x 轴上，△ABP 的面积为2，求这个反比例函数的解析式．点拨 过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，△ABP 与矩形ABOC 同底等高，注 已知与双曲线相关图形的面积时，可用反比例系数后的几何意义建立k 的方程，直接求出k．四、已知线段的数量关系，求反比例函数的解析式例4 如图4，向上平移x轴交反比例函数y＝kx（x<0）的图象予点A，交直线y＝x于点B，若AB2－AO2＝4，求k．点拨将AB2－AO2用勾股定理作变形，转化为与点A的坐标有关的线段的关系．解析AB2－AO2＝(AC＋BC)2－AO2＝AC2＋2AC．BC＋BC－AO2＝AC2＋CO2＋2AC．BC－AO2＝AO2＋2AC．BC－AO2＝2AC²BC＝2AC²OC＝4．∴k＝2．又∵k<0，∴k＝－2．注已知线段的关系时，应根据其关系的特点，将线段的关系转化为双曲线上点的坐标的关系，或与k的几何意义相关的线段关系，从而求k的值．五、已知直线与双曲线的关系，求反比例函数的解析式例5 如图5，将直线AB：y＝－32x－3沿x轴正方向平移6个单位后恰好与双曲线y＝kx（x>0）有唯一公共点，求k的值．点拨直线与双曲线有唯一公共点，可转化为方程组有唯一解，进而转化成一元二次方程有两个相等的解，用△＝0建立方程．解析直线ABy＝－32x－3沿x轴正方向平移6个单位后的解析式为y＝－32x＋6．由362y xkyx⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得3x2－12x＋2k＝0．∵直线与双曲线有唯一公共点，∴△＝144－24k＝0，∴k＝6.例6（2010武汉²中考）如图6，直线yb与y轴交于点A，与双曲线y＝kx在第一象限交于B、C两点，且AB．AC＝4，则k＝_______．点拨 CAO ＝60°，AB ²AC 转化为点B 、C 横坐标之积，由此联想一元二次方程根与系数的关系，可得点B 、C 横坐标之积．注 当已知直线与双曲线有唯一公共点时，可与一元二次方程的判别式建立联系；当已知直线被双曲线、坐标轴截得的线段之积时，可运用一元二次方程根与系数的关系．所以，借助数形结合思想，直线与双曲线的问题，可转化为一元二次方程问题，进而用一元二次方程的知识来解决．六、已知几何图形与双曲线的关系，求反比例函数的解析式例7 如图7，直线y ＝15x －1与x 轴、y 轴分别相交于点B 、A ，点M 为双曲线y ＝k x(x>0)上一点，若△AMB 是以AB 为底的等腰直角三角形，求k 的值． 点拨 利用等腰直角三角形的性质构造与点M 坐标相关的线段的全等三角形，利用相等线段列方程．解析 过点M 作MC ⊥y 轴于点C ，MD ⊥x 轴于点D ，则∠ACM ＝∠BDM ＝90°.∵△AMB 为等腰直角三角形，∴AM ＝BM ，∠AMC ＋∠AMD＝∠BMD ＋∠AMD ＝90°，∴∠AMC ＝∠BMD∴△AMC ≌△BMD ，∴MC ＝MD ，AC ＝BD ．又∵四边形OCMD 为矩形，∴MC ＝MD ＝OD ＝OC ．设M （a ，a ），由直线y ＝15x －1，可得 OA ＝1，OB ＝5，∴a ＋1=5－a ，解得a＝2．∴M（2，2），∴k＝4．根据几何图形的性质寻找等量关系，建立关于点的坐标的方程，是解决此类问题的关键．求反比例函数的解析式，其类型多，方法灵活，同学们要在学习中多加总结归纳，提高分析问题、解决问题的能力．。

反比例函数解题技巧
反比例函数是一种特殊的函数形式，也是解题中常见的一种形式。

掌握好反比例函数的解题技巧，可以帮助我们更加高效地解题。

1. 确定函数表达式
首先，我们需要确定反比例函数的函数表达式。

反比例函数通常具有以下形式：
y = k / x
其中，k 是一个常数，x 和 y 分别表示函数的自变量和因变量。

2. 确定变量之间的关系
反比例函数中，自变量 x 和因变量 y 是互相影响的。

我们通常通过分析题目中给定的条件来确定它们之间的关系。

例如，如果题目中给定了 x 和 y 的比例关系，那么反比例函数就可以表示为：
y = k / x = (k / a) * (a / x)
其中，k / a 表示比例系数，a / x 表示比例关系。

3. 利用已知条件求解未知数
通过确定函数表达式和变量之间的关系，我们就可以利用已知条件求解未知数。

例如，如果已知函数关系式为 y = 2 / x，同时知道x = 4，则可以通过代入求解得到 y = 0.5。

另外，如果已知两个点的坐标，我们也可以通过反比例函数求解其中的未知数。

例如，如果已知反比例函数 y = 3 / x，同时知道其中两个点的坐标为 (2, 1) 和 (x, 2)，则可以通过代入求解得到 x =
6。

以上就是反比例函数解题的基本技巧，希望对大家有所帮助。

解码专训一：求反比例函数表达式的六种方法名师点金：确定反比例函数的表达式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值时，可以根据反比例函数的定义及其性质列方程、不等式求解，也可以根据图象中点的坐标求解，也可以直接根据数量关系列表达式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．利用反比例函数的定义求表达式1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求m的值．利用反比例函数的性质求表达式2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，求其函数表达式．利用反比例函数的图象求表达式3．如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象都经过点A(m，2)．求点A的坐标及反比例函数的表达式．(第3题)利用待定系数法求表达式4．已知函数y＝y1－y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x＝－1时，y＝－5；当x＝1时，y＝1.(1)求y与x之间的函数表达式；(2)求当x＝2时，y的值．利用图形的面积求表达式5．如图，点A 是反比例函数y ＝kx 图象上的一点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B.若Rt △AOB 的面积为3，求该反比例函数的表达式．(第5题)利用实际问题中的数量关系求表达式6．某运输队要运300 t 物资到江边防洪．(1)运输时间t(单位：h )与运输速度v(单位：t /h )之间有怎样的函数关系？ (2)运了一半时，接防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h 之内运到江边，则运输速度至少为多少？解码专训二：用反比例函数系数k 的几何意义解与面积相关问题名师点金：反比例函数的比例系数k 具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数k 的几何意义求解．反比例函数的比例系数k 与面积的关系1．如图，点P 在反比例函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，横坐标为3，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为M ，N ，则矩形OMPN 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(第1题)(第2题)2．如图，P 是反比例函数y ＝kx 的图象上一点，过P 点分别向x 轴，y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为( )A ．y ＝－6xB ．y ＝6x C ．y ＝－3x D ．y ＝3x3．如图，A ，C 是函数y ＝1x 的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1和S 2的大小关系不能确定(第3题)(第4题)4．(中考·黔东南州)如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．(中考·孝感)如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(第5题)(第6题)6．如图，P(x ，y)是反比例函数y ＝3x 的图象在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴于点P ，PB ⊥y 轴于点B ，随着自变量x 的增大，矩形OAPB 的面积( )A ．不变B ．增大C ．减小D ．无法确定已知面积求反比例函数表达式7．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数y ＝kx 与函数y ＝－x －(k ＋1)的图象在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，AD ⊥y 轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3.(1)求两函数的表达式；(2)求两函数图象的交点A ，C 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一动点，且S △APC ＝5，求点P 的坐标．(第7题)已知反比例函数表达式求图形的面积8．如图，反比例函数y ＝－8x 与一次函数y ＝－x ＋2的图象相交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的坐标； (2)求△AOB 的面积．(第8题)利用点的坐标及面积公式求面积9．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x (x ＜0)的图象相交于点A ，点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－2，4)，点B 的横坐标为－4.(1)试确定反比例函数的表达式； (2)求△AOC 的面积．(第9题)利用对称性解决反比例函数图象中的面积问题10．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线表达式分别为y ＝－6x ，y ＝6x ，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每平方米25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？(第10题)解码专训三：巧用一元二次方程根的判别式解有关反比例函数图象的公共点问题名师点金：解反比例函数与一次函数的图象的公共点问题，可转化为一元二次方程根的情况 ，用判别式来辅助计算．若有两个公共点，则判别式大于0；若有一个公共点，则判别式等于0；若没有公共点，则判别式小于0.无公共点(b 2－4ac ＜0)(第1题)1．(中考·淄博)关于x 的反比例函数y ＝a ＋4x 的图象如图，A ，P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB 中，PB ∥y 轴，AB ∥x 轴，PB 与AB 相交于点B.若△PAB 的面积大于12，则关于x 的方程(a －1)x 2－x ＋14＝0的根的情况是________________．2．若反比例函数y ＝kx 的图象经过点P(a ，b)，且a ，b 为一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两根，那么点P 的坐标是________，到原点的距离为________．3．若反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝x ＋2的图象没有公共点，则k 的取值范围是________．有唯一公共点(b 2－4ac ＝0)4．如图，将直线y ＝x 沿x 轴负方向平移4个单位长度后，恰好与双曲线y ＝m x (x ＜0)有唯一公共点A ，并交双曲线y ＝nx (x ＞0)于B 点，若y 轴平分△AOB 的面积，求n 的值．(第4题)有两个公共点(b 2－4ac ＞0)5．如图，已知一次函数y ＝－x ＋8和反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A ，B.(1)求实数k 的取值范围；(2)若△AOB 的面积为24，求k 的值．(第5题)有公共点(b 2－4ac ≥0)6．如图，过点C(1，2)分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于点A ，B ，若反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象与△ABC 有公共点，求k 的取值范围．(第6题)解码专训四：反比例函数与几何图形的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图象用含未知数的代数式表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组)，解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数表达式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．(中考·宁波)如图，点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，AO ＝CD ＝2，AB ＝DA ＝5，反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象过CD 的中点E.(1)求证：△AOB ≌△DCA ； (2)求k 的值；(3)△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，试判断点G 是否在反比例函数的图象上，并说明理由．(第1题)反比例函数与四边形的综合类型1.反比例函数与平行四边形的综合2．如图，过反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象上一点A 作x 轴的平行线，交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点B ，过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点D ，交x 轴于点C ，连结AD 交y 轴于点E ，若OC ＝3，求OE 的长．(第2题)类型2.反比例函数与矩形的综合3．如图，直线y ＝－12x ＋2交x 轴于B 点，交y 轴于A 点，四边形ABCD 为矩形，点D 在x 轴上，双曲线y ＝kx (k ＜0)经过点C ，求k 的值．(第3题)类型3.反比例函数与正方形的综合4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数y ＝kx (x ＞0，k ≠0)的图象经过线段BC 的中点D.(1)求k 的值；(2)若点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D 重合)，过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的表达式，并写出x 的取值范围．(第4题)解码专训五：反比例函数与一次函数的综合应用名师点金：一次函数与反比例函数是两种重要的函数，也是中考的热点，主要涉及两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数图象的交点情况、交点坐标等问题及用待定系数法求函数表达式并建立合适的函数模型解决实际问题等．反比例函数图象与一次函数图象的位置判断1．如图，如果函数y ＝k(x －10)和函数y ＝kx (其中k 是不等于0的常数)的图象在同一平面直角坐标系中，则其图象可能为( )(第1题)A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④2．若ab ＜0，则函数y ＝bx 与y ＝ax 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )反比例函数与一次函数的综合应用类型1.涉及两交点间距离问题3．如图，将直线y ＝－x 沿x 轴正方向平移5个单位长度后与y ＝kx (k ＞0)的图象交于A ，B 两点，且AB ＝32，求k 的值．(第3题)4．已知反比例函数y ＝kx (k ≠0)和一次函数y ＝mx ＋n(m ≠0)的图象的一个交点A 的坐标为(－3，4)，且一次函数的图象与x 轴的交点到原点的距离为5，求这两个函数的表达式．类型2.涉及交点个数问题5．一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝kx (k ≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M ，连结OA.(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．(第5题)解码专训六：思想方法荟方程思想名师点金： 方程思想，就是从问题情境的数量关系入手，运用数学语言将题目中的条件转化为方程(或方程组)，然后通过解方程或方程组使问题获解．反比例函数中的方程思想主要体现在运用方程组求函数图象的交点坐标及待定系数法的运用．1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x ＋12m 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限内交于点A ，与x 轴交于点C ，AB ⊥x 轴，垂足为B ，且S △AOB ＝1.(1)求m 的值； (2)求△ABC 的面积．(第1题)分类讨论思想名师点金：当所研究的问题的情况不唯一时，往往需要按照数学对象的相同点和不同点分类讨论，注意要按一定的标准分类．正确的分类必须是周全的，做到不重不漏．2．已知反比例函数y ＝k2x和一次函数y ＝2x －1的图象如图，其中一次函数的图象经过点(a ，b)，(a ＋1，b ＋k)．(1)求k 的值．(2)已知点A 在第一象限，且同时在上述函数的图象上，求点A 的坐标． (3)利用第(2)题的结果，问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P 都求出来；若不存在，请说明理由．(第2题)数形结合思想名师点金：函数图象和函数表达式是相关联的．看式想图象，看图象想式，会为解题带来事半功倍的效果．需要注意的是，在由形求数时，要根据“形”的位置准确确定“数”的符号．3．(中考·鞍山)如图，已知一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝mx (m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D.若OA ＝OB ＝OD ＝1.(1)求点A ，B ，D 的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的表达式．(第3题)建模思想名师点金：建模思想是解决各种实际问题的一种方法，它从量和形的方面去考查实际问题，要注意其中所隐含的自变量取值范围为正数这一条件．本章函数建模就是通过探索实际应用问题中的数量关系和变化规律，从中抽象出函数模型，并运用函数的知识解决实际问题的过程．4．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa )是气球体积V(m 3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)写出这个函数表达式；(2)当气球的体积为1.5 m 3时，气球内的气压是多少？(3)当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应不小于多少？(第4题)答案解码专训一1．解：由反比例函数的定义可知⎩⎨⎧m 2－10＝－1，m ＋3≠0，∴m ＝3. 易错点拨：该题容易忽略m ＋3≠0这一条件，出现m ＝±3的错误结论．2．解：由题意，得⎩⎨⎧n 2＋2n －9＝－1，n ＋3＞0.解得n ＝2.∴函数表达式是y ＝5x .3．解：∵一次函数y 1＝x ＋1的图象经过点A(m ，2)， ∴2＝m ＋1，∴m ＝1，∴A(1，2)． ∵反比例函数y 2＝kx 的图象经过点A(1，2)， ∴2＝k 1，∴k ＝2，即反比例函数的表达式为y 2＝2x .4．解：(1)由y 1与x 成反比例，可设y 1＝k 1x (k 1≠0)，由y 2与x 2成正比例，可设y 2＝k 2x 2(k 2≠0)．又∵y ＝y 1－y 2，∴y ＝k 1x －k 2x 2.∵当x ＝－1时，y ＝－5，当x ＝1时，y ＝1， ∴⎩⎨⎧－5＝－k 1－k 2，1＝k 1－k 2.解得⎩⎨⎧k 1＝3，k 2＝2. ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝3x －2x 2. (2)当x ＝2时，y ＝32－8＝－132.点拨：遇到这种组合型函数的问题时可以分而解之．要特别注意在设待定系数时，不能设成同一个字母k ，而要分别设为k 1，k 2.一般来说它们是不相等的．5．解：设A(a ，b)．∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴ab ＝k. 又S △AOB ＝3，∴S △AOB ＝12|AB|·|OB|＝12|ab|＝12|k|＝3，解得k ＝±6. 又∵该函数的图象在第二、四象限， ∴根据反比例函数的性质可得k ＝－6. ∴该反比例函数的表达式为y ＝－6x .点拨：若点P(a ，b)是反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上的任意一点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，则S 矩形OMPN ＝|k|.6．解：(1)由已知，得vt ＝300.∴t 与v 之间的函数表达式为t ＝300v (v ＞0)． (2)运了一半物资后还剩300×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝150(t )，故t 与v 之间的函数表达式变为t ＝150v (v ＞0)．将t ＝2代入t ＝150v ，得2＝150v .解得v ＝75.因此剩下的物资要在2 h 之内运到江边，运输速度至少为75 t /h .点拨：运用实际问题中的数量关系求反比例函数的表达式，必须是a ×b ＝c 型的数量关系．如：路程一定时，速度与时间的关系；总利润一定时，每件商品的利润与商品数量的关系等．解码专训二1．C 2.A 3.C 4.A 5．D 点拨：由题意，得 S △ODB ＝S △OAC ＝12×|－4|＝2. 因为OC ＝OD ，AC ＝BD ，所以S △AOC ＝S △ODA ＝S △ODB ＝S △OBC ＝2， 所以四边形ACBD 的面积为S △AOC ＋S △ODA ＋S △ODB ＋S △OBC ＝2×4＝8. 6．A7．解：(1)由图象知k ＜0，由结论及已知条件得|k|＝3， ∴k ＝－3.∴反比例函数的表达式为y ＝－3x ，一次函数的表达式为y ＝－x ＋2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，y ＝－x ＋2，解得⎩⎨⎧x 1＝－1，y 1＝3，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝－1.∴点A ，C 的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．(3)设点P 的坐标为(0，m)，直线y ＝－x ＋2与y 轴的交点坐标为M(0，2)． ∵S △APC ＝S △AMP ＋S △CMP ＝12|PM|(|x 1|＋|x 2|)＝5， ∴|PM|＝52，即|m －2|＝52，∴m ＝92或m ＝－12. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.点拨：依据图象及结论求k 的值是解本题的关键，只有求出k 的值，才能通过解方程组求A ，C 两点的坐标，然后才能解决第(3)问．8．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－8x ，y ＝－x ＋2，得⎩⎨⎧x 1＝4，y 1＝－2，⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝4，所以A ，B 两点的坐标分别为A(－2，4)，B(4，－2)．(2)设函数y ＝－x ＋2的图象与y 轴交于点D ，则点D 的坐标是(0，2)， 所以S △AOD ＝12×2×2＝2，S △BOD ＝12×2×4＝4. 所以S △AOB ＝2＋4＝6.9．解：(1)∵点A(－2，4)在反比例函数图象上， ∴k 2＝－8.∴反比例函数表达式为y ＝－8x . (2)易得B(－4，2)．∵点A(－2，4)，点B(－4，2)在直线y ＝k 1x ＋b 上， ∴⎩⎨⎧4＝－2k 1＋b ，2＝－4k 1＋b ，解得⎩⎨⎧k 1＝1，b ＝6.∴直线AB 的表达式为y ＝x ＋6，与x 轴的交点坐标为(－6，0)． ∴S △AOC ＝12×6×4＝12.10．解：由反比例函数的对称性可知，坐标系将矩形ABCD 分成四个全等的小矩形．因为点A 为y ＝6x 的图象上的任意一点，所以S 矩形AEOH ＝6(平方米)．所以S 矩形ABCD ＝4×6＝24(平方米)．所以总费用为25×24＝600(元)．答：所需钢条一共花600元钱．解码专训三 1．没有实数根 2．(－2，－2)；2 23．k ＜－1 点拨：∵反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝x ＋2的图象没有公共点，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ，y ＝x ＋2无解，即k x ＝x ＋2无解．整理得x 2＋2x －k ＝0， ∴b 2－4ac ＝4＋4k ＜0.解得k ＜－1.4．解：直线y ＝x 沿x 轴负方向平移4个单位长度后可得直线y ＝x ＋4，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，y ＝m x ，整理得：x 2＋4x －m ＝0. ∵b 2－4ac ＝0，∴42－4·(－m)＝0，即m ＝－4. ∴反比例函数y ＝m x 的表达式是y ＝－4x .将m ＝－4代入x 2＋4x －m ＝0，解得x 1＝x 2＝－2， ∴A 点坐标为(－2，2)．∵直线y ＝x 沿x 轴负方向平移4个单位长度后与函数y ＝nx 的图象交于B 点且y 轴平分△AOB 的面积，∴B 点坐标为(2，6)．∴6＝n2. ∴n ＝12.5．解：(1)∵一次函数与反比例函数的图象有两个公共点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋8，y ＝k x ，整理得x 2－8x ＋k ＝0. ∵b 2－4ac ＞0，∴82－4k ＞0，解得k ＜16.∵一次函数与反比例函数图象的公共点在第一象限， ∴k ＞0， ∴0＜k ＜16.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，令一次函数y ＝－x ＋8中x ＝0，解得y ＝8，故OC ＝8. ∴S △COB ＝12OC·x 2，S △COA ＝12OC·x 1. ∴S △AOB ＝S △COB －S △COA ＝12OC·(x 2－x 1)＝24. ∴24＝4(x 2－x 1)．∴(x 2－x 1)2＝36. ∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36.由(1)中x 2－8x ＋k ＝0得，x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝k ， ∴64－4k ＝36. ∴k ＝7.6．解：当点C(1，2)在反比例函数y ＝k x 的图象上时，k ＝2.由kx ＝－x ＋6，得x 2－6x ＋k ＝0，当(－6)2－4k ＝0，即k ＝9时，直线与双曲线有且只有一个公共点(3，3)，点(3，3)在线段AB 上 .因此反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象与△ABC 有公共点时，k 的取值范围是2≤k ≤9.解码专训四1．(1)证明：∵点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°. 在Rt △AOB 和Rt △DCA 中， ∵⎩⎨⎧AO ＝DC ，AB ＝DA ，∴Rt △AOB ≌Rt △DCA. (2)解：在Rt △ACD 中， ∵CD ＝2，DA ＝5， ∴AC ＝DA 2－CD 2＝1. ∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3. ∴D 点坐标为(3，2)． ∵点E 为CD 的中点， ∴点E 的坐标为(3，1)． ∴k ＝3×1＝3.(3)解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称， ∴△BFG ≌△DCA.∴FG ＝CA ＝1，BF ＝DC ＝2，∠BFG ＝∠DCA ＝90°. ∵OB ＝AC ＝1，∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3. ∴G 点坐标为(1，3)． ∵1×3＝3，∴点G(1，3)在函数y ＝3x 的图象上． 2．解：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，6a ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3，6a ，∴(a －3)·6a ＝－3. ∴a ＝2.∴A(2，3)，B(－1，3)． ∵C(－3，0)，∴直线BC 的表达式为y ＝32x ＋92. ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，32.∴直线AD 的表达式为y ＝38x ＋94. ∴OE ＝94.3．解：如图，过点C 作CE ⊥x 轴于E 点，则△AOB ≌△CED ，∴CE ＝OA ＝2.(第3题)设D(m ，0)，∵OB ＝4，由AD 2＋AB 2＝BD 2，得4＋m 2＋4＋16＝(4－m)2，解得m ＝－1. ∴OE ＝3.∴C 点坐标是(3，－2)． ∴k ＝－6.4．解：(1)∵正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，∴C(0，2)．∵D 是BC 的中点，∴D(1，2)．∵反比例函数y ＝k x (x ＞0，k ≠0)的图象经过点D ，∴k ＝2.(2)当P 在直线BC 的上方，即0＜x ＜1时，∵点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动，∴y ＝2x .∴S 四边形CQPR ＝CQ·PQ ＝x·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2＝2－2x ；当P 在直线BC 的下方，即x ＞1时，同理求出S 四边形CQPR ＝CQ·PQ ＝x·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2x ＝2x －2， 综上，S ＝⎩⎨⎧2x －2（x ＞1），2－2x （0＜x ＜1）.解码专训五1．C 2.B3．解：易知直线AB 的表达式为y ＝－x ＋5，作AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，AC ，BC 交于点C ，则BC ＝3，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴x 2－x 1＝3，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝k x整理得，x 2－5x ＋k ＝0，∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝k ，∴25－4k ＝9，∴k ＝4.4．解：∵函数y ＝k x 的图象经过点A(－3，4)，∴4＝k －3，∴k ＝－12. ∴反比例函数的表达式为y ＝－12x .又由题意知，一次函数y ＝mx ＋n 的图象与x 轴的交点为(5，0)或(－5，0)． 当直线y ＝mx ＋n 经过点(－3，4)和(5，0)时，有⎩⎨⎧4＝－3m ＋n ，0＝5m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴y ＝－12x ＋52.当直线y ＝mx ＋n 经过点(－3，4)和(－5，0)时，有⎩⎨⎧4＝－3m ＋n ，0＝－5m ＋n ，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝10.∴y ＝2x ＋10.∴一次函数的表达式为y ＝－12x ＋52或y ＝2x ＋10.技巧点拨：此题是一次函数和反比例函数相结合的小型综合题，要特别注意距离与坐标的关系，考虑问题要全面．5．解：(1)将B(4，1)的坐标代入y ＝k x ，得1＝k 4，∴k ＝4，∴y ＝4x ，将B(4，1)的坐标代入y ＝mx ＋5，得1＝4m ＋5，∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5.(2)在y ＝4x 中，令x ＝1，解得y ＝4，∴A(1，4)，∴S ＝12×1×4＝2.(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)，连结BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求．设直线BN 的表达式为y ＝k′x ＋b ，由⎩⎨⎧4k′＋b ＝1，－k′＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k′＝－35，b ＝175，∴y ＝－35x ＋175，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，175.解码专训六1．解：(1)由题意知|m|2＝1，即|m|＝2.∵点A 在第一象限，∴m ＝2.(2)当m ＝2时，反比例函数的表达式为y ＝2x ，一次函数的表达式为y ＝x ＋1，∴点C 的坐标为(－1，0)，∴OC ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x ＋1，得⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝2，⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝－1. ∵点A 在第一象限，∴点A 的坐标为(1，2)．∴OC ＝OB ＝1.∴S △ABC ＝2S △AOB ＝2.2．解：(1)由已知条件，得⎩⎨⎧b ＝2a －1，b ＋k ＝2（a ＋1）－1.解得k ＝2. (2)∵k ＝2，∴反比例函数的表达式为y ＝1x .联立两函数的表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝1x ，解得⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－12，y 2＝－2.∵点A 在第一象限，∴点A 的坐标为(1，1)．(3)过A 作AB ⊥x 轴于点B ，则OA 2＝AB 2＋OB 2，∴OA ＝12＋12＝2，且OA 与x 轴正半轴的夹角为45°.若OA 为腰，当OA ＝OP 时，得P 1(2，0)，P 2(－2，0)；当OA ＝AP 时，得P 3(2，0)；若OA 为底，得P 4(1，0)．综上所述，满足条件的点P 有四个，即P 1(2，0)，P 2(－2，0)，P 3(2，0)，P 4(1，0)．点拨：在解第(1)题时，利用联立两函数的表达式，可求出k 的值，但不能求出a ，b 的值．3．解：(1)∵OA ＝OB ＝OD ＝1，∴点A ，B ，D 的坐标分别为A(－1，0)，B(0，1)，D(1，0)．(2)∵点A ，B 在一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象上，∴⎩⎨⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1. ∴一次函数的表达式为y ＝x ＋1.∵点C 在一次函数y ＝x ＋1的图象上，且CD ⊥x 轴， ∴点C 的坐标为(1，2)．又∵点C 在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上，∴m ＝2.∴反比例函数的表达式为y ＝2x .4．解：(1)设所求函数表达式为p ＝k V .把点A(1.2，80)的坐标代入，得80＝k 1.2.解得k ＝96.∴这个函数表达式为p ＝96V (V ＞0)．(2)把V ＝1.5 m 3代入p ＝96V ，得p ＝961.5＝64(kPa )．∴当气球的体积为1.5 m 3时，气球内的气压是64 kPa .(3)当p ＝120 kPa 时，96V ＝120.解得V ＝0.8(m 3)．对于反比例函数p ＝96V， 当V ＞0时，p 随V 的增大而减小．∴当p ≤120 kPa 时，V ≥0.8 m 3.故为了安全起见，气球的体积应不小于0.8 m 3.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

反比例函数问题的求解方法摘要：反比例函数的相关问题不但题型特别且较为新颖，并且解决问题的方法众多。

本文对反比例函数相关问题的求解方法进行了归纳，希望为更多的业内人员提供有价值的借鉴与参考。

关键词：反比例函数；求解；方法前言：所有问题的解决都不止一种有效的方式，唯有依照这类思路或是方法进行解题，所有复杂的问题都会变得较为简单。

下列是作者充分结合自身多年的工作经验，对一个设点坐标的方法进行反比例函数问题的相关处理，旨在为相关人士提供参考。

1坐标元法举例：图1所示，在平面直角的坐标体系中，反比例函数的图像和边长为6的正方形OABC的AB、BC两个边分别交汇于M，N两个点上，△OMN的面积是10，如果动点P处于x轴中，则PM+PN的最小值为（）题型分析：依照图形存在的特点，预设点为M，点N的坐标，通过△OMN的面积能够明确为k值，此问题主要通过轴对称的性质，寻找最短的线段，并求解。

解题：例如图1所示，过点N就是ND⊥x轴，垂足就是D，和OM相交于G。

由于正方形OABC的边长为6，因此，点M的横坐标与点N的纵坐标都是6。

如果设点M（6，a），点N（b，6）。

因为，点M，N都处于反比例函数的图像中，所如图2所示，M关于x轴的对称点为Mˊ。

和NMˊ相交x轴与P，而NMˊ的长就是的最小值。

本题解题的重要点主要有：第一，通过性质，利用三角形的面积明确k；第二，通过轴对称，明确最小的距离，并准确确定图形。

2线段长度元法对此图展开分析：首先通过一次函数的解析式，明确A，B的坐标，进而明确线段AO，BO，的长度，从而明确∠BAO的大小，进而为之后的解题提供已知条件；之后将等腰三角形相等的腰当做等量传递的中心，分别对点D，C的坐标进行表示，最后在依照反比例函数的性质进行求解就可以了。

在对本题进行解题时应该重视下列关键点：第一，加强明确直线和坐标轴的交点坐标；第二，对坐标和线段长度之间的转换关系进行准确的处理；第三，科学有效的引入未知数也属于解题的重要技能；第四，需要对勾股定理以及30°角的性质进行熟练的利用。

专训1求反比例函数解析式的六种方法名师点金：求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．利用反比例函数的定义求解析式1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数解析式．利用反比例函数的性质求解析式2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的解析式．利用反比例函数的图象求解析式3．【2017·广安】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6.(1)求函数y＝mx和y＝kx＋b的解析式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝m x的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.(第3题)利用待定系数法求解析式4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，⎝⎛⎭⎫2，12，求y 与x 的函数解析式．利用图形的面积求解析式5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝k x上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求点B 所在双曲线对应的函数解析式．(第5题)6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．(1)求运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间的函数关系式．(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？答案1．解：由反比例函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10＝－1，m ＋3≠0，∴m ＝3.∴此反比例函数的解析式为y ＝6x . 易错点拨：该题容易忽略m ＋3≠0这一条件，得出m ＝±3的错误结论．2．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －9＝－1，n ＋3＞0.解得n ＝2(n ＝－4舍去)．∴此函数的解析式是y ＝5x .3.解：(1)把点A(4，2)的坐标代入反比例函数y ＝m x ，可得m ＝8，∴反比例函数解析式为y ＝8x .∵OB ＝6，∴B(0，－6)．把点A(4，2)，B(0，－6)的坐标代入一次函数y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6，∴一次函数解析式为y ＝2x －6.(2)在y ＝2x －6中，令y ＝0，则x ＝3，即C(3，0)，∴CO ＝3，设P ⎝⎛⎭⎫a ，8a ，则由S △POC ＝9，可得12×3×8a ＝9，解得a ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，6.4．解：∵y 1与x 成正比例，∴设y 1＝k 1x(k 1≠0)．∵y 2与x 成反比例，∴设y 2＝k2x (k 2≠0)．由y ＝y 1＋y 2，得y ＝k 1x ＋k2x .又∵y ＝k 1x ＋k2x 的图象经过(1，2)和⎝⎛⎭⎫2，12两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 1＋k 2，12＝2k 1＋k22.解此方程组得⎩⎨⎧k 1＝－13，k 2＝73.∴y 与x 的函数解析式是y ＝－13x ＋73x .5．解：如图，延长BA 交y 轴于点E ，由题意可知S 矩形ADOE ＝1， S 矩形OCBE ＝k.∵S 矩形AB CD ＝6，∴k －1＝6.∴k ＝7.∴点B 所在双曲线对应的函数解析式是y ＝7x .(第5题)6．解：(1)由已知得vt ＝300.∴t 与v 之间的函数关系式为t ＝300v (v ＞0)．(2)运了一半物资后还剩300×⎝⎛⎭⎫1－12＝150(t )，150÷2＝75(t /h )．因此剩下的物资要在2 h 之内运到江边，运输速度至少为75 t /h .。

掌握初中数学中的反比例函数解题技巧在初中数学中，反比例函数是一个重要的概念，它在解决各种实际问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍一些掌握初中数学中的反比例函数解题技巧。

一、理解反比例函数的定义反比例函数是指当一个变量的增加导致另一个变量的减少，并且这两个变量之间的比值是一个常数。

我们可以用下面的公式来表示反比例函数：y = k / x其中，y和x分别表示两个变量，k是一个常数。

二、解决简单的反比例函数问题对于简单的反比例函数问题，我们可以按照以下步骤进行解题：1. 确定变量和常数：分别找出给定问题中的两个变量，并确定它们之间的关系是反比例。

同时，找出常数k的值。

2. 建立函数关系：根据给定的变量和常数，建立函数关系。

将函数关系表示为y = k / x的形式。

3. 求解未知数：根据已知条件，求解未知数。

例如，当已知x的值时，可以通过代入公式求解出y的值。

4. 进行验证：在求解出未知数后，进行验证以确保答案的正确性。

可以通过代入已知条件，看得出结果是否符合反比例关系。

三、解决复杂的反比例函数问题对于复杂的反比例函数问题，我们需要更加系统地进行解题。

以下是一些常见的技巧和方法：1. 图表法：通过绘制变量之间的图表，可以更直观地观察到它们之间的反比例关系。

从图表中可以得出一些规律，有助于解决问题。

2. 方程法：当给定的问题无法通过图标直接得出结果时，可以建立一个方程来描述变量之间的关系。

通过解方程，可以求解未知数。

3. 比例关系法：有时候，反比例函数的问题可以转化为比例函数的问题来解决。

通过建立变量之间的比例关系，可以更加简化解题过程。

4. 实际问题的应用：反比例函数常常用于解决实际问题。

在解决实际问题时，需要将数学概念与实际背景相结合，确保解题过程准确无误。

综上所述，掌握初中数学中的反比例函数解题技巧对我们解决各类问题具有重要意义。

通过理解反比例函数的定义，掌握解决简单和复杂反比例函数问题的方法，我们能够更好地应用反比例函数解决实际问题。

反比例函数解题技巧与方法及难点剖析反比例函数是一种特殊的函数，其自变量x的次数为-1，且自变量x不能为0，比例系数k为常数，且k≠0.其图象为双曲线，两个分支无限接近但永远不能达到x轴和y轴，这是由自变量的取值决定的。

反比例函数具有一些性质，如k>0、图象位于一三象限、每个象限内，y随x的增大而减小。

在记忆反比例函数的性质时，必须结合图象记忆。

双曲线是中心对称图形，对称中心为原点；双曲线也是轴对称图形，对称轴为y=x或y=-x。

确定反比例函数的解析式只需一组x,y的对应值或只需知道图象上任一点的坐标，即可用待定系数法求出其解析式。

与反比例函数图象有关的面积问题可以通过垂线与坐标轴所围成的矩形的面积相等来解决。

反比例函数有三种表示形式，如y=k/x、xy=k、y=k÷x。

在应用中，可以通过比较面积大小、求面积、确定解析式、判断k值的大小等来解决问题。

一、汽车速度与时间的函数关系当汽车按原路匀速返回时，可以列出以下公式：s=vt$$其中，$s$为汽车行驶的路程，$v$为汽车速度，$t$为行驶时间。

因为汽车是按原路返回，所以行驶的总路程为原来的两倍，即$2s$，行驶时间为$t$。

代入公式中得：2s=vt$$解出$v$与$t$的函数关系式：v=\frac{2s}{t}$$当司机匀速返回4.8小时时，代入上述公式中得：v=\frac{2s}{4.8}=0.4167s$$因为行驶的总路程为$s$，所以汽车返回时的速度为$0.4167s$。

当司机返回时全程走高速公路，且匀速行驶，最高车速不得超过每小时120公里，最低车速不得低于每小时60公里。

因此，返程时间的范围是：frac{s}{120}\leq t \leq \frac{s}{60}$$即：frac{1}{120}\leq \frac{t}{s} \leq \frac{1}{60}$$二、反比例函数与一次函数的综合运用根据题目提供的信息，药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量$y$与时间$x$成正比例，药物燃烧完后，$y$与$x$成反比例。

反比例函数如何快速解题技巧反比例函数如何快速解题1. 反比例函数的定义反比例函数是一种函数类型，表示为f(x) = k/x，其中k是常数，x不等于0。

2. 快速解题技巧2.1 理解反比例关系反比例函数的特点是当x增大时，f(x)会减小，反之亦然。

即，x 和f(x)的变化是相反的。

2.2 找到常数k的值在求解反比例函数时，首先要找到常数k的值。

常数k可以通过已知条件来确定，如已知f(x1) = y1，可以通过代入得到k的值。

2.3 列出函数表达式根据已知条件和常数k的值，可以将反比例函数表达为f(x) =k/x的形式。

这样就可以根据函数表达式快速计算出给定x的对应的函数值。

2.4 解决未知数问题当反比例函数中存在未知数时，可以通过已知条件列方程来解决。

以方程形式表示的未知数可以帮助快速解题。

2.5 画出函数图像通过画出反比例函数的图像，可以更直观地理解函数的性质。

反比例函数的图像是超过y轴的一条开口向下的曲线。

2.6 利用反比例性质解决问题反比例函数的性质可以帮助解决各种实际问题。

例如，当已知两个变量之间的反比例关系时，可以利用反比例函数解决相关问题。

3. 示例3.1 问题某工厂生产零件，每天的产量与工人数呈反比例关系。

已知当工人数为10人时，每天的产量为100件。

求当工人数为5人时，每天的产量是多少件？3.2 解题步骤1.找到常数k的值：根据已知条件，我们可以通过代入得到k的值，即100 = k/10，所以k = 1000。

2.列出函数表达式：根据已知条件和常数k的值，反比例函数可以表示为f(x) = 1000/x。

3.求解未知数问题：代入x = 5到函数表达式中，即可求得答案，即f(5) = 1000/5 = 200件。

结论通过掌握反比例函数的定义和快速解题技巧，我们可以更轻松地解决各种反比例函数相关的问题。

反比例函数是数学中常见的一种函数类型，在实际问题中具有广泛的应用。

4. 反比例函数的应用4.1 速度和时间的关系在某项任务中，一个人以恒定的速度行驶。

反比例函数解题技巧
反比例函数是高中数学中的一种函数类型，在解题中常常会遇到。

掌握反比例函数的解题技巧，能够帮助学生更好地应对考试中的相关题目。

以下是一些反比例函数解题的技巧：
1. 建立反比例函数模型
反比例函数的一般形式为：y=k/x，其中k为常数。

在解题时，需要根据题目中给出的信息，建立出反比例函数模型，从而得到y 与x的关系式。

2. 判断函数的定义域和值域
由于反比例函数中x不能为0，所以函数的定义域是x≠0。

同时，由于y=k/x的值域不包括0，因此函数的值域是y≠0。

3. 求解未知数
在解题过程中，需要根据题目所给出的条件，求解未知数。

通常情况下，可以利用反比例函数的性质，通过已知量推导出未知量。

4. 分析函数图像
反比例函数的图像为一条“反比例曲线”，它的特点是经过第一象限的第一、三象限和第二、四象限分别对称。

在解题时，可以通过分析函数图像，得到一些有用的信息。

5. 利用反比例函数的性质
反比例函数具有一些特殊的性质，如“乘方变除”、“除方变
乘”等，可以通过这些性质，简化解题过程。

以上是反比例函数解题的一些技巧，希望能对学生们的数学学习有所帮助。

求反比例函数的解析式即是形如kyx=（k≠0）中k的值，一般只需要求出双曲线上的一个点的坐标的积即可.1.设双曲线上的一个点的坐标，利用题设和图形中的数量关系，找出双曲线上另一个点的坐标与所设点的坐标之间的数量关系，再根据反比例函数图象上的点的特征，这两个点的坐标之积相等求解.2.设双曲线上的一个点的坐标为（m，n），利用题设中的相等关系结合图形特征列方程求出mn的值.3.利用图形中的全等三角形，相似三角形，直角三角形等列方程，或求出双曲线上的一个点的坐标，或求出双曲线上的一个点的坐标之积.例1.如图，两个边长分别为a，b（a＞b）的正方形连在一起，三点C，B，F在同一直线上，反比例函数y=kx在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E．若OB2﹣BE2=10，则k的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 5【答案】C例2.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为33)，反比例函数kyx=的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（）A . 43B . －43C . 23D . －23 【答案】B【精细解读】根据已知求出点B 的坐标，∠AOB 的度数，解直角三角形DBO ，求得点D 的坐标即可. 过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，∵C 的坐标为33)，∴CE ＝3 ，OE 3∴由勾股定理得OC ＝3tan 3CECEO EO∠== ∴∠COE =60°。

∵四边形ABOC 是菱形∴3BO CO ==160302DOB ∠=⨯︒=︒ ∵BD ⊥x 轴，∴3tan30232BD BO =⋅︒== ∴D 点坐标为()23,2- ，∴23243k =-=-.例3.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 在第一象限，点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，D 、E 分别是AB ，OA 中点．过点D 的双曲线(0,0)ky x k x=>>与BC 交于点G ．连接DC ，F 在DC 上，且DF ：FC =3:1,连接DE ，EF ．若△DEF 的面积为6，则k 的值为（ ）．A .163 B . 323C . 6D . 10 【答案】B【精细解读】设B （2b ，2a ），则D （b ，2a ），因为已知△DEF 的面积，故通过点F 作x 轴的平行线，使△DEF 的面积等于几个规则图形面积的和与差，由此列方程整体求出ab 的值. 设矩形OABC 中OA =2a ，AB =2b ，∵FP ⊥BC 、AB ⊥BC ，∴FP ∥DB ，∴△CFP ∽△CDB ，∴==CP FP CF CB DB CD ，即1==24CP FP a b ，可得CP =2a ，FP =4b ，则EQ =EO -OQ =a -2a =2a ，FQ =PQ -PF =2b -4b =74b，∵△DEF 的面积为6，∴S 梯形ADFQ -S △ADE -S △EFQ =6，即12•（b +74b ）•32a -2a b -12×74b •2a =6， 可得ab =163，则k =2ab =323.学科@网1.如图，点A 是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（ ）A . y =﹣xB . y =﹣xC . y =﹣D . y =﹣【答案】C2.如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k＝______．【答案】9【解析】因为AB∥x轴，所以△CAB∽△CDO，因为AC=2CD，所以AB=2OD.设A（m，3n），则B（3m，3n），因为3mn=3，所以9mn=9，所以k=9mn=9.学科@网3.如图，点P在双曲线y＝kx（x＞0）上，⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF－OE＝6，则k的值是____．【答案】9（每道试题10分，总计100分）1.如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数y=kx的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=16，tan∠BAO=2，则k的值为( )A . 20B . 22C . 24D . 26 【答案】C2.如图，反比例函数(0)ky x x=>的图象与边长为5的等边△AOB 的边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，若OC =2BD ，则实数k 的值为（ ）A . 43B . 2534 C .932D . 83 【答案】A【解析】过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，3.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(0,3)、(1,0).将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BC .若点C 落在函数(0)ky x x=>的图象上，则k 的值为（ ）A . 3B . 4C . 6D . 8 【答案】B【解析】根据旋转的性质和勾股定理可求得AB =AC =223110+=，然后设C 的坐标为（4，4k ），则AC =223104k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得k =±4，由图象可知k =4. 学科@网4．如图，已知点A 在反比例函数的图象上，点B 在反比例函数的图象上，AB ∥x 轴，分别过点A 、B 作x 轴作垂线，垂足分别为C 、D ，若OC =OD ，则k 的值为_____．【答案】125.如图，点A 在双曲线23(0)y x =>上，点B 在双曲线(0)ky x x=>上（点B 在点A 的右侧），且AB x P 轴，若四边形OABC 是菱形，且60AOC ∠=︒，则k =__________．【答案】3【解析】设A （m ，n ），因为∠AOC =60°，所以OA =2m .因为四边形OABC是菱形，所以AB=OC=OA=2m，所以B（3m，n），因为点A在双曲线23(0)y x=>上，所以mn=23，则3mn=63，即k=63.6.已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB∶OD＝5∶3，则k＝__________．【答案】127.如图，平行四边形的顶点，的坐标分别是，，顶点，在双曲线上，边交轴于点，且四边形的面积是面积的5倍，则__________．【答案】12【解析】如图，过、两点作轴的垂线，垂足为、．交于点，过点作．垂足为．∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴≌，∴，，设，，则，解得，∴．设直线解析式为，将，两点代入得，由①得：，代入②得：，即，解得，∴，∴．，，，∵，∵，即，解得：，∴，∴．8.如图，点A，B在反比例函数y＝1x（x＞0）的图象上，点A在点B的左侧，且OA＝OB，点A关于y轴的对称点为A′，点B关于x轴的对称点为B′，连接A′B′分别交OA，OB于点D，C，若四边形ABCD的面积为65，则点A的坐标为_______．【答案】（12，2） ∴直线OB 的解析式为y =m 2x ， 直线A ′B ′的解析式为y =-x+1m-m ， 由 21{y x mmy m x=-+-= ，解得 ()()222211{11m x m m m m y m -=+-=+ ∴C [ ()2211m m m -+， ()2211m m m -+]，根据对称性可知D [ ()2211m m m -+， ()2211m m m -+]， 同理可得，AB =2（1m-m ）， ∵四边形ADCB 的面积为65， ∴()()222211122116225m m m m m m m m m ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥-+- ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⋅=整理得()2221615m m -=+ ，解得214m=，∵m >0， ∴m =12 ， ∴A （ 12，2）． 9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝43-x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点C 、D ，四边形ABCD 是正方形，反比例函数y ＝kx的图像在第一象限经过点A ． （1）求点A 的坐标以及k 的值： （2）点P 是反比例函数y =kx（x ＞0）的图像上一点，且△P AO 的面积为21，求点P 的坐标．【答案】（1）A 点坐标为（4，7），k =28； （2）当点P 坐标为（2，14）或（8，72）时，△P AO 的面积为21．（2）设点P 坐标为（x ，28x），当点P 在OA 上方时，如图，过P 作PG ⊥y 轴于G ，过A 作AF ⊥y 轴于F ，∵S △APO + S △PGO =S 四边形PGF A + S △AFO ，S △PGO = S △AFO =14，∴S △APO =S 四边形PGF A ， 有：()12847212x x ⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，解得：x 1=—8（舍去），x 2=2． 当点P 在OA 下方时，如图，10.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =4，AB =5，点D 在反比例函数（k >0）的图象上，，点P 在y 轴负半轴上，OP =7.（1）求点B 的坐标和线段PB 的长； （2）当时，求反比例函数的解析式。

「初中数学」求反⽐例函数解析式的六种常⽤⽅法解有关函数的习题，⾸要的⼯作应该是知道函数的解析式，每⼀类函数都有各⾃解析式的求法，那么反⽐例函数的解析式如何求解呢？下边⼀⼀介绍.⽅法⼀.利⽤反⽐利函数的定义求解析式【分析】反⽐例函数有三种表达形式:(1)y=K/x;(2)y=Kx-';(3)xy=K，其中K是常数，且K≠0.(第⼆种形式是y等于K与x的负1次⽅的积)，特别要注意K≠0，1.解:由m²⼀10=⼀1，解得m=±3，⽽m=⼀3时K=(m+3)=0，∴m=3，则K=m+3=6，∴反⽐例函数解析式为y=6/x2.解:由3m²+m⼀5=⼀1，解得m=1或m=⼀4/3，⽽m=1时，K=m²⼀1=0，∴m=⼀4/3，则m²⼀1=7/9，所以反⽐例函数解析式为y=7/(9x).⽅法⼆.利⽤反⽐例函数的性质求解析式【分析】由反⽐例函数的概念知，第3题n²+2n⼀9=⼀1，由于反⽐例函数在每个象限内，y随x的增⼤⽽减⼩，所以n+3为正数;第4题m²⼀5=⼀1，⼜由于反⽐例函数的图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽增⼤，所以m为负值.3.解:由题意得，n²+2n⼀9=⼀1，解得n=⼀4或n=2，由于其图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽减⼩，所以n+3>0，∴n=2，则n+3=5，所以反⽐例函数图象为y=5/x.4.解:由题意得，m²⼀5=⼀1，解得m=±2，⼜由于其图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽增⼤，所以m=⼀2，所以反⽐例函数的解析式为y=⼀2/x.⽅法三.利⽤反⽐例函数的图象求解析式5.如图，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x轴，垂⾜为A，反⽐例函数y=K/x(x>0)的图象经过点C，交AB于点D.已知AB=4，BC=5/2.(1)若OA=4，求反⽐例函数的解析式;(2)连接OC，若BD=BC，求OC的长.【分析】这类题的特征⼀般是通过条件求图象上某⼀点的坐标，然后根据xy=K，从⽽确定解析式.第⼀问，根据AC=BC=5/2，过C点作CE⊥AB于E，则E为AB的中点，则AE=BE=2，由于AB⊥x轴，所以C点纵坐标为2，在Rt△BEC中，求出CE的长为3/2，因为OA=4，所以C点横坐标为4⼀3/2=5/2，则C点坐标确定，所以反⽐例函数解析式可得.第⼆问，由于BD=BC=5/2，所以AD=AB⼀BD=4⼀5/2=3/2，所以D点纵坐标为3/2，⽽C点纵坐标还是2，C到AB的距离长CE=3/2，若设出A点坐标为(m，0)，则C点坐标为(m⼀3/2，2)，D点坐标为(m，3/2)，由于C，D两点都在反⽐例函数图像上，利⽤xy=K建⽴⽅程可求得m，进⽽求得C点坐标，利⽤勾股定理可得OC的长.解:(1)过C点作CE⊥AB于E，如图，∵AC=BC，AB=4，∴AE=BE=2，在Rt△BCE中，BC=5/2，BE=2，∴CE=3/2，∵OA=4，∴C点坐标为(5/2，2)，⼜C点在y=K/x的图象上，∴xy=K，即K=2×5/2=5，所以反⽐例函数的图象为y=5/x.(x>0).(2).如图，作CF⊥x轴，垂⾜为F，设A点的坐标为(m，0)，∵BD=BC=5/2，AB=4，∴AD=3/2，∴D点坐标为(m，3/2)，由(1)知CE=3/2，AE=BE=2，∴C点坐标为(m⼀3/2，2)，∵C，D两点都在y=K/x的图象上，∴3m/2=2(m ⼀3/2)，解得m=6，∴C点坐标为(9/2，2)，∴OF=9/2，CF=2，在Rt△OFC中，由勾股定理可得，OC=√97/2.6.如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别在x轴，y轴上，点B的坐标为(⼀20/3，5)，D是AB上的⼀点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对⾓线OB上的点E处，若点E在⼀反⽐例函数的图象上，求该反⽐例函数的解析式.【分析】求反⽐例函数解析式，实质上是求系数K，那么就只需要⼀个条件，⼤多数是求图象上点的坐标，本题只要求出E点坐标即可，由于折叠A点落在E处，则OA=BC=OE=5，过E作EF⊥x轴于F，则△OEF∽△OBC，则OE/OB=EF/BC=OF/OC，由题意知BC=5，OC=20/3，则OB=25/3，可求出OF，EF，则E点坐标求出，反⽐例函数解析式可求出.当然也可⽤三⾓函数求E点坐标.解:如图，过E点作EF⊥x轴于F，设过E点的反⽐例函数解析式为y=K/x，(K≠0).由矩形AOCB知BC⊥x轴，∴△OEF∽△OBC，∴OE/OB=EF/BC=OF/OC，∵B点坐标为(⼀20/3，5)，∴BC=5，OC=20/3，由于△ADO沿OD翻折，A点落在OB上E处，∴OE=OA=BC=5，在Rt△BCO中，由勾股定理求得OB=25/3，∴可求得，EF=3，OF=4，∴E点坐标为(⼀4，3)，代⼊y=K/x，得K=⼀12，所以反⽐例函数解析式为y=⼀12/x.⽅法四，利⽤待定系数法求解析式7.已知y1与x成正⽐例，y2与x成反⽐例，若y=y1+y2的图象经过点(1，2)，(2，1/2)，求y与x的函数解析式.【分析】这种题型，根据题意，设出对应的函数解析式，利⽤条件列⽅程组，解出相应的待定系数即可，注意待定系数在不同的函数中应⽤不同的字母.解:∵y1与x成正⽐例，∴设y1=Kx(K≠0)，∵y2与x成反⽐例，∴设y2=m/x(m≠0)，由y=y1+y2得，y=Kx⼗m/x，⼜∵y=Kx+m/x的图象经过(1，2)和(2，1/2)两点，∴可得8.已知y=y1+y2，y1与x成正⽐例，y2与x²成反⽐例，且x=2与x=3时，y的值都等于19，求y与x 间的函数关系式解∵y1与x成正⽐例，∴设y1=Kx(K≠0)，∵y2与x²成反⽐例，∴设y2=m/x²(m≠0)，∴y=y1+y2=Kx⼗m/x，∵当x=2时y=19，当x=3时y=19，∴可得⽅法五.利⽤图形的⾯积求解析式9.如图，点A在双曲线y=1/x上，点B在双曲线y=K/x上，且AB∥x轴，C，D两点在x轴上，若矩形ABCD的⾯积为6，求点B所在双曲线对应的函数解析式.【分析】反⽐例函数y=K/x的系数K具有⼀定的⼏何意义，|K|等于图象上任意⼀点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的⾯积.如图|K|=S矩形AEOC=S矩形BFOD，|K|/2=2S△AOC=2S△BOD=2S△AOE=S△BOF.灵活运⽤K的⼏何意义，通过⾯积求出K，也就求得解析式.所以延长BA交y轴于点E，则四边形AEOD，BEOC 均为矩形，则由题意得，S矩形AEOD=1，S矩形BEOC=|K|，∴|K|=1+6=7，由于反⽐例函数图象在第⼀，三象限，K>0，∴K=7，∴反⽐例函数解析式为y=7/x.如图.解:延长BA交y轴于点E，由题意可知S矩形AEOD=1，S矩形BEOC=K，∵S矩形ABCD=6，∴K ⼀1=6，K=7，∴B点所在双曲线对应的函数解析式是y=7/x.10.如图，A，B是双曲线y=K/x(K≠0)上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂⾜为C，若△ADO的⾯积为1，D为OB的中点，求反⽐例函数的解析式.【分析】反⽐例函数有些与⾯积有关的习题，灵活运⽤|K|的⼏何意义，结合题中的条件建⽴关于K的⽅程，是这类题的常见的解法，本题过B作BE⊥x轴于E，由于D为OB的中点，则BE=2CD，AD=AC⼀CD=AC⼀BE/2，OE=2OC，如图，设A点坐标为(x，K/x)，(K>0)，∵C，A两点横坐标都为x，则B点横坐标2x，∴B点坐标为(2x，K/2x)，∴CD=k/4x，AD=K/x⼀K/4x，∵S△AOD=1，即1/2(K/x⼀K/4x)x=1，解得K=8/3.所以反⽐例函数解析式为y=8/3x.(反⽐例函数有这样的优势，通过设坐标，引进系数K，也就引进了⾯积，这⼀点同学们多体会⼀下).⽅法六.利⽤实际问题的关系求解析式11.某运输队要运300t物资到江边防洪.(1)运输时间t(单位:h)与运输速度v(单位:t/h)之间有怎样的函数关系？(2)运了⼀半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2h之内运到江边，则运输速度⾄少为多少？【分析】实际问题往往通过具体的量的关系，抽象为数学模型，⽤对应模型的数学知识解决实际问题.(1)本题数量关系为:物资总量=运输时间×运输速度，由于物资总量300t⼀定，所以运输时间与运输速度成反⽐例关系即t=300/v.(2)运输物资剩下⼀半即150t时，剩下的要在2h运到江边，所以运输速度⾄少为150÷2=75(t/h).(实际问题中的数量关系求反⽐例函数解析式，必须是a×b=c，c⼀定的数学模型).12.某汽车的功率P(单位:W)为⼀定值，它的速度v(单位:m/s)与它所受的牵引⼒F(单位:N)有关系:v=P/F，且当F=3000时，v=20.(1)这辆汽车的功率是多少⽡？请写出这⼀函数的解析式.(2)当它所受的牵引⼒为2500N时，汽车的速度为多少？(3)若限定汽车的速度不超过30m/s，则牵引⼒在什么范围？解:(1)由v=P/F，得P=Fv=3000×20=60000所以这辆汽车的功率为60000W，此函数解析式为v=60000/F.(2)当F=2500N时，代⼊v=60000/F，得v=60000÷2500=24，所以汽车的速度为24m/s.(3)由v≤30m/s，∴60000÷F≤30，∵F>0，∴F≥2000，所以牵引⼒⼤于或等于2000N.【总结】求反⽐例函数解析式，⼀般不太难，同学们把常见的⽅法掌握好，求出解析式为进⼀步攻克难题打下基础关.。

第 1 页 共 2 页 反比例函数解析式求法展示反比例函数解析式y=k x （k≠0）中，只有一个待定系数k ，因此只需一对对应值或函数图象上任意一点的坐标，用待定系数法就可以确定k 的值，进而求出反比例函数的解析式．确定反比例函数的解析式是近几年中考命题的一个突出亮点，现归纳如下，供同学们学习时参考.一、定义型例1 如果函数y=（k+1）22k x -是反比例函数，那么该反比例函数的解析式为 .解析：根据反比例函数的定义，可得k 2-2=-1且k+1≠0，解得k=1．所以该反比例函数的解析式为y=1x． 点评：本题考查了反比例函数的定义，解题关键是将反比例函数的一般式y ＝k x （k≠0）转化为y=kx -1（k≠0）的形式．二、一点型例2 若一个反比例函数图象过点A （-2，-3），则该反比例函数的解析式为 .解析：设该反比例函数的解析式为y=k x .将A （-2，-3）代入，得2k -=-3，解得k=6.所以该反比例函数的解析式为y=6x ．故填y=6x． 点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数y=k x （k≠0）图象上一点P （x ，y ）的横、纵坐标的积为定值k ，即xy=k ．三、图象型例3 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地.为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道.已知木板对地面的压强p （Pa ）是木板面积S （m 2）的反比例函数，其图象如图1所示．请写出p 关于S 的函数解析式及自变量的取值范围．图1解析：因为木板对地面的压强p （Pa ）是木板面积S （m 2）的反比例函数，设p=k S. 将A （1.5，400）代入，得1.5k =400，解得k=600.所以p 关于S 的函数解析式为p=600S （S ＞0）． 点评：由图象求反比例函数的解析式，关键是找到（或确定）图象上某一点的坐标．四、开放型例4 已知一个反比例函数的图象位于第二、四象限，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式为 ． 解析：根据反比例函数的性质，反比例函数的图象位于二、四象限，则k ＜0.所以答案不唯一，只需写一个k ＜0的反比例函数的解析式即可，如y=-1x． 点评：本题考查了由反比例函数的性质确定解析式，关键是明确图象的位置与系数k 的对应关系，这类问题的答案一般不唯一．五、面积型例5 如图2，反比例函数y=kx的图象经过矩形AOBC的边AC的中点E，与另一边BC交于点D，连接DE.若S△ECD=2，则该反比例函数的解析式为（）A．y=2xB．y=4xC．y=8xD．y=16x 图2解析：设点E的坐标为（m，n），则点C的坐标为（2m，n）.所以点D的横坐标为2m.因为点E，点D均在反比例函数的y=kx的图象上，所以点D的纵坐标为2mnm=2n.所以点D的坐标为22nm⎛⎫⎪⎝⎭，.因为S△ECD=CE•CD=12m•2nn⎛⎫-⎪⎝⎭=2，所以mn=8.所以该反比例函数的解析式为y=8x.故选C.点评：本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|．六、实际问题型例6近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数解析式为_________．解析：由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，故设y=kx（k≠0）.将（0.2，400）代入y=kx，解得k=80.所以眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数解析式为y=80x．故填y=80x．点评：本题考查了根据实际问题列反比例函数解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的解析式．第 2 页共2 页。

反比例函数解析式的几种常用求法确定反比例函数解析式是反比例函数部分考查的一个重要知识点，也是进一步求解反比例函数问题的需要，那么怎样确定反比例函数的解析式呢？下面介绍几种常用的求解方法． 一、利用反比例函数图象上的点的坐标来确定例1 已知反比例函数的图象经过点（－3，1），则此函数的解析式为________．析解：设此反比例函数的解析式为ky x=（k 为常数，k ≠０）．因为点（－3，1）在反比例函数的图象上，所以直接将这个点的坐标代入反比例函数的解析式ky x=，得k =－3，由此可得这个反比例函数的解析式为3y x=-．二、利用反比例函数的性质确定例2 写出一个图象位于第一、三象限内的反比例函数解析式________．析解：这是一道关于求反比例函数解析式的开放型试题，因该函数的图象经过第一、三象限，由反比例函数的性质可知其解析式中的k >0，因此，k 的取值可以为所有正数．如，可随意取k =4，由此可得对应的函数解析式为4y x=． 三、根据图形的面积确定例3 如图1，过反比例函数图象上一点A 分别向两坐标轴作垂线，则垂线与坐标轴围成的矩形ABOC 的面积是8，则该反比例函数的解析式为________．析解：设点A 的坐标为（x ，y ），又根据矩形ABOC 的面积和点A （x ，y ）的关系可得： S矩形ABOC =|xy |=|k |=8，解得k =±8，又因该函数的图象在第一、三象限，故根据反比例函数的性质可得k =8，由此得这个反比例函数的解析式为8y x=． 四、根据反比例函数和一次函数图象的交点坐标确定 例4 直线y =k 1x +b 与双曲线2k y x=只有一个交点A （1，2），且与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线、双曲线的解析式．析解：因点A （1，2）在2k y x=上，将点A （1，2）代入该式可得k2=2，则所求双曲线的解析式为2 yx=，又由AD垂直平分OB可得OD=1，OB=2，则B点坐标为（2，0），又因点A、B都在直线y=k1x+b上，故将其坐标代入直线y=k1x+b得11220.k bk b+=⎧⎨+=⎩，．解得124.kb=-⎧⎨=⎩，故所求过A、B两点的直线的解析式为y=-2x+4．跟踪练习：1．写出一个图象位于第二、四象限的反比例函数的解析式是________．2．如图3，Rt△ABD的顶点A在双曲线kyx=上，DB=OB，S△ABO=1，则此双曲线的解析式为________．参考答案：1．答案不惟一，如，6yx=-2．4yx=教你确定函数关系式反比例函数的关系式)0(≠=k xky 中只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的关系式．下面介绍几种借助不同的问题情境，确定反比例函数关系式的方法．一、借助定义来确定 例1 已知函数43m y mx+=是反比例函数，试求出m 的值，并写出函数关系式．解析：此类问题，一般采用反比例函数的另一种表达方式)0(1≠=-k kx y 来列式求解． 由题意得：m+4=－1，解得m =－5．将m 值代入得函数关系式15y x=-． 二、借助一点坐标来确定例2 已知反比例函数的图象经过点（－3，4），则此函数关系式是 ． 解析：将点（－3，4）代入xky =，得k =－12，所以此函数关系式为.12x y -=三、借助图象来确定例3 如图（1）所示的函数图象的关系式可能是 （ ）． A ． y =x B ． y x1=C ． y =x 2D ． y =||1x解析：由图象知，x ＞0或x ＜0时，y ＞0，只有D 符合，故选D ． 四、借助面积来确定例4 一个反比例函数在第三象限的图象如图（2），若A 是图象上任意一点，AM ⊥x 轴于M ，O 是原点，如果△AOM 的面积是5，求这个反比例函数的解析式．解析：此题除了利用△AOM 的面积等于||21k 外，还要用双曲线的 位置确定k 的符号．因为||21k =5，所以|k |=10，又因为双曲线在第三 象限，所以k ＞0，所以k =10．所以xy 10=．五、借助一次函数来确定例 5 正比例函数y =x 的图象与反比例函数xky =的图象有一个交点的纵坐标是2， 求反比例函数的解析式．解析：由题意将y =2代入y =x 中求出x =2，得出交点（2，2），将（2，2）代入xk y =图（1）AO M4．y得k=4，所以反比例函数解析式为x。