韶关一中实验学校“实验杯”知识邀请赛 数学试题

2019年广东省韶关一中实验学校中考数学模拟试卷（4月份）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若a＝，b＝，则实数a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b2．下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．2018年10月24日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度55000米，则数据55000用科学记数法表示为（）A．55×105B．5.5×104C．0.55×105D．5.5×1054．下列运算正确的是（）A．a6﹣a2＝a4B．（a+b）2＝a2+b2C．（2ab3）2＝2a2b6D．3a•2a＝6a25．某校在“爱护地球，绿化祖国”的创建活动中，组织了100名学生开展植树造林活动，其植树情况整理如下表：则这100名学生所植树棵树的中位数为（）A．4B．5C．5.5D．66．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝（）A．B．C．D．7．关于x、y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出m，则m的值是（）A．﹣1B．1C．2D．﹣28．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．9．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（）A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm10．如图，点A为反比例函数y＝﹣图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）。

2023~2024学年第二学期韶实､榕城､清实､新河､龙实五校联考试卷高一数学注意事项：1.满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等在答题卷上填写清楚.3.选择题答案用2B 铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()1i i a b ++=−，其中,a b 是实数，则（ ） A.1,1a b =−= B.1,1a b ==− C.1,1a b =−=− D.1,1a b == 2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ′′′′，且O A ′′∥,24,2B C O A B C A B ′′=′′′′′′==，则该平面图形的高为（ ）A. B.2 C.3.在ABC 中，D 是边BC 上一点，且2,BD DC E =是AC 的中点，记,AC m AD n == ，则BE =（ ） A.533n m − B.532m n −C.732m n − D.732n m − 4.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ） A.,m m αβα⊥⊥⇒∥βB.m ∥,n n m α⊂⇒∥αC.,m m αβαβ⊥⊂⇒⊥D.,m n m αα⊥⊥⇒∥n5.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设(22(sin sin )sin 2sin sin 2sin 0B C A B C A B +=+−=，则角B 等于（ ）A.30B.60C.45D.1506.若P 是ABC 所在平面外一点，PBC 和ABC 都是边长为2的正三角形，PA =P BC A −−的大小为（ ）A.30B.45C.60D.907.如图，在矩形ABCD 中，24,AB BC AC ==与BD 的交点为,M N 为边AB 上任意一点（包含端点），则MB DN ⋅的最大值为（ ）A.2B.4C.10D.128.已知圆锥DO 的轴截面为等边三角形，ABC 是底面圆O 的内接正三角形，点P 在DO 上，且PO DO λ=.若PA ⊥平面PBC ，则实数λ=（ ）A.12 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下面是关于复数21iz =−+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A.z 在复平面内对应的点位于第三象限 B.若复数11i z =+，则1z z −= C.z 的共轭复数为1i + D.z 的虚部为-110.若ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,1a bc ==，则（ ）A.ABC 为锐角三角形B.ABCC.O 为ABC 的外心，则143OA OC ⋅=−D.设3AG AC = ，则BG =11.如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1,P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是（ ）A.直线AP 与直线11C D 所成角的正切值为12B.当12CQ =时，S 为等腰梯形 C.当34CQ =时，S 与11C D 交于点1R ，则1113C R =D.当314CQ <<时，S 为四边形 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 与2(3)18i z +−都为纯虚数，则z =__________.13.平面向量,a b满足()2,1,a a = ∥,b a b ⋅ ，则b = __________.14.在三棱锥P ABC −中，2,AB AC BC =⊥，若该三棱锥的体积为23，则其外接球表面积的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知向量12,e e ，且1211,e e e ==与2e 的夹角为1212π,,323m e e n e e λ=+=−.（1）求证：（)1222e e e −⊥； （2）若m 与n的夹角为π3，求λ的值. 受合标还娄都.16.（本小题满分15分）如图所示，正四棱台1111ABCD A B C D −两底面的边长分别为4和8.（1）若其侧棱所在直线与上､下底面中心连线的夹角为30 ，求该四棱台的表面积； （2）若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积. 17.（本小题满分15分）如图，四棱锥P ABCD −的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面,90,2ABCD PCD PA AB AC ∠==== .（1）证明：AC CD ⊥；（2）若E 是棱PC 的中点，求直线AD 与平面PCD 所成的角. 18.（本小题满分17分）由直四棱柱1111ABCD A B C D −截去三棱锥111C B CD −后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，O 为AC 与BD 的交点.（1）求证：1AO ∥平面11B CD ； （2）求证：平面1A BD ∥平面11B CD ；（3）设平面11B CD 与底面ABCD 的交线为l ，求证：11B D ∥l . 19.（本小题满分17分）某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P （如图所示），其中,AB AC 为两条公路，120,,BAC M N ∠= 为公路上的两个景点，测得2km,1km AM AN ==，为了获得最佳观景效果，要求P 对的视角60MPN ∠= .现需要从观景台P 到,M N 建造两条观光路线,PM PN ，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方米造价为100元.（1）求M N ､的距离；（2）设MNP ∠α=，用α表示PM PN +；（3）求该景区预算需要投入多少万元改造？)2.65=2023~2024学年第二学期韶实､榕城､清实､新河､龙实五校联考试卷·高一数学 参考答案､提示及评分细则一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBBADCD二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号 9 10 11 答案ABDBDABC1.A 因为()1i i a b ++=−，即i i a b a ++=−，则10a a b =−+=，即11a b =− = ，故选A. 2.C3.B ()1113222BE AE AB AC AC CB AC CD AC =−=−+=−−=−−()5533322AD AC AC AD m n −=−=−4.B5.A 在ABC 中，由(22(sin sin )sin 2sin sin B C A B C +=+及正弦定理得(22()2b c a bc +=+，即222b c a +−，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +−==0180A << ，解得135A = 2sin 0A B −=得1sin 2B A=，显然090B << ，则30B = .6.D 取BC 的中点O ，连接,,OA OP PBC 和ABC 都是边长为2的正三角形，则,OA BC OP BC ⊥⊥，所以POA ∠为二面角P BC A −−的平面角.又因为OP OA PA ===222OP OA PA +=，所以90POA ∠= ，即二面角P BC A −−的大小为90 .故选D.7.C 以点A 为坐标原点，,AB AD的方向为x 轴，y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则()()2,1,4,0M B ，()0,2D ，设()(),004N m m ，所以()()2,1,,2MB DN m =−=−，则22MB DN m ⋅=+ ，因为04m ，所以210MB DN ⋅ ，即MB DN ⋅的最大值为10.8.D 如图所示，设1AD =，则22231,44BAPO DO PA PB λλ=====+. 因为PA ⊥平面,PBC PB ⊂平面PBC ，所以PA PB ⊥.在PAB 中，由勾股定理有222PA PB BA +=，即23132444λ +=，解得λ=.故选D.9.ABD()()()21i 222i1i 1i 1i 1i 2z −−−−====−−−+−+−−. z 在复平面内对应的点为()1,1−−，位于第三象限，A 正确；因为11i z =+，所以()()11i 1i 22i z z −=−−−+=−−，所以1z z −=B 正确； z 的共轭复数为1i,−+C 错误；1i z =−−的虚部为-1，D 正确.故选ABD.10.BD 在ABC 中，对于A ，因为a b c >>，由余弦定理得222cos 02b c a A bc +−=<，又因为0πA <<，所以A 为钝角，A 错误； 对于B ，在ABC 中，由余弦定理可得1cos 2B =，则sin B =11acsin 3122ABC S B ==××=，B 正确； 对于C ，因为2120AOC ABC ∠∠==，又因为2sin bRB==，即R =所以27()cos120,6OA OC R ⋅=⋅=− C 错误；对于D ，由21,6033BG BA BC B =+=，所以2222214419cos6033999BG BA BC c ac =+=+⋅=，BG =D 正确.故选BD. 11.ABC 由AB ∥CD ∥11C D 知直线AP 与直线11C D 所成角为BAP ∠，则1tan 2PB BAP AB ∠==，故A 正确；如图1，当12CQ =时，即Q 为1CC 中点，此时可得PQ∥11,AD AP QD =1APQD 为等腰梯形，故B 正确；当34CQ =时，如图2，延长1DD 至N ，使112D N =，连接AN 交11A D 于1F ，连接NQ 交11C D 于1R ，连接11F R ，可证AN ∥PQ ，由1111NR D QR C ∽，可得111111::1:2C R D R C Q D N ==，故可得1113C R =，故C 正确；由C 可知当314CQ <<时，只需点Q 上移即可，此时的截面形状仍然如图3所示的1APQR M ，显然为五边形，故D 错误.故选ABC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.3i −设向量(),b x y =，由a∥b可得21x y =，又a b ⋅，则2x y +x y，则b，所以b = 14.25π42,AB AC BC =⊥，故底面三角形外接圆半径为1r =， ()2111,224ABC S CA CB CA CB CA CB =⋅+=∴⋅ ，当CA CB ==由11124,23323ABC V S h CA CB h h CA CB=⋅=×⋅⋅==⋅ ， 当P 离平面ABC 最远时，外接球表面积最小，此时，P 在平面ABC 的投影为AB 中点1O ，设球心为O ，半径为R ，则O 在1PO 上，222()1R h R =−+，化简得到122h R h=+， 注意到函数122x yx=+在[)2,∞+上单调递增，故min 54R =，所以2min min 254ππ4S R ==. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（1）证明：因为1211,e e e ==与2e 的夹角为π3，所以121212π1cos ,11cos32e e e e e e ⋅==××=， 所以()221221221222102e e e e e e −⋅=⋅−=×−=， 所以()1222e e e −⊥.（2）解：由（1）知，1212e e ⋅=，因为121e e ==， 所以m ===n = ，()()()2212121122132332222m n e e e e e e e e λλλλ⋅=+⋅−=+−⋅−=−，因为m与n的夹角为π3， 所以1cos ,02m n m n m n⋅==>， 即()22(41)71λλλ−=++，且14λ>， 于是有()()23523120λλλλ−−=+−=，解得2λ=或13λ=−（舍），所以λ的值为2.16.解：（1）如图，连接1111,,,AC BD AC B D ，设AC 与BD 交于点11,O AC 与11B D 交于点1O ，过点1C 作1C E AC ⊥交AC 于点E ，过点E 作EF BC ⊥交BC于点F ，连接1C F .由题意知11160,C CO CE CO EO CO C O ∠==−=−=−= .在1Rt C CE 中，1C E =，又1sin452,EF CE C F =⋅=∴=== ，则()14482S =××+×=侧，故该四棱台的表面积224880S =++=+. （2）设该正四棱台的斜高为()221,4880,448802h S S h =+=∴=××+′×′= 侧底，解得103h ′=，又2,EF =∴该正四棱台的高83h =，故该四棱台的体积(188961664339V =××+=. 17.（1）证明：因为PA ⊥底面,ABCD CD ⊂底面ABCD ，所以PA CD ⊥. 因为90PCD ∠= ，所以PC CD ⊥，又,,PA PC P PA PC ∩=⊂平面PAC ， 所以CD ⊥平面PAC .因为AC ⊂平面PAC ，所以CD AC ⊥.（2）解：由（1）CD ⊥平面,,PAC AC AE ⊂平面PAC ，所以CD AE ⊥.因为2,PAAC E ==为PC 的中点，所以AE PC ⊥. 因为,,PC CD C PC CD ∩=⊂平面PCD ，所以AE ⊥平面PCD ，所以EDA ∠即为直线AD 与平面PCD 所成的角.因为2PA AB AC ===，所以AD PC所以12AE PC ==1sin 2AE EDA AD ∠==. 因为π0,2EDA ∠∈ ，所以π6EDA ∠=，即直线AD 与平面PCD 所成的角为π6. 18.证明：（1）取11B D 的中点1O ，连接111,CO AO ，如图.几何体1111ABCD A B C D −是直四棱柱，11AO ∴∥OC ，且11AO OC =， ∴四边形11AOCO 为平行四边形，1AO ∴∥1O C ，又1O C ⊂平面111,B CD AO ⊄平面11B CD ， 1AO ∴∥平面11B CD .（2）1BB ∥1DD ，∴四边形11BB D D 是平行四边形，BD ∴∥11B D ，BD ⊄ 平面1111,B CD B D ⊂平面11B CD ，BD ∴∥平面11B CD .由（1）得1AO ∥平面11B CD ，又11,,BD AO O BD AO ∩=⊂平面1A BD ， ∴平面1A BD ∥平面11B CD .（3） 平面111A B D ∥平面ABCD ，平面11B CD ∩平面11111A B D B D =，平面11B CD ∩平面ABCD l =，11B D ∴∥l .19.解：（1）在AMN 中，由余弦定理得：2222cos1207MN AM AN AM AN =+−⋅=解得MN =.（2）设,60,120MNP MPN PMN ∠α∠∠α==∴=− ，在PMN 中，由正弦定理，得()sin sin sin 120MN PM PN MPN ∠αα==− ，sin MN MPN ∠= ，(),120PM PN αα∴==− ，()120PM PN αα∴+=− .1sin sin 2ααα =+ .1cos 2αα + .()30α+ . （3）又因为()0,120α∈ ，所以()3030,150α+∈ . 所以()1sin 30,12α +∈.所以PM PN +∈，即观光线路PM PN +长的最大值为 5.3km 5300m ≈=， 该景区预算需投入530051002650000××=元265=万元.。

2024年9月广东省韶关市小升初数学必刷经典应用题测试一卷含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。

一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。

)1.A、B两辆汽车同时从甲、乙两地出发，相向而行，第一次相遇在距甲地64千米处，相遇后两车继续前进，各自到达乙、甲两地后，立即沿原路返回，第二次相遇在距甲地128千米处，则甲、乙两地的距离是几千米．2.看一本书，明明第一天看了它的3/5，第二天看了它的1/5，（1）明明两天一共看了这本书的几分之几？（2）第二天比第一天少看这本书的几分之几？3.商店出售的一种电视机比原价降价2/11，正好降低了640元．这种电视机原价是多少元？4.10月份职工食堂买来10000千克大米．如果每天用去410千克，这些大米够用一个月（31天）吗？5.仓库里有货物750吨，第一次运走全部货物的1/3，第二次运走全部货物的40%，仓库里剩下的货物多少吨？6.甲、乙两个圆柱形容器的底面积之比为3：5，甲容器中装着1200毫升水，水面高16厘米，乙容器中是空的．现将甲容器中的一部分水倒入乙容器，使两个容器中水的高度一样．问：这时水面高多少厘米？7.一只啄木鸟一天能吃645只害虫，一只青蛙8天吃608只害虫．一只啄木鸟比一只青蛙每天多吃害虫多少只？8.一块长方形试验田，长600米，宽300米，共收水稻216吨，这块试验田平均每公顷收水稻多少吨？9.某工程队修一条路，开始每天修36米，11天正好修完这条路的一半，以后每天修44米，正好按原计划完成，工程队原计划多少天完成任务？10.甲、乙两城相距163千米，一辆汽车从甲城开往乙城，速度是每小时50千米，行驶了3个小时，此时这辆汽车离乙城还有多少千米？11.工人叔叔在公路的一侧从头到尾每隔80米立一根电线杆，刚好立了9根．你知道这段公路长多少米吗？12.甲、乙、丙三人共有钱360元，如果甲给乙70元，乙给丙20元，丙给甲90元，则三人钱数恰好相等．甲、乙、丙三人原来各有多少元．13.工地上有一堆圆锥形沙堆，沙堆的底面周长是18.84米，高15分米，把它铺在一条长31.4米，宽9米的公路上可以铺多厚？14.甲、乙、丙三人在学校到公园的路上散步，甲每分钟比乙多走12米，乙每分钟比丙多走9米．上午8点三人同时从学校出发，上午9点甲到达公园后立即返回学校，在距公园420米处遇到乙．再过多长时间甲与丙相遇？15.妈妈把4000元钱存入银行，整存整取三年，年利率是2.70%，到期时妈妈可以取回本金和利息一共多少元？16.同学们围着一个直径是12米的圆周做游戏，如果在圆周上每隔1.57米站一个同学，共能站几个同学？17.养鸡场一房内有公鸡65只，母鸡只数是公鸡的7倍，这个房内共有多少只鸡？18.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，当甲车行了全程的3/5时，正好与乙相遇．一直乙车每小时行56千米，甲车从A地走到B地需要行5小时．求A、B两地相距多少千米？19.甲乙两车间要加工一批面粉，实际完成计划的130%甲乙两车间完成任务的比为8：5，乙车间比甲车间少加工面粉13.5吨．原计划加工的面粉是多少吨？20.两地相距585千米，甲、乙两辆汽车从两地相向开出，5小时后两辆车相遇，已知甲、乙两车的速度比是5：4，甲车每小时行驶多少千米？21.甲仓有粮食170吨，乙仓有粮食90吨，经过调整，乙仓粮食吨数的1（1/5）倍等于甲仓的75%，是怎么样调整的？22.一辆汽车开动后，先用28分行驶了31千米，后来以每小时54千米的速度又行驶了36分才到达目的地．则这辆汽车平均每分约行多少千米（结果保留两位小数）．23.实验小学六年级有367名学生生于1996年，那么其中至少有多少名学生的生日是在同一天．24.一块梯形麦田，上底长100米，下底长250米，高是120米，如果每平方米施化肥0.15千克，这块地应施化肥多少千克？25.甲数是150，乙数比甲数多15%，丙数比乙数少20%，丙数是多少？26.李明和谢飞到商店买足球和篮球，李明买了4个足球和7个篮球共用了387元，谢飞买了与李明相同的4个足球和3个篮球共用了239元，每个足球和篮球各多少元？27.学校把171棵树的植树任务按4：3：2的比分给六年级、五年级和四年级分别去完成，五年级应分多少棵．28.某工厂的记时钟走慢了，使得标准时间每70分钟分针与时针重合一次．李师傅按照这慢钟工作8小时，工厂规定超时工资要比原工资多3.5倍，李师傅原工资每小时3元，这天工厂应付给李师傅超时工资多少元．29.甲数是52，乙、丙两数的平均数是61，甲、乙、丙三个数的平均数是多少？30.五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少儿年刊，有48人订了小学生报，问两种都订的多少人？31.一辆摩托车2.5小时行243.4千米，是一辆三轮货车的行驶速度的1.6倍．这两三轮货车每小时行多少千米？32.小华今年19岁，她问老师今年多少岁，老师说：“你到我这么大，我已经67岁了”．请问老师今年多少岁．33.有龟和鹤45只，龟和鹤的腿一共有126条，龟鹤各有多少只？34.一件衣服进价80元，按标价打六折出售后仍获利52元利润，则这件衣服的标价为多少元．35.有一块长方形地，长24米，宽14米，现在要用铁丝把这块地围起来，至少需要多少米长的铁丝．在这块地里全部种上玉米，种玉米的面积是多少平方米．36.四、五年级共有学生165人，其中五年级的人数比四年级的2倍还多15人，五年级有多少人．37.一根钢管长24米，截去一部分后还剩下25%，截去了多少米？38.一种上衣的价格下降20%后又增加了8元，这时的价格是80元．这种上衣的原价是多少元？39.师徒二人同时生产一批机器零件，6小时完成，师傅生产了336个，徒弟生产了288个，平均每小时师傅比徒弟多生产多少个？40.植树节到了，少先队员要在相距72米的两栋楼房之间种8棵杨树，如果两头不栽，平均每两棵树之间的距离应是多少？41.甲数减少了它的20%后是120，这个数是多少？42.一桶油连桶重16千克，用去一半后，连桶重9千克，桶重多少千克？43.甲、乙两辆汽车在与铁路并行的道路上相向而行．一列长180米的火车以60千米/小时的速度与甲车同向前进，火车从追上甲车到遇上乙车，相隔5分钟．若火车从追上到超过甲车用时30秒，从与乙车相遇到离开用时6秒．求乙车遇到火车后再过多少分钟与甲车相遇？44.修一段路，如果平均分给甲、乙两个队，每队要修35千米，如果按2：3分给甲乙两队修，甲、乙两队各修多少千米？45.一块长14米，宽6米的长方形菜地，要在这块菜地的四周围上篱笆，篱笆长多少米？46.从甲地到乙地坐飞机需11小时，飞机每小时行645千米，甲乙两地相距多少千米？47.学校把载750棵树的任务，按照人数的比例分配给三个年级．四年级有40人，五年级有42人，六年级有43人．每个年级各分多少棵？48.一条公路长600千米，将其4/5铺上柏油，还剩多少米没有铺．49.甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与甲相同的钱数给甲，这时甲、乙、丙三人钱数恰好相等．原来甲比乙多多少元？50.一种小麦出粉率为85%，要磨13.6吨面粉，需要这样的小麦多少吨？51.给一间教室铺地砖，原来用边长为0.4米的方砖铺需要275块．现在改用边长0.5米的方砖，需要多少块？52.少年宫舞蹈队男同学有62人，女同学有56人，合唱队的人数是舞蹈队的3倍，合唱队有多少人？53.同学们进行野外活动，共行26千米，前2.5 小时在平地上行走，平均每小时行5千米，后来在山地上行走，平均每小时行3千米，在山地行走了多少小时？54.两辆汽车同时从同地开出，行驶4.5小时后，甲车落在乙车的后面13.5千米，已知甲车每小时行驶35千米，乙车每小时行驶多少千米？55.小学六年级有学生318人，五年级学生人数是六年级的5/6，小学五年级有多少人？56.两车同时从某地运送货物到距离165千米的工地，甲车比乙车早到4/5小时，当甲车到达时，乙车距工地还有24千米，甲车行完全程用了多少小时？57.商店一次进货6桶，重量分别为15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克．上午卖出去2桶，下午卖出去3桶，下午卖得的钱数正好是上午的2倍．剩下的一桶重多少千克？58.一块长120米，宽35米的长方形麦地．共收小麦4200千克，平均每平方米收小麦多少千克？59.一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的30%，第二小时行的比全程的2/5多4千米，两小时共行73千米，甲乙两地相距多少千米？60.甲乙两车同时从东、西两地相向而行，甲车速度56千米/小时，乙车速度48千米/小时，两车在离中点32千米处相遇．求东西两地相距多少千米？61.甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千米？62.学校要挖一个长方形状沙坑，长4米，宽2米，深0.5米，这个长方形沙坑的容积是多少立方米？63.建筑工地的王师傅5天打桩180个，他每天工作8小时，平均每小时打桩多少个？64.实验小学组织四年级425名学生乘车秋游，计划用限乘28人的汽车．至少需要租用多少辆这样的汽车？65.有三箱货物，分别重890千克、1200千克、980千克，用一辆载重为3吨的货车一次能运走吗？66.体育课做跳高测试，张丽跳了0.95米，李飞说：“张丽比我跳得低0.3米”，王芳说：“我比李飞跳的低0.16米”，王芳跳了多少米？67.学校舞蹈队有24名女同学，17名男同学，女同学的人数是男同学人数的几倍？（用带分数表示）？男同学的人数是女同学的几分之几？68.妈妈带了170元钱去超市买东西．买食品用去35.20元，买日用品用去11.30元，妈妈还剩下多少钱？69.五星商店上周共卖出了119袋洗衣粉，照这样计算，五星商店12月份大约能卖多少袋洗衣粉？70.某工厂计划18天生产柴油机324台，实际每天比计划多生产6台．实际完成计划用了多少天？71.欣欣养鸡场周六收了一些鸡蛋，每23千克装一箱，装好13箱后还剩19千克，周六收了多少千克鸡蛋？72.小区花园是一个长10米，宽6米的长方形，在它的四周铺上小石头路，小石头路长多少米？73.一个面粉厂用甲等麦子40吨磨出面粉38吨。

2013年第1届“实验杯”广东省韶关市北江中学实验学校数学竞赛试卷一、判断题（对的在括号中打“√”错的打“&#215;”每小题2分，共8分）1．（2分）用0，1，2，3，4组成的最小的五位数是12034．（判断对错）2．（2分）如果数A的2倍和数B的5倍一样大，那么数A大于数B．（判断对错）3．（2分）等底等高的两个三角形的周长相等．（判断对错）4．（2分）2002年6月30日是星期天，则2002年7月30日是星期二．（判断对错）二、选择题（每题都只有一个正确答案，将你认为正确答案的代号填入表格中，每小题2分，共10分）5．（2分）42、56、2002的最大公因数是（）A．2 B．7 C．14 D．216．（2分）如果=，那么a：b=（）A．12：36 B．1：3 C．3：1 D．3：97．（2分）如果2002□630＞20025630，那么□内最小的数字可以填（）A．3 B．4 C．6 D．98．（2分）计算图形的面积是（）A．900 B．800 C．600 D．4009．（2分）把一段6米长，体积是3768立方厘米的圆柱形钢材截成两段，使截得的钢材的表面积比原来钢材的表面积增加了多少平方厘米？（操作时损耗忽略不计）（）A．3.14 B．6.28 C．12.56 D．25.12三、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在括号中）10．（3分）2000000平方米公顷．11．（3分）12和18的最小公倍数是．12．（3分）五千七百零九万八千零二十三写作．13．（3分）如果=，那么3x+9=．14．（3分）2002除以6的余数．15．（3分）某种铁矿石的出铁率是45%，现已炼出纯铁90吨，则需这钟铁矿石吨．16．（3分）把两个边长都相等的三角形拼成一个周长为48的平行四边形，则这两个三角形的边长都等于．17．（3分）如图，已知圆的面积与长方形的面积相等，则图中阴影部分的面积是圆的面积的%四、计算题（18、19题每小题5分，20、21每小题5分，共22分，要求写出必要的过程）18．（5分）+﹣．19．（5分）解方程：（3x+4）+x=7（x﹣5）20．（6分）计算：10÷﹣（1﹣）÷[（÷10）×（1+25%）]﹣10．21．（6分）计算：（20.02×37﹣200.2×1.9+2.002×820）÷1÷（1÷2）÷（2÷3）÷（3÷4）五、应用题（每小题6分，共24分，要求写出必要的过程）22．（6分）广东北江中学受上级委托组织今年的韶关市导游资格考试，考场准备设50个考室，每个考室需2名监考员，整个考场另需若干名工作人员，已知每个考室平均需要2.4人，问：除了监考员以外，另需安排多少名工作人员？23．（6分）小张开汽车，小李骑自行车，二人同时从A地去相距90千米的B地．小张的车速是小李的车速的3倍，小张比小李早到3小时，问小张和小李的车速分别是每小时多少千米？24．（6分）有浓度为8%的盐水400克，经煮沸后，变成10%的盐水．水减少了多少克？25．（6分）某食品厂用同样的花生生产花生油，第一次用了花生1400千克，第二次用的花生是第一次的1倍，已知第一次比第二次少生产花生油135千克，问两次共生产花生油多少千克？六、综合题（每小题4分，共12分，请写出必要的解题过程）26．（4分）在2002年日韩世界杯足球赛中，中国队被分到了C组，同组的还有另外三支球队，根据比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，问中国队比赛三场后的积分不可能得多少分？27．（4分）如图是一个棱长为4厘米的正方体，现分别在它的前面和后面、左面和右面、上面和下面的中心位置分别挖去一个长和宽均为1厘米，高为4厘米的长方体形孔（将六个面都挖通），求剩余部分的体积．28．（4分）已知公式：1+2+3+4+…+n=（n是自然数）根据给出的公式解下面的题：有一个工厂第一个月的利润是a1=100万元，第二个月的利润a2比第一个月的利润a1增加了1万元；第三个月的利润a3比第二个月的利润a1增加了2万元；第四个月的利润a4比第三个月的利润a3增加了3万元；…依此类推，第200个月利润a200比第199个月的利润a199增加了199万元；问第200个月利润a200是多少万元？2013年第1届“实验杯”广东省韶关市北江中学实验学校数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、判断题（对的在括号中打“√”错的打“&#215;”每小题2分，共8分）1．（2分）用0，1，2，3，4组成的最小的五位数是12034×．（判断对错）【解答】解：用0，1，2，3，4组成的最小的五位数是10234；故答案为：×．2．（2分）如果数A的2倍和数B的5倍一样大，那么数A大于数B√．（判断对错）【解答】解：由于2A=5B，又2＜5，则A＞B．故答案为：√．3．（2分）等底等高的两个三角形的周长相等×．（判断对错）【解答】解：根据分析，等底等高的两个三角形面积相等，但是它们的周长不一定相等．因此题干说法错误．故答案为：×．4．（2分）2002年6月30日是星期天，则2002年7月30日是星期二√．（判断对错）【解答】解：6月30日到7月30日一共是30天，30÷7=4（周）…2（天）；余数是2，从星期天向后推算2天就是星期二．故答案为：√．二、选择题（每题都只有一个正确答案，将你认为正确答案的代号填入表格中，每小题2分，共10分）5．（2分）42、56、2002的最大公因数是（）A．2 B．7 C．14 D．21【解答】解：42=2×3×756=2×2×2×72002=2×7×143所以42、56、2002的最大公因数是2×7=14；故选：C．6．（2分）如果=，那么a：b=（）A．12：36 B．1：3 C．3：1 D．3：9【解答】解：如果=，那么a：b=12：36=1：3，故选：B．7．（2分）如果2002□630＞20025630，那么□内最小的数字可以填（）A．3 B．4 C．6 D．9【解答】解：如果2002□630＞20025630，那么□内最小的数字可以填6．故选：C．8．（2分）计算图形的面积是（）A．900 B．800 C．600 D．400【解答】解：（1）（10+30）×20+（30﹣20）×10=40×20+10×10=800+100=900；答：图形的面积是900．故选：A．9．（2分）把一段6米长，体积是3768立方厘米的圆柱形钢材截成两段，使截得的钢材的表面积比原来钢材的表面积增加了多少平方厘米？（操作时损耗忽略不计）（）A．3.14 B．6.28 C．12.56 D．25.12【解答】解：6米=600厘米，3768÷600×2=6.28×2=12.56（平方厘米）；答：使截得的钢材的表面积比原来钢材的表面积增加了12.56平方厘米；故选：C．三、填空题（每小题3分，共24分，将答案填在括号中）10．（3分）2000000平方米200公顷．【解答】解：2000000平方米=200公顷．故答案为：20011．（3分）12和18的最小公倍数是36．【解答】解：12=2×2×3，18=2×3×3，2×3×2×3=36，故答案为：36．12．（3分）五千七百零九万八千零二十三写作57098023．【解答】解：伍千七百零九万八千零二十三写作：57098023．故答案为：5709802313．（3分）如果=，那么3x+9=17．【解答】解：3x=2×43x=83x+9=8+93x+9=17故答案为：17．14．（3分）2002除以6的余数4．【解答】解：2002÷6=333…4；答：余数是4；故答案为：4．15．（3分）某种铁矿石的出铁率是45%，现已炼出纯铁90吨，则需这钟铁矿石200吨．【解答】解：90÷45%=200（吨）答：需这钟铁矿石200吨．故答案为：200．16．（3分）把两个边长都相等的三角形拼成一个周长为48的平行四边形，则这两个三角形的边长都等于12．【解答】解：48÷4=12答：这两个三角形的边长都等于12．故答案为：12．17．（3分）如图，已知圆的面积与长方形的面积相等，则图中阴影部分的面积是圆的面积的75%【解答】解：因为圆的面积与长方形的面积相等，其中长方形中空白部分是面积是圆的面积的，则阴影部分的面积等于圆的面积的：1﹣==75%；答：图中阴影部分的面积是圆的面积的75%；故答案为：75．四、计算题（18、19题每小题5分，20、21每小题5分，共22分，要求写出必要的过程）18．（5分）+﹣．【解答】解：+﹣=+﹣==．19．（5分）解方程：（3x+4）+x=7（x﹣5）【解答】解：（3x+4）+x=7（x﹣5）4x+4=7x﹣354x+4﹣4x=7x﹣35﹣4x3x﹣35=43x﹣35+35=4+353x=393x÷3=39÷3x=13．20．（6分）计算：10÷﹣（1﹣）÷[（÷10）×（1+25%）]﹣10．【解答】解：10÷﹣（1﹣）÷[（÷10）×（1+25%）]﹣10=10×3﹣÷[（×）×（1+）]﹣10=30﹣÷[×]﹣10=30﹣÷﹣10=30﹣×24﹣10=30﹣8﹣10=12．21．（6分）计算：（20.02×37﹣200.2×1.9+2.002×820）÷1÷（1÷2）÷（2÷3）÷（3÷4）【解答】解：（20.02×37﹣200.2×1.9+2.002×820）÷1÷（1÷2）÷（2÷3）÷（3÷4）=20.02×（37﹣19+82）÷1÷÷÷=20.02×100÷1×2××=2002÷1×4=500.5．五、应用题（每小题6分，共24分，要求写出必要的过程）22．（6分）广东北江中学受上级委托组织今年的韶关市导游资格考试，考场准备设50个考室，每个考室需2名监考员，整个考场另需若干名工作人员，已知每个考室平均需要2.4人，问：除了监考员以外，另需安排多少名工作人员？【解答】解：50×2.4=120（名）50×2=100（名）120﹣100=20（名）；答：除了监考员以外，另需安排20名工作人员．23．（6分）小张开汽车，小李骑自行车，二人同时从A地去相距90千米的B地．小张的车速是小李的车速的3倍，小张比小李早到3小时，问小张和小李的车速分别是每小时多少千米？【解答】解：设小李的速度为X千米/时，则小张的速度为3X千米/时，得：90÷X﹣90÷3X=390÷X﹣30÷X=3（90﹣30）÷X=33X=60X=20则3X=30×20=60答：小张的速度是每小时60千米，小李的速度是每小时20千米．24．（6分）有浓度为8%的盐水400克，经煮沸后，变成10%的盐水．水减少了多少克？【解答】解：400﹣400×8%÷10%=400﹣320，=80（克）．答：水减少了80克．25．（6分）某食品厂用同样的花生生产花生油，第一次用了花生1400千克，第二次用的花生是第一次的1倍，已知第一次比第二次少生产花生油135千克，问两次共生产花生油多少千克？【解答】解：135÷（1﹣1）×（1+1）=135×=135××=495（千克）；答：两次共榨油495千克．六、综合题（每小题4分，共12分，请写出必要的解题过程）26．（4分）在2002年日韩世界杯足球赛中，中国队被分到了C组，同组的还有另外三支球队，根据比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，问中国队比赛三场后的积分不可能得多少分？【解答】解：（1）3场全负，得0分；（2）1平2负，得1分；（3）2平1负，得2分；（4）3平或者1胜2负，得3分；（5）1胜1平1负，得4分；（6）1胜2平，得5分；（7）2胜1负，得6分；（8）2胜1平，得7分；（9）3场全胜，得9分．一共有9种得分的可能，不能的得分是8分，以及9分以上．答：中国队比赛三场后的积分不可能得8分以及9分以上．27．（4分）如图是一个棱长为4厘米的正方体，现分别在它的前面和后面、左面和右面、上面和下面的中心位置分别挖去一个长和宽均为1厘米，高为4厘米的长方体形孔（将六个面都挖通），求剩余部分的体积．【解答】解：4×4×4﹣1×1×4×3+1×1×1×2=64﹣12+2=54（立方厘米）答：剩下的部分的体积是54立方厘米．28．（4分）已知公式：1+2+3+4+…+n=（n是自然数）根据给出的公式解下面的题：有一个工厂第一个月的利润是a1=100万元，第二个月的利润a2比第一个月的利润a1增加了1万元；第三个月的利润a3比第二个月的利润a1增加了2万元；第四个月的利润a4比第三个月的利润a3增加了3万元；…依此类推，第200个月利润a200比第199个月的利润a199增加了199万元；问第200个月利润a200是多少万元？【解答】解：a200=a1+1+2+3+…+199=100+（1+2+3+ (199)=100+（1+199）×199÷2=100+19900=20000（万元）；答：第200个月的利润a200是20000万元．。

广东韶关实验中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设平面向量()()2,1,,2a b x ==-r r ，若a b rr P ，则x 等于（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-2．已知全集{}12345U =，，，，，{}24A B =I ，，{}1234A B =U ，，，，则（ ） A ．2A ∈，2∉B B ．3A ∈，3B ∈ C ．4A ∈，4B ∉D ．5A ∉，5B ∉3．下列所给的等式中正确的为（ ）A ．2π1353=o B ．πtan6C ．3πsin4=D ．π1cos 32⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4．已知θ是第四象限角，且()3sin π5θ+=，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17B ．7-C ．17-D ．75．已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（ ） A ．a a m b b +< B ．a a m b b m+<+ C ．a m ab m b+<+ D ．a ab m b<+ 6．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()π23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()g x xC ．()π26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．ABC ∆所在平面内一点P 满足22sin cos CP CA CB θθ=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ，若2PA BP =u u u r u u u r，则cos 2θ=（ ）A B ． C ．13D ．13-8．已知cos1cos1sin1cos1,log sin1,2a b c =+==，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．c b a >>D ．a c b >>二、多选题9．已知向量()(),1,2,1a m b =-=-r r ，则下列说法正确的是（ ）A ．若1m =，则-=r ra b B ．若a b ⊥r r，则2m =C ．“12m <-”是“a r 与b r 的夹角为锐角”的充要条件 D ．若1m =-，则b r 在a r 上的投影向量的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．已知1sin cos 5αα-=，0πα≤≤，则下列选项中正确的有（ ） A ．12sin cos 25αα= B ．7sin cos 5αα+=-C ．4sin 5α=D ．4tan 3α=11．下列说法正确的是（ ）A ．函数()2sin cos f x x x =是周期为π的奇函数B ．函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线2π3x =对称C ．函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是3ππ,Z 82k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．函数()sin f x x x =的最大值是2，且在区间7π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题12．已知函数()()2log ,02,0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则()5f -=．13．如图，点P ，A ，B 均在边长为1的小正方形组成的网格上，则()2PA PB PA ⋅-=u u u r u u u r u u u r．14．已知πsin 123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．四、解答题15．如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且,,AB a AC b AE c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，试用向量,,a b c r r r表示向量,,CD BC BD u u u r u u u r u u u r .16．如图，在△ABC 中，∠A =30°，D 是边AB 上的点，CD =5，CB =7，DB =3（1）求△CBD 的面积； （2）求边AC 的长.17．（1）已知点()3,P a -为角α终边上一点，且4tan 3α=-，求()cos πα+的值；（2）若π1tan 43β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求2sin22cos ββ+的值.18．①函数211()sin()cos()cos ()(0)22224f x x x x ωωωω+->；②函数1()sin()(0,||)22f x x πωϕωϕ=+><的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 的图象关于原点对称.在以上两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：“已知___________，函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.” （1）求()6f π的值；（2）求函数()f x 在[0,]π上的单调递增区间；（3）记1()2()2h x f x =-，将()h x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()t x 的图象，若对于任意的1x ，2[0,]x m ∈，当12x x <时，都有1221()()()()h x t x h x t x ->-，求m 的取值范围.19．n 个有次序的实数12,,,n a a a u r u u L r u u r 所组成的有序数组()12,,,n a a a u r u u r u u r L 称为一个n r维向量，其中()1,2,i a i n =r L u 称为该向量的第i 个分量.特别地，对一个n r 维向量()12,,,n a a a a =u r u L u r u u r r，若1i a =u r ，1,2i n =r L ，称a r 为n r 维信号向量.设()12,,,n a a a a =u r u L u r u u r r，()12,,,n b b b b =u r u L u r u u r r ，则ar 和b r的内积定义为1n i i i a b a b =⋅=∑r r u r u r ，且0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r .(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量； (2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；(3)已知k 个两两垂直的2024维信号向量12,,,k x x x u r u u r u u rL 满足它们的前m 个分量都是相同的，45.。

韶关初中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的相反数是-3，那么这个数是？A. 3B. -3C. 0D. 6答案：A3. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 矩形C. 梯形D. 不规则多边形答案：B4. 计算下列表达式的结果：\[ 2^3 \times 3^2 \]A. 12B. 18C. 36D. 72答案：D5. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A6. 一个三角形的三个内角分别是40°、50°和90°，这个三角形是什么类型的三角形？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B7. 下列哪个分数是最简分数？A. \(\frac{4}{8}\)B. \(\frac{3}{6}\)C. \(\frac{5}{10}\)D. \(\frac{7}{9}\)答案：D8. 一个数的平方是36，这个数可能是？A. 6B. -6C. 6或-6D. 36答案：C9. 一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米和3厘米，它的体积是多少？A. 60立方厘米B. 120立方厘米C. 180立方厘米D. 240立方厘米答案：A10. 计算下列表达式的值：\[ (-2)^2 - 3 \times 4 \]A. 0B. 4C. 10D. 14答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的绝对值是5，这个数可能是______。

答案：5或-512. 一个数除以-2等于3，那么这个数是______。

答案：-613. 一个等腰三角形的底角是70°，那么顶角是______。

答案：40°14. 一个长方体的体积是120立方厘米，底面积是30平方厘米，那么它的高是______。

韶关市一中实验学校2005年数学竞赛试题 共 2页（第1页）2005年韶关一中实验学校“实验杯”知识竞赛 数 学 试 题 2005.7.10（竞赛时间：80分钟，满分120分）一、选择题。

（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共15分）1、小王编了一个计算程序，当输入任何一个数时，屏幕将显示这个数的3倍与2的和，若先输入0，再将结果输入一次后，则屏幕将显示（ ） A 、0 B 、2 C 、6D 、82、和你的数学课本封面的面积接近的是（ ）A 、0.2平方米B 、2平方分米C 、20平方厘米D 、200平方毫米3、通过对三个式子的分析△+△+△=75，□×△=100，□÷□=120，可知□是（ ） A 、100 B 、600 C 、480 D 、7204、一个三角形的三个内角的度数的比是3︰4︰5，那么这个三角形是（ ） A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定5、下图中有四个正方体，只有一个是用左边的纸片折成的，请指出是哪一个（ ）二、填空题：（第6题4分，7～15每小题3分，共31分） 6、直接写出下列各题的计算结果：（1）3÷14 －14 ÷3=＿＿＿＿ （2）1.5÷1.5÷（÷1.5－1.5）×58 =＿＿＿＿ （3）23 ÷0.75÷13 ÷1.25=＿＿＿＿ （4）11×10111 =＿＿＿＿7、如果甲比乙多2倍，乙比丙多12 倍，则甲︰乙︰丙=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿8、冬季练长跑，小明今年跑100千米，比去年的2倍还多8千米，去年小明跑多少千米？设去年小明跑x 千米，则可得方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（只列式）。

9、王华同学期中考试语文、数学、体育三科平均84分，加上英语后，四科平均成绩比原三科的平均成绩高1.5分，则英语得了＿＿＿＿分。

2003年“实验杯”广东省韶关一中明星学校数学竞赛试卷一、选择题．（每小题2分，共20分）1．（2分）已知a÷b=2c，4c应等于（）A．2a÷2b B．2a÷b C．4a÷b D．a÷4b2．（2分）如果a÷=b×（a、b都是自然数），那么（）A．a＜b B．a≥b C．a=b D．a≤b3．（2分）一个比的前项是8，如果前项增加16，要使比值不变，后项应该（）A．增加16 B．乘2 C．除以4．（2分）求7m比4m多百分之几，正确列式是（）A．（7﹣4）÷7 B．（7﹣4）÷4 C．1﹣4÷7 D．7÷4﹣15．（2分）把2米长的铁丝平均分成7段，每段占全长的（）A．B．米 C．米 D．6．（2分）一根要料，锯成3段，需6分钟，如果锯成6段需（）A．9分钟B．12分钟C．15分钟D．10分钟7．（2分）一个边长4cm的正方形，把4个角各减去边长为1cm的小正方形，那么它的周长（）A．减少16cm B．增加8cm C．减少8cm D．不变8．（2分）一个平行四边形和一个三角形的底相等，它们的面积的比是1：2，它们高的比是（）A．2：1 B．1：4 C．1：19．（2分）小王、小李和小张，同时各做120个同样的机器零件，当小王做完时，小李做了100个，小张做了60个，照这样计算，小李做完时，小张还差（）个没做．A．48 B．40 C．2010．（2分）一条公路修了全长的，离中点还有40千米，这条公路的全长的正确算式是（）A．40÷（1﹣）B．40÷C．40÷（﹣）二、填空题：（共29分）11．（6分）在下列括号中，填上适当的整数．3÷=0.6===%=：．12．（2分）在下面横线里填上合适的数．÷﹣×=；1÷（×﹣）=3．13．（3分）三个数的平均数是50，这三个数比是3：7：5，它们分别是、和．14．（2分）已知两个自然数的乘积是540，它们的最大公约数是6，那么它们的最小公倍数是．15．（2分）在a÷b=9…5中，把a、b同时扩大3倍后，商是，余数是．16．（3分）在不等式×＜1的括号中，可以填的自然数是．17．（5分）按规律填数（1），，，，，，（2 ），，，，，．18．（2分）一个最简真分数，它的分子与分母的和是14．这个最简真分数最大是，最小是．19．（2分）把一个四边都是5厘米的平行四边形拉成一个正方形后，面积增加了7.5平方厘米，原来平行四边形的高是厘米．20．（4分）一个长方体木料的长和宽都是4分米，高是8分米，这根木料的体积是；如果把这根木料锯成两个正方体，那么这两个正方体的表面积的和是．21．（2分）一个长方形的面积是210平方厘米，它的长和宽的厘米数是两个连续的自然数，这个长方形的周长是厘米．三、计算题．（每小题12分，共12分）22．（12分）（1）8÷（×+×）；（2）3.625×7.75+3.625×1.25+3.625；（3）（1﹣）×÷[1+÷]．四、列方程解下列两题文字叙述题．（每小题10分，共10分）23．（10分）（1）一个数的2倍的，比3的还多，这个数是多少？（2）甲乙两数的和是50，如果甲数去掉它的，乙数去掉1后，两数正好相等，甲乙两数原来各是多少？五、综合运用知识，解决下面的实际问题．（25分）24．（5分）如图，以三角形的三个顶点为圆心的三个等圆（等圆就是半径相等的圆），互不相交，三个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积．（π取3.14）25．（10分）如图是明星超市2002年下半年销售商品情况统计图．看图回答下面问题：（1）哪个月分的销售量最大？哪个月份的销售量最小？（2）哪个月与上个月销售量相比是下降的．（3）哪两个月之间的销售量增长的最快？（4）八月份比七月份的销售量增长了%．26．（10分）某市的民用电费原来每度是0.72元，今年4月份开始调整电价，为鼓励市民节约用电，调整方案如下：（1）每月用电不超过50度，每度提价0.13元．（2）超过50度的，超过部分每度提价0.28元．小张同学家今年5月份交电费58元，求小张家5月份用了多少度电？2003年“实验杯”广东省韶关一中明星学校数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题．（每小题2分，共20分）1．（2分）已知a÷b=2c，4c应等于（）A．2a÷2b B．2a÷b C．4a÷b D．a÷4b【解答】解：由题意可知，（4c）÷（2c）=2，由根据商不变的性质，可知商扩大了2倍，A选型被除数和除数同时扩大了2倍，商不变，所以排除A；B选项，被除数扩大了2倍，除数不变，那么商也扩大2倍，即4c，符合题意；C选项被除数扩大4倍，除数不变，商扩大4倍，不符合；D选项被除数不变，除数扩大4倍，商缩小4倍，也不符合题意．故选：B．2．（2分）如果a÷=b×（a、b都是自然数），那么（）A．a＜b B．a≥b C．a=b D．a≤b【解答】解：如果a÷=b×（a、b都是自然数），那么a≤b．故选：D．3．（2分）一个比的前项是8，如果前项增加16，要使比值不变，后项应该（）A．增加16 B．乘2 C．除以【解答】解：一个比的前项是8，如果前项增加16，变成24，相当于前项扩大了3倍，要使比值不变，后项也应该扩大3倍，即后项乘3或除以．故选：C．4．（2分）求7m比4m多百分之几，正确列式是（）A．（7﹣4）÷7 B．（7﹣4）÷4 C．1﹣4÷7 D．7÷4﹣1【解答】解：（7m﹣4m）÷4m=（7﹣4）÷4（与选项B相同）=3÷4=75%答：7m比4m多75%．故选：B．5．（2分）把2米长的铁丝平均分成7段，每段占全长的（）A．B．米 C．米 D．【解答】解：根据分数的意义，每段是全长的：1÷7=．故选：D．6．（2分）一根要料，锯成3段，需6分钟，如果锯成6段需（）A．9分钟B．12分钟C．15分钟D．10分钟【解答】解：6÷（3﹣1）×（6﹣1）=6÷2×5=3×5=15（分钟），答：锯成6段需要15分钟．故选：C．7．（2分）一个边长4cm的正方形，把4个角各减去边长为1cm的小正方形，那么它的周长（）A．减少16cm B．增加8cm C．减少8cm D．不变【解答】解：根据平移的知识可知：两种图形的周长都为4×4=16（cm），即不变．故选：D．8．（2分）一个平行四边形和一个三角形的底相等，它们的面积的比是1：2，它们高的比是（）A．2：1 B．1：4 C．1：1【解答】解：设平行四边形的高为H，三角形的高为h，平行四边形的面积：三角形的面积=1：2，即2×底×H=底×h，2H=h，所以H：h=1：4；故选：B．9．（2分）小王、小李和小张，同时各做120个同样的机器零件，当小王做完时，小李做了100个，小张做了60个，照这样计算，小李做完时，小张还差（）个没做．A．48 B．40 C．20【解答】解：设小李完成120个任务小张做了x个，按照小李和小张的比例：100：60=120：x100x=60×120x=x=72所以小张还剩120﹣72=48；答：小张还差48个没做．故选：A．10．（2分）一条公路修了全长的，离中点还有40千米，这条公路的全长的正确算式是（）A．40÷（1﹣）B．40÷C．40÷（﹣）【解答】解：根据题意列式为：40÷（﹣）．故选：C．二、填空题：（共29分）11．（6分）在下列括号中，填上适当的整数．3÷5=0.6===60%=3：5．【解答】解：3÷5=0.6===60%=3：5．故答案为：5，30，12，60，3，5．12．（2分）在下面横线里填上合适的数．÷﹣×=；1÷（×﹣）=3．【解答】解：设要求的数为x，x÷﹣×=x÷﹣=x÷﹣=x÷×=x=设要求的数为y，1÷（×y﹣）=3×y﹣=×y﹣=×y=y=故答案为：，．13．（3分）三个数的平均数是50，这三个数比是3：7：5，它们分别是30、70和50．【解答】解：50×3=150，150×=30，150×=70，150×=50；答：这三个数分别是30、70、50．故答案为：30、70、50．14．（2分）已知两个自然数的乘积是540，它们的最大公约数是6，那么它们的最小公倍数是90．【解答】解：由分析知，540÷6=90，故答案为：90．15．（2分）在a÷b=9…5中，把a、b同时扩大3倍后，商是9，余数是15．【解答】解：5×3=15；答：商是9，余数是15．故答案为：9，15．16．（3分）在不等式×＜1的括号中，可以填的自然数是0，1，2，3，4，5．【解答】解：×＜1，因为分母是7×4=28，分子是5×（）＜28即可，所以（）可以填0，1，2，3，4，5；故答案为：0，1，2，3，4，5．17．（5分）按规律填数（1），，，，，，（2 ），，，，，．【解答】解：（1），，，，，；（2 ），，，，．故答案为：（1）；（2）．18．（2分）一个最简真分数，它的分子与分母的和是14．这个最简真分数最大是，最小是．【解答】解：因为14=1+13，14=3+11，14=5+9，所以其中组成的真分数最大，最小．故答案为：，．19．（2分）把一个四边都是5厘米的平行四边形拉成一个正方形后，面积增加了7.5平方厘米，原来平行四边形的高是 3.5厘米．【解答】解：（5×5﹣7.5）÷5=（25﹣7.5）÷5=17.5÷5=3.5（厘米）．答：原来平行四边形的高是3.5厘米．故答案为：3.5．20．（4分）一个长方体木料的长和宽都是4分米，高是8分米，这根木料的体积是128立方分米；如果把这根木料锯成两个正方体，那么这两个正方体的表面积的和是192平方分米．【解答】解：（1）4×4×8，=16×8，=128（立方分米）；答：这个木料的体积是128立方分米．（2）4×8×4+4×4×2+4×4×2，=128+32+32，=192（平方分米）；答：这两个正方体的表面积的和是192平方分米．故答案为：128立方分米；192平方分米．21．（2分）一个长方形的面积是210平方厘米，它的长和宽的厘米数是两个连续的自然数，这个长方形的周长是58厘米．【解答】解：设这个长方形的宽为x厘米，则长为（x+1）厘米，x（x+1）=210，利用因式分解可得：x=14，x+1=15；长方形的周长：（14+15）×2=58（厘米）．答：这个长方形的周长是58厘米．故答案为：58．三、计算题．（每小题12分，共12分）22．（12分）（1）8÷（×+×）；（2）3.625×7.75+3.625×1.25+3.625；（3）（1﹣）×÷[1+÷]．【解答】解：（1）8÷（×+×）=8÷（+）=8÷2=4；（2）3.625×7.75+3.625×1.25+3.625=3.625×（7.75+1.25+1）=3.625×10=36.25；（3）（1﹣）×÷[1+÷]=×÷[1+]=÷1=．四、列方程解下列两题文字叙述题．（每小题10分，共10分）23．（10分）（1）一个数的2倍的，比3的还多，这个数是多少？（2）甲乙两数的和是50，如果甲数去掉它的，乙数去掉1后，两数正好相等，甲乙两数原来各是多少？【解答】解：（1）（3×+）÷÷2=（+）÷÷2=÷÷2=3÷2=．答：这个数是．（2）设甲数为x，那么乙数就是（50﹣x）；由题意得：50﹣x﹣（1﹣）x=1x=49x=28；50﹣x=50﹣28=22；答：甲数是28，乙数是22．五、综合运用知识，解决下面的实际问题．（25分）24．（5分）如图，以三角形的三个顶点为圆心的三个等圆（等圆就是半径相等的圆），互不相交，三个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积．（π取3.14）【解答】解：圆的半径：50.24÷（2×3.14）=50.24÷6.28=8（厘米）；阴影部分的面积：3.14×82÷2=200.96÷2=100.48（平方厘米）；答：阴影部分的面积是100.48平方厘米．25．（10分）如图是明星超市2002年下半年销售商品情况统计图．看图回答下面问题：（1）哪个月分的销售量最大？哪个月份的销售量最小？（2）哪个月与上个月销售量相比是下降的．（3）哪两个月之间的销售量增长的最快？（4）八月份比七月份的销售量增长了100%．【解答】解：（1）从图中折线变化情况一眼看出12月销售量最大，7月销售量最小；（2）从图中折线变化情况看出11月与上个月销售量相比是下降的；（3）11月和12月之间的销售量增长的最快；增长了600﹣400=200（万元）；（4）（300﹣150）÷150=150÷150=100%答：八月份比七月份的销售量增长了100%．故答案为：100．26．（10分）某市的民用电费原来每度是0.72元，今年4月份开始调整电价，为鼓励市民节约用电，调整方案如下：（1）每月用电不超过50度，每度提价0.13元．（2）超过50度的，超过部分每度提价0.28元．小张同学家今年5月份交电费58元，求小张家5月份用了多少度电？【解答】解：58﹣50×0.72=58﹣36=22（元）22÷（0.72+0.28）=22÷1=22（度）50+22=72（度）答：小张家5月份用了72度电．。

2023-2024学年度第二学期高一期末检测数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、班级和准考证号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 R U=，集合{}|11A x x =−≤≤，{2,1,0,1,2}B =−−，则()U B A ∩=（）A.{2}B.{2,2}−C.{1,0,1}− D.{0,1,2}【答案】B 【解析】【分析】根据集合交并补运算的定义即可求解.【详解】由题意可得{1UA x x =<− 或}1x >，故()UB A ∩={2,2}−， 故选：B2.已知向量()()2,1,1,a b λ==−，若()a b a +⊥，则λ=（ ）A.3B.3− C.1D.1−【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系的坐标表示，列式计算即得.【详解】依题意，()1,1a b λ+=+，由()a b a +⊥，得0()21a a b λ⋅=+=++，所以3λ=−.3. 5cos6π=A.12B. 12−C.D. 【答案】D 【解析】【分析】直接根据特殊角的三角函数值，得出答案.【详解】根据特殊角的三角函数值，可知5πcos6=故选D. 【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.从0到π内特殊角的三角函数值需要熟练记忆. 4. 函数()3ln f x x x =⋅的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】应用排除法，结合奇偶性定义判断()f x 奇偶性，由解析式判断1()2f 的符号，即可确定图象.【详解】由()33()ln ln ()f x x x x x f x −=−⋅−=−⋅=−且定义域为{|0}x x ≠，函数为奇函数，排除A 、C ；又1ln 2()028f =−<，排除B. 故选：D.5. 以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积A. 2πB.C. 4πD.【答案】B 【解析】【分析】根据题意分析可知该三角形旋转一周所得几何体为2个共底面，且底面半径为1的圆锥拼接而成，结合圆锥的侧面积公式运算求解.【详解】由题意可知：等腰直角三角形斜边的高为1，该三角形旋转一周所得几何体为2个共底面，且底面半径为1的圆锥拼接而成， 所以所得几何体表面积为2π1××=. 故选：B.6. 已知,m n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线,m n 与平面α所成角相等，则//m nB. 若平面α上有三个不同点到平面β的距离相等，则//αβC. 若m 上有两个不同点到平面α的距离相等，则//m αD. 若,,//,//m n m n αββα⊂⊂，且直线,m n 异面，则//αβ 【答案】D 【解析】【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系逐一判断即可．【详解】对于A,比如在正方体1111ABCD A B C D −中，直线1111,A B A C 与平面ABCD 所成角均为0 ， 但1111,A B A C 相交，A 错误；对于B ，直线11B C 上的点到平面ABCD 的距离相等，的故平面11B C DA 上有三个不同点到平面ABCD 的距离相等， 但平面ABCD 与平面11B C DA 相交，B 错误；对于C ，点,A C 到平面11BDD B 的距离相等，但直线AC 与平面11BDD B 相交，故C 错误；对于D ，若m α⊂，//m β，故过m 可作一平面γ，使得m λβ′∩=，则//m m ′， 由于m ，n 异面，n β⊂，所以m ′，n 相交，否则//m n ′，进而可得//m n ， 这与m ，n 异面矛盾，所以m ′，n 相交，结合m ′，n β⊂，//m α′，//n α， 所以则//αβ，D 正确． 故选：D ．7.一艘船以4 km/h 的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则船实际航程为( )A. kmB. 6 kmC. kmD. 8 km【答案】B 【解析】【分析】可先求船速与水速的合速度，再计算实际航程．【详解】设船的速度为a ，水的速度为b ，则船的实际航行速度为a b +，于是有222()a b a a b b ++⋅+=116242()42+×××−+ =12a b +=2船实际航程为=6．答案B ．【点睛】本题考查向量在实际生活中的应用，此问题含有明显的物理意义，理解其物理含义并用向量进行表示是解题的关键．通常学科含义与数学的结合是解决跨学科问题关键，重点在于考查学生的转化能力与创新能力．8. 如图，某工程队将从A 到D 修建一条隧道，工程队从A 出发向正东行 到达B ，然后从B 向南偏西45°方向行了一段距离到达C ，再从C 向北偏西75°方向行了到达D . 已知C 在A 南偏东15°方向上，则A 到D 修建隧道的距离为（ ）km.A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】由题意，在△ABC 中，由正弦定理得AC ，在△ACD 中，由余弦定理求得AD ． 【详解】连接AC ，可得45,751560,7545120ABCACD BCD ∠=°∠=°−°=°∠=°+°=°，60,ACB AB ∠=°=，CD =，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，=，则AC =，在ACD 中，由余弦定理得2222cos 152AD AC CD AC CD ACD =+−⋅∠=，则AD =． 故选：C ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ）A. 当1m =−时，复数()11i z m m =++−是纯虚数B. 复数()()1i 1i z =+−对应的点在第一象限C. 复数z 及其共轭复数z 满足23i z z +=−，则1i z =−D. 复数65i +与34i −+分分别对应向量 OA 与 OB ，则向量 BA表示的复数为9i +【答案】ACD 【解析】【分析】根据纯虚数的定义即可判定A ，根据复数乘法化简即可得对应的点求解B ，根据待定系数法求解复数，即可判定C ，根据复数的几何意义，结合向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A ，当1m =−时，02i 2i z =−=−为纯虚数，故A 正确； 对于B ，(1i)(1i)2z =+−=，对应的点(2,0)位于实轴上，故B 错误； 对于C ，设i z a b =+，a ，R b ∈，则i z a b =−，由23i z z +=−得2(i)i 3i 3i a b a b a b ++−=+=−，即331a b = =−，解得11a b = =− ，故1i z =−，故C 正确；对于D ，复数65i +与34i −+分别对应向量OA 与OB， 则向量BA表示的复数为65i (34i)9i +−−+=+，故D 正确． 故选：ACD ． 10. 已知π3是函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x =−−的一个零点.则（ ）A. a =B. 函数()f x 的值域为[]22−,C. 函数()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k++∈Z D. 不等式()0f x ≥的解集为∅ 【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：代入π3x =运算求解即可；对于B ：整理可得π()2sin 226f x x =−−，结合正弦函数的有界性分析求解；对于C ：以π26x −为整体，结合正弦函数的单调性分析求解；对于D ：结合选项B 中的值域分析判断.【详解】由题意可得：2()2sin cos 2cos 1sin 2cos 22f x a x x x a x x =−−=−−，因为π2π2π1sincos 2203332f a=−−=+−=，解得a =A 正确；则π()2cos 222sin 226f x x x x=−−=−− ，因为[]πsin 21,16x−∈−，则[]()4,0f x ∈−， 所以函数()f x 的值域为[]4,0−，故B 错误； 令ππ3π2π22π,262k x k k +≤−≤+∈Z ，解得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ， 所以函数()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k++∈Z ，故C 正确； 由选项B 可知：当ππ22π,62x k k −=−∈Z ，即ππ,6x k k =−∈Z 时，()0f x =， 所以不等式()0f x ≥的解集不为空集，故D 错误； 故选：AC.11. 已知点 O 是平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为 ()1,2，点B 的坐标为 ()4,5，作AD OB ⊥，垂足为D ，则下列结论正确的是（ ）A. 3AB =B. 设 OP mOA AB =+ ，四边形OABP 有可能是平行四边形 C. 将OB绕 O 逆时针旋转90°得到向量 1OB，则1B 的坐标为()5,4−D. AD =【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据向量的模长公式运算求解；对于D ：根据向量的线性运算结合向量相等运算求解即可；对于C ：根据三角函数值的定义结合诱导公式运算求解；对于D ：结合向量投影运算求解.【详解】由题意可得：()()()1,2,4,5,3,3OA OB AB===，对于选项A ：可得AB =，故A 错误；对于选项B ：因为()3,23OP mOA AB m m =+=++，若四边形OABP 是平行四边形，则OP AB =，可得33233m m +=+=，解得0m =， 所以四边形OABP 有可能是平行四边形，故B 正确； 对于选项C ：设BOx α∠=，则()cos ,sin B OB OB αα，即cos 4sin 5OB OB αα = =，可知1π2B Ox α∠=+， 则1πcos cos sin 52OB B Ox OB OB αα∠=+=−=−， 1πsin sin cos 42OB B Ox OB OB αα∠=+==， 所以1B 的坐标为()5,4−，故C 正确；对于选项D ：由题意可知：OA 在OB方向上的投影为OA OB OB⋅=，所以AD = ，故D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.12 已知复数21iz i=−，则z =________．【解析】【详解】试题分析：()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=−+−−+，所以z = 考点：复数模的概念与复数的运算. 13. 若ππ44α−<<且cos 4πα + 则 πtan 4α += ______，sin 4πα −= ______ 【答案】 ①. 2 ②..【解析】【分析】根据题意结合同角三角关系可得πsin 4α +，进而可得πtan 4α + ，再根据πππ424αα−=−+结合诱导公式运算求解. 【详解】因为ππ44α−<<，且πcos 4α+ ，则ππ042α<+<，可得πsin 4α +所以πsin π4tan 2π4cos 4ααα++==+；ππππsin sin cos 4244ααα −=−+=+=. 故答案为：214. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点M 为棱1CC 的中点，记过点1B 与AM 垂直的平面为α，平面α将正方体分成两部分，体积较大的记为V 大，另一部分的体积为A V ，则AVV =_______.【答案】177##327【解析】【分析】做辅助线，根据垂直关系可证AM ⊥平面11B EFD ，可知平面α即为平面11B EFD ，进而结合三棱台的体积公式分析求解.【详解】分别取,BC CD 的中点,E F ，连接11,,B E EF D F ，则EF ∥BD ，且1BB ∥1DD ，11BB DD =，可知11BB D D 为平行四边形，则BD ∥11B D ， 可得EF ∥11B D ，即11,,,E F B D 四点共面，因为AB ⊥平面11BCC B ，1B E ⊂平面11BCC B ，则1AB B E ⊥， 又因为111tan 2,tan 2B B CM B EB MBC BE BC ∠==∠==， 即1tan tan 1B EB MBC ∠⋅∠=，可知1π2B EB MBC ∠+∠=，可得1BM B E ⊥， 且= AB BM B ，,AB BM ⊂平面ABM ，可得1B E ⊥平面ABM ，由AM ⊂平面ABM ，可得1B E AM ⊥， 连接1111,,,AC BD A C B D ，因为1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 又因为1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，则111AA B D ⊥， 且1111A C AA A = ，111,AC AA ⊂平面11AACC ， 可得11BD ⊥平面11AAC C ，由AM ⊂平面11AAC C ，可得11B D AM ⊥， 且1111BE B D B = ，111,B E B D ⊂平面11B EFD ，可得AM ⊥平面11B EFD ，可知平面α即为平面11B EFD ， 设正方体的棱长为2，则正方体的体积为2228××=，三棱台111B C D ECF −的体积为11712283232 ++×=<× ， 可知73A V =，717833V =−=，所以17173773A V V ==.故答案为：177. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用垂直关系分析可知平面α即为平面11B EFD ，进而分析体积.四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos .b A B =（1）求B ；（2）若1,a b==ABC 的面积. 【答案】（1）π3B =（2 【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得tan B =（2）利用余弦定理可得2c =，再结合面积公式运算求解.【小问1详解】因为bsinA =，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，且()0,πA ∈，则sin 0A ≠，可得sin B B =，即tan B =，且()0,πB ∈，所以π3B =. 【小问2详解】由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+−， 即2131212c c =+−×××，整理可得220c c −−=，解得2c =或1c =−（舍去），所以ABC 的面积11sin 1222ABC S ac B ==××=△16. 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如: 如图甲，在ABC 中，D 为BC 的中点，则在ABD △ 中，有AD AB BD =+ ，在ACD 中，有AD AC CD =+，两式相加得，2.AD AB BD AC CD =+++ 因为 D 为 BC 的中点，所以0BD CD += ，于是2.AD AB AC =+ 如图乙，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点.（1）如图乙，请用“算两次”的方法证明：2EF AB DC =+ ；（2）如图乙，若1,2,AB DC AB == 与DC 的夹角为60°，求EF 与AB 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2【解析】【分析】（1）根据题意结合向量加法分析证明；（2）根据题意结合（1）可求,EF AB EF ⋅ ，进而结合向量夹角公式运算求解.【小问1详解】因为,EF E EA AB BF ED DC F CF =++=++， 则()(()2EF EA ED AB DC BF CF =+++++ ， 且E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则0,0EA ED BF CF +=+= ，所以()200EF AB DC AB DC =+++=+ . 【小问2详解】 由题意可知：1,2,cos 601ABDC AB DC AB DC ==⋅=⋅°= ， 由（1）可知：2EF AB DC =+ ，即()12EF AB DC =+ ， 则()()211122EF AB AB DC AB AB AB DC ⋅=+⋅=+⋅= ， ()()22221172444EF AB DC AB AB DC DC =+=+⋅+=，即EF = 所以EF 与AB的夹角的余弦值cos ,EF AB EF AB EF AB⋅==⋅ . 17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，,,AB BC E F ⊥分别为棱11,A C BC 的中点.（1）求证：1//C F 平面ABE（2）求证：平面ABE ⊥平面11BCC B（3）若12AB BC AA ===，求二面角E AB C −− 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3）5 【解析】【分析】（1）取AB 的中点M ，由中位线定理可得//MF AC ，12MF AC =，推出四边形1MFC E 是平行四边形，进而可得1//ME C F ，再由线面平行的判定定理，即可得出答案．（2）由线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面11BCC B ，进而可得答案．（3）取AC 的中点G ，连接EG E AB C −−的平面角为EMG ∠，再计算余弦值，即可得出答案．【小问1详解】证明：取AB 的中点M ，因为F 为棱BC 中点，所以//MF AC ，12MF AC =， 又11//AC AC ，11AC AC =，E 为11A C 的中点， 所以1//MF EC ，1MF EC =，所以四边形1MFC E 是平行四边形，所以1//ME C F ，又1C F ⊂/平面ABE ，ME ⊂平面ABE ，所以1//C F 平面ABE ．的【小问2详解】证明：因为三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，所以1BB ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥，又AB BC ⊥，1BB BC B = ，1BB ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面11BCC B ，【小问3详解】取AC 的中点G ，连接EG ，因为M 为AB 的中点，所以//MG BC ，又AB BC ⊥，所以MG AB ⊥，又直三棱柱的几何特征可得EG ⊥面ABC ，又AB ⊂面ABC ，所以EG AB ⊥，又MG EG G = ，MG ⊂平面EMG ，EG ⊂平面EMG ，所以AB ⊥平面EMG ，又EM ⊂平面EMG ，所以AB EM ⊥，所以二面角E AB C −−的平面角为EMG ∠，因为12AB BC AA ===， 所以1MG =，2EG =，在Rt EGM 中，ME ===，所以cos EMG ∠，所以二面角E AB C −−的余弦值为5．18. 已知函数()sin()1(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+−>><<的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为π2．若将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称． （1）求函数()f x 的解析式；（2）已知常数R λ∈，*n ∈N ，且函数()()sin Fx f x x λ=−在()0,πn 内恰有2025个零点，求常数λ与n 的值． 【答案】（1）()2cos 21f x x =− （2）3λ=−，1350n =【解析】【分析】（1）由最大值得A ，则周期得ω，写出变换的函数解析式，由对称性得ϕ，得函数解析式；（2）首先确定0λ≠，即sin 0x ≠，这样零点问题转化为14sin sin x x λ=−，求得函数14sin sin x x−的最大值和最小值，然后讨论方程解的个数，分类讨论求得,n λ．小问1详解】依题意可知：11A −=，可得2A =，π22T =，即πT =，且0ω>，可得2π2π2πT ω===， 则()()2sin 21f x x ϕ=+−，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到的函数为()π2sin 22g x x ϕ =++， 因为()g x 图象关于原点中心对称，则有ππ2k ϕ+=，k ∈Z ． 且0πϕ<<，2ϕπ=， 所以π()2sin()12sin 212cos 212f x x x x ωϕ=+−=+−=− ．【小问2详解】由题意可知：2()2cos 21sin 14sin sin F x x x x x λλ=−−=−−当0λ=时，2()14sin F x x =−，则()F x 在(0,π)n 内的零点个数为偶数个，因为()F x 在(0,π)n 内恰有2025个零点，为奇数个零点，故0λ≠，【由sin 0x ≠，()0F x =可得14sin sin x x λ=−， 设[]sin 1,1t x =∈−，则1()4h t t t=−， 可知()h t 在[1,0)−和(0,1]上递减，且(1)3h −=，(1)3h =−， ①若3λ=，由14sin 3sin x x −=得sin 1x =−或1sin 4x =， 则13220252n − ×+=（n 为奇数）或320252n ⋅=（n 为偶数），解得n 不是整数，舍去； ②若3λ=−，由14sin 3sin x x −=−得sin 1x =或1sin 4x =−， 则由13120252n − ×+=（n 为奇数），解得n 不是整数，舍去； 或320252n ⋅=， 解得1350n =； ③若33λ−<<且0λ≠，()F x 在(0,)n π内的零点个数为偶数；④3λ>或3λ<−，()F x 在(0,)n π内的零点个数为偶数．综上所述：3λ=−，1350n =．【点睛】关键点点睛：解题关键是把方程进行变形转化为能利用正弦函数的周期性确定解的个数，同时注意分离参数法的应用．19. 设函数()f x 定义域为D ，对于区间[](),,I a b a b I D =<⊆，若满足以下两条性质之一，则称I 为()f x 的一个“Ω区间”.性质1: 对任意x I ∈，有()f x I ∈；性质2: 对任意x I ∈，有()f x I ∉.（1）分别判断区间[]1,4是否为下列两函数的“Ω区间”，并说明理由；①5y x =−+②2y x= （2）若[]0,2是函数²2y x mx =−+的“Ω区间”，求实数m 的取值范围； （3）已知函数()f x 在R 上单调递减，且()f x 只能满足性质2. 求证: 函数()y f x x =−在 R 上存在唯一的零点0x .【答案】（1）区间[]1,4是函数①5y x =−+的“Ω区间”， 区间[]1,4不是函数②2y x=的“Ω区间”理由见解的析；（2）（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)利用给定定义逐步检验即可；(2)先确定函数²2y x mx =−+满足那条性质，然后在对m 进行讨论，确定()²2f x y x mx ==−+的导函数()'f x 符号以及其取值范围；(3) 设新函数()()g x f x x =−，确定()g x 的单调性，再根据零点存在定理即可得证.【小问1详解】对于①，由一次函数5y x =−+的性质得它在上[]1,4单调递减， 所以当[]1,4x ∈时，[]1,4y ∈，故区间[]1,4是5y x =−+的“Ω区间”， 对于②，由反比例函数2y x=的性质得它在上单调递减， 所以当[]1,4x ∈时，1,22y ∈，此时不满足[]1,4y ∈，也不满足[]1,4y ∉， 故区间[]1,4不是的“Ω区间”；【小问2详解】由题意知[]0,2是函数²2y x mx =−+的“Ω区间”，()0000f =+=，所以满足性质1，所以()²2f x y x mx ==−+，则()'22f x x m =−+，①若0m <时，且[]0,2x ∈，()'220f x x m =−+<，可知()²2f x y x mx ==−+在[]0,2x ∈上单调递减，所以()()00020204402m m f f m << ⇒ ≤<≤≤−+<≤解之得m 不存在故舍之； ②若02m ≤≤时,在[)0,x m ∈时()'220f x x m =−+>，则()f x 在[)0,x m ∈上单调递增， 在(],2x m ∈时，()'220f x x m =−+<，则()f x 在上(],2x m ∈单调递减， 所以()()max f x f m =()()()2202020000204400222m m f f m f m m m ≤≤≤≤ ≥≥ ⇒ ≥−+≥<≤−+≤解之得1m ≤≤ ③若m>2时，()'220f x x m =−+>，则则()f x 在[]0,2x ∈上单调递增， ()()22002200442m m f f m >> ⇒ ≤<≤≤<−+≤ 解之得m 不存在故舍之. 综上可知若[]0,2是函数²2y x mx =−+的“Ω区间”，m ∈ ；【小问3详解】设12,x x 是R 上的任意两个实数，且12x x <，因为()f x 在R 上单调递减，所以()()12f x f x >，则根据不等式运算法则知()()1122f x x f x x −>−，令()()gx f x x =−，所以()g x 在R 上单调递减， 因为()f x 只能满足性质2，所以存在0x ，使得()00f x x ≠，若()00f x x >，则()()0000g x f x x =−>，因为()f x 单调递减，所以当x 足够大时，()f x x <，即()0g x <，所以由()g x 在R 上单调递减可知，存在唯一的'x 使得()'0g x =， 若()00f x x <，()()0000g x f x x =−<，因为()f x 单调递减，所以当x 足够小时，()f x x >，即()0g x >，所以由()g x 在R 上单调递减可知，存在唯一的"x 使得()"0g x=， 综上函数()y f x x =−在 R 上存在唯一的零点0x . 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是利用给定定义，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的取值范围即可．。

填空题53.21÷0.31时，被除数和除数的小数点都要向（_____）移动（______）位。

【答案】右两【解析】计算小数除法时，需要先把小数转化为整数，注意分子分母移动相同的数位解：53.21÷0.31=5321÷31，所以被除数和除数的小数点都要向右移动两位.故答案为：右两填空题两个乘数的积是46.23，其中一个乘数是23，另一个乘数是（___________）。

【答案】2.01【解析】由题意，转化为除法运算，所求的数为46.23÷23.解：46.23÷23=4623÷2300=2.01故答案为：2.01填空题（_______）三角形有三条对称轴，（_______）三角形有一条对称轴，长方形有（_______）条对称轴，正方形有（_______）条对称轴，圆形有（_______）条对称轴。

【答案】等边等腰两四无数【解析】解：等边三角形有三条对称轴，等腰三角形有一条对称轴，长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆形有无数条对称轴.故答案为：等边等腰两四无数填空题升国旗时，国旗的升降运动是（_________）现象，妈妈用拖布拖地是（_________）现象，自行车车轮转了一圈又一圈是（_________）运动。

【答案】平移平移旋转【解析】由平移和旋转的定义可知，平移是沿着直线或者平面运动，旋转是沿着一个中心进行运动.故答案为：平移平移旋转填空题因为4×9=36,36是9和4的（_________），9和4是36的（__________）。

【答案】倍数因数【解析】对于一个乘法算式，乘积是两个乘数的倍数，而两个乘数是乘积的因数.故答案为：倍数因数填空题同时是2、3、5的倍数的最小三位数是（__________），最大三位数是（____________）。

【答案】120 990【解析】略填空题任意两个奇数的和是（_________）数，积是（_________）数。