3数列求和常用方法1

学会数列求和的几种常用方法数列求和是高中数学的一个重要知识点，是高考的热点。

数列求和方法有很多，但在高考中离不开以下三种常用方法。

1、分解为等差数列与等比数列的前n 项和【例1】求222222)2()12(4321n n S n --++-+-=【解】)12(22)21(]2)12(4321[]2)12)][(2()12[()43)(43()21)(21(+-=+-=+-+++++-=+---+++-++-=n n nn n n n n n n S n【例2】设数列}{n a 满足：当5≤n 时，12-=n n a ，当6≥n 时，12-=n a n ，求它的前n项和n S .【解】当5≤n 时，122121222112-=--=++++=-n n n n S ；当6≥n 时，由于前5项成等比数列，从第6项起成等差数列，故)12()172()162()12(5-++-⨯+-⨯+-=n S n62)5)(12162()12(25+=--+-⨯+-=n n n S n ，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-=)6(6)5(122n n n S n n 【例3】求)1()1()1(1122-+++++++++++=n n a a a a a a S【解】当1≠a 时，aa a a a n a a a a a a a a S nn n -+++--=--++--+--+--=1111111111232 即21)1(1]1)1([111a a a a n a a a a a n S n n n ----=-----=+ 当1=a 时，2)1(321+=++++=n n n S n ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠----=+)1(2)1()1()1(121a n n a a a a a n S n n2、裂项相消法【例4】求∑=-=nk n kS 12141【解】由于)121121(211412+--=-k k k ，所以 12)1211(21)]121121()5131()311[(2114112+=+-=+--++-+-=-=∑=n n n n n k S nk n 【例5】求∑=-+=nk n k k S 122391【解】由于)231131(3123912+--=-+k k k k ，所以 23)23121(31)]231131()7151()5121[(31239112+=+-=+--++-+-=-+=∑=n nn n n k k S nk n 一般地，数列}{n a 是公差d 不为零且各项不为零的等差数列，则∑=+=nk k k n a a S 111与∑=+=nk k k n a a S 121的求和问题都是用裂项求和法。

数列求和的常用方法
1、求和公式：求和公式又称为累加公式，是给定一系列数据的加总结果，它
让我们更容易地求得更多数据的总和。

求和公式非常适用于数学计算中的求和，即计算最后一系列数字的和。

2、列表求和：列表求和是计算大量的数字加总的简单方法，即将一系列的数
字列出成一个表格，然后对表格中的每一行数据进行求和，最后统计每一行数据的总和，然后得到最终的总和。

3、迭代：迭代求和是一种求和算法，它主要通过重复地加上每一项便可求出
整个数列的和。

它的算法比较简单，只要循环遍历数列，每一次都求出当前循环项和前面项的值，最终求得数列的总和。

4、求积求和：求积求和也称为立方求和，它使用幂的形式来表示数列的和，
可以将数列分成几个较小的组，每组内的数字乘以相应的幂，然后求出每个组的乘积之和。

5、折半求和：折半求和是求一般多项式系数的和的一种技巧，它可以将一个
大数列的和拆分成两个小数列，每一个小数列分别做求和，最后将这两个结果相加，得到最终的总和。

6、分段求和：分段求和是一种求解比较复杂数列的求和方法，它可以将一个
大数列变成一个个小段，比如三角形中每一条边，然后分别求出每一段的和，再将得到的所有段数的和加起来，就得到这个数列的总和。

7、数列求和：数列求和是一种有用的数学技能，它可以帮助我们快速求出数
列的总和。

有多种不同的求和方法，比如将数列分成特定数量的部分，然后分别计算每部分数列的总和，再将他们加起来，就能求此数列的总和。

数列的求和数列求和主要思路：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 11123(1)2nn k S k n n n ===+++++=+∑… 4、2222211123(1)(21)6nn k S k n n n n ===++++=++∑5、 2333331(1)1232nn k n n S kn =+⎡⎤===++++=⎢⎥⎣⎦∑ 公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例1．求和221-++++n xx x (0,2≠≥x n )二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S例3．求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的例4．求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例5．已知数列{}n a 的通项公式321n n a n =+-，求数列{}n a 的前n 项和n S 。

数列求和公式的几种方法数列求和是数学中的一个重要问题，其解法有多种，下面将介绍几种常用的求和方法。

1.等差数列求和公式：当数列为等差数列时，可以使用等差数列求和公式来求和。

设首项为a，公差为d，共有n项，则等差数列的和Sn可以通过公式给出：Sn=(n/2)*(2a+(n-1)d)这个公式的推导比较复杂，不再详述。

2.等差数列求和的几何解释：我们可以通过对等差数列进行几何解释来得到求和公式。

首先，我们将等差数列排列成一个逆序的数列，然后把它与原数列叠加。

下面以等差数列1,2,3,4,5为例，进行解释。

1,2,3,4,55,4,3,2,1相加得到：6,6,6,6,6其和是n(a+an)/2，等差数列求和公式的等效形式。

3.等差数列和的差分法：我们可以利用数列的差分来求等差数列的和，方法如下：令Sn为等差数列的和，An为等差数列的第n项。

则Sn=A1+A2+A3+...+An=(A1+An)+(A2+An-1)+(A3+An-2)+...+(An)将上两行相加得到：2Sn=(A1+An)+(A1+An)+...+(A1+An)=(n/2)*(A1+An)这样就得到了等差数列求和公式。

4.等比数列求和公式：当数列为等比数列时，可以使用等比数列求和公式来求和。

设首项为a，公比为r，共有n项，则等比数列的和Sn可以通过公式给出：Sn=(a*(1-r^n))/(1-r)这个公式的证明需要使用数学归纳法。

5.级数求和：在数学中，级数是指无限等差数列的和。

常见的级数求和有等差级数、等比级数和调和级数等。

对于等差级数，其和可以通过等差数列求和公式得出。

对于等比级数，其和可以通过等比数列求和公式得出。

调和级数的和是一个无穷大，它表示为：S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...调和级数有很多有趣的性质和应用，但关于调和级数的求和公式目前还没有找到。

6.微积分方法：在微积分中，我们可以使用积分来求和。

对于连续函数f(x)，我们可以通过积分得到其在区间[a,b]上的和：S = ∫[a, b] f(x) dx这种方法可以求解一些特殊的数列求和问题，比如调和级数的和。

解：由log3 x-log 2 3log 3 x log 3 2数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法小 n⑻ a n) n(n 1),1、等差数列求和公式：S n - — na i d2 22、等比数列求和公式：S nna1a1(1 q n)1 qn 13S n k 丁5 1)k 12n31 2 5S n k ［匚1)］k 1 2(q 1)a1 a.q1 q(q 1)4、S nnk2k 11—n(n 1)(2 n 1)6［例1］已知log3 x- , 2 ，求x xlog 2 3 x n的前n项和.2解：由题可知,2n 2n｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛ + ｝的通项之积2n由等比数列求和公式得23S n X Xxnx(利用常用公式)“n 、1(1x(1 x ) 21)2n l 1 — 12(2n 1)x n 1 (2n 1)x n (1 x)(1 x)2［例4］求数列2)^2^63,, 2n,前n 项的和.2 2 2 2［例 2］设 S n = 1+2+3+ …+n , n € N *,求 f(n)S n(n 32)S n 1的最大值.解：由等差数列求和公式得S n1 2n(n 1)，S n1-(n 1)( n 2) 2(利用常用公式)S n"f(门)(n 32)S n 1n n 2 34n 641 ""—64 n 34 -n5050•••当 n 8 ，即 n = 8 时，f (n)V8max50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛a n • b n ｝的前n项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列• ［例 3］求和：S n 1 3x 5x 2 7x 3(2n 1)x n 1 .................................... ①解：由题可知，｛(2n 1)x n1｝的通项是等差数列设 xS n 1x 3x 2 5x 3 7x 4 (2n ①一②得(1 x)S n 1 2x 2x 2 2x 3再利用等比数列的求和公式得：(1 x)S n｛2n — 1｝的通项与等比数列｛ x n 1｝的通项之积1)x n ....................................... ②(设制错位) 2x 42x n 1 (2n 1)x n (错位相减)n 11 x 1 2x (2n 1)x n1 xS n数列相加，就可以得到 n 个（a , a n ）.①+②得2S (sin 21cos 21 ) (sin 2 2 cos 2 2 )S = 44.5证明：设S nC 03C 1 5C 2(2n 1)c n ............................................. …•… •①把①式右边倒转过来得S n(2n 1)C：(2n 1)c n 13c nC 0C n（反序）又由 mC nC ：m 可得S n(2n 1)C 0(2n 1)c n 3C ；1C n............. C n..……②①+②得2S n (2n2)(C 0 c nn 1C nC n n ) 2(n1) 2n（反序相加）S n(n 1) 2n2求 sin 1 sin 22 sin 23sin 288・2 “sin 89 的值解：设S sin21sin 22 ・2 sin > 3sin 2 88sin 2 89 •… ....①将①式右边反序得S sin 289・2sin 88sin 23sin 22.2 .sin 1 •… ....•② （反序）［例5］求证：C 03C：5C ；(2n 1)C ：(n 1)2n又因为 sinx cos(90x), sin 2x cos 2 x 1设S n1 S n24尹4①一②得（1 1)S n2S n2尹1尹 n 2 2* i2n列 ........2n刘………2 2 T3 2 2 2n 尹2n（设制错位）（错位相减）三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原(反序相加)2 2(sin 89 cos 89 ) = 89题 1 已知函数1）证明：（2）求的值.解：（ 1 ）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以练习、求值: 四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 1 4, —2 a (2 a 1 ［例7］求数列的前n 项和：1 1,— a1 解：设 S n (1 1) ( 4) a将其每一项拆开再重新组合得1S n (1 一a 1 ~~2a当a = 1时, S n7,7) 1F) (1 a(3n 1)n _ 2 - (丄 n 1 a (3n 1)n23n 2) 3n 2)(分组) (分组求和)11丄当a 1 时，S n」(3n 1)n1丄a ［例8］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n项和. (3n 1)n2解：设a k k(k 1)(2k 1) 2k33k2nS n k(k 1)(2kk 1 1)n(2k313k2k)将其每一项拆开再重新组合得n3 S n= 2 kk 1 k2（分组）=2(1323n3) 3( 1222n2) (1 2 n)n2(n 11)22 n(n 1)(2 n 1) n(n21) （分组求和）n(n 1)2(n 2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1) a n f(n 1) f(n) (2)sin1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3) an1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 112(2n 112n 1)(5) an n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (na nn 2 1n(n 1) 2n2(n 1) nn(n 1)12n1n 2n 11(n 1)2n，则S" 1(n 1)2"(7)(8) a n (An B)(A n C) C B(An B An C)a n 一----- I n 1 mn 、n 11 1[例9]求数列 -------1 - 的前n 项和..2 .2.3. n 、n 1 [例 10] [例 11] 解: :设a n则S n..n（裂项）（裂项求和）=(2 ,1) 在数列｛a n ｝中, 解:a n(,3、、2）1 .. . n)，又b n-—，求数列｛b n ｝的前n 项的和.1 2n 1 n2 n n 1 2 2数列{b n }的前n 项和1 1 -)(22 a nb nS n8[(1 =8(11 3)8nn 1 1 (3 1 4)1 11 cos0 cos1cos1 cos2cos88 c os891 11 cos0 cos1cos1 cos2cos88 c os89si n1tan(n 1) tan n)sn cos(n 1)1 1 1cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89 1 {(ta n 1 tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3n求证:设S••• Stan 2 ) [tan 89 tan 88 ]}sin 111)=cos1 sin 211(tan 89 sin 1tan 0 )=—sin 1cot1 =害 sin 21原等式成立（裂项）（裂项求和）（裂项） （裂项求和）答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n.［例12］求cos1 ° + cos2° + cos3° + •…+ cos178° + cos179° 的值.解：设S n= cos1 ° + cos2° + cos3° + ••• + cos178° + cos179°cosn cos(180 n ) 找特殊性质项）二S n= (cos1° + COS179 ) + ( cos2° ++ ( cos89°=0 + cos91 °) + cos90 °cos1 78°) + (cos3° + cos177 °) + •…(合并求和)［例13］数列{a n}: a i 1,a2 3,a3 2,a n 2 a n 1 a n ，求S2002.解:设S2002= a1 a2 a3 a20021, a2 3, a3 2, a n 2 a n 1 a n 可得a7 a41,1, a5a8 3, a9a6k 1 1, a6ka6k 1 a6kS2002 = a13,3,a6ka6 2,2, a10 1, a11 3, a12 2,a6k 33 a6ka2 a32, a6k 4a6k 5a20021, a6k 5 3, a6k 6a6k 6 找特殊性质项）合并求和）[例 i5]求i ii iii iii i 之和.n 个i解：由于iiik 个 i](io k 9i)（找通项及特征）i ii iiiiii in 个i=〔(IO 1i)9Z (io 2i) 9 ](io 3 i) 9!(io n i) 9（分组求和）1 1 2=9(io ioio 3iio n)9(i ii)由等比数列的性质 m n p qa m a n a p a q和对数的运算性质 log a M log a N log a M N 得=io七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n 项和，是一个重要的方法.(a i993 a i994a i998 )a i999a 2oooa 2ooi a 2oo2=a i999a 2oooa 2ooia 2oo2=a 6k 1a 6k 2a 6k 3a 6k 4=5=(a i a 2 a 3@6k 1a 6k 2a 6) (a 7a 8a i2)a 6k 6 )［例14］在各项均为正数的等比数列中，若a 5a 6 9,求 log 3a i log 3 a 2 log 3 a io 的值.解：设 S n log 3 a 1 log 3 a 2log 3 a io （找特殊性质项）S n (log 3 a i log 3 a io ) (log 3 a 2 log 3 a g ) (log 3 a 5 log 3 a 6)（合并求和）=(log 3a i a io ) (log 3 a 2 a g ) (log 3 a 5 a 6)=log 3 9log 3 9log 3 91 10(10n 1) n9 10 1 9 =丄(10n1 10 9n)81［例16］已知数列｛a n｝: a n 8(n 1)(n,求3) n(n11)(a n a n 1)的值•解：T (n 1)(a n a n 1) 8(n 1)[- 11] （找通项及特征）(n 1)(n 3) (n 2)( n 4)=8 [1 1] （设制分组）(n 2)(n 4) (n 3)(n 4)1 1 1 1=4 (- ) 8( ）（裂项）n2n4 n3n4(n 1)(a n a n 1) 4 ( 1 1 1 1 )8 ( ) （分组、裂项求和）n 1 n 2 n 4 n 1 n 3 n 41 1 1=4 (- -)8-3 4 413—3提高练习：1.已知数列a n中，S n是其前n项和，并且S n 1 4务2（n 1,2丄）◎ 1 , ⑴设数列b n a n 1 2a n（n 1,2,），求证：数列b n是等比数列；a⑵设数列C n n,（n 1,2, ），求证：数列C n是等差数列；22 、2.设二次方程a n x - a n+1X+1=0(n € N)有两根a 和B，且满足 6 a -2 a3 +6 3 =3 .⑴试用3n表示a n 1；2⑵求证；数列他-亍｝是等比数列F7⑶当的二-时、求数列％｝的通项公式.11U3．数列a n 中，a1 8,a4 2 且满足a n 2 2a n 1 a n n N ⑴求数列a n 的通项公式；⑵设S n |a1 | |a2 | |a n |，求S n ；12。

求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111n n a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+L ；（2）21n k k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++L ；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=L ；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L .例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

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解析：①-②得：。

点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。

三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例4．函数对任意，都有。

（1）求和的值；（2）数列满足：，数列是等差数列吗？请给与证明。

（3），，试比较与的大小。

解：（1）令,可得，（2）∴∴∴（3），四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例5．求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝例6．求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴ ＝将其每一项拆开再重新组合得Sn＝（分组）＝＝＝五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)例7．求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝例8．在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解：∵ ∴∴ 数列{bn}的前n项和＝＝。

数列求和的常用方法一、公式法1、当{}n a 时等差数列时，()()1112n n n a a S na n d +==+-当{}n a 时等比数列时，()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（在求等比数列的前n 相和的时候一定要注意讨论q 的情况）。

2、常用的数列求和()()222121126n n n n +++++=，()23331122n n n +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭二、错位相减法——差比数列这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于数列{}n b a b 的前n 项和，其中{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是公比不为1的等比数列。

操作方法：1122n n n S a b a b a b =+++ ……（1） 对(1)式两边同时乘以等比数列的公比q 得1122n n n qS a b q a b q a b q =+++ 12231n n n n a b a b a b a b q -=++++ (2)（1）-（2）得()()1121n n n n q S a b d b b a b q -=+++- = ()121111n n n b q a b da b q q--=+--，将上式两边同时除以()1q -即可求出n S 。

例1数列{}n a 的通项为21n a n =-，{}n b 的通项为12n nb =，n n nc a b =,求n c 的前n 项和n S 例2 22nn S x x nx =+++ （0x ≠） 三、分组求和若数列{}n a 可转化为n n n a b c =+的形式，并且{}n b ，{}n c 可求和b S ，c S 那么a b c S S S =+。

对形如nn a An Bq C =++和n nn a Ap Bq C =++均可用分组求和。

例1 21n n n a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求前n 项和n S例2 235nn a -=-⨯，求前n 项和n S四、裂项相消法裂项相消的关键是将数列的每一项分成二项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消进而达到求和的目的若数列n a 可拆分成某数列相邻两项之差的形式即1n n n a b b +=-或1n n n a b b -=-则可用裂项相消法求和例1 n a 是公差为d （0d ≠）的等差数列，11n n n b a a +=，求n b 的前n 和n S 例2 210nn a -=, ()13lg n n b n a =-,求n b 的前n 和n S*常见的裂项公式(1)()11111n n n n =-++ (2) ()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭(3)()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭(4)()11a b a ba b =--+(5) ()()()()()1111122112n n n n n n n ⎛⎫=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭五、并相求和一个数列的前n 项和中可以两两结合求解则称之为并项求和 形如()()1nn a f n =-的可以采用两项合并求和例2222210099989721n S =-+-++- ()()()2222210099989721=-+-++-10099989721=++++++ =5050六、倒序相加法将一个数列倒过来写与原数列相加时，若有公因式可提并且剩余的项的和易求出，则这样的数列可用倒序相加法。