函数与导数知识点总结(高考必备)
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1 函数
一、函数的概念：
1、函数的概念：设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的
任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的y与之对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合
B的一个函数，记作：y=f（x），x∈A.
2、构成函数概念的三要素: 定义域、值域、对应关系。
二、函数的定义域：
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，
（3）零取零次方没有意义；（4）对数函数的真数必须大于零，指数函数和对数函数的底数
必须大于零且不等于1
2、复合函数定义域的求法：
（1）定义域指的都是x的取值范围； （2）括号内范围保持一致
三、函数的值域：
求函数值域的方法：
1、直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；
2、换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
3、分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
4、反表示法：适合x有范围的情况，用y表示x，再利用x的范围求出y的范围；
5、单调性法：利用函数的单调性求值域；
6、图象法：二次函数必画草图求其值域；对号函数常用图像法求值域；
7、判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且 ∈
R的分式；
8、几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
四、函数的解析式：
1、换元法： 2、配凑法： 3、待定系数法： 4、消元法：
五、函数的奇偶性：
1、定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意 x∈A，都有f(x)= f(-x)，则称y=f(x)为偶函数;
如果对于任意 x∈A，都有f(x)=-f(-x)，则称y=f(x)为奇函数。
2、性质：
（1）偶函数的图象关于Y轴 对称,奇函数的图象关于原点对称,
(2)若奇函数在x=0处有定义，则必有f(0)=0;
(3)奇±奇=奇; 偶±偶=偶; 奇×奇=偶; 偶×偶=偶; 奇×偶=奇
3、函数奇偶性的判断方法：
（1）定义法：①看定义域是否关于原点对称；②看f(x)与f(-x)的关系
（2）图像法： （3）利用性质：
六、函数的单调性：
1、定义：设函数f(x)，如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值
1x
，
2x
，
当
1x
<
2x
时，都有)()(
21xfxf<
，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数; 当
1x
<
2x
时，都有)()(
21xfxf>
，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数;
2、性质：
（1）函数y=f(x)与y=-f(x)单调性相反；
（2）若函数f(x)恒正或恒负时，函数
)(1
xfy=
与f(x)单调性相反；
（3）在公共定义域内，增函数+增函数=增函数； 增函数-减函数=增函数；
减函数+减函数=减函数； 减函数-增函数=减函数；
3、函数单调性的判断方法：
（1）定义法：（作差、作除） （2）图像法： （3）利用性质：（4）导数法：设函)(xfy=
在某个区间内可导，若0)(>′xf
，则)(xf
为增函数；若0)(<′xf
，则)(xf
为减函数.
4、复合函数的单调性判断：同增异减，注意定义域
七、函数的周期性：
1、定义：一般的，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x）
=f（x+T）;那么函数y=f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
2、性质：
（1）若T是函数y=f(x)的周期，那么)0(≠∈nZnnT且
也是它的周期；
（2）若f(x+T)=-f(x),则f(x)的周期为2T； 若
)(1
)(
xfTxf±=+
,则f(x)的周期为2T;
八、图像的对称性：
)()(xfyxfyx
−=→=轴对称关于
)()(xfyxfyy
−=→=轴对称关于
)-()(xfyxfy−=→=关于原点对称
)()(xfyxfyxxx
=→=轴对称轴下方关于轴上方不变，将保留
)()(xfyxfyyy
=→=轴对称侧图像关于轴右侧不变，并且将右保留
2 导数
1、函数)(xfy=
在点
0x
处的导数的几何意义：
函数)(xfy=
在点
0x处的导数是曲线)(xfy=
在))(,(
00xfxP处的切线的斜率)(
0xf′
，
相应的切线方程是))((
000xxxfyy−′=−
.
2、几种常见函数的导数 ①'
C0=
；②1'
)(−
=nn
nxx
； ③xxcos)(sin'
=
； ④xxsin)(cos'
−=
；
⑤aaaxx
ln)('
=
； ⑥xx
ee='
)(
； ⑦
axx
a
ln1
)(log'=
；⑧
xx1
)(ln'=
3、导数的运算法则
（1）'''()uvuv±=±. （2）'''()uvuvuv=+. （3）''
'
2()(0)uuvuv
v
vv−
=≠.
4、复合函数求导法则
复合函数(())yfgx=
的导数和函数(),()yfuugx==
的导数间的关系为
xuxyyu′′′
=⋅，
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
5、函数的极值
(1)极值定义：
极值是在
0x附近所有的点，都有)(xf＜)(
0xf，则)(
0xf是函数)(xf的极大值；
极值是在
0x附近所有的点，都有)(xf＞)(
0xf，则)(
0xf是函数)(xf的极小值.
(2)判别方法：
①如果在
0x附近的左侧)('
xf＞0，右侧)('
xf＜0，那么)(
0xf是极大值；
②如果在
0x附近的左侧)('
xf＜0，右侧)('
xf＞0，那么)(
0xf是极小值.
6、求函数的最值
(1)求()yfx=
在(,)ab
内的极值（极大或者极小值）
(2)将()yfx=
的各极值点与(),()fafb
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极
小值。
注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较
3 基本初等函数
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果axn
=
，那么x
叫做a
的n
次方根。其中
+∈>Nnn,1
.
2、 当n
为奇数时
，aann=
； 当n
为偶数时
，aann=
.
3、 我们规定：
⑴mn
mn
aa=()
1,,,0*>∈>mNnma； ⑵()
01
>=−n
aa
nn
；
4、 运算性质：
⑴()
Qsraaaasrsr∈>=+,,0； ⑵()
()
Qsraaarss
r∈>=,,0；
⑶()()
Qrbabaabrrr
∈>>=,0,0.
§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象：()
1,0≠>=aaayx
01
1y=ax
oy
x2、性质：
§2.2.1、对数与对数运算
1、指数与对数互化式：
logx
aaNxN=⇔=；
2、对数恒等式：log
aN
aN=.
3、基本性质：01log=
a，1log=a
a.
4、运算性质：当0,0,1,0>>≠>NMaa
时：
⑴()
NMMN
aaalogloglog+=； ⑵NM
NM
aaalogloglog−=
； ⑶MnM
an
aloglog=.
（4）换底公式：
ab
b
cc
a
loglog
log=
，()
0,1,0,1,0>≠>≠>bccaa.
（5）重要公式：loglog
nm
a
am
bb
n= （6）倒数关系：
ab
ba
log1
log=()
1,0,1,0≠>≠>bbaa.
§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象：()
1,0log≠>=aaxy
a
2、性质：
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
1>a 10<
图
象
01
-401
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
性
质
(5)0,1xxa>>;
0,01xxa<<< (5)0,01xxa><<
;
0,1xxa<>
1>a 10<
图
象 3
25
2
15
1
05
-05
1
-15
2
-25-11234567801
1
.5
.5
.5
.5
-1
.5
-2
.5-101
1
(1)定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
性
质
(5)0log,1>>xx
a；
0log,10<<
a (5)0log,1<>xx
a；
0log,10><
a 0
a>11y=log
ax
oy
x
