高中数学 第1章 集合 1.1 集合的概念与表示 第2课时 集合的表示教学案(含解析)苏教版必修第一
- 格式：doc
- 大小：278.50 KB
- 文档页数：7
.
专业. 第2课时 集合的表示
学
习
目 标 核 心 素 养
1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点)
2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3．了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)
4．了解集合的不同的分类方法． 通过学习本节内容，培养学生的数学运算、逻辑推理的核心素养．
要研究集合，要在集合的基础上研究其它问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何表示这类集合？
1．集合的表示方法
表示方法 定义 一般形式
列举法 将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}〞内 {a1，a2，…，an，…}
描述法 将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来 {x|p(x)}
Venn图法 用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合
2．集合的分类
有限集 含有有限个元素的集合
无限集 含有无限个元素的集合
空集 不含任何元素的集合，记作∅
3．集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}． ( ) .
专业. (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2． ( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}相等． ( )
[提示] (1)由集合元素的互异性知错．
(2)集合{(1,2)}中的元素为有序实数对(1,2)．
(3)∵A＝{x|x－1＝0}＝{1}＝B，故正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}
相等集合．(填“是〞或“不是〞)
(2)假设集合{1，a}与集合{2，b}相等，那么a＋b＝ ．
(1)是
(2)3 [(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．
(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3．]
3．(1)不等式x－7<3的解集用描述法可表示为 ．
(2)集合{(x，y)|y＝x＋1}表示的意义是 ．
(1){x|x<10} (2)直线y＝x＋1上的所有点组成的集合 [(1)∵x－7<3，∴x<10，故解集可表示为{x|x<10}．
(2)集合的代表元素是点(x，y)，共同特征是y＝x＋1，故它表示直线y＝x＋1上的所有点组成的集合．]
4．假设方程x2－4＝0的解组成的集合记作A；不等式x>3的解组成的集合记作B；方程x2＝－1的实数解组成的集合记作C．
那么集合A，B，C中， 是有限集， 是空集， 是无限集．
A C B [∵x2－4＝0，∴x＝±2，即A中只有2个元素，A为有限集；大于3的实数有无数个，那么B为无限集；x2＝－1无实根，那么C为空集．]
集合的表示方法
[例1] 用适当的方法表示以下集合：
(1)B＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；
(2)不等式3x－8≥7－2x的解集；
(3)坐标平面内抛物线y＝x2－2上的点的集合；
(4)x 99－x∈N，x∈N．
[思路点拨] (1)(4)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)(3)中的元素无法一一列举，.
专业. 用描述法表示．
[解] (1)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，
∴ x＝1，y＝3或 x＝2，y＝2或 x＝3，y＝1.
∴B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(2)由3x－8≥7－2x，可得x≥3，
所以不等式3x－8≥7－2x的解集为{x|x≥3}．
(3){(x，y)|y＝x2－2}．
(4)∵99－x∈N，x∈N，∴当x＝0,6,8这三个自然数时，99－x＝1,3,9也是自然数，∴A＝{0,6,8}．
1．集合表示法的选择
对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法；对于无明显规律的无限集，可采用描述法．
2．用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，〞隔开．
3．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
[跟进训练]
1．试分别用列举法和描述法表示以下集合：
(1)方程x2－x－2＝0的解集；
(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．
[解] (1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．
(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1
大于－1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}．
集合相等 .
专业. [例2] (1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0,1}
相等集合．(填“是〞或“不是〞)
(2)(一题两空)假设集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝0，ba，b且A＝B，那么a＝ ，b＝ ．
[思路点拨] (1)解出集合A，并判断与B是否相等；
(2)找到相等的对应情况，解方程组即可．
(1)是 (2)－1 1 [(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，
∴x＝±1或x＝0．又x∈N，∴A＝{0,1}＝B．
(2)由题意知，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a．
∴ba＝－1，∴a＝－1，b＝1．]
集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程组，求解时还要注意集合中元素的互异性.
[跟进训练]
2．集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．假设A＝B，求实数x的值．
[解] 假设 a＋b＝ax，a＋2b＝ax2，消去b，那么a＋ax2－2ax＝0，
∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1．
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．
假设 a＋b＝ax2，a＋2b＝ax，消去b，那么2ax2－ax－a＝0．
又∵a≠0，∴2x2－x－1＝0，即(x－1)(2x＋1)＝0．
又∵x≠1，∴x＝－12．
经检验，当x＝－12时，A＝B成立．
综上所述，x＝－12． .
专业.
集合表示方法的应用
[探究问题]
1．集合{x|x2－1＝0}的意义是什么？
[提示] 表示方程x2－1＝0的根组成的集合，即{1，－1}．
2．集合A＝{x|ax2＋bx＋c＝0(a≠0)}可能含有几个元素，每一种情况对a，b，c的要求是什么？
[提示] 因为a≠0，故ax2＋bx＋c＝0一定是二次方程，其根的情况与Δ的正负有关．假设A中无元素，那么Δ＝b2－4ac<0；假设A中只有一个元素，那么Δ＝b2－4ac＝0；假设A中有两个元素，那么Δ＝b2－4ac>0．
[例3] 关于x，y的方程组 y2－4x＝0，y－kx－2＝0的解集中只有一个元素，那么实数k的取值集合为( )
A．12 B．{0}
C．0，12 D．0，－12
[思路点拨] 二元一次方程组的解集中只有一个元素说明消元后关于y的方程ky2－4y＋8＝0可能是一次方程，也可能是二次方程，但Δ＝0．
C [由 y2－4x＝0，y－kx－2＝0消去x得，ky2－4y＋8＝0．当k＝0时，y＝2，满足题意；当k≠0时，Δ＝16－32k＝0，k＝12，综上k＝0或k＝12．应选C．]
1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法．一般地，假设集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．
2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么．
[跟进训练]
3．y＝x2－ax＋b(a，b∈R)．集合A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y＋ax＝0}，假设A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B． .
专业. [解] ∵A＝{1，－3}，
∴ 1－a＋b－1＝b－a＝0，9＋3a＋b＋3＝3a＋b＋12＝0，∴ a＝－3，b＝－3，
∴y＋ax＝x2＋3x－3＋(－3x)＝x2－3，
∴y＋ax＝0，即x2－3＝0，
∴x＝±3，∴B＝{3，－3}．
集合表示的要求
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原那么．
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．
1．方程组 x＋y＝3，x－y＝－1的解集不可表示为( )
A．x，y x＋y＝3，x－y＝－1 B．x，y x＝1，y＝2
C．{1,2} D．{(1,2)}
C [方程组的解应是有序数对，③是数集，不能作为方程组的解．]
2．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为 ．
{1,2,3,4} [∵x－3<2，∴x<5．
又x∈N*，∴x＝1,2,3,4．]
3．M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，那么a＋b＝ ．
1或34 [∵M＝N，那么有 a＝2a，b＝b2或 a＝b2，b＝2a，解得 a＝0，b＝1或 a＝14，b＝12，∴a＋b＝1或34．]
4．集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相
