混合策略纳什均衡例子

博弈论教学/混合策略的纳什均衡

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目录

■1 复习

■2 混合策略(Mixed strategy)

■2.1 举例/Example■2.2 概念

■2.3 纯策略和混合策略■2.4 混合策略的争议

■3 混合策略的纳什均衡 ■3.1 基本概念

■3.2 混合策略纳什均衡的存在性/纳什定理

■3.3 学术争议与批评■4 混合策略纳什均衡举例

■4.1 社会福利博弈Social Welfare Game■4.1.1 博弈分析(方法1:收益无差异)

■4.1.2 博弈分析（方法2：图形分析法）■4.1.3 博弈分析(方法3：导数(Derivative)极值法)

■4.2 普通例子

■4.3 审计博弈(Tax Game)

■4.4 激励的悖论[5]

■4.5 求解纳什均衡的一般方法

■5 多重纳什均衡

■5.1 多重纳什均衡举例 ■5.1.1 夫妻之争

■5.1.2 制式问题■5.1.3 市场机会博弈

■5.2 多重纳什均衡分析 ■5.2.1 帕累托上策均衡（Pareto Dominated Equilibrium）

■5.2.1.1 帕累托最优Pareto optimality

■5.2.1.2 帕累托上策均衡(Pareto Dominated Equilibrium)■5.2.1.3 举例分析

■5.2.2 风险上策均衡(Risk-dominant Equilibrium)■5.2.3 聚点均衡(Focal Points Equilibrium)

■5.2.4 相关均衡

■5.2.5 抗共谋均衡(coalition-proof Nash equilibrium)■6 纳什均衡的意义

■7 作业■8 参考文献

1

猜硬币博弈正面 反面

正面 1，-1 -1，1

反面 -1，1 1，-11 复习

1.博弈局势的构造(How to make the game matrix)2.基本方法：上策均衡(Dominant equilibrium)、严格下策消去法(Iterated Elimination of

这不仅仅是一篇有关《纳什均衡与博弈论》的读书报告，同时也是有关《美丽心灵》的一篇观后感和对约翰纳什的无限礼赞。

在中国经济学界有一句名言：棍棒打不垮经济理论。现代经济学从亚当?斯密（按照今天的翻译应该是亚当?史密斯，但是斯密这个翻译已经深入人心，所以不做修改）奠定基础以来，更多的时候给人的感觉应该是较为抽象的规律，而不是数学知识——虽然当代诺贝尔经济学奖大部分都给数学家得了去，也算是弥补了诺贝尔奖没有数学奖项的空缺吧。但是却又不得不承认经济学似乎和精确不容有误的数学关系依然不大，至少相对于物理这样的学科。在博弈论成熟以前，经济学理论还是普遍规律，但是始终不能像数学那样精确。

《纳什均衡与博弈论》开篇曾提到过，很多人，包括一些学者都认为经济学是一门很愚蠢的学科，因为在它长篇累牍的理论中始终缺乏应有的精确和公理——现在也没人能预测明天哪一支股票会暴涨。

即使如此，它的规律依旧不能有误，也无法违反，这一点明朝和清朝失败的经济政策就足以说明问题，所以说棍棒打不垮经济理论。

根据约翰纳什的个人传记片、2001年奥斯卡最佳电影《美丽心灵》中的叙述，亚当斯密的经济理论足足维持了150年之久，而打破它的正是纳什建立的博弈论模型——纳什均衡。

《纳什均衡与博弈论》中提到，斯密相信政府对商业的干预——不管是支持还是限制——都会损害正常的自由企业的利益，通过消除优待和限制，明了简单的天赋自由系统会自主地建立起来。这也正是亚当斯密的“看不见的手”（又称为无形之手）理论。在斯密看来，只要政府不对经济进行干涉，经济社会自然而然会自发地向着一个好的方向发展。我曾经咨询过我的两位高中时读文科的室友，在高中政治对经济学的表述中，始终坚持“经济是政治的基础，政治是经济的集中表现”，这一点和斯密的观点是背道而驰的——事实上，中国一直缺少真正意义上的经济学人才或许也是因此。

亚当斯密在他那本传世巨着《国富论》中表明了他的态度：推崇自由资本主义和强调个人利益。这一点和上百年后安兰德在《阿特拉斯耸耸肩》中的观点一致，但是安兰德对垄断企业似乎并不是特别反感，而斯密则十分反对自由资本主义中的垄断产业。斯密还指出政府应该扮演的三个角色：保卫国家不受入侵、执法保护个人免受不公平之害、提供个人无法从中牟利的公共设施和机构。根据书上所提，当今许多的博弈论实验与亚当斯密的观点并不相悖。

混合策略纳什均衡例子

混合策略纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是各参与者选择一个概率分布作为他们的策略，从而达到一个稳定的状态。在混合策略纳什均衡中，没有任何参与者可以通过单独改变自己的策略来获得更好的结果。

一个经典的混合策略纳什均衡的例子是“岩石-剪刀-布”游戏。在这个游戏中，两个参与者（称为玩家1和玩家2）可以选择出岩石、剪刀或布中的任意一种。每一种选择都有一定的胜负规则：岩石胜剪刀，剪刀胜布，布胜岩石。

假设玩家1选择出岩石、剪刀和布的概率分别为p1、q1和r1，玩家2选择出岩石、剪刀和布的概率分别为p2、q2和r2。两个玩家的利益可以用一个支付矩阵表示如下：

| 岩石 | 剪刀 | 布

-----------------------------

岩石 | 0 | -1 | 1

-----------------------------

剪刀 | 1 | 0 | -1

-----------------------------

布 | -1 | 1 | 0

在混合策略纳什均衡中，每个玩家选择的概率分布必须使得对于每一种选择，玩家都不希望改变自己的概率分布。

在这个例子中，我们可以通过计算来找到混合策略纳什均衡。假设玩家1选择出岩石的概率为p1，则选择剪刀的概率为q1=1-p1-0=1-p1，选择布的概率为r1=0-0=0。同样地，玩家2选择出岩石的概率为p2，则选择剪刀的概率为q2=1-p2-0=1-p2，选择布的概率为r2=0-0=0。

为了找到混合策略纳什均衡，我们需要检查每一种选择，并确保玩家对于每一种选择都不希望改变自己的概率分布。在这个例子中，无论玩家1选择什么概率分布，玩家2都可以通过选择相应的概率分布来获得更好的结果。所以，不存在一个混合策略纳什均衡。

总结起来，混合策略纳什均衡是博弈论中一种稳定的策略选择状态，即不存在任何参与者可以通过单独改变自己的策略来获得更好的结果。岩石-剪刀-布游戏是一个经典的混合策略纳什均衡的例子，其中玩家的选择概率分布是关键因素。在这个例子中，我们发现不存在混合策略纳什均衡。

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混合战略纳什均衡及应用

作者：陈晓东

来源：《中国市场》2008年第14期

摘要：博弈论是运筹学的一个重要分支，类型众多。其中，非合作博弈是现代博弈理论中的核心内容和重要基础。本文在简要介绍了博弈论相关内容的基础上，重点介绍了非合作博弈中最重要、最核心的部分即Nash均衡。在此基础上，以纳什均衡作为理论支撑点，结合得意矩阵分析解决了经济生活中的一些实际问题。例如治理污水排放的制度设计问题。

关键词：博弈论；均衡点；得益矩阵；Nash均衡

博弈论是研究决策主体的行为发生直接相互作用时的决策以及这种决策的均衡问题。非合作博弈是现代博弈理论中的核心内容和重要基础，而Nash均衡则是非合作博弈的核心部分。要用博弈论解决现实经济生活中的决策问题，其关键在于如何根据行为中的支付矩阵得出纳什平衡点,通过分析决策者的心理活动来得到博弈模型,从而依据模型来针对生活中的实际问题制定相关的政策以预防不良现象的发生。

一、非合作博弈

一般地,将不允许存在有约束力协议的博弈称为“非合作博弈”。在该博弈中，每个博弈方的策略都是针对其他博弈方策略或策略组合的最佳对策。事实上，具有这种性质的策略组合，正是非合作博弈理论中最重要的一个概念——“纳什均衡”。

在博弈论里，有各种各样的均衡概念。混合战略均衡是纳什均衡的一种，混合战略概念使博弈论的研究范围更加广泛。混合战略纳什均衡在非合作博弈分析中具有十分关键的作用和地位，因此将着重介绍混合战略纳什均衡的定义。

显然，给定父母资助,儿子的最优战略是在家；给定儿子在家；父母的最优战略是不资助，给定父母不救济，儿子的最优战略是寻找工作；而给定儿子寻找工作，父母的最优战略是资助。 龙源期刊网

该博弈的显著特征是每个参与人都不能猜出对方的战略。参与人是以一定的概率选择某种战略，故称这样的战略为混合战略。