行程问题变速问题

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比率、分步、分段办理等多种办理问题等

解题方法。关于这类分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特色。

算术方法关于运动过程的掌握特别仔细，但一定一步一步来；

折线图则显得特别直观，每一次相遇点的地点也易于确立；

方程的长处在于无需考虑得特别认真，只要要知道变速点就能够列出等量关系式，把

大批的推理过程转变成了计算．

行程问题常用的解题方法有

⑴公式法

即依据常用的行程问题的公式进行求解，这类方法看似简单，其实也有好多技巧，使

用公式不单包含公式的原形，也包含公式的各样变形形式；有时条件不是直接给出的，这

就需要对公式特别熟习，能够推知需要的条件；

⑵图示法

在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用表示图作为协助工具．表示图包含线

段图和折线图．图示法即画出行程的大体过程，要点在折返、相遇、追及的地址．此外在

多次相遇、追及问题中，绘图剖析常常也是最有效的解题方法；

⑶比率法

行程问题中有好多比率关系，在只知道和差、比率时，用比率法可求得详细数值．更

重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件 ( 如行程、速度、时间等 ) 常常是不确立的，

在没有详细数值的状况下，只能用比率解题；

⑷分段法

在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不可以直接合用．这时往常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段顶用匀速问题的方法去剖析，而后再把结果联合起来；

⑸方程法

在关系复杂、条件分别的题目中，直接用公式或比率都很难求解时，设条件关系最多

的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程经常能够顺利求解．

模块一、变速问题

【例 1 】 小红和小强同时从家里出发相向而行。 小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，

二人在途中的 A 处相遇。若小红提早 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？

【例 2 】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地址向相反

方向跑去。相遇后甲比本来速度增添 2 米／秒，乙比本来速度减少 2 米／秒，

结果都用 24 秒同时回到原地。求甲本来的速度。

【例 3】 (2008 年日本小学算术奥林匹克大赛 ) 上午

8点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，

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点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相遇； 相遇后甲将速度提升到本来的 3 倍，

乙速度不变； 8 点 30 分, 甲，乙两人同时抵达各自的目的地．那么，乙从 B 地出发

时是 8点 分．

【例 4 】 （难度等级 ※※※） A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A ， B 两地同

时出发，结果在距 B 地 2400 米处相遇．假如乙的速度提升到本来的 3 倍，那

么两人可提早 10 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？

【例 5 】 （难度等级 ※※※）甲、乙两车分别从 A ， B 两地同时出发相向而行， 6 小

时后相遇在 C 点．假如甲车速度不变， 乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A ，

B 两地同时出发相向而行， 则相遇地址距 C 点 12 千米；假如乙车速度不变， 甲

车速度每小时多行 5 千米，则相遇地址距 C 点 16 千米．甲车本来每小时行多

少千米？

【稳固】 （难度等级 ※※※）甲、乙二人分别从 A 、B 两地同时出发相向而行， 5 小

时后相遇在 C 点。假如甲速度不变，乙每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A 、B两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点 lO 千米；假如乙速度不变，甲每小时多行 3

千米，且甲、乙还从 A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 E 距 C

点 5 千米。问：甲本来的速度是每小时多少千米？

【例 6 】 A、 B 两地间有一座桥 ( 桥的长度忽视不计 ) ，甲、乙二人分别从两地同时出发，

3 小时后在桥上相遇．假如甲加迅速度，每小时多走 2 千米，而乙提早 0.5 小

时出发，则还能恰在桥上相遇．假如甲延缓 0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千

米，还会在桥上相遇．则 A 、 B 两地相距多少千米？

【例 7 】 一列火车出发 1 小时后因故泊车 0.5 小时，而后以原速的 3/4 行进，最后到

达目的地晚 1.5 小时．若出发 1 小时后又行进 90 公里再因故泊车 0.5 小时，

而后相同以原速的 3/4 行进，则抵达目的地仅晚 1 小时，那么整个行程为多少公

里？

【例 8 】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提升了 1/9 ，

结果提早一个半小时抵达； 返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提

高 1/6 ，于是提早 1 小时 40 分抵达北京．北京、上海两市间的行程是多少千米？

【例 9 】 上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地， 8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速

去 A 地的乙相遇；相遇后甲将速度提升到本来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时抵达各自的目的地．那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分．

【例 10 】 （难度等级 ※※）甲、乙两人同时从山脚开始登山，抵达山顶后就马上下山，

他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，并且甲比乙速度快。 两人出发

后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇， 当乙抵达山顶时， 甲恰巧到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

【例 11 】 小华以每小时 8/3 千米的速度登山，走到途中 A 点后，他将速度改为每小时 2

千米，在接下来的 1 小时中，他走到山顶，又马上下山，并走到 A 点上方 500

米的地方．假如他下山的速度是每小时 4 千米，下山比上山少用了 52.5 分钟．那

么，他来回共走了多少千米？

【例 12 】 （难度等级 ※※※※）甲、乙两车从 A 、 B 两地同时出发相向而行， 5 小时

相遇；假如乙车提早 1 小时出发，则差 13 千米到中点时与甲车相遇，假如甲车

提早 1 小时出发，则过中点 37 千米后与乙车相遇， 那么甲车与乙车的速度差等

于多少千米 / 小时？

【例 13 】 甲、乙两名运动员在周长 400 米的环形跑道长进行 10000 米长跑竞赛，两人从同

一同跑线同时起跑，甲每分钟跑 400 米，乙每分钟跑 360 米，当甲比乙当先整整一

圈时，两人同时加快，乙的速度比本来快 1 ，甲每分钟比本来多跑 18 米，并且都

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以这样的速度保持到终点．问：甲、乙两人谁先抵达终点？

【例 14 】 环形场所的周长为 1800 米，甲、乙两人同时从同一地址出发相背而行 ( 甲速大

于乙速 ) ，12 分钟后相遇．假如每人每分钟多走 25 米，则相遇点与上次相差 33 米，

求本来二人的速度．

【例 15 】 王刚骑自行车从家到学校去，平时只用 20 分钟。因途中有 2 千米正在修路，

只能推车步行，步行速度只有骑车速度的 1 ，结果这日用了 36 分钟才到学校。从

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王刚家到学校有多少千米？

【例 16 】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之

比是 5: 4 ，相遇后甲的速度减少 20% ，乙的速度增添 20% ．这样当甲抵达 B 地时，

乙走开 A 地还有 10 千米．那么 A 、 B 两地相距多少千米？

【例 17 】 甲、乙来回于相距 1000 米的 A ， B 两地．甲先从 A 地出发， 6 分钟后乙也从 A 地出发，并在距 A 地 600 米的 C 地追上甲．乙到 B 地后马上原速向 A 地返回，甲到 B

地歇息 1分钟后加迅速度向 A 地返回，并在 C 地追上乙．问：甲比乙提早多少分钟

回到 A地？

【例 18 】 一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车抵达乙地后马上返回，

返回时速度提升 50% 。出发 2 小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到

达乙地时，小轿车恰巧走到甲、乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地来回一次需要多少时间？

【例 19 】 甲、乙两地间平路占 1 ，由甲地去往乙地， 上山路千米数是下山路千米数的 2 ，

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一辆汽车从甲地到乙地共行了 10 小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢 20% ，

行下山路的速度比平路快 20% ，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？