第八讲一元二次不等式的解法

1 第四讲 一元二次不等式的解法

知识归纳和梳理：

不等式的性质：

定理1：如果a>b，那么bb．(对称性)

定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)

定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)

定理4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；

如果a>b，且c<0，那么ac

推论1：如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则)

结论：已知ab>0,若a>b，则11.ab

一元二次不等式)0(02acbxax解的讨论.

0 0 0

二次函数

cbxaxy2

（0a）的图象

一元二次方程

的根002acbxax 有两相异实根

)(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221

无实根

的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2

R

的解集)0(02acbxax 21xxxx 



类似地,可以讨论)0(02acbxax、)0(02acbxax、)0(02acbxax的解集.

对于0a的情形，可以利用不等式的性质转化成0a的类型

例如：解不等式02322xx，将不等式两边同时乘以1，等价于解不等式02322xx

2 【典型例题】：

例1.已知a>b>0，m>0，试比较mamb与ab的大小。

经典练习：

比较1aa与32aa(a≥3)的大小关系为________。

例2．解下列不等式

（1）62xx>0 (2) 2362xx

(3) 2223xx. (4) 01442xx

1 一元二次不等式及其解法导学案

【使用说明及学法指导】

1.结合导学案，完成问题导学部分，并标记自己的疑难点；2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不玩的正课时在做；3.找出自己的疑惑和需要谈论的问题准备上课谈论质疑.

【学习目标】 1.复习二次函数图象； 2.根据二次函数图象解一元二次不等式；3.归纳一元二次不等式的解法； 4.一元二次不等式的解法的综合运用.

【重难点】一元二次不等式的解法和综合运用

【问题导学】画二次函数图象应画清楚：1.开口方向，2.对称轴，3.顶点，4.与x轴的交点（如果有的话）

情景：一名跳水运动员进行10米跳台跳水，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。那么他最多有多长时间完成规定动作？假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距离水面的高度h(m)满足关系：2()56.510httt

问题1. 二次函数的图像和性质，如223yxx的开口方向、顶点坐标、与x 轴的交点坐标及对称轴分别是什么？并作出它的草图.

（1）开口方向： ；

（2）顶点坐标： ；

（3）与x 轴的交点坐标： ；

（4）对称轴为： .

问题2. 根据草图填空：

1. 当x 或 时，0y，即2230xx；

2. 当x 时，函数的图像位于x轴的下方，则y 0，即223xx 0；

（填、、或）. 所以不等式2230xx的解集是 ；

3. 当x 时，函数的图像位于x轴的上方，则y 0，即223xx 0；

（填、、或）. 所以不等式2230xx的解集是 ；

浅谈一元二次不等式的解法

一元二次不等式是初中一元一次不等式及一元一次不等式组的延续和深化，并且与后面的函数、数列等内容密切相关。它是中等数学的一个重要内容，通过归纳一元二次不等式的解法，可以学生提高解一元二次不等式的能力。

标签：一元二次不等式；中等数学；解法

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式为：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c0的情况来举例说明一元二次不等式的几种解法。

一、因式分解法

当一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2时，运用因式分解法可将ax2+bx+c因式分解为a（x-x1）（x-x2）再根据积的符号法则（两个数相乘，同号得正，异号得负），将原不等式转化为两个一元一次不等式。它们的解集的并集就是一元二次不等式的解集。

例1 解不等式：x2+5x+4>0.

解：因为△=b2-4ac=52-4×1×4=

9>0 ，则x2+5x+4=（x+4）（x+1）

所以原不等式可化为

（x+4）（x+1）>0

=

x+4>0 或 x+40 x+10的解集是{x│x≠-h}，a（x+h）2≥0的解集R，ax2+bx+c0时，ax2+bx+c>0及ax2+bx+c≥0的解集是R，ax2+bx+c0。

因为x2+6x+9=（x+3）2 ，所以原不等式可转化为（x+3）2 >0.只要x+3≠0，即 x≠-3，（x+3）2 >0. 所以原不等式的解集为{x│x≠-3}。

三、图像法

图像法是利用一元二次不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图像，结合直角坐标系中点的坐标特征求出不等式解集的方法。

通常，利用二次函数y=ax2+bx+c的图像解相应的一元二次不等式，可以分

为三步：第一步：确定相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac，从而确定二次函数图像与x轴的位置关系；如果有交点，则利用方程 ax2+bx+c=0解出其交点的横坐标；第二步：画出相应二次函数y=ax2+bx+c的简图；第三步：观察简图，写出不等式的解集。

1 一元二次不等式及其解法⑴

【考点及要求】

会从实际情境中抽象出一元二次不等式的模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

【基础知识】

一元二次不等式的解集情况如下表：

判别式acb42 0 0 0

二次函数

)0(2acbxaxy

的图象

一元二次方程)0(02acbxax的根

)0(02acbxax的解集

)0(02acbxax的解集

【基本训练】

1．不等式(x+2)(1-x)>0的解集是 ．

2．若关于x的不等式01xax的解集为),4()1,(，则实数a= ．

3．已知不等式022cxax的解集为2131x，则ca ．

4．若关于x的方程09222kxkx两实根有一个大于2，而另一个根小于2，则实数k的取值范围是 ．

【典型例题讲练】

例1 ． 解下列不等式：

⑴ 01832xx (2) 18342xx

(3) 1212xx (4) 0)4()1)(2)(3(2xxxx

2 例2．已知不等式02cbxax的解集为,，且0，求不等式02abxcx的解集．

练习：已知不等式02qpxx的解集为2131|xx，求不等式012pxqx的解集．

【课堂小结】

1．解一元二次不等式的一般步骤 ；