一次函数知识点
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一次函数的讲解
（一）一次函数概念
一般地，函数)0(kbkbkxy都为常数，且、叫做一次函数。当0b
时，一次函数bkxy就成为)0(kkkxy为常数，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数。
强调：（1）作为一次函数的解析式bkxy，其中ybxk,,,中，哪些是常量，哪些是变量？哪一个是自变量，哪一个是自变量的函数？其中bk,符合什么条件？
（2）在什么条件下，)0(kbkxy为正比例函数？
（3）对于一般的一次函数，它的自变量的取值范围是什么？
做一做：
下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各为多少？
,2rC ,20032xy ,200vt ,32xy xxs50
【典型例题】
例1：求出下列各题中x与y之间的关系，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数：
⑴某农场种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米株数y与种植面积)(2mx之间的关系。
⑵正方形周长x与面积y之间的关系。
⑶假定某种储蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金后。本钱元）(y与所存月数x之间的关系。
例2：按国家1999年8月30日公布的有关个人所得税的规定，全月应纳税所得额不超过500元的税率为5%，超过500元至2000元部分的税率为10%
⑴ 设全月应纳税所得额为x元，且2000500x。应纳个人所得税为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围。
⑵ 小明妈妈的工资为每月2600元，小聪妈妈的工资为每月2800元。问她俩每月应纳个人所得税多少元？
注：例如，某人某月工资收入为2400元，则应纳税所得额为元）(16008002400，应纳个人所得税为（元）135%105001600%5500。
例3：（2007晋江）若正比例函数kxy（k≠0）经过点（1，2），则该正比例函数的关系式为y___________。
解答：x2
例4：（2007陕西）如图，一次函数图象经过点A，且与正比例
函数yx的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（ ）
A．2yx B．2yx C．2yx D．2yx
解答：B
【练习】
1.已知,2mmxy若y是x的正比例函数，求m的值。
2.已知y是x的一次函数，当1x时，2y；当2x时，3y
⑴ 求y关于x的一次函数关系式。
⑵ 求当10y时，x的值。
3．下列函数中 ①8yx ②8yx ③21yx ④21yx ⑤2xy
⑥12xy。其中 是一次函数， 是正比例函数（填编号）
4．在一次函数23yx中，k= ，b＝ 。
（二）一次函数的图像与性质
.1．分别画出下列一次函数的图像
1yx； 2yx
解：○1列表：
x „ -2 -1 0 1 2 „ O x y
A
B
1 yx
2
○2 描点
○3 连线
○4 由上面两个图观察看出，一次函数的图像是一条 。
2、归纳：一次函数的图象是一条 。
3、思考：画一次函数的图象至少需要 个点。
4、用两点法画出下列函数的图象：
（1）1yx （2）3yx
解：○1列表
②描点
③连线
5、观察前面的四个图像： ①一次函数1yx中k= ；2yx中k= ；
两个图像的相同之处是：从左到右图象 （上升或下降），即y随x的增大而 ；（此时k 0）
②一次函数1yx中k= ；3yx中k= ；
两个图像的相同之处是：从左到右图象 （上升或下降），即y随x的增大而 ；（此时k 0） y „ „ x „ -2 -1 0 1 2 „
y „ „
x
y x
y ③函数2yx，中，b= ，它的图像都经过（0， ），即 点。
④归纳一次函数图像性质：
当k>0时，直线y=kx+b由左至右 ，y随x的增大而 ；
当k<0时，直线y=kx+b由左至右 ，y随x的增大而 ；
6．k>0,b<0, 直线y=kx+b图像经过一、三、四象限。
k>0,b>0, 直线y=kx+b图像经过一、二、三象限。
K<0,b>0, 直线y=kx+b图像经过一、二、四象限。
k<0,b<0, 直线y=kx+b图像经过二、三、四象限。
【典型例题】
例1：（2009宁夏）一次函数23yx的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2：（2008南通）一次函数(26)5ymx中，y随x增大而减小，则m的取值
范围是 ．
（三）图像的平移
1．用两点法画出函数yx，2yx，2yx的图象。
解：⑴列表：
⑵在同一坐标系中分别画出这三个函数的图象：
（3）观察得出：
三个函数图像都是 且互相
2yx的图象可看作由直线yx向 （填“上”或“下”）平移 个单位而得。
2yx的图象可看作由直线yx向 （填“上”或“下”）平移 个单位而得。
由以上三个图像，归纳平移的规律：
一次函数ykxb的图象是一条 ； x
y=x x
y=x+2 x
y=x-2 当b>0时，可看作由直线ykx向 平移 个单位而得到；
当b<0时，可看作由直线ykx向 平移 个单位而得到。
总结：一般地，一次函数0ykxbkbk、为常数，有下列性质
①0k，y随x的增大而
b 0 b 0 b 0
②0k，y随x的增大而
b 0 b 0 b 0
四、用待定系数法求一次函数：
例1已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
设这个一次函数解析式为y=kx+b．
因为y=k+b的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以3549kbkb
解之，得21kb
故这个一次函数解析式为y=2x-1。结论：
函数解析式 选取 满足条件的两定点 画出 一次函数的图象 y=kx+b 解出 （x1，y1）与（x1，y2） 选取 直线L
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．
【作业题】
１．已知一次函数y=kx+2，当x=5时y的值为4，求k值．
２．已知直线y=kx+b经过点（9，0）和点（24，20），求k、b值．
3. 生物学家研究表明,某种蛇的长度y (CM)是其尾长x(CM)的一次函数,当蛇的尾长为6CM时, 蛇的长为45.5CM; 当蛇的尾长为14CM时, 蛇的长为105.5CM.当一条蛇的尾长为10 CM时,这条蛇的长度是多少?
4． 已知一次函数y=3x-b的图象经过点P(1,1),则该函数图象必经过点( )
A.(-1,1) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2)
5． 若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，求 b的值．
6．点M（-2，k）在直线y=2x+1上，求点M到x轴的距离d为多少?
五、一次函数的应用
课前热身：
1．为了加强公民的节约用水的意识，某市制定了如下节约用水的收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为1.2元/吨，超过10吨时，超过部分按每吨1.8元收费．该市某户居民5月份用水x吨(x＞10)，应交水费y元，则y关于x的关系式是________________．
2．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图
所示，则不挂物体时弹簧的长度是______cm.
3．蜡烛在空气中燃烧的长度与时间成正比，如果一支原长15cm的
蜡烛4分钟后，其长度变为13cm，请写出剩余长度y(cm)与燃烧时
间x(分钟)的关系式为_________________．（不写x的范围）
4. 如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托
运行李的质量x(千克)的关系，由图中可知行李的质量只要不超过
________千克，就可以免费托运．
【知识整理】
一次函数与日常生活、生产实践有着广泛联系，实际生活中利用
一次函数解决生产、生活、市场经济相关的函数应用问题，帮助方案
设计和选择作出最佳的决策. 用一次函数解决实际问题时，要注重数形结合，做到眼中有式(解析式)，脑中有图(图象).
【例题讲解】
例1 某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费.
(1)写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式：
①当用水量小于或等于3000吨时_______________；
②当用水量大于3000吨时_____________________.
(2)某月该单位用水3200吨，水费是_______元；若用水2800吨，水费_______元.
(3)若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？
例2 杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：
① 买进每份0.2元，卖出每份0.3元；
② 一个月内(以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；
③ 一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸以每份0.1元退回给报社：
(1)填表：
一个月内每天买进该种晚报的份数 100 150
当月利润(单位：元)
(2)设每天从报社买进该种晚报x份(120≤x≤200)时，月利润为y元，试求出y于x的函数关系式，并求月利润的最大值．
【中考演练】
1．速度60千米/时的匀速运动中，路程s(千米)与时间t(小时)的函数关系____________.
2. 等腰三角形顶角y与底角x之间的函数关系_________________.
3. 在一定范围内，某种产品购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系式，若购买1000
