3.1.1实数指数幂及其运算学案

第四章 指数函数、对数函数与幂函数

4.1 指数与指数函数

4.1.1 实数指数幂及其运算

素养目标·定方向

课程标准

学法解读

1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．

2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．

3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．

4．掌握实数指数幂的运算法则．

1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．

2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．

3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．

4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．

必备知识·探新知

知识点

n次方根

(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__xn＝a__，则x称为a的n次方根．

(2)表示：

n为奇数 n为偶数

a∈R a＞0 a＝0 a＜0

x＝__na__ x＝__±na__ 0 不存在

思考：对于式子na中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？

提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．

知识点

根式 (1)当na有意义时，na称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．

(2)性质：

①(na)n＝__a__；②nan＝ __a__，n为奇数，__|a|__，n为偶数.

思考：(na)n与nan中的字母a的取值范围是否一样？

提示：取值范围不同．式子(na)n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子nan中，a∈R．

分数指数幂的意义

知识点

正分数

指数幂 n为正整数，na有意义，且a≠0时，规定a1n ＝__na__

正分数mn，amn ＝__(na)m__＝nam

负分数

指数幂 s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝__1as__

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精心校对完整版 数学人教B必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算

1．理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关计算．

2．通过具体实例了解实数指数幂的意义．

3．通过本节的学习，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”的过程．

1．整数指数幂

(1)正整指数幂的定义：______＝naaaa个(n∈N＋)．

(2)正整指数幂的运算法则：

①am·an＝______；

②(am)n＝______；

③am÷an＝____________(m＞n，a≠0)；

④(ab)n＝________；

⑤abn＝anbn(b≠0)．

在上述法则③中，限定m＞n，如果取消这种限制，则正整指数幂就推广到了整数指数幂．但要规定a0＝1(a≠0)．a－n＝1an(a≠0，n∈N＋)．这样一来，上面的五条运算法则就可以归纳为三条：

①am·an＝______；

②(ab)n＝______；

③(am)n＝______.

同时，将指数的范围扩大到了整数．

【做一做1】已知a＞0，m，n为整数，则下列各式中正确的有( )

A．am÷an＝mna

B．an·am＝am·n

C．(an)m＝am＋n

D．1÷an＝a0－n

2．根式

(1)根式的定义：式子______叫做根式，这里n叫做________，a叫做________．

(2)n次方根的定义：如果存在实数x，使得______(a∈R，n＞1，n∈N＋)，则____叫做____的n次方根．

(3)n次方根的性质：

①在实数范围内，正数的奇次方根是一个______，负数的奇次方根是一个______，零的奇次方根是____．设a∈R，n是大于1的奇数，则a的n次方根是________．

②在实数范围内，正数的偶次方根是________________的数，零的偶次方根是______，负数的偶次方根________．设a≥0，n是大于1的偶数，则a的n次方根是________．其中________叫做a的n次算术根．

§3.1.1 实数指数幂及其运算学案

命题人：葛治国 审核人：杨德鹏

【学习目标】

（1）明确实数指数幂的定义。 （2）明确其运算法则，会用幂的运算法则进行有关运算。

【学习重点】 分数指数幂的概念及分数指数的运算性质

【学习难点】根式的概念及分数指数的概念。

【自主学习】

1.回顾初中学过的整数指数幂及运算

（1）定义：na________________(nN)

na叫做__________,a叫做幂的___________,n叫做幂的__________

（2）正整数指数幂的运算法则

①

②

③

④

2．负整数指数幂

（1）两个规定：0a_____(0)a na________(,0)nNa

（2）运算法则可将正整数指数幂推广到整数指数幂。

3.分数指数幂

（1）平方根的定义：

（2）三次方根的定义：

（3）n次方根的定义：

（4）n次算术根

（5）根式的定义：

（6）根式的性质：

①()na_____+(1)nNn，

②______()______()nnnan为奇数时为偶数时

（7）正分数指数的定义

1na_______ (0)a

_______mna=_______ (0,,,manmNn且为既约分数）

（8）负分数指数幂的定义 _______mna(0,,,manmNn且为既约分数）

（9）有理指数幂的运算法则：

设0,0,abQ、则有

ab___________ ()a___________ ()ab___________

4.无理指数幂

当0a时，为任意实数时，a都有意义，并且，对任意R、上述有理指数幂的运算法则扔成立。

【典例精讲】

例1.化简下列各式：

（1）21321111362515()()46xyxyxy

1 第二章 基本初等函数

§2．1．1 指数与指数幂的运算（1）

学习目标：

1.理解n次方根及根式的概念；

2.正确运用根式运算性质进行运算变换。

学习重点、难点：1、利用根式的运算性质进行化简。

2、条件求值问题。

自主预习：

知识梳理：

一、阅读课本，完成下列题目

1、根式

（1）平方根与立方根

如果ax2，那么x叫做___ _____；如果ax3，那么x叫做____________.

（2）n次方根

如果axn，那么x叫做____ _______，其中1n，且n.

小结1:若n是奇数，任意实数a的n次方根有 1个，正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数.

若n是偶数， 负数 没有偶次方根，而正数的n次方根有 2 个，它们互为相反数.

无论n是奇数还是偶数，0的n次方根为0 .

2、根式 式子na叫做____，n叫做______，a叫做_______.

问题1： 33(2) 55(2) 44(2)

根据以上例子试总结归纳，一般地nna)(等于什么？

问题2: 33(2) 552

44(2) 442

根据以上例子试总结归纳，一般地nna等于什么？

二、自我检测 2 1、64的6次方根是 ，2、若0)2(x有意义，则x的取值范围是 。

3、求值

(1) 33)8( (2) 2)10( (3) 44)3( (4) 88)(ba

三、学点探究

探究1：根式性质的应用

例1、计算：（1）3333)52(1)52(1；（2）625625

变式训练一：

1、若,0mn 则222222nmnmnmnm=____________