第２７卷第２期 ２０１０年６月 阜阳师范学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆｕｙａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖｏ１．２７，ＮＯ．２ Ｊｕｎ．２０１０ 可线性常系数化的二阶常微分方程 别、梅娟，倪致祥 （阜阳师范学院物理与电子科学学院，安徽阜阳 ２３６０４１） 摘要：利用逆向变换，得到了可线性常系数化的二阶常微分方程，包括变系数常微分方程和非线性常微分方程，并给 出了上述方程的严格解。 关键词：变系数；常系数；二阶常微分方程 中图分类号：Ｏ２４１．８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—１０６９（２０１０）０２—０００５—０２ Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｃａｎ ｂｅ ｃｈａｎｇｅｄ ｉｎｔｏ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｉｎｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ＳＵＮ Ｍｅｉ—ｊｕａｎ，ＮＩ Ｚｈｉ—ｘｉａｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｆｕｙａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｆｕｙａｎｇ Ａｎｈｕｉ ２３６０４１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｃａｎ ｂｅ ｃｈａｎｇｅｄ ｉｎｔｏ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｉｎｖａｒｉａｎ— ｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｒｅｖｅｒｓｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔＯ ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ；ｉｎｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ；ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ０引言 １可线性常系数化的二阶常微分方程 在工程和科学技术的实际问题中，常需求解常 微分方程，但往往只有少数较简单和典型的常微分 方程，如线性常系数常微分方程等可求出其严格 解［１］，在一般的系数激励震动、波导传输理论及其 它许多实际应用问题中，常会遇到一些变系数微分 方程或非线性微分方程，变系数常微分方程和非线 性微分方程的求解比较困难［２ ］，但对于一些特殊 的变系数方程如欧拉方程等［４］，可以通过适当的变 换将其化为常系数方程进而求解，因此将变系数微 分方程常系数化具有重要意义。本文利用逆向思维 研究了几类线性常系数化的二阶常微分方程，包括 变系数常微分方程和非线性常微分方程。 １．１未知函数的变换 有些非常系数的线性微分方程可以化为常系 数的线性微分方程，为了找出这些可化为常系数的 线性微分方程，假定在常系数方程 Ｙ‘ ’＋Ｐ１Ｙ 一 ’＋…＋Ｐ 一１Ｙ ＋Ｐ Ｙ—ｇ（ｚ） （１） （１）中对未知函数或自变量作变换，看看能够 得到什么结果。为了简单起见，我们仅研究二阶方 程的情况，即 Ｙ ＋Ｐｙ ＋ｑｙ＝ｇ（ｚ） （２） 首先考虑在方程（２）中作未知函数的变换Ｙ＝＝＝ ｆ（ｘ）ｕ（ｚ），其中厂（ｚ）为一个已知函数，则有 Ｙ 一尸（ｚ） （ ）＋ｆ（ｘ）ｕ （ｚ），Ｙ”一 收稿日期：２０１０—０４一ｌ９ 基金项目：安徽省精品课程“数学物理方法”项目资助。 作者简介：孙梅娟（１９８Ｏ一），女，硕士，讲师。研究方向：理论物理。
第２５卷第３期 ２０１４年９月 苏州市职业大学学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｕｚｈｏｕ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ＶｏＩｌ２５．Ｎｏ．３ Ｓｅｐ．，２０１４
阶常系数线性微分方程的降阶法
卢亦平，钱椿林
（苏州市职业大学数理部，江苏苏州 ２１５１０４）
摘 要：考虑二阶常系数线性微分方程的降阶法．首先，写出二阶齐次常系数线性微分方程
的特征方程，求出特征方程的两个特征根；然后，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算， 将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一
阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解．利用降阶法，可以求得
微分方程的一个特解或通解．其计算方法简单和方便，在实际中具有应用价值． 关键词：二阶常系数线性微分方程；降阶法；特征根；一阶微分形式
中图分类号：Ｏ１７５．１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００８—５４７５（２０１４）０３—００４９—０４
Ｄｅｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ Ｏｒｄｅｒ ｆｏｒ Ｔｗｏ Ｏｒｄｅｒ Ｌｉｎｅａｒ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ
Ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ
ＬＵ Ｙ￣－ｐｉｎｇ，ＱＩＡＮ Ｃｈｕｎ—ｌｉｎ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｓｕｚｈｏｕ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｕｚｈｏｕ ２ １ ５ １ ０４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｅｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｆｏｒ ｔｗｏ ｏｒｄｅｒ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ． Ｆｉｒｓｔ ｏｆ ａｌ１．ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅ衔ｃｉｅｎｔｓ ｉＳ ｗｒｉｔｔｅｎ，ａｎｄ ｔｗｏ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｒｏｏｔｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆａｃｔｏｒ ａｎｄ ｏｐｅｒａｔｉｅｄ ｗｉｔｈ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ｔｈｅ ｔｗｏ ｏｒｄｅｒ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｓ ｃｈａｎｇｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｆｏｒｍ，ａｎｄ ｆｉｎａｌｌｙ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｆｏｒｍ ｉｓ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ．Ｔｈｅ ｔｗｏ ｏｒｄｅｒ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｂｅｃｏｍｅｓ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ，ｓｏｌｖｉｎｇ ｆｉｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ａｎｄ ｓｐｅｃｉａｌ ｏｒ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ，
Ｖｏ１．１０，Ｎｏ．３ 高等数学研究 Ｍａｙ．，２００７ ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ １５
二阶常系数线性微分方程的通解公式
陈新明 （仲恺农业技术学院计算科学系 广州 ５１０２２５） 中图分类号０１７５．１
摘要 讨论了，求二阶常系数线性微分方程一个通解公式． 关键词 微分方程 线性 线性 通解公式 中图分类号 Ｏ１７５．１ 二阶常数系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法计算量大，很麻烦，本文讨论了求二阶 常系数线性微分方程的通解公式，文［１］的结论是本文ｍ＝０且Ａ为实数时的特例，文［２］的结论 是本文的推论２． 对二阶常系数非齐次线性微分方程 Ｙ ＋ ＋ｑＹ＝，（ ）， （１） 其中Ｐ，ｑ为常数．记 Ａ（ｒ）＝／．２＋ｐｒ＋ｑ， （２） Ｊ Ａ（ｒ）称为方程（１）的特征函数，记Ｄ ＝ （ｋ＝０，ｌ，…，ｎ），方程（１）可写成 似 Ａ（Ｄ）Ｙ：，（ ） （１ ） 又记ｍ次多项式 Ｐｍ（ ） ＝Ｏ，ＯＸ ＋ｏ，Ｉ 一 ＋…＋Ｏ，ｍ－１ ＋口 ． （３）
孕Ｄ－Ｉｆ（ ）：上，（ ） ，Ｄ一 ）＝上上，（ ） ・
弓Ｉ理ｌ １） Ａ（Ｄ）（ｅ“ｐ （ ））＝ｅ Ａ（Ｄ＋Ａ）Ｐ （ ）． （４） ２） Ｄ＿１［ｅ ｐ （ ）］＝ｅｘｘ（Ｄ＋Ａ）一 ｐ （ ）． ・ （５） 证明 １）由求导法则得 Ｄ（ｅ ｐ （ ））＝ｅ （Ｄ＋Ａ）Ｐ （ ），
Ｄ （ｅ ｐ （戈））＝ｅ （Ｄ＋Ａ）（Ｄ＋Ａ）ｐ （ ）＝ｅ （Ｄ＋Ａ） ｐ （ ）， 即（５）式成立，由Ａ（Ｄ）的定义得（４）式． ２）（４）中取Ａ（Ｄ）＝Ｄ得Ｄ（ｅ ｐ （ ））：ｅ （Ｄ＋Ａ）ｐ （ ），在上式中将Ｐ （ ）换为ｍ次多项
式（Ｄ＋Ａ）一 ｐ （ ），得Ｄ［ｅ （Ｄ＋Ａ）一 ｐ （ ）］＝ｅ （Ｄ＋Ａ）（ ＋Ａ）一 ：ｅ ｐ （ ）．两边作用Ｄ一 得（５）式． 定理ｌ 记Ａ ＝Ａ ’（Ａ）（ｋ＝０，１），对二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶微分方程解
二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：
ayy'' + by' + cy = 0
其中，a、b、c为常数。
求解过程如下：
1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。特征方程为：
r^2 - pr - q = 0
其中，p、q为常数。
2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。可以使用公式：
r1,2 = (-p ± √(p^2 - 4q)) / 2
3. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：
通解 = yC1 * e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)
其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。
4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。
举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：
yy'' - 2y' + 3y = 0
1. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 0
2. 求解特征方程：
r1 = 1，r2 = 3
3. 通解：
通解 = yC1 * e^x + yC2 * e^-x
4. 求解特解：
设特解为y = yE(x) = e^(x^2)
将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。
需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。
