概率知识点总结
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1 / 5 概率知识点总结
1、确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。
2、随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。
3、概率论：是研究随机现象统计规律的科学。
4、随机试验：对随机现象进行的观察或实验统称为随机试验。
5、样本点：随机试验的每个可能出现的实验结果称为这个试验的一个样本点。
6、样本空间：所有样本点组成的集合称为这个试验的样本空间。
7、随机事件：如果在每次试验的结果中，某事件可能发生，也可能不发生，则这一事件称为随机事件。
8、必然事件：某事件一定发生，则为必然事件。
9、不可能事件：某事件一定不发生，则为不可能事件。
10、基本事件：有单个样本点构成的集合称为基本事件。
11、任一随机事件都是样本空间的一个子集，该子集中任一样本点发生，则该事件发生。利用集合论之间的关系和运算研究事件之间的关系和运算。
〔1〕事件的包含AB
〔2〕事件的并〔和〕AB
〔3〕事件的交〔积〕AB
〔4〕事件的差ABABABA
〔5〕互不相容事件〔互斥事件〕AB 2 / 5 〔6〕对立事件〔互逆事件〕AB，AB，记BA
〔7〕完备事件组：事件12,,,nAAA两两互不相容，且1nAAA
〔8〕事件之间的运算规律：交换律、结合律、分配率、De Morgan定理
12、概率
()1P，()0P
如果12,,,nAAA两两互不相容，则112()()()()nnPAAPAPPAAA
如果,AB是任意两个随机事件，则()()()PABPAPAB
如果BA，则()()()PABPAPB
()()()()PABPAPBPAB
()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC
1111121()()()()()()(1())()nnjijininjkniiijknPAAPAPAPAPAPAPAPAAAA
12、古典概型
每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是有限集
每次试验中，每一个结果发生的可能性相同
()APA包含的基本事件数试验的基本事件总数
13、条件概率：()(|)()PABPABPB为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率
加法公式：()()()()PABPAPBPAB，若,AB互斥，则()()()PABPAPB 3 / 5 乘法公式：()()(|)()(|)PABPAPBAPBPAB，若,AB独立，则()()()PABPAPB
全概率公式：1221()()(|)()(|)()(|)nnPAPBPABPBPABPBPAB
贝叶斯公式：11()()(|)(|)()()(|)()(|)kkknnkPABPBPABPBAPAPBPABPBPAB
14、事件独立：如果(|)()PBAPB，则称事件B对于事件A独立，此时，事件A对于事件B独立，称,AB相互独立。,AB相互独立的充要条件是()()()PABPAPB。A与B，A与B，A与B，A与B具有相同的独立性。
15、随机变量：如果对每一个样本点，都有唯一的实数()X与之对应，则称()XX为样本空间上的随机变量。
离散型随机变量：随机变量的取值是有限个或可列多个。
表示方法：用概率分布〔分布律〕表示。公式法()kkPXxp，1,2,k；列表法。
16、常见的离散型随机变量：
〔1〕0-1分布〔两点分布〕：随机变量只能取到0和1两个值
〔2〕二项分布：将试验独立重复进行n次，每次实验中，事件A发生的概率为p，则称这n次试验为n重Bernoulli试验。以X表示n重Bernoulli试验中事件A发生的此时，则X服从参数为,np的二项分布，记作~(,)XBnp，分布律为()(1)kknkknPXxCpp，0,1,,2,kn。二项分布随机变量可以分解成n个0-1分布随机变量之和。
〔3〕泊松分布：若随机变量的分布律为 4 / 5 ()!kkPXxke，0,1,,2,kn，则称X服从参数为的泊松分布，记作~()X。
泊松定理：lim()li!m(1)kkknknknnPXxCpekp
当n较大，p较小，np适中时，可以用泊松分布公式近似替换二项分布公式。
17、随机变量的分布函数：()()FxPXx
18、离散型随机变量：取值有限或无限可列，用分布律刻画。
连续性随机变量：取值充满一个区间，用概率密度函数刻画。
概率密度函数〔密度函数〕：若存在非负可积函数()fx，使得
)(()()xxdFPXfttx
则称X为连续型随机变量，()fx为X的概率密度函数，若()fx在x处连续，则'()()Fxfx
19、连续型随机变量X取任意单点值的概率为0，即()0PXa
()()()(())baXbXPaXaPaPaPabXbftdt
()()()aPXaPXaftdt
20、常见的连续型随机变量：
〔1〕均匀分布：,()0,1xxbaabf其他 5 / 5 则称X在[,]ab上服从均匀分布，记为~(,)XUab
〔2〕指数分布：,()0,0xexfx其他
则称X服从参数为的指数分布，记为~()XE
〔3〕正态分布：
22()21()2xfxe，则称X服从参数为,的正态分布，记为2~(,)NX
标准正态分布：~(0,1)XN，221()2xfxe，分布函数2201()2tedtx
设2~(,)NX，则X的分布函数()xFx
21、随机变量函数的分布：设随机变量X的分布已知，()YgX，求随机变量Y的分布。
