向量的数量积运算的所有公式

试卷第1页，总3页空间向量的数量积运算

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人得分

一、选择题

1．已知空间四面体DABC

的每条棱长都等于1

，点,EF分别是,ABAD的中点，

则FEDC

等于（）

A．1

4 B．1

4 C．3

4 D．3

4

2．已知1,2ab

，且ab

与a

垂直，则a

与b

的夹角为（）

A.60

B．30

C．135

D．45

3．已知a,b

均为单位向量，它们的夹角为60

，那么3ab

等于（）

A.7

B.10

C.13

D．4

4．如图，已知四面体ABCD

每条棱长等于a

，点,,EFG分别是,,ABADDC的中点，

则下列向量的数量积等于2

a

的是（）

A.2BAAC

B.2ADDB

C.2FGAC

D.2EFCB

5．在正方体

1111ABCDABCD

中，有下列命题：①2

2

13AAADABAB

；

②

11110ACABAA

；③

1AD

与

1AB

的夹角为60

.

其中正确命题的个数是（）

A．0

个 B．1

个 C．2

个 D．3

个

6．如图，正四面体ABCD

中，E

是BC

的中点，那么（）

考点71 平面向量的数量积运算

1．（13天津T12）在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若60BAD

, 则AB的长为 . 1ACBE



【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算.

【难易程度】简单 【参考答案】 1

2

【试题解析】用表示与，然后进行向量的数量积运算. ,ABAD

AC

BE

由已知得=，， AC

ADAB

1

2BEBCCEADAB

= ACBE2211

22ADABADABADAB



，（步骤1）

211

1

22ABADAB211

1cos601

22ABADAB





∴.（步骤2） 1

2AB

jxq59

2.（13新课标Ⅰ T13）已知两个单位向量的夹角为，＝t＋(1－t)若＝0，,ab60

cabbc

则t＝__________.

【测量目标】平面向量的数量积.

【难易程度】容易

【参考答案】 2t

【试题解析】∵＝t＋(1－t)b，∴b＝tab＋(1－t)|b|2.（步骤1） cac

又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为，b⊥，∴0＝t|a||b|cos ＋(1－t)， 60

c60

0＝＋1－t.∴t＝2.（步骤2） 1

2t

3.（13江西T12）设,为单位向量.且,的夹角为,若,,则向量

1e

2e

1e

2eπ

3123aee

12bea

在方向上的射影为 ___________. b

【测量目标】平面向量的数量积运算.

【难易程度】容易

【参考答案】 5

2【试题解析】 121(3)2

||cos||

||||||2



eeeabab

aa

abb

2

112π

2611cos

265

3

第 1 页 共 20 页 3.1.3 空间向量的数量积运算 学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．

知识点一 空间向量数量积的概念

思考 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA→与BC→的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．

解 ∵BC→＝AC→－AB→，

∴OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→

＝|OA→||AC→|cos〈OA→，AC→〉－|OA→||AB→|cos〈OA→，AB→〉

＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162.

求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算．

梳理 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

(2)数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)

交换律 a·b＝b·a

分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c

(3)空间向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝π2时，a⊥b.

知识点二 空间向量的数量积的性质

两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0

②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 第 2 页 共 20 页 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a

③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|

向量的运算基本定律

1．实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

⑴结合律：λ(μa)=(λμ)

a;

⑵第一分配律：(λ+μ)

a=λa+μa;

⑶第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

2．向量的数量积的运算律：

⑴ a·b= b·a （交换律）;

⑵（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;

⑶（a+b）·c= a ·c +b·c.

3．平面向量基本定理：

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实

数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

4．向量平行的坐标表示：

设a=11(,)xy,b=22(,)xy，且b0，则ab(b0)12210xyxy.

5．a与b的数量积(或内积)：

a·b=|a||b|cosθ．

55. a·b的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

6．平面向量的坐标运算：

⑴设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy.

⑵设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy.

⑶设A11(,)xy，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxxyy.

⑷设a=(,),xyR，则a=(,)xy.

⑸设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a·b=1212()xxyy.

7．两向量的夹角公式：

121222221122cosxxyyxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy).

8．平面两点间的距离公式：

,ABd=||ABABAB222121()()xxyy(A11(,)xy，B22(,)xy).

9．向量的平行与垂直：

设a=11(,)xy,b=22(,)xy，且b0，则 A||bb=λa 12210xyxy.