2021-2022学年浙江省宁波市九校高二上学期期末考试数学试卷(解析版)

2021-2022学年期末考试试题

1 浙江省宁波市九校2021-2022学年

高二上学期期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知向量．若，则（ ）

A．x+y＝1 B．x﹣y＝1

C．x+y＝0 D．x﹣y＝﹣1

2．（5分）已知数列{an}的通项公式为．若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn取得最大值时n的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（5分）若函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

4．（5分）已知直线l：y＝x+1，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（ ）

A． B． C． D．

5．（5分）若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）

A．b1+b4≤b2+b3 B．b4﹣b1≤b3﹣b2

C．a1a4≥a2a3 D．a1a4≤a2a3

6．（5分）已知f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）＝1．若x＞0时，3f（x）+xf′（x）＞0，则使得不等式（x﹣2022）3f（x﹣2022）＞1成立的x的取值范围是（ ）

A．（2021，+∞） B．（﹣∞，2021） 2021-2022学年期末考试试题

2 C．（2023，+∞） D．（﹣∞，2023）

7．（5分）若将双曲线C：mx2﹣ny2＝λ绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间（0，+∞）上存在最小值，则双曲线C的离心率为（ ）

A． B． C．2 D．

8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC且AB⊥AC，点E为AA1中点．若平面α过点E，且平面α与直线AB所成角和平面α与平面BCC1B1所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面α有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、多选题：本题共4小题，每小遉5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）若是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则（ ）

A．θ∈（0，π）

B．能构成空间的一个基底

C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件

D．

10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），动点M到点F的距离与到直线x＝

﹣1的距离相等，记M的轨迹为曲线C．若过点F的直线与曲线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（ ）

A．y1y2＝﹣1

B．△OAB的面积的最小值是2

C．当|AF|＝2|BF|时，

D．以线段OF为直径的圆与圆N：（x﹣3）2+y2＝1相离

11．（5分）若函数f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R），则（ ）

A．函数y＝f（x）的值域为R 2021-2022学年期末考试试题

3 B．函数g（x）＝xf（x）有三个单调区间

C．方程f（x）+x＝0有且仅有一个根

D．函数y＝f（f（x））有且仅有一个零点

12．（5分）若数列{an}满足，则（ ）

A．当时，

B．当时，

C．当a1＝3，m＝﹣1时，

D．当a1＝3，m＝﹣1时，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详 析九章算法．商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯．设各层球数构成一个数列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，则a5＝ ．

14．（5分）已知点F1为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若|PF1|＝3，则|QF1|＝

．

15．（5分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ．

2021-2022学年期末考试试题

4 16．（5分）若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是

．

四、解答题：本題共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知过点A（3，2）的圆的圆心M在直线y＝3x上，且y轴被该圆截得的弦长为4．

（Ⅰ）求圆M的标准方程；

（Ⅱ）设点N（﹣2，3），若点P为x轴上一动点，求|PM|+|PN|的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．

18．（12分）已知函数．

（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

19．（12分）已知正项等差数列{an}满足：，且2a1，a2，a3+1成等比数列．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Sn，且2nSn＝an+2，求{b2n}的前n项和．

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5 20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AB⊥AC，CD＝2AD＝2．

（Ⅰ）证明：PB⊥AC；

（Ⅱ）当PB的长为何值时，直线AB与平面PCD所成角的正弦值为？

21．（12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的一个端点为顶点构成的三角形的面积为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过点P（0，2）作直线l与椭圆C相切于点Q，且直线l斜率大于0，过线段PQ的中点R作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在y轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，试判断直线MN的斜率是否为定值；若是，请求出该定值．

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6 22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+a（a∈R）．

（Ⅰ）讨论函数y＝f（x）的单调性；

（Ⅱ）若函数y＝f（x）存两个零点x1，x2，证明：x1•x2+x1+x2＞e4﹣1．

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7 ▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．A

〖解 析〗根据题意，向量．

若，设＝t，即（x，﹣1，y）＝t（﹣1，2，﹣1）＝（﹣t，2t，﹣t）

解可得：t＝﹣，则有x＝y＝，

由此分析选项：x+y＝1，故选：A．

2．C

〖解 析〗因为，

所以a1＝7＞0，且数列{an}是一个首项为正，先增后减的数列，

令an＝﹣2n2+9n＜0，则n＞或n＜0，

因为n∈N*，所以从n＝5开始，an＜0，

所以前4项的和最大．故选：C．

3．C

〖解 析〗由函数的图象可知函数在x＝a时，取得极大值，x＝b时，取得极小值，

所以x＜a时，f′（x）＞0，a＜x＜b，f′（x）＜0，x＞b时，f′（x）＞0，

考察选项只有C满足题意，故选：C．

4．B

〖解 析〗由题意，消去y可得：2x2+3x＝0，

所以A，B两点中点的横坐标为：（x1+x2）＝﹣，

中点的纵坐标为：1﹣＝．

线段AB的中点的坐标为：．故选：B． 2021-2022学年期末考试试题

8 5．D

〖解 析〗若bn＝2n，A，B显然不满足，

a1a4﹣a2a3＝a1（a1+3d）﹣（a1+d）（a1+2d）＝﹣2d2≤0，

所以a1a4≤a2a3，D正确．故选：D．

6．C

〖解 析〗设F（x）＝x3f（x），

F′（x）＝3x2f（x）+x3f′（x）＝x2〖3f（x）+xf′（x）〗，

因为x＞0时，3f（x）+xf′（x）＞0，

所以x＞0时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，

因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（﹣x），

所以F（﹣x）＝（﹣x）3f（﹣x）＝﹣x3f（x）＝﹣F（x），

所以F（x）为奇函数，所以F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，

因为f（1）＝1，所以F（1）＝13f（1）＝f（1）＝1，

因为（x﹣2022）3f（x﹣2022）＞1，所以F（x﹣2022）＞F（1），

所以x﹣2022＞1，所以x＞2023，故选：C．

7．A

〖解 析〗双曲线C：mx2﹣ny2＝λ，令λ＝0，则y2＝x2，显然mn＞0，

则渐近线方程为y＝±x，如图所示k，l为双曲线的渐近线，

绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，

则渐近线l应旋到与坐标轴y轴重合，

由题意可得直线y＝x，故渐近线的倾斜角应等于30°， 2021-2022学年期末考试试题

9 该函数在区间（0，+∞）上存在最小值即＝，

∴n＝3m，∴mx2﹣3my2＝λ，

即﹣＝1，∴e＝＝＝，故选：A．

8．B

〖解 析〗取BB1中点F，连接EF，

则在所有过E点与EF成30°角的平面α，均与以EF为轴的圆锥相切，

当α在面ADD1A1时，α与面BCC1B1所成角为75°，

当α在面AEE1A1时，α与面BCC1B1所成角为15°，

α过E点绕EF且与EF顾30°角从面AA1D1D开始旋转，

α与面BB1C1C所成角从75°→90°→15°→90°→75°变化，此过程中，有两次角为30°，

综上，这样的平面α有2个．故选：B．

二、多选题：本题共4小题，每小遉5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．ABD

〖解 析〗是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，

对于A，由向量所成角的定义得θ∈（0，π），故A正确；

对于B，∵不共面，∴能构成空间的一个基底，故B正确；

对于C，∵“”，2﹣1+1＝2，∴“P，A，B，C四点不共面”，

∵“P，A，B，C四点共面”，∴“”不成立，

∴“”是“P，A，B，C四点共面”的不充分不必要条件，故C错误；

对于D，∵是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，