人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)【范本模板】

几何图形之半角模型

主 题 半角模型

教学内容

教学目标

1。掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2。掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题.

4。通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

知识结构

正方形的性质

因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，

所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。

正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论,这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：

（1）正方形与矩形,菱形，平行四边形的关系如上图

（2）正方形的性质：

①正方形对边平行。

②正方形四边相等.

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

典型例题精讲

例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使2AD，求AG．

【解析】:作GM⊥BD，垂足为M．

由题意可知∠ADG=GDM，

则△ADG≌△MDG．

∴DM=DA=2． AC=GM

又易知：GM=BM．

而BM=BD-DM=22-2=2（2—1），

∴AG=BM=2（2—1)．

例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点,10PAPB，并且P点到CD边的距离也等于10，求正方形ABCD的面积？

【解析】：过P作EFAB于F交DC于E．

设PFx,则10EFx，1(10)2BFx．

由222PBPFBF．

可得:222110(10)4xx．

故6x．

216256ABCDS．

例3。 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AMEF,•垂足为M，AMAB,则有EFBEDF，为什么？

【解析】:要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可,而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可．

理由:连结AE、AF．

由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF,AE公用,

∴△ABE≌△AME．

∴BE=ME．

同理可得，△ADF≌△AMF．

∴DF=MF．

∴EF=ME+MF=BE+DF．

例4．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且45EAF，试说明EFBEDF。

【解析】:将△ADF旋转到△ABC,则△ADF≌△ABG

∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG

∵∠EAF=45°且四边形是正方形，

∴∠ADF﹢∠BAE=45°

∴∠GAB﹢∠BAE=45°

即∠GAE=45°

∴△AEF≌△AEG（SAS）

∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF

例5。 如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使45EAF,AGEF于G。 求证：AGAB

【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看，

应证Rt△ABE与Rt△AGE全等,但条件不够.

∠EAF=45°怎么用呢？

显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起,问题就解决了。

【证明】:把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB。

∵∠EAF=45°,∴∠1＋∠2=45°.

∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°。

又由旋转所得 AH=AF，AE=AE。

∴ △AEF≌△AEH.

例6。(1) 如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC，

CD上,AE,BF交于点O，90AOF.

求证：BECF.

(2) 如图2,在正方形ABCD中，点E,H,F,G分别在边AB,

BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，90FOH，4EF。

求GH的长.

1.已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC，CD，DA上，

EF，GH交于点O，90FOH，4EF。 直接写出下列两题的答案: 图2 ①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；

②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长（用n的代数式表示）。

【解析】

（1） 证明:如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，

∴ AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，

∴ ∠EAB+∠AEB=90°。

∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,

∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC，

∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF．

(2) 解：如图2，过点A作AM//GH交BC于M，

过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，

则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，

∴ EF=BN,GH=AM,

∵ ∠FOH＝90°, AM//GH,EF//BN， ∴ ∠NO/A=90°，

故由（1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，

∴ GH=EF=4．

（3） ① 8．② 4n．

巩固训练

【双基训练】

1. 如图6，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，•其边长分别为3cm和5cm，则CDE的面积为________2cm．

(6） （7)

2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等,•那么正方形⑤的面积为________．

3.如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且ABF的面积为14平方厘米，BCE的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF的图3 图4

图2 O′ N

M 图1 ABCDEF12G面积是________．

4。 如图,A、B、C三点在同一条直线上，2ABBC.分别以

AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN,

EC。

求证：FNEC。

5。如图 ，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DEAG于 E，BFAG于 F．

（1）求证:ABFDAE△≌△；

（2）求证：DEEFFB．

【纵向应用】

6. 在正方形ABCD中，12．

求证：BEOF21

7。 在正方形ABCD中,12．AEDF,

求证：CEOG21

8. 如图13,点E为正方形ABCD对角线BD上一点， EFBC， ABCDFOEGH12A D

E F

C G B

EFGCBADHEGCD

求证:AEFG

9。已知：点E、F分别正方形ABCD中AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G,

GHAD于点H。

一、 求证：AFDE ；

二、 如果2AB，求GH的长；

三、 求证：CGCD

【练习题答案】

1．6cm2．

2．36．

3．42027cm2（面积法）．

4。证明：FN=EC。

证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，

AB=BE=EF,BC=BN,∠FEN=∠EBC=90°

∵AB=2BC

∴EN=BC

∴△FEN≌△EBC

∴FN=EC.

5.略

6。提示：注意到基本图形中的AE=AF.

一.两次应用内角平分线定理和CE=CF可证

二.过点O作OG‖DE和CO=CG，CF=CE可证。

3， 过点O作OH‖BE， OF= OH=BE21

7。提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种

8.提示：延长AE交GF于点M,DC，使CH=DG,连接HF,

证四边形对角互补，法2：延长FE，AE证全等三角形

9.（1）略（2）45(3）作CM⊥DG,证DM=AG=0。5DG D

G A

E

B C F

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