16届高二理科数学《乐学七中》白皮书第1章答案(1.1节-1.3节)

第2课时等比数列前n项和的性质及应用A级必备知识基础练1.(2022河南南阳高二期中)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=4n+a，则实数a的值等于()A.-4B.-1C.0D.12.已知在等比数列{a n}中，a1=1，a1+a3+…+a2k+1=85，a2+a4+…+a2k=42，则k=()A.2B.3C.4D.53.已知{a n}是各项都为正数的等比数列，S n是它的前n项和，若S4=6，S8=18，则S16=()A.48B.54C.72D.904.(2022天津河西高二期末)已知等比数列的首项为-1，前n项和为S n，若，则公比q=()A.2B.-2C.D.-5.已知在等比数列{a n}中，a1=1，且=8，那么数列的公比为，S5= .6.已知正项等比数列{a n}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q= .7.(2022安徽宣城高二期末)已知等比数列{a n}为递增数列，且前n项和为S n，S3=，a3a4=a5.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若4a n=3S n，求正整数n的值.B级关键能力提升练8.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a3=5，S4=20，则=()A.9B.10C.12D.179.(2022河南新乡高二期中)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则数列{a n}的公比q=()A.2B.-2C. D.-10.某工厂购买一台价格为a万元的机器，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足()A.b=B.b=C.b=D.<b<11.已知等比数列{a n}的公比q>0，前n项和为S n，则的大小为()A.B.C.D.12.(多选题)(2022江苏常州高二期中)记数列{a n}的前n项和为S n，则下列四个说法错误的有()A.若对于∀n∈N+，=a n a n+2，则数列{a n}为等比数列B.若S n=Aq n+B(非零常数q，A，B满足q≠1，A+B=0)，则数列{a n}为等比数列C.若数列{a n}为等比数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n，…仍为等比数列D.设数列{a n}是等比数列，若a1<a2<a3，则{a n}为递增数列13.某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2022年投入128辆电力型公交车，以后电力型公交车每年投入的辆数比上一年增加50%.(1)求该市在2028年应该投入多少辆电力型公交车;(2)求到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的.(已知37=2 187，38=6 561)C级学科素养创新练14.某市为鼓励全民健身，从2021年7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材.已知2021年7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，自8月起，A型健身器材每月的投放量均为a 台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%.若2021年12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为()A.243B.172C.122D.7415.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若，求的值.参考答案第2课时等比数列前n项和的性质及应用1.B根据题意，等比数列{a n}的前n项和为S n=4n+a，则a1=41+a=4+a，a2=S2-S1=(42+a)-(4+a)=12，a3=S3-S2=(43+a)-(42+a)=48，则有(4+a)×48=144，解得a=-1.故选B.2.B设等比数列{a n}的公比为q，则a1+a3+…+a2k+1=a1+a2q+…+a2k q=85，即q(a2+…+a2k)=85-1=84.因为a2+a4+…+a2k=42，所以q=2.则a1+a2+a3+…+a2k+a2k+1=85+42=127=，即128=22k+1，解得k=3，故选B.3.D因为{a n}是各项都为正数的等比数列，S n是它的前n项和，且由题意可知q≠-1，所以S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12也成等比数列，且公比为=2.所以S12-S8=2(S8-S4)=24，所以S12=42，因此S16-S12=2(S12-S8)=48，所以S16=90.故选D.4.D(方法1)当q=1时，=2，不满足题意;当q≠1时，S10=，S5=，则=q5+1=，解得q=-.故选D.(方法2)设S10=31k，S5=32k(k∈R，且k≠0)，则由S10=S5+q5S5可知31k=S5(1+q5)=32k(1+q5)，解得q=-.故选D.5.831设公比为q，∵=8，a1=1，∴=q3=8，∴q=2.∴S5==31.6.2设等比数列{a n}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，前2n项之和为S2n，则S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=q(a1+a3+…+a2n-1)=qS奇.由S2n=3S奇，得(1+q)S奇=3S奇.因为a n>0，所以S奇>0，所以1+q=3，q=2.7.解(1)设公比为q，由a3a4=a5，可得q5=a1q4，故a1q=1.因为S3=a1+a2+a3=，所以+1+q=，解得q=3或q=.故可得a1>0，又因为{a n}为递增数列，所以q=3.故a n=a2q n-2=.(2)由(1)可得，S n=，若4a n=3S n，则4×3n-2=(3n-1)，解得n=2.8.B设等比数列{a n}的公比为q，因为S4=a1+a2+a3+a4=a1+a3+a2+a4=a1+a3+q(a1+a3)=(1+q)(a1+a3)=5(1+q)=20，所以q=3，则=q2+1=10.故选B.9.C由已知q≠1，则解得10.D因为b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12，所以12b<a(1+0.005)12，所以b<.显然12b>a，即<b<.11.C+1，+1.因为q>0，所以+1>0，即.12.AC若a n=0，满足对于∀n∈N+，=a n a n+2，但数列{a n}不是等比数列，故A错误.当n≥2时，a n=S n-S n-1=Aq n+B-(Aq n-1+B)=Aq n-1(q-1)且q≠1;当n=1时，a1=S1=Aq+B=A(q-1)符合上式.故数列{a n}是首项为A(q-1)，公比为q的等比数列，故B正确.若数列{a n}为等比数列，当公比q=-1，且n为偶数时，此时S n，S2n-S n，S3n-S2n，…均为0，不是等比数列，故C错误.设数列{a n}是等比数列，且公比为q，若a1<a2<a3，即a1<a1q<a1q2，若a1>0，可得1<q<q2，即q>1，则{a n}为递增数列;若a1<0，可得1>q>q2，即0<q<1，则{a n}为递增数列.故D正确.13.解(1)依题意可知，从2022年起每年投入的电力型公交车的辆数可构成等比数列{a n}，其中a1=128，q=，则a7=a1q6=128×6=1458.故2028年应投入电力型公交车1458辆.(2)设{a n}的前n项和为S n，则S n==256n-1.由S n>(10000+S n)×，得S n>5000，即256n-1>5000，即n>，又n∈N+，∴n≥8.故到2029年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.14.D设B型健身器材这6个月投放量构成数列{b n}，则b n是以b1=64为首项，以q=为公比的等比数列，∴其前6项和为S6==1330.则令5a+300+1330≥2000，解得a≥74，故选D.15.解(方法1)设等比数列{a n}的公比为q，由题意可知q≠1，则S n=.∵，∴，即1+q5=3，∴q5=2，∴.(方法2)设S5=k，S10=3k(k∈R，且k≠0)，由题意可得q≠-1，则S5，S10-S5，S15-S10，S20-S15成等比数列，则S15-S10=4k，S20-S15=8k，可得S15=7k，S20=15k，故.。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第七章综合测试第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列事件中，随机事件的个数是（）①2020年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④x R∈，则x的值不小于0.A.1B.2C.3D.42.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（）A.0.2B.0.28C.0.52D.0.83.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（）A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”4.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A.13B.512C.12D.7125.甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙领到的钱数不少于乙、丁的概率是（）A.13B.310C.25D.346.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为89的是（）A.颜色相同B.颜色不全同C.颜色全不同D.无红球7.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为（）A.34B.38C.14D.188.设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率()P A是（）A.23B.13C.19D.118二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()f n ，则随着n 的逐渐增加，下列说法不正确的是（）A .()f n 与某个常数相等B .()f n 与某个常数的差逐渐减小C .()f n 与某个常数差的绝对值逐渐减小D .()f n 在某个常数附近摆动并趋于稳定10.下列四个命题中，假命题有（）A .对立事件一定是互斥事件B .若A ，B 为两个事件，则()()()P A B P A P B =+C .若事件A ，B ，C 彼此互斥，则()()()1P A P B P C ++=D .若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 是对立事件11.下列说法中错误的是（）A .抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上B .如果某种彩票的中奖概率为110，那么买10张这种彩票一定能中奖C .在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做公平D .一个骰子掷一次得到点数2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数212.在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则（）A .恰有1件一等品的概率为35B .恰有2件一等品的概率为310C .至多有1件一等品的概率为25D .至多有1件一等品的概率为710第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴眼镜的有365人，若在这个学校随机抽查一名学生，则估计他是团员的概率为________，戴眼镜的概率为________.14.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________.15.A ，B ，C ，D 四名学生按任意次序站在一排，则A 或B 在边上的概率为________.16.如图，元件()1234i A i =，，，通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M ，N 之间通过的概率是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品甲乙丙丁顾客人数100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.18.（本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率.19.（本小题满分12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率.20.（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10.把这6名学生的得分看成一个总体.（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.21.（本小题满分12分）在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为231 543，，，求：（1）3人都通过体能测试的概率；（2）只有2人通过体能测试的概率；（3）只有1人通过体能测试的概率.22.（本小题满分12分）某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为[40，50），[50，60），…，[90，100]），（1）求成绩在[70，80）的频率，并补全此频率分布直方图；（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件.2．【答案】A【解析】设“摸出红球”为事件M ，“摸出白球”为事件N ，“摸出黑球”为事件E ，则()()()1P M P N P E ++=，所以()()()110.520.280.2P E P M P N --=-=-=.故选A .3．【答案】A【解析】由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件.4．【答案】A【解析】设2名男生记为12A A ，，2名女生记为12B B ，，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，有121112212212211121122221A A A B A B A B A B B B A A B A B A B A B A B B ，，，，，，，，，，，，共12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生有11122122A B A B A B A B ，，，，共4种情况，则所求事件发生的概率为41123P ==.故选A .5．【答案】C【解析】用枚举法列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有（2，2，5），（2，3，4），（2，4，3），（2，5，2），（3，2，4），（3，3，3），（3，4，2），（4，2，3），（4，3，2），（5，2，2），共有10种可能性，而丙领到的钱数不少于乙、丁的情况有（2，4，3），（2，5，2），（3，3，3），（3，4，2），共计4种，故所求概率为42105=.故选C .6．【答案】B【解析】有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为31279=；颜色不全同的结果有24种，其概率为248279=；颜色全不同的结果有6种，其概率为62279=；无红球的结果有8种，其概率为827，故选B .7．【答案】A【解析】每一个图形有2种涂法，总的涂色种数为328=，三个图形颜色完全相同的有2种（全是红或全是蓝），则三个图形颜色不全相同的涂法种数为826-=.所以三个图形颜色不全相同的概率为6384=，故选A .8．【答案】B【解析】设事件A 和B 发生的概率为x 和yA 发生而B 不发生的概率()=1x y -,B 发生而A 不发生的概率()=1y x -()()1=1x y y x --,所以x y=独立事件A 和B 都不发生的概率()()1=119x y --=则()()1113x y -=-=则23x =二、9．【答案】ABC【解析】随着n 的增大，频率()f n 会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系，A 、B 、C 错误，D 正确.10．【答案】BCD【解析】A 正确；当且仅当A 与B 互斥时才有()()()P A B P A P B =+ ，对于任意两个事件A ，B ，满足()()()()P A B P A P B P AB =+ -，B 不正确；()P A B C 不一定等于1，还可能小于1，所以C 不正确；D 不正确，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ={摸到红球或黄球}，事件B ={摸到黄球或黑球），显然事件A 与B 不互斥，但()()()()11122P A P B P A P B ===，+.故选B 、C 、D .11．【答案】ABD【解析】概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此A 、B 、D 错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此C 正确.故选A 、B 、D .12．【答案】ABD【解析】将3件一等品编号为1，2，3，将2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.其中恰有1件一等品的取法有（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），故恰有1件一等品的概率为1610P =；恰有2件一等品的取法有（1，2），（1，3），（2，3），共3种，故恰有2件一等品的概率为2310P =，则其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为3211371010P P ===--.故选A 、B 、D .三、13．【答案】0.640.73【解析】500名学生中共青团员有320人，即共青团员的频率为3200.64500=，所以随机抽查一名学生，估计他是团员的概率为0.64；500名学生中戴眼镜的365人，即戴眼镜的学生的频率为3650.73500=，所以随机抽查一名学生，估计他戴眼镜的概率为0.73.14．【答案】13【解析】甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为（红，白），（白，红），（红，蓝），（蓝，红），（白，蓝），（蓝，白），（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种.故所求概率为3193P ==.15．【答案】56【解析】A ，B ，C ，D 四名学生按任意次序站成一排，基本事件共24种，如下图所示.A ，B 都不在边上共4种，所以A 或B 在边上的概率为451246P =-=.16．【答案】0.8829【解析】电流能通过A 1，A 2的概率为0.90.90.81⨯=，电流能通过A 3的概率为0.9，故电流不能通过A 1，A 2且也不能通过A 3的概率为10.8110.90.019-⨯-=（）（）.故电流能通过系统A 1，A 2，A 3的概率为10.0190.981-=.而电流能通过A 4的概率为0.9，故电流能在M ，N 之间通过的概率是0.9810.90.8829⨯=.四、17．【答案】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=.（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.18．【答案】（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2)，(A 1，A 3)，{A 1，A 4}，{A 1，A 5)，{A 1，A 6)，{A 2，A 3}，{A 2，A 4)，{A 2，A 5}，{A 2，A 6)，{A 3，A 4)，{A 3，A 5)，{A 3，A 6)，{A 4，A 5)，{A 4，A 6)，{A 5，A 6}，共15种.②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B ）的所有可能结果为(A 1，A 2)，{A 1，A 3)，{A 2，A 3)，共3种.所以()31155P B ==.19．【答案】（1）从3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，而此人任一天到达该地的概率均为113，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413.20．【答案】（1）总体平均数为56789107.516+++++=（）.（2）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A 包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以，所求的概率为()715P A =.21．【答案】设A 表示事件“甲通过体能测试”，B 表示事件“乙通过体能测试”，C 表示事件“丙通过体能测试”.由题意有：()()()231543P A P B P C ===，.（1）设M 1表示事件“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即1M ABC =.由事件A ，B ，C 相互独立，可得()()()()()1231154310P M P ABC P A P B P C ===⨯⨯=.（2）设M 2表示事件“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则2M ABC ABC ABC =++，由于事件A ，B ，C ，A ，B ，C 均相互独立，并且事件ABC ABC ABC ，，两两互斥，因此所示概率为()()()()()()()()()()2P M P A P B P C P A P B P C P A P B P C=++2312312311115435435360324=⨯⨯-⨯-⨯+-⨯⨯+=（）（）（.（3）设M 3表示事件“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则3M ABC ABC ABC =++，由于事件A ，B ，C ，A ，B ，C 均相互独立，并且事件ABC ABC ABC ，，两两互斥，因此所求概率为()()()()()()()()()()3P M P A P B P C P A P B P C P A P B P C=++231231231111115435435435112=⨯-⨯-⨯⨯-+-⨯-+-=⨯（）（）（）（）（）（.22．【答案】（1）10.0050.0150.0200.0300.005100.25=-++++⨯=第四小组的频率（）.（2）依题意可得，()450.005550.015650.020750.025850.030950.0051072.5=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=平均数.（3）[40，50）与[90，100]的人数分别是3和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50）分数段的3人编号为A 1，A 2，A 3，将[90，100]分数段的3人编号为B 1，B 2，B 3，从中任取两人，则由样本点构成集合Ω={（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 3，B 3），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 2，B 3）}，共15个，其中，在同一分数段内的事件所含样本点为（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 2，A 3），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 2，B 3），共6个，故概率62155P ==.。

2023-2024学年浙江省台金七校高二（上）期中数学试卷一、选择题1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，不能互相垂直的两条直线是（ ）A ．A 1B 和AC 1B ．A 1B 和C 1DC ．C 1D 和B 1CD ．A 1B 和B 1C 13．三棱柱ABC ﹣DEF 中，G 为棱AD 的中点，若BA →=a →，BC →=b →，BD →=c →，则CG →=（ ）A ．−a →+b →−c →B ．12a →−b →+12c →C ．−12a →+b →+c →D ．−12a →+12b →+c →4．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），则点O 到平面ABC 的距离是（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．2√25．已知直线l ：3kx +（k +2）y ﹣10k ﹣2＝0，则下列选项错误的是（ ） A ．当直线l 与直线x +y +2＝0平行时，k ＝1B ．当直线l 与直线x +y +2＝0垂直时，k =−12 C ．当实数k 变化时，直线l 恒过点（2，1）D ．原点到直线l 的距离最大值为√106．已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M （﹣2，0）的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在第一象限），点F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则|QF |＝（ ）A ．97B ．119C ．139D ．527．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝2，对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−√24，√24) B ．(−∞，−√24)∪(√24，+∞)C ．(−√34，√34) D ．(−∞，−√34)∪(√34，+∞)8．已知F 1F 2分别是双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线左、右两支上各有一点P 、Q ，满足F 1P →=2F 2Q →，且∠F 1QF 2=π3，则该双曲线的离心率是（ ） A ．√73B ．√72C ．53D ．73二、多项选择题9．已知函数f(x)=sin(x +π6)，则下列选项正确的是（ ） A ．f(α+π3)=−cosαB ．函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称C ．将f （2x ）图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得y =sin(2x −π6)图象D ．若f(α)=35，π3＜α＜5π6，则sinα=3√3+41010．已知三棱锥O ﹣ABC ，则下列选项正确的是（ ）A ．若OA →=(0，1，2)，OB →=(1，1，1)，则OA →在OB →上的投影向量为OB →B ．若G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，则OG →=13(OA →+OB →+OC →)C ．若OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，则A ，B ，C ，G 四点共面D ．设a →=OA →，b →=OB →，c →=λa →+μb →(λ，μ∈R ，λ，μ≠0)，则{a →，b →，c →}构成空间的一个基底11．已知椭圆C 1：x 24+y 23=1，点O 为坐标原点，F 1，F 2分别是椭圆C 1的左右焦点，则下列选项正确的是（ ）A ．椭圆C 1上存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2B ．P 为椭圆C 1上一点，点M （4，4），则|PM |﹣|PF 1|的最小值为1C ．直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切D ．已知圆C 2：(x −1)2+y 2=1，点P 、N 分别是椭圆C 1、圆C 2上的动点，则|PO||PN|的最小值为√3312．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是CC 1的中点，点N 是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）A ．存在点N 满足∠ANM =π2B ．满足|A 1N|=√5的点N 的轨迹长度是π4C ．满足MN ∥平面A 1BC 1的点N 的轨迹长度是1D ．满足B 1N ⊥A 1M 的点N 的轨迹长度是√2 三、填空题13．已知空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是 ．14．已知双曲线的两条渐近线方程为x ±√2y =0，并且经过点A(√6，1)，则该双曲线的标准方程是 ．15．已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），一条光线从点P （3，1）沿平行于x 轴的方向射出，与抛物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N ．若OM →⋅ON →=−3，则M 、N 两点到y 轴的距离之比为 ． 16．已知四棱锥P ﹣ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，P A ＝1，AB ＝2，AD ＝5，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的体积为 ．四、解答题17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c =√7b 且a +2c cos A ＝2b ． （1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3√3，求BC 边上的高．18．（12分）已知圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝r 2（r ＞0），两点A （﹣3，0）、B （﹣5，0）． （1）若r ＝6，直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，求直线l 的方程； （2）若圆C 上存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝10，求圆C 半径r 的取值范围．19．（12分）已知正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝1，BC ＝2B 1C 1＝2，D 、E 分别为AA 1、B 1C 1的中点． （1）求该正三棱台的表面积； （2）求证：DE ⊥平面BCC 1B 1．20．（12分）已知函数f(x)={x +mx−2，x ＞01−m2x ，x ≤0，m ∈R ． （1）当m ＝4时，求函数f （x ）的值域； （2）讨论函数f （x ）的零点个数．21．（12分）已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 为矩形，四边形BDEF 为平行四边形，平面FBC ⊥平面ABCD ，FB ＝FC ＝BC ＝2，AB ＝4，G 是棱CF 上一点． （1）证明：AE ∥平面BCF ；（2）当BG ∥平面AEF 时，求BG 与平面DEG 所成角的正弦值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点D(√3，12)，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点E （4，0）的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（P 在E ，Q 之间），直线AP ，BQ 交于点M ，记△ABM ，△PQM 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围．2023-2024学年浙江省台金七校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：直线x −√3y +1＝0互为斜截式，得y =√33x +√33∴直线x −√3y +1＝0d 的斜率为√33，设倾斜角为θ，则tan θ=√33，∴θ=π6 故选：A ．2．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，不能互相垂直的两条直线是（ ）A ．A 1B 和AC 1 B ．A 1B 和C 1DC ．C 1D 和B 1CD ．A 1B 和B 1C 1解：建系如图：设该正方体的棱长为1，则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0，、D （0，0，0），A 1（1，0，1）、 B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），D 1（0，0，1），对于A 选项，A 1B →=(0，1，−1)，AC 1→=(−1，1，1)，则A 1B →⋅AC 1→=1−1=0，故A 1B ⊥AC 1； 对于B 选项，DC 1→=(0，1，1)，A 1B →⋅DC 1→=1−1=0，故A 1B ⊥C 1D ，B 对； 对于C 选项，CB 1→=(1，0，1)，CB 1→⋅DC 1→=1，故C 1D 和B 1C 不垂直，C 错；对于D 选项，C 1B 1→=(1，0，0)，A 1B →⋅C 1B 1→=0，故A 1B ⊥B 1C 1，D 对． 故选：C ．3．三棱柱ABC ﹣DEF 中，G 为棱AD 的中点，若BA →=a →，BC →=b →，BD →=c →，则CG →=（ ）A ．−a →+b →−c →B ．12a →−b →+12c →C ．−12a →+b →+c →D ．−12a →+12b →+c →解：CG →=CA →+AG →=CA →+12AD →=（BA →−BC →）+12（BD →−BA →）＝（a →−b →）+12(c →−a →)=12a →−b →+12c →． 故选：B ．4．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），则点O 到平面ABC 的距离是（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．2√2解：依题意可得AB →=(−1，−1，2)，BC →=(1，−1，0)，OA →=(1，2，0)， 设平面ABC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=−x −y +2z =0n →⋅BC →=x −y =0，取n →=(1，1，1)， 所以点O 到平面ABC 的距离是d =|OA →⋅n →||n →|=1+23=√3．故选：B ．5．已知直线l ：3kx +（k +2）y ﹣10k ﹣2＝0，则下列选项错误的是（ ） A ．当直线l 与直线x +y +2＝0平行时，k ＝1B ．当直线l 与直线x +y +2＝0垂直时，k =−12 C ．当实数k 变化时，直线l 恒过点（2，1）D ．原点到直线l 的距离最大值为√10解：对于A 项：当直线l 与直线x +y +2＝0平行，得斜率为：−3kk+2=−1，解得：k ＝1，故A 项正确；对于B 项：当直线l 与直线x +y +2＝0垂直，得斜率：−3k k+2=1，解得：k =−12，故B 项正确； 对于C 项：直线l 化简为：（3x +y ﹣10）k +2y ﹣2＝0，由{3x +y −10=02y −2=0，解得：{x =3y =1，即l 恒过定点（3，1），故C 项错误；对于D 项：当原点与直线l 的定点的连线垂直于直线l 时距离最大，由两点间距离得：√(3−0)2+(1−0)2=√10，故D 项正确． 故选：C ．6．已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M （﹣2，0）的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在第一象限），点F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则|QF |＝（ ） A ．97B ．119C ．139D ．52解：由题意知，点F （0，1），设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），其中x 1＞0，y 1＞0， 由于|PF |＝5，所以|PF |＝y 1+1＝5，即y 1＝4，将y 1＝4代入C ：x 2＝4y 得x 12=16，∵x 1＞0，∴x 1＝4，即P （4，4）， 故直线l 的斜率为k PM =46=23，其方程为y =23(x +2)， 联立{y =23(x +2)x 2=4y ，可得3x 2﹣8x ﹣16＝0，解得x 2=−43，x 1=4， 所以y 2=23×(−43+2)=49， 由抛物线的定义，得|QF|=y 2+1=139． 故选：C ．7．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝2，对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−√24，√24) B ．(−∞，−√24)∪(√24，+∞)C ．(−√34，√34) D ．(−∞，−√34)∪(√34，+∞)解：如图所示，圆心为C （3，0），半径为r =√2，圆心C 到直线l 的距离为d =6|m|√m 2+1，考虑P A 、PB 都与圆C 相切，此时，由切线长定理可知，|P A |＝|PB |，又因为|CA |＝|CB |，|PC |＝|PC |，则△P AC ≌△PBC ， 设∠APC ＝θ，则∠APB ＝2θ， 因为AC ⊥P A ，则sinθ=|AC||PC|≤√2d， 所以当PC ⊥l 时，θ最大，此时，∠APB 最大，因为对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则2θ＜π2，可得θ＜π4， 则√2d ＜sin π4=√22，可得d =6|m|√m 2+12，解得m ＜−√24或m ＞√24， 所以m 的取值范围是（﹣∞，−√24）∪（√24，+∞）． 故选：B ．8．已知F 1F 2分别是双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线左、右两支上各有一点P 、Q ，满足F 1P →=2F 2Q →，且∠F 1QF 2=π3，则该双曲线的离心率是（ ） A ．√73B ．√72C ．53D ．73解：如图，延长PF 1交交双曲线于M 点，连接PF 2，QF 1，MF 2，因为F 1P →=2F 2Q →，所以PM ∥QF 2，根据双曲线的对称性可得M ，Q 关于原点对称， 所以MF 1→=F 2Q →，则四边形F 1MF 2Q 为平行四边形，所以∠PMF 2=∠F 1QF 2=π3， 设|MF 1|＝|F 2Q |＝m ，则|PF 1|＝2m ，由双曲线定义可得：|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|PF 2|﹣|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝2a +2m ，|MF 2|＝2a +m ，|PM |＝2m +m ＝3m ，在△PMF 2中，由余弦定理得|PF 2|2=|PM|2+|MF 2|2−2|PM|⋅|MF 2|⋅cos π3， 则(2a +2m)2=(3m)2+(2a +m)2−2×3m ×(2a +m)×12， 化为4a 2+4m 2+8am ＝9m 2+4a 2+4am +m 2﹣6am ﹣3m 2， 整理得m =10a3， 所以|MF 1|=10a3，|MF 2|=16a3，在△F 1MF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2−2|MF 1|⋅|MF 2|⋅cos π3， 则(2c)2=(10a3)2+(16a3)2−2×10a3×16a3×12，整理得c 2=499a 2，所以c =73a ． 则该双曲线的离心率是ca=73．故选：D ．二、多项选择题9．已知函数f(x)=sin(x +π6)，则下列选项正确的是（ ） A ．f(α+π3)=−cosαB ．函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称C ．将f （2x ）图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得y =sin(2x −π6)图象D ．若f(α)=35，π3＜α＜5π6，则sinα=3√3+410解：因为f(α+π3)=sin(α+π3+π6)=sin(α+π2)=cosα，故A 错误； 由题意，令x +π6=π2+kπ，k ∈Z ，得x =π3+kπ，k ∈Z ， 所以函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称，故B 正确； 由题意知f(2x)=sin(2x +π6)，将f （2x ）图像上所有点向右平移π6个单位，得y =sin[2(x −π6)+π6]=sin(2x −π6)，故C 正确；因为f(α)=sin(α+π6)=35，且π3＜α＜5π6，所以π2＜α+π6＜π，所以cos(α+π6)=−45，因为sinα=[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)cos π6−cos(α+π6)sin π6，得sinα=3√3+410，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知三棱锥O ﹣ABC ，则下列选项正确的是（ ）A ．若OA →=(0，1，2)，OB →=(1，1，1)，则OA →在OB →上的投影向量为OB →B ．若G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，则OG →=13(OA →+OB →+OC →)C ．若OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，则A ，B ，C ，G 四点共面D ．设a →=OA →，b →=OB →，c →=λa →+μb →(λ，μ∈R ，λ，μ≠0)，则{a →，b →，c →}构成空间的一个基底解：选项A ，OA →在OB →上的投影向量为OA →⋅OB →|OB →|2⋅OB →=0+1+23•OB →=OB →，即选项A 正确；选项B ，因为G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，所以AG →=23×12（AB →+AC →）=13（AB →+AC →）， 所以OG →−OA →=13（OB →−OA →+OC →−OA →），整理得，OG →=13(OA →+OB →+OC →)，即选项B 正确；选项C ，因为OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，且−25+35+35≠1，所以A ，B ，C ，G 四点不共面，即选项C 错误；选项D ，由c →=λa →+μb →可知，a →，b →，c →共面，所以{a →，b →，c →}不能构成空间的一个基底，即选项D 错误． 故选：AB ．11．已知椭圆C 1：x 24+y 23=1，点O 为坐标原点，F 1，F 2分别是椭圆C 1的左右焦点，则下列选项正确的是（ ）A ．椭圆C 1上存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2B ．P 为椭圆C 1上一点，点M （4，4），则|PM |﹣|PF 1|的最小值为1C ．直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切D ．已知圆C 2：(x −1)2+y 2=1，点P 、N 分别是椭圆C 1、圆C 2上的动点，则|PO||PN|的最小值为√33解：对于A ，若存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2，则点P 在以|F 1F 2|为直径的圆x 2+y 2＝1上，而点P 在椭圆上，易知椭圆C 1：x 24+y 23=1与圆x 2+y 2＝1无交点，如下图所示：所以不存在点P 满足题意，即A 错误；对于B ，由椭圆定义可得|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，则可得|PF 1|＝4﹣|PF 2|， 所以|PM |﹣|PF 1|＝|PM |﹣（4﹣|PF 2|）＝|PM |+|PF 2|﹣4≥|MF 2|﹣4，当且仅当P ，M ，F 2三点共线时满足题意，又F 2（1，0），M （4，4）可得|MF 2|＝5， 即|PM |﹣|PF 1|≥|MF 2|﹣4＝1，所以B 正确； 对于C ，将x 24+y 23=1变形可得3x 2+4y 2﹣12＝0，结合直线l 可得9cos 2θx 2+12cos 2θy 2﹣36cos 2θ＝0，联立直线l ：(3cosθ)⋅x =6−(2√3sinθ)⋅y ，消去x 可得y 2−2√3sinθ⋅y +3sin 2θ=0， 显然该方程仅有一解y =√3sinθ，所以当θ∈R 时，直线和椭圆仅有一个交点，此时直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切，即C 正确； 对于D ，易知圆C 2：(x −1)2+y 2=1的圆心为F 2（1，0），所以可得|PN |≤|PF 2|+1， 不妨设P （x 0，y 0），则由x 024+y 023=1可得y 02=3−3x 024，则|PO||PN|≥√x 02+y 02√(x 0−1)2+y 02+1=√x 2+3−3x 024√(x 0−1)2+3−3x 024+1=√x 024+3√x 024−2x 0+4+1=√x 02+12√x 02−8x 0+16+2=√x 02+12√(x 0−4)2+2=√x 02+124−x 0+2=√x 02+126−x 0=√x 02+12x 02−12x 0+36，易知x 0∈[﹣2，2]，令f(x)=x 2+12x 2−12x+36，x ∈[−2，2]，则f ′(x)=−12(x−6)(x+2)(x 2−12x+36)2在x ∈[﹣2，2]上满足f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）在[﹣2，2]上单调递增，即f(x)≥f(−2)=14，因此可得|PO||PN|≥√x 02+12x 02−12x0+36≥√14=12，即|PO||PN|的最小值为12，即D 错误．故选：BC ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是CC 1的中点，点N 是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）A ．存在点N 满足∠ANM =π2B ．满足|A 1N|=√5的点N 的轨迹长度是π4C ．满足MN ∥平面A 1BC 1的点N 的轨迹长度是1D ．满足B 1N ⊥A 1M 的点N 的轨迹长度是√2 解：根据题意，如图建立空间直角坐标系，则A （2，0，0），M （0，2，1），N （x ，y ，0），A 1（2，0，2）， B （2，2，0），C 1（0，2，2），B 1（2，2，2）， 设N 的坐标为（x ，y ，0）； 依次分析选项：对于A ，假设∠ANM =π2，则NA →⋅NM →=0，且NA →=(2−x ，−y ，0)，NM →=(−x ，2−y ，1)，故N 轨迹方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，当x ＝0时，y ＝0，点（0，0）既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点N 存在，A 正确；对于B ，若|A 1N|=√5，A 1（2，0，2）， N 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝1，∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，则N 在底面内轨迹的长度是（x ﹣2）2+y 2＝1周长的14，即轨迹的长度为14×1×π=π4，B 正确，对于C ，A 1B →=(0，2，−2)，A 1C 1→=(−2，2，0)， 设面A 1BC 1的法向量n →=(x ，y ，z)，故有{2y −2z =0−2x +2y =0，解得{x =1y =1z =1，故n →=(1，1，1)∵MN ∥平面A 1BC 1，∴MN →⋅n →=0，∴N 的轨迹方程为x +y ﹣3＝0， ∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，∴N 在底面内轨迹的长度为√12+12=√2，C 错误； 对于D 选项，B 1N →=(x −2，y −2，−2)，A 1M →=(−2，2，−1)， ∵B 1N ⊥A 1M ，∴B 1N →⋅A 1M →=0，∴N 的轨迹方程为﹣x +y +1＝0，∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，∴N 在底面内轨迹的长度为√12+12=√2，D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题13．已知空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是 （2，1，6） ． 解：空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是（2，1，6）． 故答案为：（2，1，6）．14．已知双曲线的两条渐近线方程为x ±√2y =0，并且经过点A(√6，1)，则该双曲线的标准方程是x 24−y 22=1 ．解：由题意可设双曲线方程为mx 2﹣ny 2＝1，m ，n ＞0； 由渐近线方程为x ±√2y =0可得n ＝2m ，将点A(√6，1)代入可得6m ﹣n ＝1，解得m =14，n =12， 所以双曲线标准方程为x 24−y 22=1．故答案为：x 24−y 22=1．15．已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），一条光线从点P （3，1）沿平行于x 轴的方向射出，与抛物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N ．若OM →⋅ON →=−3，则M 、N 两点到y 轴的距离之比为 116．解：依题意，由抛物线性质知直线MN 过焦点F(p 2，0)， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线MN 的方程为x =ty +p2，由{x =ty +p2y 2=2px，得：y 2﹣2pty ﹣p 2＝0，所以y 1y 2=−p 2，x 1x 2=y 12y 224p 2=p 24，则OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=−34p 2=−3， 又p ＞0，所以p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，而y 1＝1，故y 2＝﹣4，所以x 1=y 124=14，x 2=y 224=4， 所以M 、N 两点到y 轴的距离之比为|x 1||x 2|=116．故答案为：116．16．已知四棱锥P ﹣ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，P A ＝1，AB ＝2，AD ＝5，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的体积为27√32π ．解：把平面P AB 展开到与底面ABCD 共面的P ′AB 的位置，延长DC 到D ′，使得CD ′＝1，则DF＝D ′F （如下图所示），因为PD 的长度为定值，故只需PE +EF +FD ＝P ′E +EF +FD ′最小，即P ′，E ，F ，D ′四点共线， 易知P ′D ＝6，DD ′＝4，P′D CF=DD′CD′，可得CF ＝3，所以BF =2，AB =2√2，DF =√13，∠DAF ＝45°， 由正弦定理可得△ADF 外接圆的半径r =12×√13sin45°=√262，设△ADF 外接圆圆心为O ′，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的球心O 一定在过O ′且与平面ADF 垂直的直线上，如下图所示：因为O 到点P ，A 的距离相等，所以OA =√r 2+(PA2)2=√274=3√32， 即三棱锥P ﹣ADF 外接球的半径为R =3√32， 所以外接球的体积为V =43πR 3=27√32π． 故答案为：27√32π．四、解答题17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c =√7b 且a +2c cos A ＝2b ． （1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3√3，求BC 边上的高． 解：（1）由a +2c cos A ＝2b 及正弦定理， 可得sin A +2sin C cos A ＝2sin B ，又在△ABC 中，易知A +B +C ＝π，可得A +C ＝π﹣B ， 所以sin （A +C ）＝sin （π﹣B ）＝sin B ，即sin A+2sin C cos A＝2sin（A+C）＝2sin A cos C+2cos A sin C，可得sin A＝2sin A cos C，显然sin A≠0，所以1＝2cos C，所以cosC=12，又C∈（0，π），可得C=π3；（2）由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=12，代入c=√7b整理可得a2﹣ab﹣6b2＝0，解得a＝3b或a＝﹣2b（舍），所以△ABC的面积为S=12absinC=3√3，解得b＝2，所以a＝6，设BC边上的高为h，则S=12ℎ⋅|BC|=12aℎ=3√3，可得ℎ=√3，即BC边上的高为√3．18．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0），两点A（﹣3，0）、B（﹣5，0）．（1）若r＝6，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的方程；（2）若圆C上存在点P，使得|P A|2+|PB|2＝10，求圆C半径r的取值范围．解：（1）当r＝6时，圆C的标准方程为（x﹣4）2+y2＝36，圆心为C（4，0），因为直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，则圆心C到直线l的距离为d=√r2−32=√62−32= 3√3，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝﹣5，此时，圆心C到直线l的距离为9，不合乎题意；所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x+5），即kx﹣y+5k＝0，则d=9|k|√k+1=3√3，解得k=±√22，所以，直线l的方程为y=√22x+5√22或y=−√22x−5√22；（2）解：设点P（x，y），则|P A|2+|PB|2＝（x+3）2+y2+（x+5）2+y2＝10，整理可得（x+4）2+y2＝4，因为点P在圆C上，则圆C与圆（x+4）2+y2＝4有公共点，且圆（x+4）2+y2＝4的圆心为E（﹣4，0），半径为2，则|r﹣2|≤|CE|≤r+2，且|CE|＝8，故|r﹣2|≤8≤r+2，因为r＞0，解得6≤r≤10，故r的取值范围是[6，10]．19．（12分）已知正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝1，BC ＝2B 1C 1＝2，D 、E 分别为AA 1、B 1C 1的中点． （1）求该正三棱台的表面积； （2）求证：DE ⊥平面BCC 1B 1．解：（1）将正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1补成正三棱锥P ﹣ABC ，因为B 1C 1∥BC ，且BC ＝2B 1C 1＝2，则A 1、B 1分别为P A 、PB 的中点， 则P A ＝2AA 1＝2，PC ＝PB ＝P A ＝2，故△PBC 是边长为2的等边三角形， 由此可知，△P AB 、△P AC 都是边长为2的等边三角形，易知△ABC 是边长为2的等边三角形，△A 1B 1C 1是边长为1的等边三角形，故正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积为3×34S △PAB +S △ABC +S △A 1B 1C 1=94×√34×22+√34×22+√34×12=7√32．（2）证明：设点P 在底面ABC 的射影为点O ，则O 为正△ABC 的中心， 取AB 的中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，CM =ACsin π3=2×√32=√3，则CO =23CM =2√33， 因为PO ⊥平面ABC ，CO ⊂平面ABC ，则OP ⊥CO ， 所以，PO =√PC 2−OC 2=√22−(2√33)2=2√63， 以点O 为坐标原点，CO →、AB →、OP →的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(−2√33，0，0)、B(√33，1，0)、P(0，0，2√63)、A(√33，−1，0)、 D(√34，−34，√66)、E(−√312，14，√63)，则DE →=(−√33，1，√66)，CP →=(2√33，0，2√63)，CB →=(√3，1，0)，所以DE →⋅CP →=−23+23=0，DE →⋅CB →=−1+1=0，所以，DE ⊥CP ，DE ⊥CB ，因为CP ∩CB ＝C ，CP 、CB ⊂平面BCC 1B 1，故DE ⊥平面BCC 1B 1．20．（12分）已知函数f(x)={x +mx −2，x ＞01−m2x ，x ≤0，m ∈R ． （1）当m ＝4时，求函数f （x ）的值域； （2）讨论函数f （x ）的零点个数．解：（1）当m ＝4时可得f(x)={x +4x−2，x ＞01−42x ，x ≤0； 显然当x ＞0时，x +4x −2≥2√x ⋅4x−2=2，当且仅当x ＝2时，等号成立， 当x ≤0时，易知函数1−42x 在（﹣∞，0]上单调递增，所以可得1−42x ≤1−420=−3， 即x ≤0时，1−42x ∈(−∞，−3]； 综上可知，函数f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）； （2）①当m ≤0时，函数y =x +mx −2在（0，+∞）上单调递增， 且当x 趋近于0时，y ＜0，当x 趋近于+∞时，y ＞0，即函数y =x +mx−2在（0，+∞）上存在一个零点；而函数y =1−m 2x 在（﹣∞，0]上单调递减，且当x ∈（﹣∞，0]时，y ＞0恒成立，即函数y =1−m 2x 在（﹣∞，0]上无零点；所以当m ≤0时，函数f （x ）仅有1个零点；②当0＜m ＜1时，易知y =x +mx −2在(0，√m)上单调递减，在(√m ，+∞)上单调递增， 此时最小值为2√m −2＜0，即函数y =x +mx −2在（0，+∞）上存在两个零点；而函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为1﹣m＞0，即函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上有一个零点；所以当0＜m＜1时，函数f（x）仅有3个零点；③当m＝1时，易知y=x+1x−2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，此时最小值为0，即函数y=x+1x−2在（0，+∞）上存在一个零点；而函数y=1−12x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为0，即函数y=1−12x在（﹣∞，0]上有一个零点；即当m＝1时，函数f（x）仅有2个零点；④当m＞1时，易知y=x+mx−2在(0，√m)上单调递减，在(√m，+∞)上单调递增，此时最小值为2√m−2＞0，即函数y=x+mx−2在（0，+∞）上无零点；而函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为1﹣m＜0，即函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上无零点；所以当m＞1时，函数f（x）没有零点；综上可知，当m≤0时，函数f（x）仅有1个零点；当0＜m＜1时，函数f（x）仅有3个零点；当m＝1时，函数f（x）仅有2个零点；当m＞1时，函数f（x）没有零点．21．（12分）已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，FB＝FC＝BC＝2，AB＝4，G是棱CF上一点．（1）证明：AE∥平面BCF；（2）当BG∥平面AEF时，求BG与平面DEG所成角的正弦值．解：（1）证明：多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，FB＝FC＝BC＝2，AB＝4，G是棱CF上一点，∵底面ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∵AD ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AD ∥平面BCF ，∵四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ∥BF ，∵DE ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF ，因为AD ∩DE ＝E ，且AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ∥平面BCF ，∵AE ⊂平面ADE ，∴AE ∥平面BCF ；（2）如图，连接AF ，EG ，取BC 的中点N ，AD 的中点M ，∵△FBC 是等边三角形，∴FN ⊥BC ，又平面FBC ⊥平面ABCD ，FN ⊂平面FBC ，平面FBC ∩平面ABCD ＝BC ，∴FN ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为矩形，∴MN ⊥NB ，以N 为坐标原点，NM ，NB ，NF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，A(4，1，0)，B(0，1，0)，C(0，−1，0)，D(4，−1，0)，F(0，0，√3)，则CF →=(0，1，√3)，设CG →=tCF →(0≤t ≤1)，则G(0，t −1，√3t)，可知BG →=(0，t −2，√3t)，AF →=(−4，−1，√3)，BD →=(4，−2，0)，由底面是平行四边形，得AE →=AF →+FE →=AF →+BD →=(0，−3，√3)，设平面AEF 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{−4x 1−y 1+√3z 1=0−3y 1+√3z 1=0，取z 1=√3，得n →=(12，1，√3)， 由题意BG ∥平面AEF ，则BG →⋅n →=0×12+(t −2)×1+√3t ×√3=0，解得t =12，∴CG →=12CF →，即G 是CF 中点， ∵AE →=(0，−3，√3)，∴E(4，−2，√3)，∴DE →=(0，−1，√3)，DG →=(−4，12，√32)，设平面DEG 的法向量为m →=(x 2，y 2，z 2)，则{−y 2+√3z 2=0−4x 2+12y 2+√32z 2=0， 取z 2＝1，得m →=(√34，√3，1)，BG →=(0，−32，√32)，设直线BG 与平面DEG 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜BG →，m →＞|=|BG →⋅m →||BG →|⋅|m →|=|0−3√32+√32|√6716=4√6767 .∴BG 与平面DEG 所成角的正弦值为4√6767． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点D(√3，12)，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点E （4，0）的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（P 在E ，Q 之间），直线AP ，BQ 交于点M ，记△ABM ，△PQM 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围．解：（1）由题意可知离心率为e =c a =√32，将点D(√3，12)代入椭圆方程可得3a 2+14b 2=1， 又a 2＝b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以椭圆方程为x 24+y 2=1．（2）易知A （﹣2，0），B （2，0），设直线l 的方程为x ＝my +4，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），且x 1＜x 2，联立直线和椭圆方程{x 24+y 2=1x =my +4，整理可得（m 2+4）y 2+8my +12＝0，所以Δ＝（8m ）2﹣4×12（m 2+4）＞0，可得m 2＞12，且y 1+y 2=−8m m 2+4，y 1y 2=12m 2+4， 可得直线P A 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)=y 1my 1+6(x +2)， 直线QB 的方程为y =y2my 2+2(x −2)， 解得M(2my 1y 2+2y 1+6y 23y 2−y 1，2y 1y 23y 2−y 1)， PQ =√1+m 2√(−8m m 2+4)2−4×12m 2+4=√1+m 2√(−8m m 2+4)2−4×12m 2+4=4√(1+m 2)(m 2−12)m 2+4， M 点到直线PQ 的距离为d =|6(y 1−y 2)3y 2−y 1|√1+m 2 所以△PQM 的面积为S 1=12|PQ|⋅d =2×√(1+m 2)(m 2−12)m 2+4|6(y 1−y 2)3y 2−y 1|√1+m 2=12√m 2−12m 2+4⋅|(y 1−y 2)3y 2−y 1|， △ABM 的面积为S 2=12|AB|⋅|2y 1y 23y 2−y 1|=4|y 1y 23y 2−y 1|， 所以S 1S 2=3×√m 2−12m 2+4⋅|y 1−y 2||y 1y 2|=3×√m 2−12m 2+4⋅4√m 2−12m 2+412m 2+4=m 2−12m 2+4=1−16m 2+4，又m 2＞12可得1−16m 2+4∈(0，1)， 即可得S 1S 2的取值范围是（0，1）．。

【课本内容再回顾——查缺补漏】回顾一：排列组合与二项式定理（1）基本计数原理：①分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝________________种不同的方法．②分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，完成第一个步骤有m1种不同的方法，完成第二个步骤有m2种不同的方法，……，完成第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝__________________种不同的方法．③两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．（2）排列与组合：①排列与排列数：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示.排列数公式：!(1)(2)(1)()()!mnnA n n n n m m nn m=---+=≤-；!(1)(2)21nnA n n n n==--⋅.规定0!=1。

另外，!)!1(!nnnn -+=⋅；111--++=⋅+=mnmnmnmmmnmnmAACAAA；11--=mnmnnAA，!1)!1(1!1nnnn--=-。

注意：相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.②组合与组合数：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2.4.2直线与圆锥曲线综合问题,课时作业高二上学期数学北师大版选择性必修第一册（含答案）4.2直线与圆锥曲线的综合问题 1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为() A.-12 B.12 C.-2 D.2 2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e 的取值范围是() A.(1,2) B.(1,2] C.(1,5) D.(1,5] 4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.25.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为. 能力达标7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.28.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为() A.-13或13 B.-16或16 C.2 D.16 9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为() A.839 B.1639 C.3239 D.6439 10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是() A.12 B.33 C.32 D.53 11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是() A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2 B.PB1·PB20 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为. 13.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点. 14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,且经过点32,-32. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O为原点)面积的最大值. 1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为() A.-12 B.12 C.-2 D.2 答案 A 2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 答案B 解析抛物线的焦点为Fp2,0, 所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=__p2, 即x=y+p2,代入y2=2px消去x, 得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0, 由根与系数的关系得y1+y22=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标), 所以抛物线的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1. 3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e的取值范围是() A.(1,2) B.(1,2] C.(1,5) D.(1,5] 答案 B 4.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.2 答案 B 5.已知过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为. 答案22 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,∴(x1__2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0, ∴y1-y2x1__2=-b2a2·x1+x2y1+y2. ∵y1-y2x1__2=-12,x1+x2=2,y1+y2=2, ∴-b2a2=-12. ∴a2=2b2. 又b2=a2-c2,∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2, ∴e=ca=22. 6.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为. 答案(1,5) 解析由过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得ba2. ∴e=ca=a2+b2a21+4=5,∵e1, ∴1e5, ∴此双曲线离心率的取值范围为(1,5). 能力达标7.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F 且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=() A.1 B.2 C.3 D.2 答案B 解析∵c2=a2-b2=16-4=12,∴c=23. ∴椭圆的右焦点F(23,0). ∴设过右焦点F且斜率为k(k0)的直线为my=__23,其中m=1k. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立my=__23,x216+y24=1,消去x得到(4+m2)y2+43my-4=0. ∴y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2. ∵AF=3FB,∴-y1=3y2, 把以上三式联立消去y1,y2,得m2=12,∴1k2=12,即k2=2. 又k0,∴k=2. 8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B两点,且AB=BF,则直线AB的斜率为() A.-13或13 B.-16或16 C.2 D.16 答案B 9.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x 轴交于点G,则△ABG的面积为() A.839 B.1639 C.3239 D.6439 答案C 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AF=3FB, 所以y1=-3y2,设直线l的方程为x=my+1, 由y2=4x,x=my+1,消去x得y2-4my-4=0, ∴y1y2=-4, ∴y1=23,y2=-233,∴y1+y2=4m=433, ∴m=33,∴x1+x2=103,AB的中点坐标为53,233,过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33__53,令y=0,可得x=113,∴S△ABG=12×113-1×23+233=3239. 10.(2020浙江高三二模)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F2B,|F1B|=|AB|,则该椭圆的离心率是() A.12 B.33 C.32 D.53 答案B 11.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个命题中正确的是() A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2 B.PB1·PB20 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线答案BC 解析设P(x0,y0),x02a2+y02b2=1,则kPB1·kPB2=y0+bx0·y0-bx0=y02-b2x02=-b2a2,因此A不正确; ∵点P在圆x2+y2=b2外,∴x02+y02-b20, ∴PB1·PB2=(__0,-b-y0)·(__0,b-y0)=x02+y02-b20,B正确; 当点P在长轴的顶点上时,∠B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2bsin∠B1PB2≤2bsin∠B1AB2=2bsin2∠OAB2=2b2aba2+b 2=a2+b2a. ∴r≤a2+b22a, ∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a,C正确; 直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x,直线QB2的方程为y-b=y0-b__0x,两式相乘可得y2-b2=y02-b2__02x2, 化为y2b2__2a2=1,由于点P不与B1,B2重合,∴M的轨迹为双曲线的一部分,∴D不正确. 12.设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△ABF的面积为. 答案3215 13.在直角坐标系xOy 中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点. (1)解设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2), 则kAM-kBM=y-2x+2-y-2__2=8-4yx2-4=-2, 可得x2=2y(x≠±2), 则M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2). (2)证明设Pm,m22,Qn,n22,m≠±2,n≠±2, 又A(-2,2),可得kAP·kAQ=m22-2m+2·n22-2n+2=m-22·n-22=-2, 即有mn-2(m+n)=-12,即mn=2(m+n)-12, 直线l的斜率为kPQ=m22-n22m-n=m+n2, 可得直线l的方程为y-m22=m+n2(__m), 化为y=m+n2__mn2, 可得y-6=m+n2(__2), 可得直线l恒过定点(2,6). 14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,且经过点32,-32. (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△OAB(O 为原点)面积的最大值. 解(1)根据题意知:离心率e=63,可得ca=63,即c2a2=23,因为c2=a2-b2,所以a2-b2a2=23,整理得a2=3b2, 又由椭圆C经过点32,-32,代入可得(32)2a2+(-32)2b2=1,即34a2+34b2=1, 联立a2=3b2,34a2+34b2=1,解得a2=3,b2=1,所以椭圆C的方程为x23+y2=1. (2)由题意,易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+2, 联立y=kx+2,x23+y2=1,消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0, 因为直线AB 与椭圆C相交于A,B两点, 所以Δ=(12k)2-4×9(1+3k2)0,得k21, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2, 所以|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2 =1+k2·(-12k1+3k2)2-4×91+3k2=61+k2·k2-11+3k2. 点O(0,0)到直线k__y+2=0的距离d=21+k2, 所以△OAB面积S△AOB=12|AB|·d=1261+k2·k2-11+3k2·21+k2=6k2-11+3k2. 令k2-1=t,则k2=t2+1(t0), 所以S△OAB=6t4+3t2=64t+3t≤624t×3t=32, 当且仅当4t=3t,即t2=43时,等号成立, 此时k2=73,△OAB的面积取得最大值32.。

一、选择题1．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．(0分)[ID ：13000]“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．(0分)[ID ：12995]在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p << D ．321p p p <<4．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 5．(0分)[ID ：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）A ．25B ．1225C ．1625D ．456．(0分)[ID ：12971]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4557．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．568．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A ．1.19B ．1.23C ．1.26D ．1.319．(0分)[ID ：12950]下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．410．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．(0分)[ID ：12930]某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+，其中ˆ 2.4b=，a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）3461012A ．17B ．18C ．19D ．2012．(0分)[ID ：13016]同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．1813．(0分)[ID ：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．15814．(0分)[ID ：12972]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1615．(0分)[ID ：13023]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元二、填空题16．(0分)[ID ：13120]判断大小a =log 30.5，b =log 32，c =log 52，d =log 0.50.25，则a 、b 、c 、d 大小关系为_____________.17．(0分)[ID ：13119]下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.18．(0分)[ID ：13112]某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ .19．(0分)[ID ：13107]连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．20．(0分)[ID ：13081]执行如图所示的算法流程图，则输出x 的值为__________．21．(0分)[ID ：13073]某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________．22．(0分)[ID ：13051]执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，则正整数M 为__________．23．(0分)[ID ：13049]执行如图所示的程序框图，如果输出1320s =，则正整数M 为__________．24．(0分)[ID ：13048]计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．25．(0分)[ID ：13046]某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是_______．三、解答题26．(0分)[ID ：13220]为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x （单位：亿元）与该地区粮食产量y （单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 补贴额x /亿元 9 10 12 11 8 粮食产量y /万亿2526313721（1）请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆybx a =+； （2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.27．(0分)[ID：13207]如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题：（1）79.589.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均数?28．(0分)[ID：13185]现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试成绩预计同时有了大的提升：若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x，则甲（乙）的高三对应x .的考试成绩预计为4（1）试预测：高三6次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？（2）若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别由低到高进步的，定义y为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求y的平均值.29．(0分)[ID：13155]从某校期中考试数学试卷中，抽取样本，考察成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中各小组的长方形面积之比从左至右依次为1:3:6:4:2，第一组的频数是4.（1）求样本容量及各组对应的频率；（2）根据频率分布直方图估计成绩的平均分和中位数（结果保留两位小数）.30．(0分)[ID：13135]某校举行书法比赛，下图为甲乙两人近期8次参加比赛的成绩的茎叶图。

乾安县七中二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题理一、选择题1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于() A ．2nB ．2n＋1C ．2n－1D ．2n ＋12．等差数列的前n 项和为S n ，假设S 2＝4，S 4＝20，那么该数列的公差d ＝()A ．2B ．3C ．6D ．73．在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，那么a 101的值是() A ．49B ．50C ．51D ．524.设数列{x n }满足log 2x n+1=1+log 2x n ,且x 1+x 2+x 3+…+x 10=10,那么x 11+x 12+x 13+…+x 20的值是() ×211×210×211×2105.数列{}n a的通项公式n a =假设其前n 项的和为10,那么n 为( )6．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的()A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项7．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，那么实数a 的取值范围是() A ．(－∞，2)B ．[－2，2]C ．(－2，2]D ．(－∞，－2){}n a 中，()111,2n n n a a a n *+==∈N ，那么数列{}n a 的通项公式为〔〕A.12n n a -=B.2n n a =C.()122n n n a -= D.222n n a =9．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，那么S 5＝()A ．32B ．62C ．27D ．8110．数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，那么S 15＋S 22－S 31的值是()A ．13B ．－76C ．46D ．7611．数列{a n }是公差为d 的等差数列,S n 是其前n 项和,且有S 9<S 8=S 7,那么以下说法不正确的选项是()A.S 9<S 10B.d<0C.S 7与S 8均为S n 的最大值D.a 8=012．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，S n 为其前n 项和，那么S 12＝()A ．76B ．78C ．80D ．82 二、填空题13．数列{a n }中，a 1＝10，a n ＋1＝a n －，那么它的前n 项和S n 的最大值为________．14．等比数列{a n }为递增数列，假设a 1＞0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，那么数列{a n }的公比q ＝________．15．不等式0≤x 2－2x －3＜5的解集为________．16.将正偶数分为数组:(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20),…,那么第n 组各数的和是.(用含n 的式子表示)三、解答题17．(本小题总分值是10分)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.18．(本小题总分值是12分)等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .19．(本小题总分值是12分)等差数列{a n }中，记S n 是它的前n 项和，假设S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .20.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设39,S =且125,,a a a 成等比数列. (1).求数列{}n a 的通项公式；(2).设{}n n b a -是首项为1,公比为2的等比数列,求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和为n T 。

2020-2021学年高二数学人教A 版（2019）期末复习题第一章空间向量与立体几何一、选择题1.已知空间点()()1,,5,2,7,2A a B a ---,则AB 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．2.若向量(,4,5),(1,2,2)a x b =--=-,且a 与b 的夹角的余弦值为,则实数x 的值为( ) A.-3 B.11 C.3 D.-3或113.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为( ) A.607B.14C.12D.6274.在空间直角坐标系中, 点()3,4,5P 与点(3,4,5)Q --的位置关系是（ ） A.关于x 轴对称B.关于xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对二、填空题5.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1,EFGC P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2HP 的范围是__________.6.若(2,1,2),(6,3,2)a b =-=-,且()a b a λ+⊥,则实数λ= .7.如图,在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中,侧棱PA ⊥底面,,90,2,1ABCD BCAD ABC PA AB BC AD ∠=︒====,则AD 到平面PBC 的距离为_______.三、多项选择题8.已知空间中三点()()()0,1,0,2,2,0,1,3,1A B C -,则下列说法不正确的是( )A.AB 与AC 是共线向量B.与AB 同向的单位向量是⎫⎪⎪⎝⎭C.AB 与BCD.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--,则下列结论正确的是( )A.AP AB ⊥B.AP AD ⊥C.AP 是平面ABCD 的法向量D.APBD10.设,,a b c 是任意的非零空间向量,且两两不共线,则下列结论中正确的有( ) A.()()0⋅-⋅=a b c c a b B.||||||-<-a b a bC.()()⋅-⋅b a c c a b 不与c 垂直D.22(32)(32)9||4||+⋅-=-a b a b a b11.设,a b 为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有( ) A.22||=a a B.2⋅=a b ba aC.222()⋅=⋅a b a bD.222()2-=-⋅+a b a a b b四、解答题12.ABC △的内角,,A B C 对的边为,,a b c ,向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行. (1)求角A ;（2）若2,a =求b c +的取值范围.13.如图,在边长为2的正三角形ABC 中,点,,D E G 分别是边,,AB AC BC 的中点,连接DE ,连接AG 交DE 于点F .现将ADE 沿DE 折叠至1A DE 的位置,使得平面1A DE ⊥平面BCED ,连接1,AG EG .求点B 到平面1A EG 的距离.14.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AA C C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交CC 于D ．（1）求证：平面BAD ⊥平面11AA C C ； （2）求二面角111A B C A -的余弦值．15.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为1BB 的中点.(1)求1D E 的长；(2)求异面直线AE 与1BC 所成的角的余弦值.16.如图,在三棱锥S ABC -中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90BAC ∠=︒,O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ； (2)求二面角A SC B --的余弦值参考答案1.答案：C2.答案：A3.答案：B4.答案：A 点()3,4,5P 与点()3,4,5Q --的横坐标相同,而纵、竖坐标分别互为相反数,所以两点关于x 轴对称.5.答案：11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如下图所示:作'HM BB ⊥交'BB 于M ,连接PM 则HM PM ⊥作'PN CC ⊥交'CC 于N,则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离 设(),4,P x z ,则()()()1,4,3,4,4,3,0,4,F M N z ()04,04x z ≤≤≤≤ 由题意点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 所以PN PF =由两点间距离公式可得x =化简得()2213x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得142x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222443x z =+-+-()224421x x =+-+-()2322x =-+142x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以211322,4HP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 答案: 11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.答案：919-7.2分析知,,AB AD AP 两两垂直,∴可建立以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系(如图所示),则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,0A B C P PB BC =-=,设平面PBC 的法向量为(),,a b c =n ,则0PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即22020a c b -=⎧⎨=⎩,取1a =,则0,1b c ==,则()1,0,1=n 是平面PBC 的一个法向量.又(2,0,0),AB AD =平面,PBC ∴所求距离为||||AB ⋅=n n . 8.答案：ABC解析：对于A,(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-,所以不存在实数λ,使得AB AC λ=,则AB 与AC 不是共线向量,所以A 错误;对于B,因为(2,1,0)AB =,所以与AB同向的单位向量为⎫⎪⎪⎝⎭,所以B 错误;对于C,向量(2,1,0),(3,1,1)AB BC ==-,所以cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅〈〉==-,所以C 错误;对于D 项,设平面ABC 的一个法向量是(,,),(2,1,0),(1,2,1)x y z AB AC ===-n ,所以0,0,AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 则20,20,x y x y z +=⎧⎨-++=⎩令1x =,则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)=-n ,所以D 正确.故选ABC. 9.答案：ABC 解析：0,0,,AB AP AD AP AB AP AD AP ⋅=⋅=∴⊥⊥,则选项A,B 正确.又AB 与AD 不平行,AP∴是平面ABCD 的法向量,则选项C 正确.(2,3,4),(1,2,1),BD AD AB AP BD =-==--∴与AP 不平行,故选项D 错误. 10.答案：BD解析：根据空间向量数量积的定义及性质,可知⋅a b 和⋅c a 是实数,而 c 与 b 不共线,故()⋅a b c 与()⋅c a b 一定不相等,故A 错误；因为2[()()]()()()⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅b a c c a b c b a c c a b c ,所以当⊥a b ,且⊥a c 或⊥b c 时,[()()]0⋅-⋅⋅=b a c c a b c ,即()()⋅-⋅b a c c a b 与 c 垂直,故C 错误；易知BD 正确.故选BD. 11.答案：AD解析：由数量积的性质和运算律可知AD 是正确的.12.答案：（1）由于(,3)m a=与(cos sin )n A B =+平行，∴sin cos 0a B A =，∴sin sin cos A B B A ，∵sin 0B ≠，∴tan A ， ∵0πA <<，∴π3A =.（2）∵π2,3a A ==，∴22sin R A == ∴2ππ2(sin sin )2sin sin 4sin 36b c R B C R B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵2πππ5π0,3666B B <<<+<， ∴1πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， ∴24b c <+≤. 解析：13.答案：连接BE .以F 为坐标原点,1,,FG FE FA 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则111,0,,0,,0,2B A E G ⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1331331,,0,0,,,,,0222EB EA EG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设平面1A EG 的法向量为(,,)x y z =n ,则11023102EA y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩n ,取x =则3,y z ==,则=n 是平面1A EG 的一个法向量,∴点B 到平面1A EG 的距离||||EB d ⋅===n n 解析：14.答案：解：（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接CE BE ，， 设AD CE O ⋂=，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形， CE AD ∴⊥，又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴≅△△，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥， 又AD ，BO ⊂平面BAD ，AD BO O ⋂=，CE ∴⊥平面BAD ．又CE ⊂平面11AA C C ，∴平面BAD ⊥平面11AA C C . （2）在ABC △中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在RtBOC △中，12CO CE ==BO ∴=又4AB =，12AO AD ==222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥， AD CE O ⋂=，AD ，CE ⊂平面11AA C C ，BO ∴⊥平面11AA C C ，故建立如图空间直角坐标系0xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -，1B ，11C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =，设平面11AB C 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，11111460220x y x y -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩， 令16x =，得(6,4,m =-，设平面111A B C 的一个法向量为()222,,n x y z =， 则1111n C B n C A ⊥⎧⎨⊥⎩，222240220x x y =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2y =，得(0,2,1)n =-，92cos ,||||102m n m n mn ⋅∴<>==⋅⋅，故二面角111A B C A --解析：15.答案：(1)以AD ,AB ,1AA 的正方向分别为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则()12,0,2D ,()0,2,1E ,可得1(03D E ==, 所以1D E 的长为3.(2)由(1)的坐标系,可得()0,0,0A ,()0,2,1E ,()0,2,0B ,()12,2,2C ,所以()0,2,1AE =,()12,0,2BC =,设异面直线AE 与1BC 所成的角为θ,所以111cos cos ,5AE BC AEBC AE BC θ⋅====, 即异面直线AE 与1BC. 解析：16.答案：(1)由题设AB AC SB SC SA ====,连结,OA ABC △为等腰直角三角形,所以OA OB OC ===,且AO BC ⊥,又SBC △为等腰三角形,故SO BC ⊥,且SO =,从而222OA SO SA +=．所以SOA △为直角三角形,SO AO ⊥．又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ．(2)取SC 中点M ,连结,AM OM ,由(1)知,SO OC SA AC ==,得,OM SC AM SC ⊥⊥． OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥,又AM =,故sin AO AMO AM ∠===所以二面角A SC B --。

高二上学期数学第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第1.1~2.1章（直线与圆+椭圆）。

5．难度系数：0.68。

第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．点()1,1到直线3420x y +−=的距离是（ ） A ．1 B ．2 CD ．3【答案】A【解析】515d =. 故选：A.2．已知方程2212x y m m +=−表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,)+∞D ．(0,1)(1,2)【答案】D【解析】依题意2002m m m m −>> −≠，解得01m <<或12m << 故选：D3．圆()2249x y −+=和圆()2234x y +−=的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C试卷第2页，共13页【解析】圆()2249x y −+=的圆心为()4,0，半径为3， 圆()2234x y +−=的圆心为()0,3，半径为2．523==+，所以两圆外切， 故两圆的公切线的条数为3，故C 正确. 故选：C4．已知实数x ，y满足方程y yx的最大值为（ ） A ．0 B ．1 CD ．2【答案】C【解析】方程y ()()22230x y y −+≥， 表示的图形是一个以令yk x=，即y kx =，如图所示，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离d解得k =k = 所以yx故选：C.5．某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6A.U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35A.U.（A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，1A.U.149597870=千米）.物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约1510kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是（ ）A ．0.03B ．0.97C ．0.83D ．0.77【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由题意可得0.6,35,a c a c −= += 解得17.8,17.2,a c == 所以17.20.9717.8c ea ==≈. 故选：B6．已知直线l ：10x my m −+−=，则下列说法不正确的是（ ） A ．直线l 恒过点()1,1B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 的斜率可以等于0D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =− 【答案】C【解析】直线l 的方程可化为()()110x m y −−−=， 所以直线l 过定点(1,1)，故A 正确； 因为直线l 与y 轴的夹角为30°， 所以直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m ，所以1tan 60m=°=1tan120m=°=所以m =或m =B 正确； 当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m， 不可能等于0，故C 错误；当0m =时，直线:1l x =在y 轴上的截距不存在， 当0m ≠时，令0x =，得1m y m −=，试卷第4页，共13页令0y =，得1x m =−，令11m m m−=−， 得1m =±，故D 选项正确. 故选：C.7．若圆222610x y x y +−−+=上恰有三点到直线y kx =的距离为2，则k 的值为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．2【答案】C【解析】由222610x y x y +−−+=得()()22139x y −+−=，所以圆心()1,3，半径3r =， 因为圆上恰有三点到直线y kx =的距离为2， 所以圆心()1,3到直线y kx =的距离为1，即1d，解得43k =，故选：C ．8．已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，当12F PF 的面积为1时，12PF PF ⋅ 等于（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．12【答案】A【解析】由题意可得：2,1,a b c ====则())1212,3,0,F F F F =设()00,P x y ，由题意可得：12F PF S △代入方程可得201143x +=，则2083x =，又因为())100200,,,PF x y PF x y =−−，则2212008133033PF PF x y ⋅=−++=−++= .故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +−=，下列结论正确的是（ ） A ．若12//l l ，则6a = B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a = D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交【答案】AD【解析】两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +−=， 若12//l l ，则438a =×，得6a =，故A 选项正确；若12//l l ，由A 选项可知，2l ：68110x y +−=，直线1l 的方程可化为68240x y ++=，72，故B 选项不正确； 若12l l ⊥，则3480a +×=，得323a =−，故C 选项不正确； 由A 选项知，当6a =时，12//l l ，所以若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交，故D 选项正确. 故选：AD.10．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（ ）A ．1y =B ．2x =C ．3450x y −−=D ．4350x y −−=【答案】AD【解析】由题意得切线l 的斜率存在，故可设切线l 的方程为()12y k x −=−，即210kx y k −−+=，∴圆心到直线l 的距离d， ∴2340k k −=，∴0k =或43k =， ∴切线l 的方程为1y =或4350x y −−=． 故选：AD.11．已知椭圆2221(03)9x y b b +=<<的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的最小值为4，则（ ）A B ．22AF BF +的最大值为8试卷第6页，共13页CD ．椭圆上不存在点P ，使得1290F PF ∠=【答案】BD【解析】易知当AB x ⊥轴时，即线段AB 为通径时，最短，2243b AB ∴==，解得26b =，∴椭圆方程为22196x y +=， 对于A，椭圆的短轴长为2b =，故A 错误；对于B ，因为2ABF △的周长为221212412AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==，且()min 22min max|4,12|8AB AF BF AB =∴+=−=，故B 正确；对于C，c =3,a =∴离心率c e a ==C 错误； 对于D ，易知当点P 位于短轴顶点时，12PPF ∠最大，此时2221212122(2)3,2cos 02a a c PF PF a F F c F PF a+−=====∴∠=>，又12F PF ∠为三角形内角，12π0,,2F PF∴∠∈∴椭圆上不存在点P ，使得1290F PF ∠= ，故D 正确，故选:BD.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

1.2.1排列(一)学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.知识点一排列的定义从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.思考1让你安排这项活动需要分几步？答案分两步.第1步确定上午的同学；第2步确定下午的同学.思考2甲丙和丙甲是相同的排法吗？答案不是.一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.知识点二排列数及排列数公式思考1从1,2,3,4这4个数字中选出两个能构成多少个无重复数字的两位数？答案4×3＝12个.思考2从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？答案4×3×2＝24个.思考3从几个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，共有多少种不同排法？答案n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种.类型一排列的概念例1下列问题是排列问题的为________.①选2个小组分别去植树和种菜；②选2个小组分别去种菜；③某班40名同学在假期互发短信；④从1,2,3,4,5中任取两个数字相除；⑤10个车站，站与站间的车票.解析①植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；②不存在顺序问题，不是排列问题；③存在顺序问题，是排列问题；④两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；⑤车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题.答案①③④⑤反思与感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小关系一定；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，不管a >b 还是a <b ，方程x 2a 2－y 2b 2＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题. (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题. 类型二 排列数的计算或证明例2 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)；(2)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(3)求证A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 解 (1)∵55－n,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15个元素，∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569-n .(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×(8＋7)8×7×6×5×(24－9)＝1.(3)方法一 ∵A m n ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·m n ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n， ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 方法二 A m n ＋1表示从n ＋1个元素中取出m 个元素的排列个数，其中不含元素a 1的有A m n 个.含有a 1的可这样进行排列：先排a 1，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出m －1个元素排在剩下的m －1个位置上，有A m －1n种排法.故A m n ＋1＝m A m －1n＋A mn ， ∴m A m －1n ＝A m n ＋1－A m n .反思与感悟 1.连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其中最大的数是排列元素的总个数，而正整数的个数是所选取元素的个数，这种题型是排列数公式的逆用.2.应用排列数公式解题时，一般先写出它们的式子，再提取公因式，然后计算，这样会减少运算量，另外，应用排列数的定义解题，也是一种常用方法.跟踪训练2 解不等式：A x 8<6A x －28.解 由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！， 化简得x 2－19x ＋84<0， 解之得7<x <12，① 又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －2≥0，所以2≤x ≤8， ②由①、②及x ∈N *，得x ＝8. 类型三 排列的列举问题 例3 写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)A 、B 、C 、D 四名同学排成一排照相，要求自左向右，A 不排第一，B 不排第四，共有多少种不同的排列方法？解 (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示.故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.(2)因为A 不排第一，排第一位的情况有3类(可从B 、C 、D 中任选一人排)，而此时兼顾分析B 的排法，列树形图如图.所以符合题意的所有排列是：BADC ，BACD ，BCAD ，BCDA ，BDAC ，BDCA ，CABD ，CBAD ，CBDA ，CDBA ，DABC ，DBAC ，DBCA ，DCBA 共14种.反思与感悟用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法.它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏.跟踪训练3从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.解(1)组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法.由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数.画出下列树形图：由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接画出树形图：由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.1.4×5×6×…(n－1)·n等于()A.A4nB.A n－4nC.(n－4)!D.A n－3n答案 D解析从4,5，…到n共n－4＋1＝n－3个数，所以根据排列数公式知4×5×6×…×(n－1) .＝A n－3n2.下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.A.①④B.①②C.④D.①③④答案 A解析根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题.3.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有()A.6个B.10个C.12个D.16个答案 C解析符合题意的商有A24＝4×3＝12个.4.写出下列问题的所有排列.(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长.解(1)四名同学站成一排，共有A44＝24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲.(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A25＝20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.1.判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关.这就说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题.2.关于排列数的两个公式(1)排列数的第一个公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可.(2)排列数的第二个公式A m n＝n！(n－m)！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、m∈N*，m≤n”的运用.一、选择题1.α∈N*，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于()A.A827－αB.A27－α34－αC.A734－αD.A834－α答案 D解析从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数.∴(27－α)(28－α)…(34－α)＝A834－α.2.已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B解析由排列的定义知①④是排列问题.3.已知A2n＝132，则n等于()A.11B.12C.13D.14答案 B解析A2n＝n(n－1)＝132，解得，n＝12或－11(舍去).4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为()A.6B.4C.8D.10答案 B解析列树形图如下：丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲，共4种.5.2016北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为()A.12B.24C.36D.60答案 D解析由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种).6.下列各式中与排列数A m n相等的是()A.n！(n－m＋1)！B.n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A m n－1n－m＋1D.A1n A m－1n－1答案 D解析 A m n＝n ！(n －m )！， 而A 1n A m －1n －1＝n ×(n －1)！(n －m )！＝n ！(n －m )！， ∴A 1n A m －1n －1＝A m n .二、填空题7.2A 412＋A 512A 513－A 512＝________. 答案 2 解析 2×12×11×10×9＋12×11×10×9×813×12×11×10×9－12×11×10×9×8＝2＋813－8＝2. 8.满足不等式A 7nA 5n >12的最小正整数n 的值为________.答案 10解析 A 7n A 5n ＝n ！(n －7)！n ！(n －5)！＝(n －5)！(n －7)！>12得：(n －5)(n －6)>12. 解得： n >9或n <2(应舍去). ∴最小正整数n 的值为10.9.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________. 答案 18解析 由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18. 10.一条铁路线上原有n 个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m (m ＞1)个车站，客运车票增加了62种，则n ＝________，m ＝________. 答案 15 2解析 由题意得：A 2n ＋m －A 2n ＝62，(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62. 整理得：m (2n ＋m －1)＝62＝2×31.∵m ，n 均为正整数，∴2n ＋m －1也为正整数.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31，得：n ＝15，m ＝2. 11.有3名司机，3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种(填数字). 答案 36解析 司机，售票员各有A 33种安排方法，由分步乘法计数原理知共有A 33A 33＝36(种)不同的安排方法. 三、解答题12.某药品研究所研制了5种消炎药a 1，a 2，a 3，a 4，a 5,4种退热药b 1，b 2，b 3，b 4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a 1，a 2两种药或同时用或同时不用，a 3，b 4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法. 解 如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a 1a 2b 1，a 1a 2b 2，a 1a 2b 3，a 1a 2b 4，a 3a 4b 1，a 3a 4b 2，a 3a 4b 3，a 3a 5b 1，a 3a 5b 2，a 3a 5b 3，a 4a 5b 1，a 4a 5b 2，a 4a 5b 3，a 4a 5b 4，共14种.13.甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？解 由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙. 若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，共5种.同样甲第一次发球给丙，也有5种情况.由分类加法计数原理，共有5＋5＝10(种)不同传球方法.。

1.2 乘法公式与事件的独立性课后训练巩固提升1.若A与B是相互独立事件,则下面不是相互独立事件的是( ).A.A与AB.A与BC.A与BD.A与B解析:A与A是对立事件.答案:A2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为( ).A.1-a-bB.1-abC.(1-a)(1-b)D.1-(1-a)(1-b)解析:设事件A表示“第一道工序的产品为正品”,事件B表示“第二道工序的产品为正品”,则P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).答案:C3.某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验,已知这批水稻种子的发芽率为0.8,出芽后的幼苗成活率为0.9,在这批水稻种子中,随机地抽取一粒,则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( ).A.0.02B.0.08C.0.18D.0.72答案:D4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B 中至少有一件发生的概率是( ). A.512B.12C.712D.34解析:依题意得P(A)=12,P(B)=16,事件A,B 中至少有一件发生的概率等于1-P(AB )=1-P(A )·P(B )=1-12×56=712.答案:C5.(多选题)从甲袋中摸出1个红球的概率是13,从乙袋中摸出1个红球的概率是12,从两袋中各摸出1个球,设事件A 表示“2个球都是红球”,事件B表示“2个球不都是红球”,事件C 表示“2个球中恰好有1个红球”,事件D 表示“2个球中至少有1个红球”,则下列概率结果正确的是( ). A.P(A)=16B.P(B)=12C.P(C)=12D.P(D)=23解析:根据相互独立事件同时发生的概率公式,得P(A)=13×12=16,故A 正确;P(B)=1-12×13=56,故B 不正确;P(C)=13×(1-12)+(1-13)×12=12,故C正确;P(D)=1-(1-12)×(1-13)=23,故D 正确.答案:ACD6.袋中有6个黄色的乒乓球,4个白色的乒乓球,这些球除颜色外完全相同.做不放回抽样,每次抽取1球,取两次,则第二次才能取到黄球的概率为 .解析:记事件A 表示“第一次取到白球”,事件B 表示“第二次取到黄球”,则“第二次才能取到黄球”为事件AB,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=410×69=415.答案:4157.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型,在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型.若从甲、乙两盒内各取1个,则能配成A 型螺栓的概率为 .解析:“从200个螺杆中任取1个是A 型”记为事件B,“从240个螺母中任取1个是A 型”记为事件C,则P(B)=C 1601C 2001,P(C)=C 1801C 2401.故能配成A 型螺栓的概率P=P(BC)=P(B)·P(C)=C 1601C 2001·C 1801C 2401=35.答案:358.如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是12,且是互相独立的,求灯亮的概率.(第8题)解:记A,B,C,D这4个开关闭合分别为事件A,B,C,D,又记A与B至少有一个不闭合为事件E,则P(E)=P(A B)+P(A B)+P(AB)=34,则灯亮的概率为P=1-P(ECD)=1-P(E)P(C)P(D)=1-316=1316.9.某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响.(1)求这名同学得300分的概率;(2)求这名同学至少得300分的概率.解:设事件A表示“答对第一题”,事件B表示“答对第二题”,事件C表示“答对第三题”,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.6.(1)这名同学得300分这一事件可表示为(A B C)∪(A BC),则P((A B C)∪(A BC))=P(A B C)+P(A BC)=0.8×(1-0.7)×0.6+(1-0.8)×0.7×0.6=0.228 .(2)这名同学至少得300分,则得300分或400分,该事件表示为(A B C)∪(A BC)∪(ABC),则P((A B C)∪(A BC)∪(ABC))=P(A B C)+P(A BC)+P(ABC)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.1.已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品,则任选一件为一级品的概率为( ).A.75%B.96%C.72%D.78.125%解析:记“任选一件产品是合格品”为事件A,则P(A)=1-P(A)=1-4%=96%. 记“任选一件产品是一级品”为事件B.因为一级品必是合格品,所以事件A包含事件B,故P(AB)=P(B).由合格品中75%为一级品,知P(B|A)=75%,故P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=96%×75%=72%.答案:C2.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为15,身体关节构造合格的概率为14.从中任选一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( ).A.1320B.15C.14D.25解析:这两项都不合格的概率是1-15×1-14=35,则至少有一项合格的概率是1-35=25.答案:D3.在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片跳到另一片),而且沿逆时针方向跳的概率是沿顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A片上,则跳三次之后停在A片上的概率是( ).(第3题)A.13B.29C.49D.827解析:由题意知逆时针方向跳的概率为23,顺时针方向跳的概率为13,青蛙跳三次要回到A片只有两条途径:第一条:按A→B→C→A,P1=23×23×23=827;第二条:按A→C→B→A,P2=13×13×13=127,所以跳三次之后停在A片上的概率为P1+P2=827+127=13.答案:A4.某电路图如图所示,5只箱子表示保险匣,箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,若各保险匣之间互不影响,则当开关合上时,电路畅通的概率是( ).(第4题)A.551720 B.29144C.2972D.2936解析:“左边并联电路畅通”记为事件A,“右边并联电路畅通”记为事件B.P(A)=1-[1-(1-12)×(1-13)]×14=56.P(B)=1-15×16=2930.“开关合上时电路畅通”记为事件C. P(C)=P(A)P(B)=56×2930=2936.答案:D5.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑行的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算),有甲、乙两人各自来该租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是12,14,两人租车时间都不会超过四小时.则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 .解析:由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14.设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A, 则P(A)=14×12+12×14+14×14=516,所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516. 答案:5166.已知甲袋中有3个白球和4个黑球,乙袋中有5个白球和4个黑球,这些球除颜色外完全相同.现从两袋中各取2个球,则取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为 .解析:记“从甲袋中取得2个白球”为事件A,“从乙袋中取得1个黑球和1个白球”为事件B,则P(AB)=P(A)P(B)=C 32C 72·C 51C 41C 92=563.记“从甲袋中取得1个黑球和1个白球”为事件C,“从乙袋中取得2个白球”为事件D,则P(CD)=P(C)P(D)=C 31C 41C 72·C 52C 92=1063.所以取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为563+1063=1563=521.答案:5217.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,这些球除颜色外完全相同.现随机地从1号箱中取出一个球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一个球,问:(1)从1号箱和2号箱取出的都是红球的概率是多少? (2)从2号箱取出红球的概率是多少?解:记事件A 表示“从2号箱中取出的是红球”; 事件B 为“从1号箱中取出的是红球”. (1)由题意知P(B)=46=23,P(A|B)=3+18+1=49.于是,根据乘法公式,有 P(AB)=P(B)P(A|B)=23×49=827.(2)因为P(B )=1-P(B)=13,P(A|B )=38+1=13,所以P(A)=P(AB)+P(A B )=P(A|B)P(B)+P(A|B )P(B )=49×23+13×13=1127.。

湘教版数学高二选择性必修一答案一、选择题1.已知an+1=an-3，则数列{an}是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列解析：∵an+1-an=-30，由递减数列的定义知B选项正确.故选B.答案：B2.设an=1n+1+1n+2+1n+3++12n+1(nN)，则()A.an+1anB.an+1=anC.an+1解析：an+1-an=(1n+2+1n+3++12n+1+12n+2+12n+3)-(1n+1+1n+2++12n+1)=12n+3-12n+1=-12n+32n+2.∵nN，an+1-an0.故选C.答案：C3.1,0,1,0，的通项公式为()A.2n-1B.1+-1n2C.1--1n2D.n+-1n2解析：解法1：代入验证法.解法2：各项可变形为1+12，1-12，1+12，1-12，，偶数项为1-12，奇数项为1+12.故选C.答案：C4.已知数列{an}满足a1=0，an+1=an-33an+1(nN)，则a20等于()A.0B.-3C.3D.32解析：由a2=-3，a3=3，a4=0，a5=-3，可知此数列的最小正周期为3，a20=a36+2=a2=-3，故选B.答案：B5.已知数列{an}的通项an=n2n2+1，则0.98()A.是这个数列的项，且n=6B.不是这个数列的项C.是这个数列的项，且n=7D.是这个数列的项，且n=7解析：由n2n2+1=0.98，得0.98n2+0.98=n2，n2=49.n=7(n=-7舍去)，故选C.答案：C6.若数列{an}的通项公式为an=7(34)2n-2-3(34)n-1，则数列{an}的()A.最大项为a5，最小项为a6B.最大项为a6，最小项为a7C.最大项为a1，最小项为a6D.最大项为a7，最小项为a6解析：令t=(34)n-1，nN+，则t(0,1]，且(34)2n-2=[(34)n-1]2=t2.从而an=7t2-3t=7(t-314)2-928.函数f(t)=7t2-3t在(0，314]上是减函数，在[314，1]上是增函数，所以a1是最大项，故选C.答案：C7.若数列{an}的前n项和Sn=32an-3，那么这个数列的通项公式为()A.an=23n-1B.an=32nC.an=3n+3D.an=23n解析：①-②得anan-1=3.∵a1=S1=32a1-3，a1=6，an=23n.故选D.答案：D8.数列{an}中，an=(-1)n+1(4n-3)，其前n项和为Sn，则S22-S11等于()A.-85B.85C.-65D.65解析：S22=1-5+9-13+17-21+-85=-44，S11=1-5+9-13++33-37+41=21，S22-S11=-65.或S22-S11=a12+a13++a22=a12+(a13+a14)+(a15+a16)++(a21+a22)=-65.故选C.答案：C9.在数列{an}中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1-an，则a2007等于()A.-4B.-5C.4D.5解析：依次算出前几项为1,5,4，-1，-5，-4,1,5,4，，发现周期为6，则a2007=a3=4.故选C.答案：C10.数列{an}中，an=(23)n-1[(23)n-1-1]，则下列叙述正确的是()A.最大项为a1，最小项为a3B.最大项为a1，最小项不存在C.最大项不存在，最小项为a3D.最大项为a1，最小项为a4解析：令t=(23)n-1，则t=1，23，(23)2，且t(0,1]时，an=t(t-1)，an=t(t-1)=(t-12)2-14.故最大项为a1=0.当n=3时，t=(23)n-1=49，a3=-2081;当n=4时，t=(23)n-1=827，a4=-152729;又a3答案：A二、填空题11.已知数列{an}的通项公式an=则它的前8项依次为________.解析：将n=1,2,3，，8依次代入通项公式求出即可.答案：1,3，13，7，15，11，17，1512.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3，则{an}中的最大项是第________项.解析：an=-2(n-294)2+8658.当n=7时，an最大.答案：713.若数列{an}的前n项和公式为Sn=log3(n+1)，则a5等于________.解析：a5=S5-S4=log3(5+1)-log3(4+1)=log365.答案：log36514.给出下列公式：①an=sinn②an=0，n为偶数，-1n，n为奇数;③an=(-1)n+1.1+-1n+12;④an=12(-1)n+1[1-(-1)n].其中是数列1,0，-1,0,1,0，-1,0，的通项公式的有________.(将所有正确公式的序号全填上)解析：用列举法可得.答案：①三、解答题15.求出数列1,1,2,2,3,3，的一个通项公式.解析：此数列化为1+12，2+02，3+12，4+02，5+12，6+02，，由分子的规律知，前项组成正自然数数列，后项组成数列1,0,1,0,1,0，.an=n+1--1n22，即an=14[2n+1-(-1)n](nN).也可用分段式表示为16.已知数列{an}的通项公式an=(-1)n12n+1，求a3，a10，a2n-1.解析：分别用3、10、2n-1去替换通项公式中的n，得a3=(-1)3123+1=-17，a10=(-1)101210+1=121，a2n-1=(-1)2n-1122n-1+1=-14n-1.17.在数列{an}中，已知a1=3，a7=15，且{an}的通项公式是关于项数n的一次函数.(1)求此数列的通项公式;(2)将此数列中的偶数项全部取出并按原来的先后顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的通项公式.解析：(1)依题意可设通项公式为an=pn+q，得p+q=3，7p+q=15.解得p=2，q=1.{an}的通项公式为an=2n+1.(2)依题意bn=a2n=2(2n)+1=4n+1，{bn}的通项公式为bn=4n+1.18.已知an=9nn+110n(nN)，试问数列中有没有最大项?如果有，求出最大项，如果没有，说明理由.解析：∵an+1-an=(910)(n+1)(n+2)-(910)n(n+1)=(910)n+18-n9，当n7时，an+1-an当n=8时，an+1-an=0;当n9时，an+1-an0.a1故数列{an}存在最大项，最大项为a8=a9=99108.。

＜＜科学备考，智慧应对＞＞答案：1．集合的概念与运算二、知识梳理：1.子集，非空；2.（1）列举法、描述法、图示法；（2）①N ②N *③整数集④有理数集⑤R 3.∈∉、⊆、 、 、＝ 4． 集合的运算交集并集补集定义的符号语言 ｛x|x A x B ∈∈且｝ {x|x A x B ∈∈或}｛x|x U,x A ∈∉｝1.D2.C3.B4.D5.16.{4}四、典型例题：例1、A ＝｛2,3，5,7｝，B ＝｛2,4，6,8｝ 例2、C 例3、a=0或a=-1或a=12例4、（1）a<4（2）a -2≥（3）-2≤a<4五、课后练习：1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.D 9.A 10.｛1,5，7,15｝、｛5,9，11,15｝ 六、自我测评：1.A 2.C 3.C 4.C 5.B 6.－1,3 7.a=0或a=-1 8.a=0或a 98≥9.12 10.6 2.均值不等式二、知识梳理：1.+a+b a,b R ,ab 2∈≥（当且仅当a=b 时取“＝”） 2.（1）a,b +R ∈,a ＋b 2ab ≥（当且仅当a=b 时取“＝”）(2)ab 2a+b ()2≤（当且仅当a=b 时取“＝”）(3)22a +b 2ab ≥ 三、基础练习：1. (1)1 ,(2)222.111,,6323. 43 ,22,234.25.26.长与宽均为l4时，面积最大为2l 16 四、典型例题：例1、错、错、错、对 例2、（1）当x=12时，y 有最大值为4 （2）当x=2时，y 有最大值为－2 例3、（1）当x=3时，y 有最小值为23－2 （2）当x=2＋3时，y 有最小值为23＋2 （3）当x=3时，y 有最小值为5 例4、（1）9 （2）3+223五、课后练习：1.D 2.D 3.B 4.B 5.B 6.B 7.116 8.15六、自我测评：1.B 2.C 3.B 4.C 5.2 6.3 7.7 8.1a 5≥ 9.18 10.①③⑤3．不等式的性质与解法二、知识梳理：1.｛b x x>a |｝，｛bx x<a|｝,,R Φ 2.略三、基础练习：1.（1）假（2）真（3）假（4）真（5）假， 理由略2.（1）2<x 2－ （2）R （3）1x<-x>12或（4）Φ 3.R, Φ 4.B 5.[-1,4] 6.{x|x>0x<-3或}四、典型例题：例1、(1)x (0,1)(1,3][4,+)∈⋃⋃∞ (2)k ≥17 例2、-1<x<2例3、(1)10当a>4或a<-4时，x> ;20当-4a 4≤≤时,I 不等式无解。